Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I/ PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. Bài 1: Cho ABC có trong tâm G và M là điểm tùy ý trong ko gian. a/ CMR: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2. b/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 = k2. Bài 2: Cho tứ diện ABCD.  Gọi G là trọng tâm BCD và O là trung điểm của AG; M là điểm tùy ý. a/ CMR: 3OA OB OC OD 0 b/ CMR: 3MA2 +MB2+MC2+MD2 =6MG2 +3OA2 +OB2 +OC2+OD2 c/ Tìm quỹ tích các điểm M thỏa: 3MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2. Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N nằm trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho MB’ = CN. CMR: AM  BN. Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.   Chứng minh rằng : a/ AC ' A'C 2AC b/ AC ' A'C 2CC ' II/ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Bài 1: Trong không gian Oxyz. Hãy viết tọa độ của các vectơ: a/ a e1 2e3 b/ b 2e1 e2 c/ c 2e1 7e2 3e3 1 3 d/ d e 2e e/ e e f/ f 4,5e 2 2 3 2 1 1 Bài 2: Hãy viết dưới dạng: x e1 y e2 z e3 các vectơ sau đây : 1 6 1 a/ u ( 2;1; 3) b/ v ( ;0; ) c/ m ( ;0; ) 3 5 2 d/ p 0; 2;5 e/ q (0;0; 2) Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho 3õ vectơ: a (2; 5;3); b (0;2; 1); c (1;7;2) . 1 a/ Tính tọa độ của vectơ : x 4 a b 3 c . 3 b/ Cho biết M(–1;2;3); hãy tìm tọa độ các điểm A, B, C sao cho:    MA a; MB b; MC c Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ x biết: a/ x b 0 khi b (1; 2;1) b/ 2 x a b khi a (5;4; 1); b (2; 5;3) c/ 2 x a x b khi a (5;6;0); b ( 3;4; 1) Bài 5: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên ' ' các trục Ox, Oy, Oz. Gọi M1 , M1 , M3’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx. Tìm tọa độ của các điểm M1’, M2’, M3’. Áp dụng cho M(–1,2,3). Bài 6: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z). Tìm tọa độ của điểm: a/ N đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy. b/ P đối xứng với M qua trục Ox. c/ Q đối xứng với M qua gốc tọa độ O. Áp dụng với M(–2; 5; 1). Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) và C(–1; 2; –2). a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. b/ Tính diện tích ABC. Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –5). a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. b/ Tìm tọa độ tâm của các mặt ABCD và ABB’A’ của hình hộp đó. Bài 9: Cho hai bộ 3 điểm: A(1; 3; 1); B(0; 1; 2); C(0; 0; 1) và A’(1;1;1); B’(–4; 3; 1); C’(–9; 5; 1). Hỏi bộ nào có 3 điểm thẳng hàng ? Bài 10: Tính tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ a,b trong mỗi trường hợp sau: a/ a (3;0; 6); b (2; 4;5) b/ a (1; 5;2); b (4;3; 5) 1
2. c/ a (0; 2; 3); b (1; 3; 2) d/ a (1; 1;1); b (0;1;2) e/ a (4;3;4); b (2; 1;2) Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai điểm A, B trong mỗi trường hợp: a/ A(4;–1; 1); B(2; 1; 0) b/ A(2; 3; 4); B(6; 0; 4) c/ A(2 ; 1; 0); B(1;2 ; 1) Bài 12: Tính góc giữa hai vectơ a,b trong mỗi trường hợp sau : a/ a (4;3;1); b ( 1;2;3) b/ a (2;4;5), b (6;0; 3) Bài 13: Cho ABC với A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1). a/ Tính các góc của ABC. b/ Tìm tọa độ trong tâm G của ABC. c/ Tính chu vi và diện tích tam giác đó. Bài 14: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1). Bài 15: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1; –1). Bài 16: Tính diện tích của hình bình hành ABCD có AB (6;3; 2) và AD (3; 2;6) .    Bài 17: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a ,b ,c trong mỗi tr.hợp sau: a/ a (4;2;5); b (3;1;3); c (2;0;1) b/ a (1; 1;1); b (0;1;2); c (4;2;3) c/ a (4;3;4); b (2; 1;2); c (1;2;1) d/ a ( 3;1; 2); b (1;1;1); c ( 2;2;1)       Bài 18: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1; 0; 1) và B(2; 1; 2); OD i j k , OC ' 4i 5 j 5k . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại. Bài 19: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2). Đường thẳng Ab cắt mp Oxyz tại điểm M. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M. Bài 20: Cho A(1; 1; 1), B(5; 1; –2) và C(7; 9; 1). a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. b/ Phân giác trong góc A của ABC cắt BC tại D. Tìm tọa độ của D. c/ Tính cosin của góc BAC và diện tích ABC. Bài 21: Cho A(1; 2; 1), B(5; 3; 4) và C(8; 3; –2). a/ CMR: ABC là tam giác vuông. b/ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác kẻ từ B. c/ Tính diện tích của ABC. Bài 22: Cho A(1; 0; 1), B(–1; 1; 2), C(–1; 1; 0) và D(2; –1; –2). a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật. b/ Tính đường cao của ABCD kẻ từ đỉnh  D.  Bài 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và OC 2i j k . a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b/ Tính chu vi và diện tích của ABC. c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành. d/ Tính độ dài đường cao của ABC hạ từ đỉnh A. e/ Tính các góc của ABC. Bài 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1). a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A. Bài 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3). a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc. b/ Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 26: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của P trên (ABC). 2
3.   Bài 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) và OD 2 k i . a/ CMR: ABCD là hình thoi. b/ Tính diện tích của hình thoi. 5 5 3 3 9 5 Bài 28: Cho A 2; ;1 , B ; ;0 , C 5; ;3 , D ; ;4 . 2 2 2 2 2 2 a/ CMR: bốn điểm trên là bốn đỉnh của hình bình hành. b/ Tính diện tích hình bình hành đó. Bài 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0). a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC). b/ Tìm trực tâm H của ABC. c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC. III/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. A/ Phương trình của mặt phẳng. Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của mp( ) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1). Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp( ) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0. a/ Lập pt tổng quát của mp() đi qua M và song song với mp( ). b/ Hãy lập phương trình tham số của mp() nói trên. Bài 3: Hãy lập pt mp( ) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz. Bài 4: Lập pt mp( ) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + 1 = 0 và y = 0. Bài 5: Lập pt mp( ) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z = 0. Bài 6: Lập pt mp( ) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y + 3z – 5 = 0. x 1 t1 Bài 7: Cho mp có phương trình tham số : y 2 t2 z 5 2t1 t2 a/ Hãy lập phương trình tổng quát của mp( ’) đi qua gốc tọa độ và song song với mp . b/ Tính góc tạo bởi mp( ’) và mp() có pt: x + y + 2z –10 = 0. Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mp( ) có phương trình: 6x – 3y + 2z –13 = 0. Bài 9: Cho mp( ) : 2x – 2y – z – 3 = 0. Lập phương trình mp() song song với mp( ) và cách mp( ) một khoảng d = 5. Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy. b/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với đ.thẳng AB với A(0; 2; –3) và B(1; –4; 1). c/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0. Bài 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0). Viết pt mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 12: Cho ABC, với A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) và C(4; 5; 6). Viết phương trình mp(ABC). Bài 13: Viết ptmp đi qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4) và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 1 = 0. Bài 14: Cho A(2; 3; 4). Hãy viết p.trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ, và p.trình mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ. Bài 15: Viết p.trình mp qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0. Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời  với hai mp (P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q): 2x – 3y + z + 1 = 0. b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho : OR = 2OP = 2OQ. c/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y – 7z – 2 = 0 và vuông góc với mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0. d/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y – 2z + 7 = 0 và song song với trục Oy. e/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3). f/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên trên mp(X). B/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Bài 1: Xác định m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau? 3
4. a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0 b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0; (Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0 Bài 2: Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0. a/ Chứng minh (P) cắt (Q). b/ Viết p.trình mp(S) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và qua điểm M(1; 2; 1). c/ Viết p.trình mp(T) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và song song với mp(R). d/ Viết p.trình mp(U) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R). Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: a/ Đi qua M(2; 1; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x – y + z – 1 = 0. b/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 đồng thời song song với mp: x + y + z = 0. c/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 đồng thời vuông góc với mp: 2x – z + 7 = 0. Bài 4: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng: a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0 b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0 Bài 5: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3). a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD). b/ Tính góc giữa (ABC) và (ABD).  c/ Tìm pt mp(P) chứa CD và // với vectơ v = (m; 1–m; 1+m). Định m để mp(P) vuông góc với mp(ABC). d/ Định m, n để mp(P) trùng với mp: 4x + ny + 5z + 1 – m = 0. Bài 6: Viết p.trình mặt phẳng qua M(0; 2; 0), N(2; 0; 0) và tạo với mpOyz một góc 600. Bài 7: Tìm điểm M’ đối xứng của M qua mp(P) biết: a/ M(1; 1; 1) và mp(P): x + y – 2z – 6 = 0. b/ M(2; –1; 3) và mp(P): 2x – y – 2z – 5 = 0. Bài 8: Cho tứ diện ABCD với A(–1; –5; 1), B(2; –4; 1), C(2; 0; –3) và D(0; 2; 2). a/ Lập phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD). b/ Tính cosin của góc nhị diện cạnh AB, cạnh BC. c/ Tìm điểm đối xứng của điểm A qua các mp(BCD), (OBC). Bài 9: Cho đường thẳng MN biết M(–6; 6; –5), N(12; –6; 1). a/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với các m.phẳng tọa độ. b/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp( ) có phương trình: x– 2y + z–9 = 0 và tính sin của góc giữa đ.thẳng MN và mp( ). c/ Viết p.trình tổng quát của mp chứa đ.thẳng MN và // với trục Oz. C/ Chùm mặt phẳng. Bài 1: Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0. a/ Viết phương trình mp(R) qua M(1; –2; 1) và chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q). b/ Viết pt mp(T) vuông góc với mp: x + 2y + z = 0 và chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q). c/ Viết phương trình mp(U) chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q) và tạo với mp: x + y – z = 0 một góc nhọn a mà cosa = 3/125. Bài 2: Định l, m để mp(P):5x + ly + 4z + m = 0 thuộc chùm mp: (3x – 7y + z – 3) + (x – 9y – 2z + 5) = 0 IV/ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN. A/ Phương trình của đường thẳng. Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0;–3) và nhận a (2; 3;5) làm vectơ chỉ phương. Bài 2: Lập p.trình của đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và: 4
5. x 1 5t a/ Song song với đường thẳng a: y 2 2t z 1 t b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz. Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d: a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0). 3x y 2z 7 0 b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng: . x 3y 2z 3 0 Bài 4: Trong mpOxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1). a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB. b/ Tính đường cao CH của ABC và tính diện tích ABC. c/ Tính thể tích hình tứ diện OABC. Bài 5: Viết p.trình tam số, chính tắc, tổng quát của đ.thẳng d biết: a/ d qua M(2; 0; –1) và có vectơ chỉ phương là (–1; 3; 5). b/ d qua M(–2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương là (0; 0; –3). c/ d qua M(2; 3; –1) và N(1; 2; 4). Bài 6: Viết phương trình của đường thẳng d biết: a/ d qua M(4; 3; 1) và // với đ.thẳng:( x = 1 + 2t; y = –3t; z = 3 + 2t). x 2 y 1 z 2 b/ d qua M(–2; 3; 1) và song song với đ.thẳng: . 2 0 3 x y z 3 0 c/ d qua M(1; 2; –1) và song song với đ.thẳng: . 2x y 5z 4 0 Bài 7: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng song song với các trục Ox, Oy biết p.trình tham số của d là: x 2 2t x 1 t a/ y 1 3t b/ y 2 4t z 4 3t z 3 2t Bài 8: Viết p.trình chính tắc của đ.thẳng d biết pt tổng quát của nó là: 2x y z 5 0 x y z 3 0 a/ b/ 2x z 3 0 2x y 6z 2 0 x 1 y 2 z 3 Bài 9: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d: 2 3 1 a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz 2x y z 5 0 Bài 10: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d: trên mp: x + y + z – 7 = 0. 2x z 3 0 Bài 11: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau: a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0 b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng: x y 1 0 2x y 1 0 (d1): ; (d2): 2x z 0 z 0 Bài 12: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8). Viết ptts, chính tắc và tổng quát của: a/ Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ACD. b/ Đường cao AH của tứ diện ABCD. 6x 2y 2z 3 0 Bài 13: Viết ptct của đ.thẳng d đi qua M(1; 4; –2) và ssong với đ.thẳng: . 3x 5y 2z 1 0 x 2z 3 0 Bài 14: Viết ptts của đt nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đt d: tại giao y 2z 0 điểm của đường thẳng d và mp(P). 5
6. x y z 1 Bài 15: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1), vuông góc và cắt đường thẳng: . 2 4 3 x 1 y 3 z 2 Bài 16: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (–4; –5; 3) và cắt cả hai đường thẳng: ; 3 2 1 x 2 y 1 z 1 . 2 3 5 x 1 y 2 z x y z 2 0 Bài 17: Lập ptts của đt d đi qua điểm (0; 0; 1), v.góc với đt: và cắt đt: . 3 4 1 x 1 0 x 1 y 1 z 2 Bài 18: Cho đ.thẳng d: và mp(P): x – y- z – 1 = 0. 2 1 3 a/ Tìm ptct của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; –2), song song với mp(P) và vuông góc với d. b/ Gọi N = d  (P). Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN. B/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG. 3x 2y 2z 8 0 Bài 1: Viết p.trình mặt phẳng đi qua điểm (3; –2; 1) và vuông góc với đường thẳng: . 2x y 3z 7 0 Bài 2: Lập p.trình các giao tuyến của mp: 5x – 7y + 2z – 3 = 0 với các mặt phẳng tọa độ. Tìm giao điểm của mặt phẳng đã cho với các trục tọa độ. Bài 3: Lập phương trình tham số và tổng quát của đương thẳng d: a/ Đi qua điểm M(2; –3; –5) và  với mp( ): 6x – 3y – 5z + 2 = 0. b/ Đi qua điểm N(1; 4; –2) và // với các mp : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và 3x – 5y – 2z – 1 = 0. Bài 4: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d: a/ Đi qua hai điểm A(1; –2; 1), B(3; 1; –1). b/ Đi qua điểm M(1; –1; –3) và  với mp( ): 2x – 3y + 4z – 5 = 0. x 2y 3z 3 0 c/ Đi qua điểm C(2; 3; –1) và // với đt có p.trình: 2x y z 5 0 x 2z 3 0 Bài 5: Cho đường thẳng a có p.trình: và mp( ) có phương trình: z + 3y – z + 4 = 0. y 2z 0 a/ Tìm giao điểm H của a và mp( ). b/ Lập ptđt nằm trong mp( ), đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng a. x 2y z 6 0 Bài 6: Cho đt a: và mp( ): 3x–2y + 3z + 16 = 0. 2z y 3z 13 0 a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mp( ). b/ Gọi là góc giữa a và mp( ) .Hãy tính sin . c/ Lập pttq của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên mp( ). Bài 7: Cho mp( ) có p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp() có p.trình: 3x – 5y – 2z – 1 = 0. a/ Hãy viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua điểm M(1; 4; 0) và song song với ( ) và (). b/ Lập phương trình của mp() chứa đường thẳng d và đi qua giao tuyến của hai mp ( ) và (). c/ Lập p.trình của mp(P) đi qua M và vuông góc với ( ) và (). Bài 8: Cho mp( ) có phương trình: 2x – 3y + 3z – 17 = 0 và hai điểm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17). a/ Viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua A và vuông góc với ( ). b/ Hãy tìm trên một điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến A và B là bé nhất. 2x y z 6 0 Bài 9: Cho đường thẳng d có phương trình: . x 4y 2z 8 0 a/ Hãy tìm giao điểm của đường thẳng a với các mp tọa độ. b/ Hãy tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d. c/ Gọi M là giao điểm của đt a với mp( ) có pt: x + y – z + 12 = 0. Hãy tính tọa độ của M. d/ Gọi là góc giữa đường thẳng d và mp nói trên. Hãy tính sin . Bài 10: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng và ’ có p.trình: 6
7. x 3 t x y 5 0 : y 2 t ; ’ : 2x z 3 2 5 0 z 2t a/ Tìm vectơ chi phương của mỗi đường thẳng và tính góc giữa hai đường thẳng đó. b/ Viết phương trình mp( ) chứa và song song với ’. c/ Chứng minh và ’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa chúng. x y z 4 0 x 2 y 1 z 5 Bài 11: Viết phương trình mp chứa đường thẳng: và ssong đt : . 2x y 5z 2 0 1 2 2 x 1 t x 2 t Bài 12: Viết ptđt d nằm trong mặt phẳng: y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng: y t ; y 4 2t . z 4t z 1 x 3t Bài 13: Viết p.trình đ.thẳng song song với đường thẳng: y 1 t và cắt hai đường thẳng: z 5 t 2x y z 1 0 x 1 y 2 z 2 ; . x y 4z 3 0 1 4 3 x y z 1 0 x 1 y z 3 Bài 14: Viết ptđt d đi qua điểm (1;–1; 1) và cắt hai đường thẳng: ; . y 2z 3 0 2 1 1 Bài 15: Cho hai đường thẳng: x 1 y 1 z 2 x 2 y 2 z d: ; d’: . 2 3 1 1 5 2 a/ CMR: d và d’ chéo nhau. b/ Viết p.trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’. 2kx y z 1 0 Bài 16: Với giá trị nào của k thì đường thẳng: nằm trong mpOyz. x ky z 1 0 x t x 1 4h x 4y 7 0 Bài 17: Cho 3 đt d1: y 5 2t ; d2: y 2 h ; d3: 5x 4z 35 0 z 14 3t z 1 5h a/ CMR: d1 và d2 chéo nhau. b/ CMR: d1 và d3 cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của chúng. c/ Tìm góc nhọn giữa d1 và d2. d/ Tìm p.trình hai mp (P) // (P’) và lần lượt đi qua d1 và d2. 5x 2y 3z 5 0 Bài 18: Cho đt d: và ba mp (P): x + y – z – 7 = 0; (Q): 2x – 3y – z –10 = 0; x 4y 5z 15 0 (R): x + y + 2z – 4 = 0 a/ CMR: d  (P), d  (Q), d // (R). x y z b/ Tìm ptđt qua điểm chung của (P), (Q), (R) và đồng thời cắt d và cắt đường thẳng: . 1 1 1 Bài 19: Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau; tìm tọa độ giao điểm; lập p.trình mp chứa hai đ.thẳng đó. x 1 y 1 z 2 4x 5y 9 0 a/ d1: ; d2: . 4 2 3 3x 5z 7 0 x y z 7 0 x 2y z 1 0 b/ d1: ; d2: . 3x 4y 11 0 x y 1 0 7
8. x 2t 3 x 5 t c/ d1: y 3t 2 ; d2: y 1 4t . z 4t 6 z 20 t Bài 20: Chứng minh hai đường thẳng d1và d2 chéo nhau. Lập ptđt d vuông góc và cắt hai đường thẳng đó. x 3y 5 0 x 2y z 0 a/ d1: ; d2: . 2y z 1 0 2x z 0 x 7 y 3 z 9 x 3 y 1 z 1 b/ d1: ; d2: 1 2 1 7 2 3 x 1 t x y z 5 0 c/ d1: ; d2: y 2 t . 2x y 1 0 z 3 t x 1 2t x 2t d/ d1: y 2 2t ; d2: y 5 4t . z t z 4 x 2y 4z 3 0 Bài 21: Cho đt d: và mp(P): 2x – y + 4z + 8 = 0. 2x 3y 2z 3 0 a/ CMR: d cắt (P). Tìm giao điểm A của chúng. b/ Viết p.trình mp(Q) qua d và vuông góc với (P). c/ Viết p.trình tham số của giao tuyến giữa (P) và (Q). d/ Viết p.trình đ.thẳng d’ qua A, vuông góc với d và nằm trong (P). C/ KHOẢNG CÁCH. Bài 1: Tìm khoảng cách: a/ Từ điểm A(3; –6; 7) đến mp(): 4x – 3z –1 = 0. b/ Giữa mp( ): 2x – 2y + z – 1 = 0 và mp() :2x – 2y + z + 5 = 0. c/ Từ điểm M(4; 3; 0) đến m.phẳng xác định bởi ba điểm A(1; 3; 0), B(4; –1; 2) và C(3; 0; 1). d/ Từ gốc tọa độ đến mp() đi qua P(2; 1; –1) và nhận n (1; 2;3) làm pháp véc tơ. Bài 2: Tìm khoảng cách từ điểm P(2,3,-1) đến: x 5 3t a/ Đường thẳng a có phương trình : y 2t . z 25 2t 2x 2y z 3 0 b/ Đường thẳng b có phương trình: . 3x 2y 2z 17 0 Bài 3: Tính khoảng cách từ M(1; –1; 2), N(3; 4; 1); P(–1; 4; 3) đến mp(Q): x + 2y + 2z – 10 = 0. Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng: (P): 2x – y + 4z + 5 = 0 (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0 Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0; trong đó A =A’, B = B’, C =C’, D D’ Bài 6: Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0. Bài 7: Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai mp (P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): x – y + z – 5 = 0. x 2 y 1 z 1 Bài 8: Tính khoảng cánh từ các điểm M(2; 3; 1) và N(1; –1; 1) đến đường thẳng d: . 1 2 2 x y 2z 1 0 Bài 9: Tính k/cách từ điểm M(2; 3; –1) đến đt d: . x 3y 2z 2 0 Bài 10: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: x 1 y 3 z 4 x 2 y 2 z 1 a/ ; 2 1 2 4 2 4 8
9. 2x z 1 0 3x y 2 0 b/ ; x y 4 0 3y 3z 6 0 x 1 t x 2 3t c/ y 1 t ; y 2 3t . z 1 z 3t Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: (P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + 3 = 0 Bài 12: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: x 1 2t d1: 2 – x = y – 3 = z; d2: y 2 2t . z 1 2t Bài 13: Tính khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mp(P): 2x 3y 6z 10 0 d: ; (P): y + 4z + 17 = 0 x y z 5 0 Bài 14: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: x y z 5 0 2y z 5 0 d: ; d’: x 3y 6 0 4x 2y 5z 4 0 2x 3y 2 0 2x 3y 9 0 Bài 15: Cho hai đ.thẳng d: và d’: . x 3z 2 0 y 2z 1 0 a/ CMR: d // d’. Tính khoảng cách giữa d và d’. b/ Viết p.trình mặt phẳng (P) chứa d và d’. c/ Tính khoảng cách từ điểm (2; 3; 2) đến (P). Bài 16: Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(–1; 1; 2) và C(2; 1; –2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0. a/ Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. b/ Tìm điểm N thuộc (P) sao cho NA + NC nhỏ nhất. x 1 y 2 z 2 Bài 17: Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình: . 3 2 2 a/ CMR: hai đường thẳng AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng. b/ Tìm điểm I trên d sao cho IA + IB nhỏ nhất. x y 0 x 3y 1 0 Bài 18: Cho hai đường thẳng d: ; d’: . x y z 4 0 y z 2 0 a/ CMR: d và d’ chéo nhau. b/ Tính khoảng cách giữa d và d’. c/ Tìm p.trình của đ.thẳng qua I(2;3;1) và cắt cả hai đ.thẳng d và d’. x 3 y 1 z 2 Bài 19: Tìm góc tạo bởi đường thẳng: với các trục tọa độ. 2 1 1 Bài 20: Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau: x 1 2t x 2 t a/ y 1 t ; y 1 3t z 3 4t z 4 2t x 1 y 2 z 2 x 2y z 1 0 b/ ; 3 1 4 2x 3z 2 0 2x y 3z 1 0 x 3y z 4 0 c/ ; x y z 0 2x y z 1 0 Bài 21: Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện có các đỉnh: A(3; –1; 0), B(0; –7; 3), C(–2; 1; –1) và D(3; 2; 6). Bài 22: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết: 9
10. x 2 y 1 z 3 a/ d: ; (P): x + y – z + 2 = 0 4 1 2 x 1 2t b/ y 1 3t ; (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 z 2 t 2x y 3z 1 0 c/ ; (P): 3x – y + z – 1 = 0 x y z 2 0 Bài 23: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0. Bài 24: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0. x t x 1 2t Bài 25: Lập ptđt vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai đt: y 4 t và y 3 t . z 3 t z 4 5t x 1 2t Bài 26: Tìm điểm đ.xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đt: y 1 t . z 2t x 1 y 2 z x y z 2 0 Bài 27: Viết ptđt đi qua điểm M(0; 1; 1), vuông góc với đt: và cắt đt: . 3 1 1 x 1 0 E/ HÌNH CHIẾU. Bài 1: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và mp(P): x + y –2z –6 = 0. a/ Tính khoảng cách từ N đến mp(P). b/ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mp(P). c/ Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng MN trên mp(P). Bài 2: Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng trên m.phẳng: x 2 y 2 z 1 a/ d: ; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 3 4 1 2x y 3 0 b/ ; (P): x + 2y + z – 5 = 0 3x z 3 0 2x y z 1 0 Bài 3: Cho điểm M(–1; –1; –1) và đ.thẳng d: . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc x y z 1 0 của M trên d và trên mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Tính HK. Bài 4: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) và D(5; 5; –4). a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mp(ABC). b/ Tính thể tích của tứ diện. Bài 5: Cho3điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0). Tìm tọa độ hchiếu vuông góc C’ của C trên đt: AB. x t x h Bài 6: Cho hai đường thẳng d: y 4 t và d’: y 6 3h . z 6 2t z 1 h a/ Tìm phương trình đường vuông góc chung của d và d’. b/ Gọi K là hình chiếu của điểm I(1; –1; 1) trên d’. Tìm ptts của đt qua K, vgóc với d và cắt d’. Bài 7: Mp(P): x + 2y + 3z – 6 = 0 cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. a/ Tìm tọa độ trực tâm, trong tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. b/ Tìm p.trình chính tắc của trục đường tròn (ABC). x 8z 23 0 x 2z 3 0 Bài 8: Cho hai đ.thẳng d1: và d2: . y 4z 10 0 y 2z 2 0 a/ Viết p.trình các mp(P), (Q) // với nhau và lần lượt qua d1, d2. b/ Tính khoảng cách giữa d1 và d2. c/ Viết p.trình đ.thẳng d song song với trục Oz và cắt cả d1, d2. 10
11. IV/ MẶT CẦU. A/ Phương trình của mặt cầu. Bài 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình: a/ x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0 b/ x2 + y2 + z2 +4x + 8y – 2z – 4 = 0 c/ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – 2 = 0 d/ x2 + y2 + z2 – 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0 e/ x2 + y2 + z2 – 2mx + my + 3z – 2 = 0 Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết: a/ Có tâm I(2; 1; –2) và qua A(3; 2; –1). b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7). c/ Có tâm I(–2; 1; 1) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y – 2z + 5 = 0. d/ Qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mpOxy. e/ Qua hai điểm A(1; –2; –4), B(0; 3; 0) và tiếp xúc với các mặt phẳng (P): x = 3; (Q): y = 5. f/ Có tâm I(6; 3; –4) và tiếp xúc với Oy. g/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1). x 1 y z 2 h/ Có tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với đ.thẳng d: . 2 1 3 x 2 i/ Có tâm nằm trên đt d: và tiếp xúc với hai mp: (P): x – 2z – 8 = 0; (Q): 2x – z + 5 = 0. y 0 j/ Qua ba điểm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mpOyz. Bài 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–3;–3;0). a/ CMR: ABCD là hình vuông và SA là đ/cao của h/chóp S.ABCD. b/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. x 4 t x 2 Bài 4: Cho hai đ.thẳng d: y 3 t và d’: y 1 2h . Lập p.trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của z 4 z h d và d’ làm đường kính. Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua các đường tròn sau: x2 y2 9 x2 y2 25 (C1): và (C2): z 0 z 2 (x 1)2 (y 2)2 (z 2)2 49 Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ và đường tròn (C): 2x 2y z 4 0 2 2 2 Bài 7: Lập p.trình mc (S) đi qua M(1; 1; 1) và qua đtròn là giao tuyến của hai mc: (S1): x + y + z – 2x + 2 2 2 2y – 4z – 3 = 0 và (S2): x + y + z + 4x – 2z – 11 = 0 B/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu. Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt cầu (S) và mp(P): a/ (S): x2 + y2 + z2 –6x –2y + 4z + 5 = 0; (P): x + 2y + z – 1 = 0 b/ (S): x2 + y2 + z2 –6x +2y –2z + 10 = 0; (P): x + 2y –2z + 1 = 0 c/ (S): x2 + y2 + z2 +4x + 8y –2z – 4 = 0; (P): x + y + z – 10 = 0 d/ (S): x2 + y2 + z2 – x – 2z + 5 = 0; (P): 4x + 3y + m = 0 e/ (S): (x – 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 4; (P): 2x + y – z + m = 0 Bài 2: Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 9 = 0 và mặt cầu (S): (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 a/ Lập p.trình đ.thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P). b/ CMR: mp(P) cắt mặt cầu (S). c/ Viết p.trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và (P). Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó. Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau: 11
12. x2 y2 z2 6x 2y 2z 10 0 a/ x 2y 2z 1 0 x2 y2 z2 12x 4y 6z 24 0 b/ 2x 2y z 1 0 Bài 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu: a/ x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0) b/ (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c2)2 = R2 mà tiếp diện song song với mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0. Bài 5: Cho mp(P): x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z = 0 Tìm p.trình các mp song song với mp(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Bài 6: Cho hai điểm A(–1; –3; 1), B(–3; 1; 5). a/ Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. b/ Viết phương trình các tiếp diện của mặt cầu mà chứa trục Ox. Bài 7: Lập p.trình tiếp diện của (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y –6z +5 = 0: a/ Tiếp diện đi qua điểm M(1; 1; 1). 2x y 1 0 b/ Tiếp diện đi qua đường thẳng d: . z 1 0 x y 1 z c/ Tiếp diện song song với đường thẳng d’: . 1 4 3 x 2y z 3 0 d/ Tiếp diện vuông góc với đường thẳng d”: . 2x 4y z 1 0 C/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu. Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu: x y 1 z 2 a/ (S): x2 + y2 + z2 –2x + 4z + 1 = 0; d: 2 1 1 2x y z 1 0 b/ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 16; d: x 2z 3 0 x 2 t c/ (S): x2 + y2 + z2 –2x –4y + 2z – 2 = 0; d: y t z 3 3t x 5 3t Bài 2: Cho mc(S): (x+2)2 + (y–1)2 + (z +5)2 = 49 và d: y 11 5t . z 9 4t a/ Tìm giao điểm của d và mặt cầu (S). b/ Tìm p.trình các m.phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm trên. x 1 Bài 3: Cho mc(S): (x+2)2 + (y–1)2 + z2 = 26 và đ.thẳng d: y 1 3t z 4 5t a/ Tìm giao điểm A, B của d và mc(S). Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d. b/ Tìm p.trình các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A và B. Bài 4: Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. a/ Chứng minh T(0; 0; 5) thuộc mặt cầu (S). b/ Lập p.trình tiếp tuến của (S) tại T biết tiếp tuyến đó: i/ Có VTCP u = (1; 2; 2). ii/ Vuông góc với mp(P): 3x – 2y + 3z – 2 = 0 x 2y 3z 2 0 iii/ Song song với đường thẳng d: x y z 0 12
13. 2 2 2 Bài 5: Viết pttt của m/cầu (S): x + y + z –2x –4y + 2z – 3 = 0 thỏa: a/ Qua A(–4; 3; 0) và có VTCP u = (4; 1; 1). x y 1 z b/ Qua A(–2; 1; 3) và vuông góc với đ.thẳng d: 1 2 2 13