Đề cương ôn tập thi môn Hình học Lớp 12 - Chủ đề 1: Khối da diện và thể tích khối đa diện

Nội dung text: Đề cương ôn tập thi môn Hình học Lớp 12 - Chủ đề 1: Khối da diện và thể tích khối đa diện

1. CHỦ ĐỀ 1. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Cỏc hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta cú: A B 2 2 2  BC = AB + AC  AH.BC = AB.AC  AB 2 = BH.BC, AC 2 = CH.CB 1 1 1  = + , AH 2 = HB.HC AH 2 AB 2 AC 2 B C H M  2AM = BC 2. Cỏc hệ thức lượng trong tam giỏc thường: a. Định lý cosin: A b2 + c2 - a2 * a2 = b2 + c2 - 2bc cosA ị cosA = 2bc 2 2 2 b 2 2 2 a + c - b c * b = a + c - 2ac cosB ị cosB = 2ac a2 + b2 - c2 a * c2 = a2 + b2 - 2abcosC ị cosC = B C 2ab b. Định lý sin: A a b c = = = 2R c b sin A sin B sinC R (R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp ABC) B a C c. Cụng thức tớnh diện tớch tam giỏc: A 1 1 1  S = a.h = b.h = c.h DABC 2 a 2 b 2 c 1 1 1 c b  S = absinC = bc sin A = ac sin B DABC 2 2 2 abc  S = , S = p.r DABC 4R DABC B a C  p p p a p b p c p - nửa chu vi r - bỏn kớnh đường trũn nội tiếp Trang 1/35
2. d.Cụng thức tớnh độ dài đường trung tuyến: A AB 2 + AC 2 BC 2 * AM 2 = - 2 4 K N BA2 + BC 2 AC 2 * BN 2 = - 2 4 B C M CA2 + CB 2 AB 2 * CK 2 = - 2 4 3. Định lý Thales: A AM AN MN * MN / / BC ị = = = k AB AC BC M N 2 S ổAM ử * DAMN = ỗ ữ = k2 ỗ ữ SDABC ốAB ứ B C (Tỉ diện tớch bằng tỉ bỡnh phương đồng dạng) Trang 2/35
3. 4. Diện tớch đa giỏc: B a. Diện tớch tam giỏc vuụng: 1 ị S = AB.AC DABC 2  Diện tớch tam giỏc vuụng bằng ẵ tớch 2 cạnh C gúc vuụng. A b. Diện tớch tam giỏc đều: B ùỡ 2 2 ù a 3 (cạnh) . 3 ù SDABC =  Diện tớch tam giỏc đều: SD = ù 4 đều 4 a ị ớ h ù a 3 (cạnh) . 3 ù h =  Chiều cao tam giỏc đều: h = A C ợù 2 D đều 2 c. Diện tớch hỡnh vuụng và hỡnh chữ nhật: A B ùỡ S = a2  Diện tớch hỡnh vuụng bằng cạnh bỡnh phương. ù HV a ị ớù O ù AC = BD = a 2  Đường chộo hỡnh vuụng bằng cạnh nhõn 2 . ợù  Diện tớch hỡnh chữ nhật bằng dài nhõn rộng. D C A D d. Diện tớch hỡnh thang: 1 (AD + BC ).AH S Hỡnh Thang = .(đỏy lớn + đỏy bộ) x chiều cao ị S = 2 2 B H C e. Diện tớch tứ giỏc cú hai đường chộo vuụng B gúc: 1 A C ị S = AC.BD  Diện tớch tứ giỏc cú hai đường chộo vuụng gúc H .Thoi 2 nhau bằng ẵ tớch hai đường chộo.  Hỡnh thoi cú hai đường chộo vuụng gúc nhau D tại trung điểm của mỗi đường. 6.Hỡnh chúp đều: 1. Định nghĩa: Một hỡnh chúp được gọi là hỡnh chúp đều nếu cú đỏy là một đa giỏc đều và cú chõn đường cao trựng với tõm của đa giỏc đỏy. Nhận xột: S  Hỡnh chúp đều cú cỏc mặt bờn là những tam giỏc cõn bằng nhau. Cỏc mặt bờn tạo với đỏy cỏc gúc bằng nhau.  Cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp đều tạo với mặt đỏy cỏc gúc bằng nhau. 2. Hai hỡnh chúp đều thường gặp: A C a. Hỡnh chúp tam giỏc đều: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC . O ĐỏyABC là tam giỏc đều.  Cỏc mặt bờn là cỏc tam giỏc cõn tại S . B Trang 3/35
4.  Chiều cao: SO . ã ã ã  Gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy: SAO = SBO = SCO . ã  Gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy: SHO . 2 1 AB 3  Tớnh chất: AO = AH, OH = AH, AH = . 3 3 2 S Lưu ý: Hỡnh chúp tam giỏc đều khỏc với tứ diện đều. Tứ diện đều cú cỏc mặt là cỏc tam giỏc đều. Tứ diện đều là hỡnh chúp tam giỏc đều cú cạnh bờn bằng cạnh đỏy. I b. Hỡnh chúp tứ giỏc đều: Cho hỡnh chúp tam giỏc đềuS.ABCD . A D ĐỏyABCD là hỡnh vuụng. O  Cỏc mặt bờn là cỏc tam giỏc cõn tại S . B C  Chiều cao: SO . ã ã ã ã  Gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy:SAO = SBO = SCO = SDO . ã  Gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy: SHO . 7.Thể tớch khối đa diện: S 1 1. Thể tớch khối chúp: V = B.h 3 D B : Diện tớch mặt đỏy. h : Chiều cao của khối chúp. A O B C A C A C 2. Thể tớch khối lăng trụ: V = B.h B B B : Diện tớch mặt đỏy. h : Chiều cao của khối chúp. A’ C’ A’ C’ Lưu ý: Lăng trụ đứng cú chiều cao cũng là B’ B’ cạnh bờn. c a 3. Thể tớch hỡnh hộp chữ nhật: V = a.b.c a a ị Thể tớch khối lập phương: V = a3 b a Trang 4/35
5. V SAÂ SBÂ SC Â S 4. Tỉ số thể tớch: S.AÂB ÂC Â = . . VS.ABC SA SB SC A’ B’ 5. Hỡnh chúp cụt ABC.A B C C’ h V = B + BÂ+ BBÂ A B 3( ) Với B,BÂ,h là diện tớch hai đỏy và chiều cao. C Nguyễn Văn Lành-THPT Nguyễn Khuyến. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cõu 1 (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với đỏy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tớnh thể tớch V của khối chúp S.ABC. A. V 40 B. CV. 192 .V 3 D.2 V 24 Cõu 2. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chúp tam giỏc đều S.ABC cú cạnh đỏy bằng a và cạnh bờn bằng 2a. Tớnh thể tớch V của khối chúp S.ABC. 13a3 11a3 11a3 11a3 V V V V A. B. 12 C. 12 D. 6 4 Cõu 3. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chúp tứ giỏc đều cú cạnh đỏy bằng a, cạnh bờn gấp hai lần cạnh đỏy. Tớnh tớch V của khối chúp tứ giỏc đó cho. 2a3 2a3 14a3 14a3 V V V V A. 2 B. 6 C. D. 2 6 Cõu 4 (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc với đỏy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một gúc 30o. Tớnh thể tớch V của khối chúp đó cho. 6a3 2a3 2a3 V V V A. B. 3 C. 3 D. 3 V 2a3 Cõu 5(ĐỀ THI THPTQG 2017) Xột khối tứ diện ABCD cú cạnh AB = x và cỏc cạnh cũn lại đều bằng 2 3 . Tỡm x để thể tớch khối tứ diện ABCD đạt giỏ trị lớn nhất A. x 6 B. Cx. 14 x D.3 2 x 2 3 Cõu 6. (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, SA vuụng gúc a 2 với đỏy và khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng . Tớnh thể tớch V của khối chúp đó cho. 2 a3 3a3 a3 A. V B. V a3 C. DV. V 2 9 3 Cõu 7 (ĐỀ THI THPTQG 2017) Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, AB = a, AD a 3 , SA vuụng gúc với đỏy và mặt phẳng (SBC) tạo với đỏy một gúc 60 o. Tớnh thể tớch V của khối chúp S.ABCD. a3 3a3 A. V B. CV. V D.a 3 V 3a3 3 3 Cõu 8. ( ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho tứ diện đều ABCD cú cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đú khối đa diện chứa đỉnh A cú thể tớch V. Tớnh V. 7 2a3 11 2a3 13 2a3 2a3 V V V V A. B. 216 2 C.16 2 D.16 18 Trang 5/35
6. Cõu 9. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc cõn với AB = AC = a, Bã AC 120o , mặt phẳng (AB’C’) tạo với đỏy một gúc 60o. Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ đó cho. 3a3 9a3 a3 3a3 V V V V A. 8 B. 8 C. 8 D. 4 Cõu 10.(15/101/2018) Cho khối chúp cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , chiều cao bằng 2a . Thể tớch của khối chúp đó cho bằng 2 4 A. 4B.a 3 C. D. a3 2a3 a3 3 3 Cõu 11. (42/101/2018) Cho khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' , khoảng cỏch từ C đến BB ' bằng 2 , khoảng cỏch từ A đến cỏc đường thẳng BB ' và CC 'lần lượt bằng 1 và 3 , hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn mặt phẳng 2 3 (A' B 'C ') là trung điểm M của B 'C ' và A'M .Thể tớch khối lăng trụ đó cho bằng 3 2 3 A. 2 B. 1 C. 3 D. 3 Trang 6/35
7. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cõu 1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều. Nếu tăng độ dài cạnh đỏy lờn 2 lần và độ dài đường cao khụng đổi thỡ thể tớch S.ABC tăng lờn bao nhiờu lần? 1 A. .4B. .C. .D. . 2 3 2 Cõu 2. Cú bao nhiờu khối đa diện đều? A. 4 .B. .C. .D. . 5 3 2 Cõu 3. Cho khối đa diện đều p;q , chỉ số p là A. Số cỏc cạnh của mỗi mặt. B. Số mặt của đa diện. C. Số cạnh của đa diện.D. Số đỉnh của đa diện. Cõu 4. Cho khối đa diện đều p;q , chỉ số q là A. Số đỉnh của đa diện.B. Số mặt của đa diện. C. Số cạnh của đa diện.D. Số cỏc mặt ở mỗi đỉnh. Cõu 5. Tớnh thể tớch khối tứ diện đều cạnh a . a3 2 a3 2 a3 A. B. C.  .D.  a3  12 4 6 Cõu 6. Cho S.ABCD là hỡnh chúp đều. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD biết AB a , SA a . a3 2 a3 2 a3 A. B.a3 C. . D. 2 6 3 Cõu 7. Cho hỡnh chúpS.ABC cú SA  ABC , đỏy ABC là tam giỏc đều. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC biết AB a , SA a . a3 3 a3 3 a3 A. .B. .C. .D. a3 12 4 3 Cõu 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA  ABCD , đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật. Tớnh thể tớch S.ABCD biết AB a , AD 2a , SA 3a . a3 A. a3 .B. . 6aB.3 .D. 2a3  3 Cõu 9. Thể tớch khối tam diện vuụng O.ABC vuụng tại O cú OA a, OB OC 2a là 2a3 a3 a3 A.  B. C. D.  . 2a3 3 2 6 Cõu 10. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc mặt đỏy, tam giỏcABC vuụng tại A, SA 2cm , AB 4cm, AC 3cm . Tớnh thể tớch khối chúp. 12 24 24 A. cm3 .B. .C. cm .D.3 . cm3 24cm3 3 5 3 Cõu 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy hỡnh chữ nhật, SA vuụng gúc đỏy, AB a, AD 2a . Gúc giữa SB và đỏy bằng 450 . Thể tớch khối chúp là a3 2 2a3 a3 a3 2 A. B. C. D.    3 3 3 6 Cõu 12. Hỡnh chúp S.ABCD đỏy hỡnh vuụng, SA vuụng gúc với đỏy, SA a 3, AC a 2 . Khi đú thể tớch khối chúp S.ABCD là Trang 7/35
8. a3 2 a3 2 a3 3 a3 3 A. B. C. D.    2 3 2 3 Cõu 13. Cho hỡnh chúpS.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B . Biết SAB là tam giỏc đều và thuộc mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng ABC . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC biết AB a , AC a 3 . a3 6 a3 6 a3 2 a3 A. B. C. D.    12 4 6 4 Cõu 14. Cho hỡnh chúpS.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi. Mặt bờn SAB là tam giỏc vuụng cõn tại S và thuộc mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng ABCD . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD biết BD a , AC a 3 . a3 3 a3 3 a3 A. a3 .B. C. D.    4 12 3 Cõu 15. Cho hỡnh chúpS.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A . Hỡnh chiếu của S lờn mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC biết AB a , AC a 3 , SB a 2 . a3 6 a3 3 a3 3 a3 6 A. B. C. D.    6 2 6 2 Cõu 16. Cho hỡnh chúpS.ABCD cú đỏy ABCD hỡnh vuụng cạnh a . Hỡnh chiếu của S lờn mặt phẳng 3a ABCD là trung điểm H của AD . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD biết SB . 2 a3 a3 3a3 A. B.  .C. D. a3   3 2 2 a 13 Cõu 17. Hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, SD . Hỡnh chiếu của S lờn ABCD là 2 trung điểm H của AB . Thể tớch khối chúp là a3 2 a3 2 a3 A. B. C.  .D.  a3 12  3 3 3 Cõu 18. Hỡnh chúp S.ABCD đỏy hỡnh thoi, AB 2a , gúc BãAD bằng 1200 . Hỡnh chiếu vuụng gúc của a S lờn ABCD là I giao điểm của 2 đường chộo, biết SI . Khi đú thể tớch khối chúp 2 S.ABCD là a3 2 a3 3 a3 2 a3 3 A. B. C. D.    9 9 3 3 V Cõu 19. Cho hỡnh chúp S.ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tớnh tỉ số S.ABC . VS.MNC 1 1 A 4B. C. .D.  2  2 4 Cõu 20. Cho khối chop O.ABC . Trờn ba cạnh OA,OB,OC lần lượt lấy ba điểm A’, B ,C sao cho V 2OA OA, 4OB OB, 3OC OC . Tớnh tỉ số O.A'B'C ' VO.ABC 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 12 24 16 32 Trang 8/35
9. Cõu 21. Cho hỡnh chúp S.ABC. Gọi là mặt phẳng qua A và song song với BC . cắt SB , SC SM lần lượt tại M , N . Tớnh tỉ số biết chia khối chúp thành 2 phần cú thể tớch bằng nhau. SB 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 2 2 4 2 2 Cõu 22. Thể tớch của khối lăng trụ tam giỏc đều cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a là: a3 3 a3 3 a3 2 a3 2 A. B. C. D.    4 3 3 2 Cõu 23. Cho lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' cú ABCD là hỡnh chữ nhật, A' A A' B A' D . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' biết AB a , AD a 3 , AA' 2a . A. 3a3 .B. .C. .D. a3 . a3 3 3a3 3 Cõu 24. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' cú ABC là tam giỏc vuụng tại A . Hỡnh chiếu của A' lờn ABC là trung điểm của BC . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' biết AB a , AC a 3 , AA' 2a . a3 3a3 A. B. C. .D. .  a3 3 3a3 3 2 2 Cõu 25. Cho lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' cú ABCD là hỡnh thoi. Hỡnh chiếu của A 'lờn ABCD là trọng tõm của tam giỏc ABD . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABCA' B 'C ' biết AB a , ÃBC 1200 , AA' a . a3 2 a3 2 a3 2 A. a3 2 .B. C. D.    6 3 2 V Cõu 26. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' . Tớnh tỉ số ABB'C ' . VABCA'B'C ' 1 1 1 2 A. B. C. D. .   2 6 3 3 Cõu 27. Cho khối lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú tất cả cỏc cạnh đều bằng .a Thể tớch khối tứ diện A’BB’C’ là a3 3 a3 3 a3 3 a3 A. B. C. D.    12 4 6 12 Cõu 28. Lăng trụ tam giỏcABC.A B C cú đỏy tam giỏc đều cạnh a, gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy bằng 300. Hỡnh chiếu A lờn ABC là trung điểm I của BC . Thể tớch khối lăng trụ là a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D.    6 2 12 8 Cõu 29. Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, BC 2a, AB a. Mặt bờn BB’C’C là hỡnh vuụng. Khi đú thể tớch lăng trụ là a3 3 A. .B. .C. .D. a3 2 . 2a3 3 a3 3 3 Cõu 30. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC và' BB . 'Tớnh tỉ số V ABCMN . VABC.A'B'C ' 1 1 1 2 A. .B. .C. .D. . 3 6 2 3 Trang 9/35
10. Cõu 31. Cho khối lăng trụ ABC.A B C . Tỉ số thể tớch giữa khối chúp A .ABC và khối lăng trụ đú là 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 4 2 3 6 Cõu 32. Cho khối lập phương ABCD.A B C D . Tỉ số thể tớch giữa khối A .ABD và khối lập phương là: 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 4 8 6 3 Cõu 33. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú chiều cao bằng h, gúc giữa hai mặt phẳng (SAB )và (ABCD) bằng . Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD theo h và . 3h3 4h3 8h3 3h3 A. .B. .C. .D. . 4 tan2 3tan2 3tan2 8tan2 Cõu 34. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a , cạnh SB vuụng gúc với đỏy và mặt phẳng SAD tạo với đỏy một gúc 60 . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD . 3a3 3 3a3 3 8a3 3 4a3 3 A. V .B. V .C. V .D. V . 4 8 3 3 Cõu 35. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B , BC a , mặt 2 phẳng A' BC tạo với đỏy một gúc 30 và tam giỏc A' BC cú diện tớch bằng a 3 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' . a3 3 3a3 3 3a3 3 3a3 3 A. .B. .C. .D. . 8 4 8 2 Cõu 36. Cho hỡnh lăng trụ ABC.A' B 'C ' cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a. Hỡnh chiếu vuụng gúc của A' trờn ABC là trung điểm của AB . Mặt phẳng AA'C 'C tạo với đỏy một gúc bằng 45 . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' . 3a3 3a3 3a3 3a3 A. V .B. .C. V .D. . V V 16 8 4 2 Cõu 37. Cho hỡnh chúp đều S.ABC , gúc giữa mặt bờn và mặt phẳng đỏy ABC bằng 60 , 0khoảng 3a cỏch giữa hai đường thẳng SA và BC bằng . Thể tớch của khối chúp S.ABC theo a bằng 2 7 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. .C. .D. . 12 18 16 24 Cõu 38. Cho hỡnh chúp đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O , AC 2 3a , BD 2a , hai mặt phẳng SAC và SBD cựng vuụng gúc với mặt phẳng ABCD . Biết khoảng cỏch từ a 3 điểm O đến mặt phẳng SAB bằng . Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD theo a . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. .C. .D. . 16 18 3 12 Cõu 39. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bờn của hỡnh chúp là tam giỏc đều và khoảng từ O đến mặt bờn là a . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a . A. 2a3 3 .B. .C. 4a3 .D.3 . 6a3 3 8a3 3 Cõu 40. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú SA  ABCD . ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B biết AB 2a .AD 3BC 3a . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a biết gúc giữa SCD và ABCD bằng 600 . Trang 10/35
11. A. 2 6a3 .B. .C. 6 6 .D.a3. 2 3a3 6 3a3 Cõu 41. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú SA  ABCD , ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B biết AB 2a .AD 3BC 3a . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a , biết khoảng cỏch từ 3 6 A đến mặt phẳng (SCD) bằng. a 4 A. 6 6a3 .B. .C. 2 6 .D.a3. 2 3a3 6 3a3 Cõu 42. Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A' B 'C ' cú BB ' a , gúc giữa đường thẳng BB ' và ABC bằng ã 60 , tam giỏc ABC vuụng tại C và gúc BAC 60 . Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm B ' lờn ABC trựng với trọng tõm của ABC . Thể tớch của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng 13a3 7a3 15a3 9a3 A. .B. .C. .D. . 108 106 108 208 Cõu 43. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ', biết đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a . Khoảng cỏch từ a tõm O của tam giỏc ABC đến mặt phẳng A' BC bằng .Tớnh thể tớch khối lăng trụ 6 ABC.A' B 'C ' . 3a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2 A. .B. .C. .D. . 8 28 4 16 Cõu 44. Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú M là trung điểm của SB ,N là điểm trờn cạnh SC sao cho NS 2NC . Kớ hiệu V1,V2 lần lượt là thể tớch của cỏc khối chúp A.BMNC và S.AMN . Tớnh tỉ V số 1 . V2 V 2 V 1 V V A. 1 B. 1 C. 1 2. D. 1 3 V 3 V 2 V V 2 2 2 2 Cõu 45. ho NS 2NC , P là điểm trờn cạnh SA sao cho PA 2PS . Kớ hiệu V1,V2 lần lượt là thể tớch V của cỏc khối tứ diện BMNP và SABC . Tớnh tỉ số 1 . V2 V 1 V 3 V 2 V 1 A. . 1 B. . 1 C. . D. .1 1 V2 9 V2 4 V2 3 V2 3 Cõu 46. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng 2a , gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45 , M , N và P lần lượt là trung điểm cỏc cạnh SA, SB và AB . Tớnh thể tớch V của khối tứ diện DMNP . a3 a3 a3 a3 A. V B. V C. V D. V 6 4 12 2 Cõu 47. Cho lăng trụ ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B ,AC 2a ; cạnh bờn AA 2a . Hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AC . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ ABC.A B C . 1 a3 2a3 A. .V a3 B. . V C. . D. .V a3 V 2 3 3 Cõu 48. Cho tứ diện ABCD cú cỏc cạnh AB, AC và AD đụi một vuụng gúc với nhau. Gọi G1,G2 ,G3 và G4 lần lượt là trọng tõm cỏc mặt ABC, ABD, ACD và BCD . Biết AB 6a, AC 9a , AD 12a . Tớnh theo a thể tớch khối tứ diện G1G2G3G4 . A. 4a3 B. C. D. a3 108a3 36a3 Trang 11/35
12. Cõu 49. Cho tứ diện ABCD cú AB CD 11m , BC AD 20m , BD AC 21m . Tớnh thể tớch khối tứ diện ABCD . A. 360m3 B. C. D. 720m3 770m3 340m3 Cõu 50. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy là vuụng; mặt bờn (SAB) là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy. Biết khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng 3 7a . Tớnh thể tớch V của khối chúp S.ABCD . 7 1 2 3a3 A. .V a3 B. . V aC.3 . D. . V a3 V 3 3 2 Cõu 51. Cho tứ diện S.ABC , M và N là cỏc điểm thuộc cỏc cạnh SA và SB sao cho MA 2SM , SN 2NB , ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kớ hiệu (H1) và (H2 ) là cỏc khối đa diện cú được khi chia khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng ( , )trong đú, (Hchứa1) V1 điểm S , (H2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tớch của (H1) và (H2 ) . Tớnh tỉ số . V2 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3 Cõu 52. Cho hỡnh chúp S.ABC cú chõn đường cao nằm trong tam giỏc ABC ; cỏc mặt phẳng (SAB) , (SAC) và (SBC) cựng tạo với mặt phẳng (ABC) cỏc gúc bằng nhau. Biết AB 25 , BC 17 , AC 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đỏy một gúc bằng 45 . Tớnh thể tớch Vcủa khối chúp S.ABC . A VB. .C.40.D.8 . V 680 V 578 V 600 B. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 7.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B II –HƯỚNG DẪN GIẢI NHẬN BIẾT – THễNG HIỂU Cõu 1. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều. Nếu tăng độ dài cạnh đỏy lờn 2 lần và độ dài đường cao khụng đổi thỡ thể tớch S.ABC tăng lờn bao nhiờu lần? 1 A. .4B. .C. .D. . 2 3 2 Hướng dẫn giải: Khi độ dài cạnh đỏy tăng lờn 2 lần thỡ diện tớch đỏy tăng lờn 4 lần. Thể tớch khối chúp tăng lờn 4 lần. Cõu 2. Cú bao nhiờu khối đa diện đều? A. 4 .B. .C. .D. . 5 3 2 Hướng dẫn giải: Trang 12/35
13. Cú 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hỡnh lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều. Cõu 3. Cho khối đa diện đều p;q , chỉ số p là A. Số cỏc cạnh của mỗi mặt. B. Số mặt của đa diện. C. Số cạnh của đa diện.D. Số đỉnh của đa diện. Cõu 4. Cho khối đa diện đều p;q , chỉ số q là A. Số đỉnh của đa diện.B. Số mặt của đa diện. C. Số cạnh của đa diện.D. Số cỏc mặt ở mỗi đỉnh. Cõu 5. Tớnh thể tớch khối tứ diện đều cạnh a . a3 2 a3 2 a3 A. B. C.  .D.  a3  12 4 6 Hướng dẫn giải: Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a . S Gọi H là hỡnh chiếu của A lờn BCD . a 3 Ta cú: BH 3 a 6 AH AB2 BH 2 A C 3 a2 3 a3 2 O S V . BCD 4 ABCD 12 B Cõu 6. Cho S.ABCD là hỡnh chúp đều. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD biết AB a , SA a . a3 2 a3 2 a3 A. B.a3 C. . D. 2 6 3 Hướng dẫn giải: Gọi H là hỡnh chiếu của S lờn ABCD S a 2 Ta cú: AH 2 a 2 SH SA2 AH 2 A D 2 a3 2 H S a2 V ABCD S.ABCD 6 B C Cõu 7. Cho hỡnh chúpS.ABC cú SA  ABC , đỏy ABC là tam giỏc đều. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC biết AB a , SA a . a3 3 a3 3 a3 A. .B. .C. .D. a3 12 4 3 Hướng dẫn giải: Trang 13/35
14. a2 3 S S ABC 4 a3 3 V . S.ABC 12 A C B Cõu 8. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA  ABCD , đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật. Tớnh thể tớch S.ABCD biết AB a , AD 2a , SA 3a . a3 A. a3 .B. . 6aB.3 .D. 2a3  3 Hướng dẫn giải: S 2 3 S ABCD 2a.a 2a VS.ABC 2a D A B C Cõu 9. Thể tớch khối tam diện vuụng O.ABC vuụng tại O cú OA a, OB OC 2a là 2a3 a3 a3 A.  B. C. D.  . 2a3 3 2 6 Hướng dẫn giải: A 1 S OB.OC 2a2 OBC 2 h OA a 3 C 1 2a O V OA S O.ABC 3 OBC 3 B Cõu 10. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc mặt đỏy, tam giỏcABC vuụng tại A, SA 2cm , AB 4cm, AC 3cm . Tớnh thể tớch khối chúp. 12 24 24 A. cm3 .B. .C. cm .D.3 . cm3 24cm3 3 5 3 Hướng dẫn giải: S 1 S AB.AC 6cm2 ABC 2 h SA 2cm A C 1 12 V SA S cm3 S.ABC 3 ABC 3 B Trang 14/35
15. Cõu 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy hỡnh chữ nhật, SA vuụng gúc đỏy, AB a, AD 2a . Gúc giữa SB và đỏy bằng 450 . Thể tớch khối chúp là a3 2 2a3 a3 a3 2 A. B. C. D.    3 3 3 6 Hướng dẫn giải: S 0 SA AB.tan 45 a 2 SABCD a.2a 2a 1 2a3 D VS.ABCD SA.SABCD A 3 3 450 B C Cõu 12. Hỡnh chúp S.ABCD đỏy hỡnh vuụng, SA vuụng gúc với đỏy, SA a 3, AC a 2 . Khi đú thể tớch khối chúp S.ABCD là a3 2 a3 2 a3 3 a3 3 A. B. C. D.    2 3 2 3 Hướng dẫn giải: S SA a 3 AB AC.cos 450 a S a2 ABCD 1 a3 3 D V SA.S A S.ABCD 3 ABCD 3 B C Cõu 13. Cho hỡnh chúpS.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B . Biết SAB là tam giỏc đều và thuộc mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng ABC . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC biết AB a , AC a 3 . a3 6 a3 6 a3 2 a3 A. B. C. D.    12 4 6 4 Hướng dẫn giải: ABC vuụng tại B BC AC 2 AB2 a 2 . S 1 a2 2 S BA.BC ABC 2 2 a 3 Gọi H là trung điểm AB SH 2 A C Ta cú: SAB đều SH  AB SH  ABC (vỡ SAB  ABC ). H B 1 a3 6 V SH.S S.ABC 3 ABC 12 Cõu 14. Cho hỡnh chúpS.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi. Mặt bờn SAB là tam giỏc vuụng cõn tại S và thuộc mặt phẳng vuụng gúc với mặt phẳng ABCD . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD biết BD a , AC a 3 . Trang 15/35
16. a3 3 a3 3 a3 A. a3 .B. C. D.    4 12 3 Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD . S ABCD là hỡnh thoi AC  BD , O là trung điểm của AC , BD . ABO vuụng tại O A AB AO2 OB2 a . D 1 a2 3 H SABCD AC.BD . 2 2 B C a Gọi H là trung điểm AB . SAB vuụng cõn tại S cạnh AB a SH . 2 Ta cú: SAB cõn SH  AB SH  ABCD (vỡ SAB  ABC ). 1 a3 3 V SH.S . S.ABCD 3 ABCD 12 Cõu 15. Cho hỡnh chúpS.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A . Hỡnh chiếu của S lờn mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC biết AB a , AC a 3 , SB a 2 . a3 6 a3 3 a3 3 a3 6 A. B. C. D.    6 2 6 2 Hướng dẫn giải: ABC vuụng tại A S BC AC 2 AB2 2a . 1 a2 3 S AB.AC . ABC 2 2 B A SH SB2 BH 2 a . H 1 a3 3 V SH.S . C S.ABC 3 ABC 6 Cõu 16. Cho hỡnh chúpS.ABCD cú đỏy ABCD hỡnh vuụng cạnh a . Hỡnh chiếu của S lờn mặt phẳng 3a ABCD là trung điểm H của AD . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD biết SB . 2 a3 a3 3a3 A. B.  .C. D. a3   3 2 2 Hướng dẫn giải: ABH vuụng tại A S a 5 BH AH 2 AB2 . 2 2 2 SH SB BH a . A B S a2 . ABCD H D C Trang 16/35
17. 1 a3 V SH.S . S.ABCD 3 ABCD 3 a 13 Cõu 17. Hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, SD . Hỡnh chiếu của S lờn ABCD là 2 trung điểm H của AB . Thể tớch khối chúp là a3 2 a3 2 a3 A. B. C.  .D.  a3 12  3 3 3 Hướng dẫn giải: 2 SABCD a S 5a2 HD2 AH 2 AD2 4 13a2 5a2 SH SD2 HD2 a 2 A 4 4 D 1 a3 2 H VS.ABCD SH.SABCD . 3 3 B C Cõu 18. Hỡnh chúp S.ABCD đỏy hỡnh thoi, AB 2a , gúc BãAD bằng 1200 . Hỡnh chiếu vuụng gúc của a S lờn ABCD là I giao điểm của 2 đường chộo, biết SI . Khi đú thể tớch khối chúp 2 S.ABCD là a3 2 a3 3 a3 2 a3 3 A. B. C. D.    9 9 3 3 Hướng dẫn giải: S a SI 2 ã 2 SABCD AB.AD.sin BAD 2 3a A D 1 a3 3 VS.ABCD SI.SABCD 3 3 I B C V Cõu 19. Cho hỡnh chúp S.ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tớnh tỉ số S.ABC . VS.MNC 1 1 A 4B. C. .D.  2  2 4 Hướng dẫn giải: Trang 17/35
18. S M VS.ABC SA SB . 4 N VS.MNC SM SN A C B Cõu 20. Cho khối chop O.ABC . Trờn ba cạnh OA,OB,OC lần lượt lấy ba điểm A’, B ,C sao cho V 2OA OA, 4OB OB, 3OC OC . Tớnh tỉ số O.A'B'C ' VO.ABC 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 12 24 16 32 Hướng dẫn giải: O Ta cú: B C OA 1 OB 1 OC 1 A ; ; OA 2 OB 4 OC 3 V OA OB OC 1 1 1 1 O.A B’C’     A C VO.ABC OA OB OC 2 4 3 24 B Cõu 21. Cho hỡnh chúp S.ABC. Gọi là mặt phẳng qua A và song song với BC . cắt SB , SC SM lần lượt tại M , N . Tớnh tỉ số biết chia khối chúp thành 2 phần cú thể tớch bằng nhau. SB 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 2 2 4 2 2 Hướng dẫn giải: S SM SN Ta cú: MN //BC SB SC M 2 VS.AMN SM SN SM Ta cú: . N VS.ABC SB SC SB A C V 1 SM 1 Ta cú: S.AMN VS.ABC 2 SB 2 B Cõu 22. Thể tớch của khối lăng trụ tam giỏc đều cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a là: a3 3 a3 3 a3 2 a3 2 A. B. C. D.    4 3 3 2 Hướng dẫn giải: Trang 18/35
19. A ' C' B' h a a3 3 a2 3 V h.S S 4 4 A C B Cõu 23. Cho lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' cú ABCD là hỡnh chữ nhật, A' A A' B A' D . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' biết AB a , AD a 3 , AA' 2a . A. 3a3 .B. .C. .D. a3 . a3 3 3a3 3 Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD . A' B ' ABCD là hỡnh chữ nhật OA OB OD Mà A A A B A D nờn A'O  ABD (vỡ A'O là trực tõm giỏc ABD ) D ' C ' ABD vuụng tại A 2 2 A BD AB AD 2a B OA OB OD a O AA'O vuụng tại O 2 2 A'O AA' AO a 3 D C 2 SABCD AB.AD a 3 3 VABCDA'B'C 'D' A'O.SABCD 3a . Cõu 24. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' cú ABC là tam giỏc vuụng tại A . Hỡnh chiếu của A' lờn ABC là trung điểm của BC . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' biết AB a , AC a 3 , AA' 2a . a3 3a3 A. B. C. .D. .  a3 3 3a3 3 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của BC A' B ' A' H  ABC . ABC là tam giỏc vuụng tại A C ' BC AB2 AC 2 2a 1 AH BC a 2 A B A' AH vuụng tại H H A' H AA'2 AH 2 a 3 C 1 a2 3 S AB.AC ABC 2 2 3a3 V A' H.S . ABCA'B'C ' ABC 2 Trang 19/35
20. Cõu 25. Cho lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' cú ABCD là hỡnh thoi. Hỡnh chiếu của A 'lờn ABCD là trọng tõm của tam giỏc ABD . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABCA' B 'C ' biết AB a , ÃBC 1200 , AA' a . a3 2 a3 2 a3 2 A. a3 2 .B. C. D.    6 3 2 Hướng dẫn giải: A' Gọi H là trọng tõm của tam giỏc ABD B' A' H  ABCD . D' C' Ta cú: BãAD 1800 ÃBC 600 . Tam giỏc ABD cõn cú BãAD 600 nờn tam giỏc ABD đều. A B a 3 ABD là tam giỏc đều cạnh a AH H 3 D C a 6 A' AH vuụng tại H A' H AA'2 AH 2 3 a2 3 a2 3 a3 2 S 2S 2. ; V A' H.S ABCD ABD 4 2 ABCDA'B'C 'D' ABC 2 V Cõu 26. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' . Tớnh tỉ số ABB'C ' . VABCA'B'C ' 1 1 1 2 A. B. C. D. .   2 6 3 3 Hướng dẫn giải: Ta cú: BB 'C 'C là hỡnh bỡnh hành A' C' 1 1 B' S S V V BB'C ' 2 BB'C 'C A.BB'C ' 2 A.BB'C 'C 1 Ta cú: V V A.A'B'C ' 3 ABCA'B'C ' A C 2 V V V V B A.BB'C 'C ABCA'B'C ' A.A'B'C ' 3 ABCA'B'C ' 1 VABB'C ' 1 VABB'C ' VABCA'B'C ' 3 VABCA'B'C ' 3 Cõu 27. Cho khối lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú tất cả cỏc cạnh đều bằng .a Thể tớch khối tứ diện A’BB’C’ là a3 3 a3 3 a3 3 a3 A. B. C. D.    12 4 6 12 Hướng dẫn giải: Trang 20/35
21. A' C' h BB a B' a2 3 SA B C 4 1 a3 3 A C V BB .S A BB C 3 A B C 12 B Cõu 28. Lăng trụ tam giỏcABC.A B C cú đỏy tam giỏc đều cạnh a, gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy bằng 300. Hỡnh chiếu A lờn ABC là trung điểm I của BC . Thể tớch khối lăng trụ là a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D.    6 2 12 8 Hướng dẫn giải: A' B ' 0 a 3 3 a A I AI.tan 30  2 3 2 C ' a2 3 S ABC 4 a3 3 A B V A I.S ABC.A’B’C’ ABC 8 I C Cõu 29. Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, BC 2a, AB a. Mặt bờn BB’C’C là hỡnh vuụng. Khi đú thể tớch lăng trụ là a3 3 A. .B. .C. .D. a3 2 . 2a3 3 a3 3 3 Hướng dẫn giải: A' C' h BB 2a B' 2 2 AC BC AB a 3 1 a2 3 SABC AB.AC 2 2 A C 3 VABC.A’B’C’ BB .SABC a 3 B Cõu 30. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC và' BB . 'Tớnh tỉ số V ABCMN . VABC.A'B'C ' 1 1 1 2 A. .B. .C. .D. . 3 6 2 3 Hướng dẫn giải: Trang 21/35
22. A' Ta cú: BB 'C 'C là hỡnh bỡnh hành B ' 1 S S BCMN 2 BB'C 'C 1 V V A.BCMN 2 A.BB'C 'C M C ' 1 Ta cú: V V A.A'B'C ' 3 ABCA'B'C ' 2 N V V V V A A.BB'C 'C ABCA'B'C ' A.A'B'C ' 3 ABCA'B'C ' B 1 V 1 V V A.BCMN . A.BCMN 3 ABCA'B'C ' V 3 ABCA'B'C ' C Cõu 31. Cho khối lăng trụ ABC.A B C . Tỉ số thể tớch giữa khối chúp A .ABC và khối lăng trụ đú là 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 4 2 3 6 Hướng dẫn giải: A' C' 1 1 B' V AA .S V A ABC 3 ABC 3 ABC.A B C V 1 A ABC VABC.A B C 3 A C B Cõu 32. Cho khối lập phương ABCD.A B C D . Tỉ số thể tớch giữa khối A .ABD và khối lập phương là: 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 4 8 6 3 Hướng dẫn giải: A ' 1 D' VA’.ABD AA .SABD 3 B' C' 1 1 1 AA . AB.AD AA .S 3 2 6 ABCD 1 A D VABCD.A’B’C’D’ 6 B C V 1 A’.ABD . VABCD.A’B’C’D’ 6 VẬN DỤNG THẤP Cõu 33. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú chiều cao bằng h, gúc giữa hai mặt phẳng (SAB )và (ABCD) bằng . Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD theo h và . 3h3 4h3 8h3 3h3 A. .B. .C. .D. . 4 tan2 3tan2 3tan2 8tan2 Hướng dẫn giải: Gọi O là tõm của mặt đỏy thỡ S SO  mp ABCD . Từ đú, SO là đường cao của hỡnh chúp.Gọi M là trung điểm đoạn CD. Ta cú: Trang 22/35
23. CD  SM  (SCD) CD  OM  (ABCD) SãMO . CD (SCD)  (ABCD) h A D O M B C 1 2 V = .SABCD.SO; B = SABCD = AB ; Tỡm AB: AB = 2OM 3 SO h h Tam giỏc SOM vuụng tại tại O, ta cú: tan = = OM = . OM OM tan 2h 4h2 AB = . Suy ra: B = SABCD = . SO = h. tan tan2 1 4h2 4h3 Vậy VS.ABCD = . .h = . 3 tan2 3tan2 Cõu 34. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a , cạnh SB vuụng gúc với đỏy và mặt phẳng SAD tạo với đỏy một gúc 60 . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD . 3a3 3 3a3 3 8a3 3 4a3 3 A. V .B. V .C. V .D. V . 4 8 3 3 Hướng dẫn giải: AD  AB S Ta cú: AD (SAB) AD AD  SB  SA. Sã AB 600 . A D 2 SABCD = 4a . Xột tam giỏc SAB tại vuụng tại B, ta cú: SB AB tan 600 2a 3 . 2a B C 1 8a3 3 Vậy V = .4a2. 2a3 = . 3 3 Cõu 35. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B , BC a , mặt 2 phẳng A' BC tạo với đỏy một gúc 30 và tam giỏc A' BC cú diện tớch bằng a 3 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' . a3 3 3a3 3 3a3 3 3a3 3 A. .B. .C. .D. . 8 4 8 2 Hướng dẫn giải: Trang 23/35
24. V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’. A’ C’ BC  AB Do BC  A B . BC  AA B’ BC  AB  (ABC) Và BC  A' B  (A BC) BC (ABC)  (A' BC) (ãABC),(A' BC) ãAB, A' B ãABA' A C Ta cú: 30o a 1 S A B.BC A BC 2 . B 2.S 2.a2 3 A B A BC 2a 3 BC a AB A B.cos ãABA 2a 3.cos300 3a; AA A B.sin ãABA 2a 3.sin 300 a 3 1 1 3a3 3 V B.h S .AA .AB.BC.AA .3a.a.a 3 . ABC.A'B'C ' ABC 2 2 2 Cõu 36. Cho hỡnh lăng trụ ABC.A' B 'C ' cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh bằng a. Hỡnh chiếu vuụng gúc của A' trờn ABC là trung điểm của AB . Mặt phẳng AA'C 'C tạo với đỏy một gúc bằng 45 . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' . 3a3 3a3 3a3 3a3 A. V .B. .C. V .D. . V V 16 8 4 2 Hướng dẫn giải: Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm A’ B’ của cỏc đoạn thẳng AB, AC, AM. VABC.A'B'C ' S ABC .A' H . C’ a2 3 S . ABC 4 Ta cú IH là đường trung bỡnh của tam giỏc H AMB , MB là trung tuyến của tam giỏc đều A B ABC. I IH // MB M a Do đú: IH  AC MB  AC C AC  A' H AC  A' HI AC  A' I AC  IH AC  IH  (ABC) Mà: AC  A' I  (ACC ' A') ãA' IH là gúc gữa hai mặt phẳng AA'C 'C và (ABC)  (ACC ' A') AC ABCD ãA' IH 45 A' H Trong tam giỏc A' HI vuụng tại H, ta cú: tan 45 A' H IH.tan 45o . HI 1 a 3 a2 3 a 3 3a3 IH MB . Vậy V . 2 4 4 4 16 Trang 24/35
25. Cõu 37. Cho hỡnh chúp đều S.ABC , gúc giữa mặt bờn và mặt phẳng đỏy ABC bằng 60 , 0khoảng 3a cỏch giữa hai đường thẳng SA và BC bằng . Thể tớch của khối chúp S.ABC theo a bằng 2 7 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. .C. .D. . 12 18 16 24 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC . Trong mp(SAM), Kẻ MH  SA,(H SA) . BC  AM Ta cú: BC  SAM BC  MH . BC  SO Do đú MH là đường vuụng gúc chung của SA và BC . 3a Suy ra MH . Ta cú: SM  BC ã SBC , ABC Sã MA 600 . 2 7 Đặt OM x AM 3x,OA 2x . SO OM.tan 600 x 3 và S 2 SA x 3 2x 2 x 7 . Trong VSAM ta cú: SA.MH SO.AM H 3a a . x 7. x 3.3x x C 2 7 2 3 A Khi đú: O N a a 3 AM 3x 3. AB a . 2 3 2 B 1 1 a2 3 a a2 3 V .S .SO . . S.ABC 3 ABC 3 4 2 24 Cõu 38. Cho hỡnh chúp đều S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi tõm O , AC 2 3a , BD 2a , hai mặt phẳng SAC và SBD cựng vuụng gúc với mặt phẳng ABCD . Biết khoảng cỏch từ a 3 điểm O đến mặt phẳng SAB bằng . Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD theo a . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. .C. .D. . 16 18 3 12 Hướng dẫn giải Ta cú tam giỏc ABO vuụng tại O và S AO a 3 , BO a . Do đú AO 3 tan 600 ãABO 600 . I BO Suy ra ABD đều. D A Ta cú: 2a 3 SAC  ABCD O C B SBD  ABCD SO  ABCD SAC  SBD SO Trang 25/35
26. . Trong tam giỏc đều ABD , gọi H là trung điểm AB, K là trung điểm BH, 1 a 3 suy ra DH  AB và DH a 3 ; OK / /DH và OK DH . 2 2 Suy ra OK  AB AB  SOK . Gọi I là hỡnh chiếu của O lờn SK, ta cú:OI  SK; AB  OI OI  SAB . OI d O; SAB . 1 1 1 a Tam giỏc SOK vuụng tại O, OI là đường cao: SO . OI 2 OK 2 SO2 2 1 1 1 1 a3 3 V .S .SO .4.S .SO .4. .OA.OB.SO S.ABCD 3 ABCD 3 ABO 3 2 3 Cõu 39. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bờn của hỡnh chúp là tam giỏc đều và khoảng từ O đến mặt bờn là a . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a . A. 2a3 3 .B. .C. 4a3 .D.3 . 6a3 3 8a3 3 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của CD , S trong SOM kẻ đường cao OH . OH  SCD OH a . Đặt CM x . Khi đú OM x , A SM x 3 , H SO SM 2 x2 x 2 . a Ta cú: SM.OH SO.OM A D a 6 x 3.a x 2.x x M 2 O x CD a 6, SO a 3 B C 1 1 1 V .S .SO .CD2.SO .6a2.a 3 2a3 3 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Cõu 40. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú SA  ABCD . ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B biết AB 2a .AD 3BC 3a . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a biết gúc giữa SCD và ABCD bằng 600 . A. 2 6a3 .B. .C. 6 6 .D.a3. 2 3a3 6 3a3 Hướng dẫn giải: Trang 26/35
27. Dựng AM  CD tại M . S Ta cú: SãMA 600 . AD BC S .AB 4a2 ABCD 2 2 2 CD AD BC AB 2a 2 A D 1 S AB.BC a2 ABC 2 M 2 SACD SABCD SABC 3a B C 1 2S 3 2 S AM.CD AM ACD a ACD 2 CD 2 3 6 1 Ta cú: SA AM.tan SãMA a . V SA.S 2 6a3 . 2 S.ABCD 3 ABCD Cõu 41. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú SA  ABCD , ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B biết AB 2a .AD 3BC 3a . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a , biết khoảng cỏch từ 3 6 A đến mặt phẳng (SCD) bằng. a 4 A. 6 6a3 .B. .C. 2 6 .D.a3. 2 3a3 6 3a3 Hướng dẫn giải: Dựng AM  CD tại M . S Dựng AH  SM tại H . 3 6 Ta cú: AH a . 4 AD BC 2 SABCD .AB 4a H 2 A D CD AD BC 2 AB2 2a 2 1 M S AB.BC a2 ABC 2 2 B C SACD SABCD SABC 3a 1 2S 3 2 S AM.CD AM ACD a ACD 2 CD 2 1 1 1 AH.AM 3 6 Ta cú: 2 2 2 AS a AH AM AS AM 2 AH 2 2 1 V SA.S 2 6a3 S.ABCD 3 ABCD Cõu 42. Cho lăng trụ tam giỏc ABC.A' B 'C ' cú BB ' a , gúc giữa đường thẳng BB ' và ABC bằng ã 60 , tam giỏc ABC vuụng tại C và gúc BAC 60 . Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm B ' lờn ABC trựng với trọng tõm của ABC . Thể tớch của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng 13a3 7a3 15a3 9a3 A. .B. .C. .D. . 108 106 108 208 Hướng dẫn giải: Trang 27/35
28. Gọi M , N là trung điểm của AB, AC B' C' và G là trọng tõm của ABC . A' B 'G  ABC BãB ', ABC Bã ' BG 600 . 1 1 V .S .B 'G .AC.BC.B 'G A'.ABC 3 ABC 6 60 0 B Xột B ' BG vuụng tại G , cú Bã ' BG 60 C a 3 M G N B 'G . (nửa tam giỏc đều) 60 2 A Đặt AB 2x . Trong ABC vuụng tại C cú Bã AC 600 AB tam giỏc ABC là nữa tam giỏc đều AC x, BC x 3 2 3 3a Do G là trọng tõm ABC BN BG . 2 4 Trong BNC vuụng tại C : BN 2 NC 2 BC 2 3a AC 2 2 2 9a x 2 2 9a 3a 2 13 3x x x 16 4 52 2 13 3a 3 BC 2 13 1 3a 3a 3 a 3 9a3 Vậy, V . . . . A' ABC 6 2 13 2 13 2 208 Cõu 43. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ', biết đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a . Khoảng cỏch từ a tõm O của tam giỏc ABC đến mặt phẳng A' BC bằng .Tớnh thể tớch khối lăng trụ 6 ABC.A' B 'C ' . 3a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2 A. .B. .C. .D. . 8 28 4 16 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC , A' C' ta cú A' AM  A' BC theo giao tuyến A'M . Trong A' AM kẻ OH  A'M (H A'M ) . B' OH  A' BC a Suy ra: d O, A' BC OH . 6 A a2 3 H C S ABC . 4 O Xột hai tam giỏc vuụng A' AM và OHM cú M ả gúc M chung nờn chỳng đồng dạng. B Trang 28/35
29. a 1 a 3 . OH OM 1 3 Suy ra: 6 3 2 . A' A A'M A' A 2 2 A' A 2 A' A AM a 3 A' A2 2 a 6 a 6 a2 3 3a3 2 A' A . Thể tớch: V S .A' A . . 4 ABC.A'B'C ' ABC 4 4 16 VẬN DỤNG CAO Cõu 44. Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú M là trung điểm của SB ,N là điểm trờn cạnh SC sao cho NS 2NC . Kớ hiệu V1,V2 lần lượt là thể tớch của cỏc khối chúp A.BMNC và S.AMN . Tớnh tỉ V số 1 . V2 V 2 V 1 V V A. 1 B. 1 C. 1 2. D. 1 3 V 3 V 2 V V 2 2 2 2 Hướng dẫn giải S V SM SN 1 2 1 S.AMN   ; VS.ABC SB SC 2 3 3 M N VS.AMN VA.BMNC VS.ABC . V Suy ra, . A.BMNC 2 C VS.AMN A B Cõu 45. Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú M là trung điểm của SB ,N là điểm trờn cạnh SC sao cho NS 2NC , P là điểm trờn cạnh SA sao cho PA 2PS . Kớ hiệu V1,V2 lần lượt là thể tớch của V cỏc khối tứ diện BMNP và SABC . Tớnh tỉ số 1 . V2 V 1 V 3 V 2 V 1 A. . 1 B. . 1 C. . D. .1 1 V2 9 V2 4 V2 3 V2 3 Hướng dẫn giải Trang 29/35
30. 1 S d(N,(SAB)) SBMP VN.BMP 3 ; V 1 C.SAB d(C,(SAB)) S 3 SAB P d(N,(SAB)) NS 2 , d(C,(SAB)) CS 3 M N 1 1 1 SBPM SBPS  SSAB 2 2 3 C A VN.BMP 2 1 1 Suy ra,  . VC.SAB 3 6 9 B Cõu 46. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng 2a , gúc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45 , M , N và P lần lượt là trung điểm cỏc cạnh SA, SB và AB . Tớnh thể tớch V của khối tứ diện DMNP . a3 a3 a3 a3 A. V B. V C. V D. V 6 4 12 2 Hướng dẫn giải S SM SN 1 Ta cú: SMN  . SSAB SA SB 4 S S 1 S 1 Tương tự, BNP , AMP . SSAB 4 SSAB 4 S 1 M Suy ra MNP (cú thể khẳng định S 4 SAB N S 1 MNP A nhờ hai tam giỏc MNP và BAS D SSAB 4 1 P 45° là hai tam giỏc đồng dạng với tỉ số k ). O 2 V 1 B C Do đú D.MNP (1) VD.SAB 4 1 V V V . (2) D.SAB S.DAB 2 S.ABCD 1 1 4a3 1 1 4a3 a3 V SO.S OP.tan 45.S (3). Từ (1), (2) và (3): V . . . S.ABCD 3 ABCD 3 ABCD 3 DMNP 4 2 3 6 Cõu 47. Cho lăng trụ ABC.A B C cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B ,AC 2a ; cạnh bờn AA 2a . Hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AC . Tớnh thể tớch V của khối lăng trụ ABC.A B C . 1 a3 2a3 A. .V a3 B. . V C. . D. .V a3 V 2 3 3 Hướng dẫn giải Trang 30/35
31. A' B' Vỡ ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B nờn trung tuyến BH cũng là đường cao của nú, và C' 1 a 2 HB HA HC AC a . 2 A H A A2 AH 2 2a2 a2 a . A B 1 a V A H  S A H  BH  AC a3 a ABC.A B C ABC H 2 a C Cõu 48. Cho tứ diện ABCD cú cỏc cạnh AB, AC và AD đụi một vuụng gúc với nhau. Gọi G1,G2 ,G3 và G4 lần lượt là trọng tõm cỏc mặt ABC, ABD, ACD và BCD . Biết AB 6a, AC 9a , AD 12a . Tớnh theo a thể tớch khối tứ diện G1G2G3G4 . A. 4a3 B. C. D. a3 108a3 36a3 Hướng dẫn giải Trong trường hợp tổng quỏt, ta chứng D 1 minh được VG G G G VABCD . 1 2 3 4 27 Thật vậy, G3 ta cú (G2G3G4 ) P(CBA) và VG G G ) : VCBA (tỉ số đồng dạng G2 2 3 4 G4 A C 1 S 1 k ) . Từ đú: G2G3G4 k 2 và G1 3 SCBA 9 M d(G1,(G2G3G4 )) d(G4 ,(ABC)) 1 1 d(D,(ABC)) (do G M DM ) B 3 4 3 V d(G ,(G G G )) S 1 1 1 Suy ra G1G2G3G4 1 2 3 4  G2G3G4  VABCD d(D,(ABC)) SCBA 3 9 27 1 1 1 V V  .AB.AC.AD 4a3 G1G2G3G4 27 ABCD 27 6 Cõu 49. Cho tứ diện ABCD cú AB CD 11m , BC AD 20m , BD AC 21m . Tớnh thể tớch khối tứ diện ABCD . A. 360m3 B. C. D. 720m3 770m3 340m3 Hướng dẫn giải Trang 31/35
32. Dựng tam giỏc MNP sao cho C, B, D lần lượt là trung điểm cỏc A cạnh MN, MP, NP. Do BD là đường trung bỡnh tam 1 giỏc MNP nờn BD MN hay z x 2 11 1 20 21 AC MN . 2 y Tam giỏc AMN vuụng tại A (do B cú trung tuyến bằng một nửa M P 21 20 cạnh tương ứng), hay 11 AM  AN . Tương tự, C D AP  AN và N AM  AP . 1 1 1 1 Ta cú S S , S S , S S .Suy ra S S . MBC 4 MNP NCD 4 MNP BPD 4 MNP BCD 4 MNP x2 y2 4.202 1 AM AN AP 2 2 2 Từ đú, VABCD VAMNP . Đặt x , y , z . Ta cú y z 4.21 , 4 m m m 2 2 2 x z 4.11 x2 160 2 1 1 3 suy ra y 1440 xyz 1440 VABCD VAMNP 360m 6 4 2 z 324 1 (AM, AN, AP đụi một vuụng gúc nờn V AM.AN.AP ) AMNP 6 2 V (a2 b2 c2 )(a2 b2 c2 )( a2 b2 c2 ) 12 Cõu 50. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy là vuụng; mặt bờn (SAB) là tam giỏc đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy. Biết khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng 3 7a . Tớnh thể tớch V của khối chúp S.ABCD . 7 1 2 3a3 A. .V a3 B. . V aC.3 . D. . V a3 V 3 3 2 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH là chiều cao khối chúp đó cho. Kớ hiệu x là độ dài cạnh đỏy. 3 3 Ta cú SH x và V x3 . 2 S.ABCD 6 Kẻ HK  CD (K CD) ; Kẻ HL  SK (L SK) . Suy ra HL  (SCD) và Trang 32/35
33. d(A,(SCD)) d(H,(SCD)) S HS  HK 21 HL x HS 2 HK 2 7 L A D H K X B C 21 3 7a 3 3 3 Theo gt, x x a 3 . Suy ra V x3 (a 3)3 a3 7 7 S.ABCD 6 6 2 Cõu 51. Cho tứ diện S.ABC , M và N là cỏc điểm thuộc cỏc cạnh SA và SB sao cho MA 2SM , SN 2NB , ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kớ hiệu (H1) và (H2 ) là cỏc khối đa diện cú được khi chia khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng ( , )trong đú, (Hchứa1) V1 điểm S , (H2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tớch của (H1) và (H2 ) . Tớnh tỉ số . V2 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3 Hướng dẫn giải Kớ hiệu V là thể tớch khối tứ diện SABC . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của ( ) với cỏc đường thẳng BC , AC . Ta cú NP//MQ//SC . Khi chia khối (H1) bởi mặt phẳng (QNC) , ta được hai khối chúp N.SMQC và N.QPC . VN.SMQC d(N,(SAC)) SSMQC Ta cú:  ; S VB.ASC d(B,(SAC)) SSAC d(N,(SAC)) NS 2 ; d(B,(SAC)) BS 3 M 2 SAMQ AM 4 SSMQC 5 . SASC AS 9 SASC 9 V 2 5 10 N Suy ra N.SMQC  VB.ASC 3 9 27 C A Q VN.QPC d(N,(QPC)) SQPC  P B VS.ABC d(S,(A BC)) SABC NB CQ CP 1 1 2 2     SB CA CB 3 3 3 27 V V1 N.SMQC VN.QPC 10 2 4 V1 4 V1 4 5V1 4V2 V VB.ASC VS.ABC 27 27 9 V1 V2 9 V2 5 Cõu 52. Cho hỡnh chúp S.ABC cú chõn đường cao nằm trong tam giỏc ABC ; cỏc mặt phẳng (SAB) , (SAC) và (SBC) cựng tạo với mặt phẳng (ABC) cỏc gúc bằng nhau. Biết AB 25 , BC 17 , AC 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đỏy một gúc bằng 45 . Tớnh thể tớch Vcủa khối chúp S.ABC . Trang 33/35
34. A VB. .C.40.D.8 . V 680 V 578 V 600 Hướng dẫn giải Gọi J là chõn đường cao của hỡnh chúp S S.ABC; H, K và L lần lượt là hỡnh chiếu của J trờn cỏc cạnh AB, BC và CA . Suy ra, Sã HJ , Sã LJ và Sã KJ lần lượt là gúc tạo bởi mặt phẳng (ABC) với cỏc mặt phẳng (S AB) , (SBC) và (SAC) . Theo giả thiết, ta cú Sã HJ Sã LJ Sã KJ , suy ra cỏc tam giỏc z=17 K y=9 vuụng SJH, SJL và SJK bằng nhau. Từ đú, A C z=17 J JH JL JK . Mà J nằm trong tam giỏc y=9 H ABC nờn J là tõm đường trũn nội tiếp tam L x=8 giỏc ABC. x=8 Áp dụng cụng thức Hờ-rụng, ta tớnh được B diện tớch S của tam giỏc ABC là S 204 . Kớ hiệu p là nửa chu vi tam giỏc ABC, r là z K y C bỏn kớnh đường trũn nội tiếp của ABC. Ta cú A S 204 r 6 . Đặt x BH BL , y p 34 z J y CL CK , z AH AK . L x y 17 H x Ta cú hệ phương trỡnh x z 25 . x y z 26 B Giải ra được (x; y; z) (8;9;17) JB JH 2 BH 2 62 82 10 . Ta cú Sã BJ (SãB,(ABC)) 45 , suy ra SJB là tam giỏc vuụng cõn tại J. SJ JB 10 . 1 Thể tớch V của khối chúp S.ABC là V SJ.S 680 3 ABC Trang 34/35