Đề cương ôn tập thi môn Hình học Lớp 12 - Chủ đề 2: Mặt cầu, mặt nón, mặt trụ

Nội dung text: Đề cương ôn tập thi môn Hình học Lớp 12 - Chủ đề 2: Mặt cầu, mặt nón, mặt trụ

1. CHỦ ĐỀ 2. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. MẶT NÓN Hình 1 Hình 2 1/ Mặt nón tròn xoay Trong mặt phẳng P , cho 2 đường thẳng d , cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc  với 00  900 . Khi quay mp P xung quanh trục với góc  không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1).  Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.  Đường thẳng gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2 gọi là góc ở đỉnh. 2/ Hình nón tròn xoay Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).  Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.  Hình tròn tâm I , r IM là bán kính đáy của hình nón. 3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáyr và đường sinh là l thì có:  Diện tích xung quanh: Sxq .r.l Þ Diện tích toàn phần hình nón: Stp = Sxq + Sð . 2  Diện tích đáy (hình tròn): Sð .r 1 1  Thể tích khối nón: V S .h .r2 .h . non 3 ð 3 4/ Tính chất:  TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(P) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp(P) cắt mặt nón theo 2 đường sinh Thiết diện là tam giác cân. + Nếu mp(P) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.  TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp(Q) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: +Nếu mp(Q )vuông góc với trục hình nón giao tuyến là một đường tròn.
2. +Nếu mp(Q )song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol. +Nếu mp(Q )song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là 1 đường parabol. II. MẶT TRỤ 1/ Mặt trụ tròn xoay Trong mp P cho hai đường thẳng và l song song nhau, cách nhau ∆ một khoảng r . Khi quay mp P quanh trục cố định thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. A r l  Đường thẳng được gọi là trụC.  Đường thẳng l được gọi là đường sinh. D  Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ. 2/ Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhậtABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnhAB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.  Đường thẳngAB được gọi là trụC. B r  Đoạn thẳngCD được gọi là đường sinh. C  Độ dài đoạn thẳng AB CD h được gọi là chiều cao của hình trụ.  Hình tròn tâm A , bán kính r AD và hình tròn tâm B , bán kính r BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.  Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ. 3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao làh và bán kính đáy bằngr , khi đó:  Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2 rh 2  Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp Sxq 2.SÐay 2 rh 2 r  Thể tích khối trụ: V B.h r2h 4/ Tính chất: Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là )r bởi một mp vuông góc với trục thì ta được đường tròn có tâm trên và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó. Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là )r bởi một mp không vuông góc với trục nhưng cắt tất 2r cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng , trong sin đó là góc giữa trục và mp với 00 900 .  Cho mp song song với trục của mặt trụ tròn xoay và cách một khoảng d . +Nếu d r thì mp cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện là hình chữ nhật. + Nếu d r thì mp tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
3. + Nếu d r thì mp không cắt mặt trụ. III. MẶT CẦU 1/ Định nghĩa Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S O; R . Khi đó S O; R M | OM R 2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu Cho mặt cầu S O; R và một điểmA bất kì, khi đó:  Nếu OA R A S O; R . Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán kính sao   cho OA OB thì đoạn thẳng AgọiB là một đường kính của mặt cầu. B  Nếu OA R Anằm trong mặt cầu.  Nếu OA R Anằm ngoài mặt cầu. O M Khối cầu S O; R là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM R . A 3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu A Cho mặt cầu S O; R và một mp P . Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp P và H là hình chiếu của O trên mp P d OH .  Nếu d R mp P cắt mặt cầu S O; R theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp P có tâm là H và bán kính r HM R2 d 2 R2 OH 2 (hình a).  Nếu d R mp P không cắt mặt cầu S O; R (hình b).  Nếu d R mp P có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu S O; R tiếp xúc mp P . Do đó, điều kiện cần và đủ để mp P tiếp xúc với mặt cầu S O; R là d O, P R (hình c). d d = Hình a Hình b Hình c 4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu d d =
4. Cho mặt cầu S O; R và một đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng vàd OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng . Khi đó:  Nếu d R không cắt mặt cầu.S O; R  Nếu d R cắt mặt cầuS O; R tại hai điểm phân biệt.  Nếu d R và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu làd d O, R . Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S O; R thì:  QuaA có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S O; R .  Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.  Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S O; R . 5/ Diện tích và thể tích mặt cầu 4 • Diện tích mặt cầu: S 4 R2 . • Thể tích mặt cầu: V R3 . C C 3 B. BÀI TẬP ÁP DỤNG ( Nguyễn Văn Lành-THPT Nguyễn Khuyến ) Câu 1. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 3R 2 3R A. a 2 3R B. a C. Da. 2R a 3 3 Câu 2. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông tại C, AB vuông góc với mặt phẳng (BCD), AB = 5a, BC = 3a và CD = 4a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 5a 2 5a 3 5a 2 5a 3 A. R B. R .C. R . D. R . 3 3 2 2 Câu 3. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 5a 17a 13a A. R B. R C. R D. R 6a 2 2 2 Câu 4. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất. A. V 144 B. V 576 C. V 576 2 D. V 144 6 Câu 5. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r =4 và chiều cao h 4 2 . A. V 128 B. V 64 2 C. V 32 D. V 32 2 Câu 6. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và có độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy. 5 2 5 2 A. r B. r 5 C. r 5 D. r 2 2
5. Câu 7. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AD = 8, CD = 6, AC’ = 12. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’. A. BS.tp 576 Stp 10 2 11 5 C. Stp 26 D. Stp 5 4 11 5 Câu 8. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho khối nón có bán kính đáy r 3 và chiều cao h = 4. Tính thể tích V của khối nón đã cho. 16 3 A. V B. V 4 C. V 16 3 D. V 12 3 Câu 9. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình nón có bán kính đáy r 3 và độ dài đường sinh l = 4. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đã cho. A. Sxq 12 B. Sxq 4 3 C. Sxq 39 D. Sxq 8 3 Câu 10. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a 2 . Tính thể tích V của khối nón đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. a3 2 a3 a3 2 a3 V V V V A. 2 B. C. 6 D.6 2 Câu 11. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính diện tích xung quanh Sxq của (N). 2 2 2 2 A. Sxq 6 a B. Sxq 3 3 a C. Sxq 12 a D. Sxq 6 3 a Câu 12. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và ·ACB 30 . Tính thể tích V của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC. 3 a3 3 a3 A. V B. V 3 a3 C. V D. V a3 3 9 Câu 13. (ĐỀ THI THPT QG 2017) Cho hình nón (N) có đường sinh tạo với đáy góc 60 o. Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể tích V của khối nón giới hạn bởi (N). A. V 9 3 B. V 9 C. DV. 3 3 V 3 Câu 14( 101/2018). Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng 3mm và chiều cao bằng 200mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lỗi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính. Giả định lm3 gỗ có giá 1 (triệu đồng), 1m3 than chì có giá là 8a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 9(đồng),7.a B. 97(đồng),03.a C. (đồng)90, 7.a D. (đồng)9,07.a