Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 12 - Chương III: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 12 - Chương III: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng

1. CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN. ỨNG DỤNG BÀI 1. NGUYÊN HÀM I. NHẬN BIẾT Câu 1.1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây. 1 1 A. dx = - tan x + C. B. dx = tan x + C. ò cos2 x ò cos2 x 1 1 C. dx = - cot x + C. D. dx = cot x + C. ò cos2 x ò cos2 x Câu 2.1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây. 3x 3x+ 1 A. 3x dx = + C. B. 3x dx = + C. ò ln 3 ò x + 1 C. ò 3x dx = 3x + C. D. ò 3x dx = 3x.ln 3 + C. Câu 3.1. Cho hai hàm số f x và g x liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ? A. f x dx f x C. B. kf x dx k f x dx , k ¡ \ 0. C. f x .g x dx f x dx g x dx. D. f x .g x dx f x dx. g x dx. Câu 4.1. Nếu u x và v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì A. u x .v x dx u x .v x u x .v x dx. B. u x .v x dx u x .v x u x .v x dx. C. D. u x .v x dx u x .v x u x .v x dx. u x .v x dx u x .v x u x .v x dx. Câu 5.1. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 5x 4 + 2019 là x 5 A. x 5 + 2019x + C. B. + 2019x + C. C. 25x + C. D. x 5 + C. 5 Câu 6.1. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x + 5cosx là x 2 A. 2 - sin x + C. B. x 2 + 5sin x + C. C. + 5sin x + C. D. 2 - cosx + C. 2 Câu 7.1.Công thức tìm nguyên hàm nào sau đây là đúng ? x 1 dx A. B.x dx C; ¡ . ln x C ; x ¡ . 1 x Trang 1
2. dx C. kf x dx k f x dx. D. ln ln x C ; x 1. x ln x Câu 8.1. Giả sử f x là hàm số liên tục trên a;b và F(x);G(x) là nguyên hàm của f x . Chọn phương án đúng A. B.F x G(x);x không a;b là. hàm hằng trên F x G x a;b . C. C ¡ sao cho D.F x G x C. F ' x G '(x);x a;b . Câu 9.1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = sin 3x - 1 1 A. F(x) = cosx B. F(x) = - cos3x C. F(x) = - 3cos3x D. F(x) = - 3cosx 3 3 Câu 10.1. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = x 2 + co sx là x 3 x 3 A. 3x 2 - sin x + C. B. - sin x + C. C. + sin x + C. D. 3x 2 + sin x + C. 3 3 II. THÔNG HIỂU x 4 Câu 1.2. Biết rằng nguyên hàm của hàm số 2x 3 9sin 3x 1 dx bcos3x x C , với a,b là a các số nguyên. Tính S a b A. B.S = 7. S = 5. C. D.S = 1. S = - 1. 3 Câu 2.2. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 2.ex 2019 bằng cách đặt t x 3 2019 . Khẳng định nào dưới đây là đúng ? 1 A. f x dx etdt. B. f x dx 3 e C.tdt . f x dx 2D.e tdt. f x dx etdt. 3 Câu 3.2. Tìm nguyên hàm 5x 2 exdx bằng cách đặt u 5x 2,dv exdx . Khẳng định nào dưới đây là đúng ? A. 5x 2 exdx 5x 2 ex exdx. B. 5x 2 exdx 5x 2 ex 5 exdx. C. 5x 2 exdx 5x 2 ex 5 exdx. D. 5x 2 exdx 5x 2 ex exdx. Câu 4.2. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2x 2 + x 3 - 4 và F (0) = 0 . Tính F (1) 37 12 12 37 A. F (1) = . B. F (1) = - . C. F (1) = . D. F (1) = - . 12 37 37 12 Trang 2
3. a Câu 5.2. Cho hàm số f (x) = (2x - 3)5 có một nguyên hàm là hàm số F(x) = (2x - 3)c + 11, với b a a,b,c là các số nguyên và là phân số tối giản. Tính P = a + b + c. b A. P = 19. B. P = 26. C. P = 11. D. P = 32. Câu 6.2. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây. 1 1 æ pö 1 1 æp ö A. dx = cot ç3x - ÷+ C. B. dx = cot ç - 3x÷+ C. ò æ ö ç ÷ ò æ ö ç ÷ 2 çp ÷ 3 è 3ø 2 çp ÷ 3 è3 ø cos ç - 3x÷ cos ç - 3x÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ 1 1 æ pö 1 1 æp ö C. dx = tanç3x - ÷+ C. D. dx = tanç - 3x÷+ C. ò æ ö ç ÷ ò æ ö ç ÷ 2 çp ÷ 3 è 3ø 2 çp ÷ 3 è3 ø cos ç - 3x÷ cos ç - 3x÷ èç3 ø÷ èç3 ø÷ Câu 7.2. Tính sin 2x dx.kết quả là 3 1 1 A. cos 2x C. B. C.c D.os 2x C. cos 2x C. cos 2x C. 2 3 2 3 3 3 Câu 8.2. Các khẳng định nào sau đây là sai ? / A. B. f x dx F(x) C f t dt F(t) C. f x dx f x . C. f x dx F(x) C f u dx F(u) C. D. kf x dx k f x dx (k là hằng số). Câu 9.2. I = ò 2x x 2 - 1dx , Đặt u = x 2 - 1 ta được. 1 A. I = udu B. C.I = 2 udu D.I = udu I = - udu ò ò 2 ò ò æ ö çp÷ Câu 10.2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) sin x cos x thỏa mãn F ç ÷= 2 . èç2ø÷ A. F(x) = cosx - sin x + 3. B. F(x) = - cosx + sin x + 3. C. F(x) = - cosx + sin x - 1. D. F(x) = - cosx + sin x + 1. III. VẬN DỤNG Trang 3
4. Câu 1.3. Cho F x x2 là một nguyên hàm của hàm số f x e2x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ' x e2x . A. f ' x e2xdx x2 2x C. B. f ' x e2xdx x2 x C. C. f ' x e2xdx 2x2 2x C. D. f ' x e2xdx 2x2 2x C. 1 f x Câu 2.3. Cho F x là nguyên hàm của hàm số trên khoảng 0; . Tìm nguyên hàm của x x 4 1 hàm số f x .sin x trên 0; . 2 1 1 1 1 A. B. f x .sin x.dx x cosx sin x C. f x .sin x.dx x cosx sin x C. 2 2 2 2 1 1 C. D. f x .sin x.dx x cosx sin x C. f x .sin x.dx x cosx sin x C. 2 2 Câu 3.3. Cho hàm số làF (mộtx) nguyên hàm của hàm số f (x) = x ln(x thỏa- 1 )mãn F(2) = 3. Biết F(x) = a(x 2 - 1) ln(x - 1) + b(x + 1)2 + c, với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính P = 5a + b + 4c. 81 93 91 95 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 4 4 4 4 Câu 4.3. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f (x) = 4x3 + 2(m - 1)x + m + 5 với m là tham số thực. Biết rằng F(1) = 8 , F(0) = 1 . Khi đó một nguyên hàm của f (x) là A. F(x) = x4 + 2x3 + 6x + 1. B.F(x) = x4 + 6x + 1. C. F(x) = x4 + 2x2 + 1. D.F(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 6x + 1. Câu 5.3. Tìm nguyên hàm ò(3x + 1)exdx bằng cách đặt u = 3x + 1,dv = exdx . Khẳng định nào dưới đây là đúng ? A. ò(3x + 1)exdx = (3x + 1)ex - òexdx. B. ò(3x + 1)exdx = (3x + 1)ex - 3òexdx. C. ò(3x + 1)exdx = (3x + 1)ex + 3òexdx. D. ò(3x + 1)exdx = (3x + 1)ex + òexdx. Trang 4
5. BÀI 2. TÍCH PHÂN I. NHẬN BIẾT Câu 1.1. Cho hàm số g x liên tục trên ¡ và G x là một nguyên hàm của hàm số f x , biết 2 G 1 2;G 2 3. Tính I g x dx. 1 A. I = 1. B. I = - 1. C. I = - 5. D. I = 5. c c b Câu 2.1. Cho f x dx 12 và f x dx 5 , với a b c . Tính I f x dx. a b a A. B.I =C.7 . I = - 17. I = 17. D. I = - 7. 2019 Câu 3.1. Tính tích phân I 5xdx . 0 52020 - 1 52019 - 1 1- 52019 1- 52020 A. B.I = . I = . C. D.I = . I = . ln 5 ln 5 ln 5 ln 5 1 Câu 4.1. Tính tích phân I x cosxdx bằng cách đặt u x;dv cosxdx . Khẳng định nào dưới đây là 0 đúng ? 1 1 1 1 A. B.I = x.cosx - sin xdx. I = x.cosx + sin xdx. 0 ò 0 ò 0 0 1 1 1 1 C. I = x.sin x + sin xdx. D. I = x.sin x - sin xdx. 0 ò 0 ò 0 0 Câu 5.1. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và a,b là hai số thuộc ¡ . Nếu F là một nguyên hàm của f trên ¡ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây. b b A. f (x)dx = F(a) - F(b). B. f (x)dx = F(a)F(b). òa òa b b C. f (x)dx = F(b) - F(a). D. f (x)dx = F(b) + F(a). òa òa Câu 6.1. Cho hai hàm số f ,g liên tục trên ¡ và a,b,c là các số thực thỏa mãn a < c < b. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây. a b a A. B. f (x)dx = 0. f (x)dx = - f (x)dx. òa òa òb b c b b b a C. f (x)dD.x = f (x)dx + f (x)dx. éf (x) + g(x)ùdx = f (x)dx + g(x)dx. òa òa òc òa ëê ûú òa òb Trang 5
6. Câu 7.1. Cho hai hàm số u = u(x),v = v(x) liên tục trên ¡ và a,b là các số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây. b b b b b b A. udv = (uv) - vdu. B. udv = (uv) + vdu. òa a òa òa a òa b b b b b b C. udv = (uv) - udv. D. udv = (uv) + udv. òa a òa òa a òa Câu 8.1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây. 243 1 243 1 243 1 243 1 A. dx = 2ln 9. B. dx = 3ln 9. C. dx = 2ln 3. D. dx = 3ln 3. ò3 x ò3 x ò3 x ò4 x 1 Câu 9.1. Tính tích phân I = ò(1+ x + x 3)dx . 0 7 9 5 11 A. I = . B. I = - . C. I = . D. I = . 4 4 4 4 3 Câu 10.1. Tính tích phânI = ò(t 4 + 12t 3 - 1)dt. 0 1343 262 1443 1432 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 5 5 5 5 p Câu 11.1. Tính tích phân I = ò cosxdx. 0 A. I = - 1. B. I = 0. C. I = 1. D. I = 2. 1 Câu 12.1. Tính tích phân I = òexdx. 0 A. I = 2e - 1. B. I = e. C. I = e - 2. D. I = e - 1. Câu 13.1. Cho f x là một hàm số liên tục trên a;b ; khẳng định nào sau đây là sai ? b A. Kí hiệu f x dx là tích phân của hàm f x trên đoạn a;b. a b B. Kí hiệu f x dx là tích phân của hàm f x từ a đến b. a b C. Giá trị f x dx là một số không phụ thuộc x. a b D. f x dx là một hàm số phụ thuộc x. a Câu 14.1. Công thức nào sau đây là sai ? Trang 6
7. a b a A. B. f x dx 0. f x dx f x dx. a a b b c c b b C. D .f x dx f x dx f x dx. f kx dx k f x dx. a a b a a ln x Câu 15.1. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x . Tính I F(e) F(1). x 1 1 A.I e. B.I . C. I . D. I 1. e 2 2 2 Câu 16.1. Cho f x dx 5 .Tính I f x 2sin x dx. 0 0 A. I 7. B.I 5 . C.I 3. D. I 5 . 2 p 2 Câu 17.1. Tính tích phân I = òco sxdx. 0 A. I = - 1. B. I = 0. C. I = 1. D. I = 2. p 4 2dx Câu 18.1. Tính tích phân I = . ò 2 0 cos x A. I = 2. B. I = - 2. C. I = 1. D. I = - 1. 1 Câu 19.1. Tính I = òexdx 0 A. I = 1. B. I = 1- e. C. I = e. D. I = e - 1. 1 Câu 20.1. Tính tích phânI = ò(t 3 + 3t 2 - 2)dt. 0 3 3 A. I = 2. B. I = - . C. I = . D. I = - 2. 4 4 Trang 7
8. II. THÔNG HIỂU p 4 Câu 1.2. Cho ò(2cosx - sin 2x)dx = a + b 2, với a,b là các số hữu tỉ. Tính P = 2a + 3b. 0 A. P = - 2. B. P = - 1. C. P = 1. D. P = 2. 1 æ 1 2 ö Câu 2.2. Cho ç - ÷dx = a ln 2 + bln 3,với a,b là các số nguyên. Tính 2a + b. òçx + 1 x + 2÷ 0 è ø A. 1. B. 4. C. 2. D. 5. e Câu 3.2. Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên ¡ thỏa mãn f (e) = 3 và f ¢(x)dx = 2. Tính f (1). ò1 A. f (1) = 1. B. f (1) = - 1. C. f (1) = 5. D. .f (1) = - 5. b Câu 4.2. Cho hàm số f liên tục trên ¡ và a,b,c là các số thực thỏa mãn f (x)dx = - 5 và òa c c f (x)dx = 4. Tính f (x)dx. òa òb c c c c A. f (x)dx = 1. B. f (x)dx = - 1. C. f (x)dx = 9. D. f (x)dx = - 9. òb òb òb òb 1 1 1 Câu 5.2.Cho dx a ln 2 bln 3. với a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 0 x 1 x 2 A.a b 2. B.a 2b 0. C.a b 2. D. a 2b 0. ln5 dx Câu 6.2. Đặt I và t ex . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? x x ln3 e 2e 3 1 t A. I ln3 ln 2. B. ex 2e x 3 t 1 t 2 5 1 1 1 1 t 2 C.I dt D. dt ln C t 2 t 1 t 1 3 t 2 t 1 2 2 3 17 Câu 7.2. Tìm m sao cho m 4 m x 4x dx ; giá trị m bằng 1 2 1 1 1 A. B.m C1. . m . m 1;m . D. m 1;m . 2 2 2 Câu 8.2. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau 1 A.Hàm số f (x) có tích phân trên đoạn 0;2. x 2 Trang 8
9. 1 B. Hàm số f (x) không có tích phân trên đoạn 0;1. x 2 C. Nếu f x không liên tục trên đoạn a;b thì f x có tích phân trên a;b. D. Nếu f x liên tục trên đoạn a;b thì f x có tích phân trên a;b. 3 7 a c a c Câu 9.2. Biết rằng tích phân I dx ln , với a,b,c,d là các số nguyên và , là hai phân 2 3x 1 b d b d c b số tối giản. Tính H . d a 13 19 A. B.H C.= - 1. H = . H = 1. D. H = - . 7 21 5 ln 4 Câu 10.2. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x dx 12 . Tính tích phân f ex 1 exdx . 2 0 A. I 12. B. C. I 1D.3. I 11. I 6. 1 Câu 11.2. Cho x 2 exdx aeb c, a,b,c ¤ . Tính S a2 b2 c2. 0 A. S 1. B. C. S D.0 . S 11. S 6. 2 3x 8 Câu 12.2. Cho dx a ln 3 bln 4 c ln 5 . Tính tổng S a b c. 1 x 2 x 3 A. S = 0. B.S = 2. C. S 3. D. S = 4. 3 Câu 13.2. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn é1;3ù , f (1) = 1 và f (3) = 4 . Tính I = f '(x)dx ëê ûú ò 1 A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 4. 1 1 Câu 14.2. Cho g x dx = 2019 . Khi đó ég x - x 3 ùdx bằng ò ( ) ò ëê ( ) ûú 0 0 8075 1 A. 2019. B. . C. 2018. D. . 4 4 9 6 Câu 15.2. Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ . Biết f (x)dx = 15, f (x)dx = 10 . Đặt ò0 ò0 9 f (x)dx = m , tính 2m 1. ò6 A. 9. B. 49. C. 5. D. 17. p 2 Câu 16.2. Cho I = ò sin 5x.cosxdx . Đặt t = sinx , ta có I bằng 0 Trang 9
10. p 1 1 1 2 A. òt 5 1- t 2dt. B. òt 4dt. C. òt 5dt. D. ò t 3 1- t 2dt. 0 0 0 0 2 Câu 17.2. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn é1;2ù , f (1) = 3 và f (2) = 10 . Tính I = f '(x)dx . ëê ûú ò 1 A.I = 30. B.I = 13. C.I = 7. D.I = - 7. p p 2 2 é ù Câu 18.2. Cho ò f (x) = 1. Tính I = ò ëêsin x + 2f (x)ûúdx. 0 0 p p A. I = 2 + . B. I = 1+ . C. I = 1. D. I = 3. 2 2 6 2 Câu 19.2. Cho ò f (x)dx = 18 . Tính I = ò f (3x)dx . 0 0 A. I = 6. B. I = 36. C. I = 3. D. I = 54. b c Câu 20.2. Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ . Biết f (x)dx = 4, f (x)dx = 5 và a < b < c, tính òa òa c f (x)dx. òb c c c c A. f (x)dx = 1. B. f (x)dx = - 1. C. f (x)dx = 9. D. f (x)dx = - 9. òb òb òb òb II. VẬN DỤNG 2 x 1 Câu 1.3. Biết I dx ln lna b c , với a,b,c là các số nguyên dương. Tính giá trị của 2 1 x x ln x biểu thức P a b c. A. B.P = 3. P = 4. C. D.P = 5. P = 7. 2 ln x b b Câu 2.3. Cho dx = a ln 2 + với a là các số thực, là phân số tối giàn. Tính giá trị biểu thức ò 2 1 x c c L = 2a + 3b + c. A. L = 4. B. L = - 6. C. L = 6. D. L = 5. Trang 10
11. e 1 xex ee b Câu 3.3. Cho I dx aln . Tính giá trị a b x e 1 x e ln x A.3. B. 1. C.2. D. 0. p a c a c Câu 4.3. Cho 2 (x + sin2 x)cosxdx = + p, với a,b,c,d là các số nguyên, b > 0 và , là ò0 b d b d các phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức P = a + 2b + c + d. A. P = 7. B. P = 2. C. P = 6. D. P = 5. 1 æ 1 1 ö Câu 5.3. Choç - ÷dx = a ln 2 + bln 3 với a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây òçx + 1 x + 2÷ 0 è ø đúng? A.a + b = 2 B.a - 2b = 0 C.a + b = - 2 D.a + 2b = 0 IV. VẬN DỤNG CAO 1 21 1 1 Câu 1.4. Cho số f liên tục trên ¡ thỏa mãn f 2(x)dx = , x 3f (x 2)dx = 1. Tính f (x)dx. ò0 4 ò0 ò0 1 1 1 2 1 3 1 4 A. f (x)dx = . B. f (x)dx = . C. f (x)dx = . D. f (x)dx = . ò0 2 ò0 3 ò0 4 ò0 5 1 Câu 2.4. Để tính I ln x x2 1 dx một học sinh đã thực hiện các bước sau 0 2 u ln x x 1 I. Đặt . dv dx 1 u ' Ta có x2 1 v x 1 1 1 II. I uv'dx uv vu 'dx 0 0 0 1 III. I xln x x2 1 x2 1 ln 1 2 1 2 0 Lập luận trên sai ở bước nào ? A.I.B.II. C.III.D. Không có bước nào sai. Trang 11
12. Câu 3.4. Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn x + f 3(x) + 2f (x) = 1với 1 x Î ¡ . Tính I = f (x)dx. ò- 2 7 7 7 5 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 4 2 3 4 2 dx Câu 4.4. Biết I = ò = a - b - c với a , b , c là các số nguyên dương. Tính 1 (x + 1) x + x x + 1 P = a + b + c A. .P = 24 B. . P = 12C. . D.P .= 18 P = 46 BÀI 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I. NHẬN BIẾT Câu 1.1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng Diệnx = atích,x = củab. hình S được tính (H) theo công thức b b b b A. S = ò f (x)dx . B. S = ò f (x)dx. C. S = ò f (x) dx. D. S = - ò f (x)dx. a a a a Câu 2.1. Cho hai hàm số y = f (x),y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f (x),y = g(x) trục hoành và hai đường thẳng Diệnx = tícha,x = b. S của hình (H) được tính theo công thức b b A. é ù B. S = f (x) - g(x) dx. S = ò ëêf (x) - g(x)ûúdx . ò a a b b C. é ù D. S = f (x) + g(x) dx. S = ò ëêf (x) + g(x)ûúdx . ò a a Câu 3.1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng xThể= tícha,x = bcủa. khối trònV xoay do hình (H) quay quanh trục hoành sinh ra được tính theo công thức b b b b é ù2 é ù2 A. V = ò f (x)dx. B. V = pò f (x)dx. C. V = ò ëêf (x)ûúdx. D. V = pò ëêf (x)ûúdx. a a a a Trang 12
13. Câu 4.1. Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b (a < b). Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a £ x £ b) .Giả sử S = S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Thể tích V của vật thể B là b 2 b 2 b b A. V = p éS(x)ùdx. B. V = éS(x)ùdx. C. V = p S(x)dx. D. V = S(x)dx. òa ëê ûú òa ëê ûú òa òa Câu 5.1. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1; 3 . Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 1 , x 3 . Diện tích S của hình phẳng H là 3 3 3 3 2 A. B.S = f x dx. S = f x dx. C. D.S = f x dx . S = p éf x ùdx. ò ( ) ò ( ) ò ( ) ò ëê ( )ûú - 1 - 1 - 1 - 1 Câu 6.1. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích S của hình phẳng H là b c c A.S = ò f (x)dx. B. S = ò f (x)dx + ò f (x)dx a a b c b b C. S = - ò f (x)dx + ò f (x)dx D. S = ò f (x)dx . a c a Câu 7.1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y x x , trục hoành và hai đường thẳng x 1,x 9 quay quanh trục Ox được tính theo công thức 9 9 9 9 A. V = pò x 3dx. B. VC. =D. ò x xdx. . V = pò x x dx. V = ò x 3dx. 1 1 1 1 Câu 8.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x 2 4x và trục hoành là Trang 13
14. 32 16 A. S = . B. C.S =D.1 6. S = 32. S = . 3 3 Câu 9.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2x 2 2x , trục hoành và hai đường thẳng x 1,x 0 bằng 2 1 4 A. . B. . C. . D. 2. 3 3 3 Câu 10.1. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục trên y f1 x ,y f2 x [a;b] và hai đường thẳng x a,x b . Diện tích S của hình (H) là b b A. B.S f x f x dx. S f x f x dx. 1 2 1 2 a a b b b C. DS. f x f x dx. S f x dx f x dx. 1 2 1 2 a a a Câu 11.1. Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y tan x, y 0, x 0,x xung quanh trục Ox 4 2 ln 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 4 4 4 2 Câu 12.1. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đường các y x x 2,y 0 . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình H xung quanh trục Ox là 1 1 A. B. .C. . D. . . 30 6 6 30 Câu 13.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y xln2 x ; trục hoành ; hai đường thẳng x 1; x e 1 1 1 A. B. e2 1 . e2 1 . C. D. 1 e2 . e2 1. 4 4 4 Câu 14.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 và đường thẳng y 2x là 4 3 5 23 A. . B. C D. . . 3 2 3 15 Câu 15.1. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y ex , trục hoành và các đường thẳng x 0, x 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu? 2 2 e2 e 1 e2 1 e 1 A.V . B.V . C.V . D.V . 2 2 2 2 Trang 14
15. Câu 16.1. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng x a, x b(a b) quanh trục Ox b b b b A.V f x dx. B.V f 2 x dx. C.V f x dx. D.V f 2 x dx. a a a a Câu 17.1. Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục Ox và hai đường thẳng I = 3 b b b b A. S = ò f (x)dx B. S = ò f 2 (x)dx C. S = ò f (x)dx D. S = ò f (x)dx a a a a Câu 18.1. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b(a < b) xung quanh trục Ox b b b b A.V = pò f 2 (x)dx B.V = ò f 2 (x)dx C.V = pò f (x)dx D.V = ò f (x)dx a a a a Câu 19.1. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xex và các đường thẳng x = 1,x = 2, y = 0. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình D xung quanh trục Ox. A. V = p e2 B. V = 2pe2 C. y = f (x) D. V = (2 - e)p Câu 20.1. Tính diện tíchS của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ytrục= xhoành, và đường thẳng x = 4. 15 A.S = 4. B.S = 6. C.S = . D.S = 8. 2 II. THÔNG HIỂU Câu 1.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 + 3xtrục, hoành và các đường thẳng x = 1,x = 2 là 39 33 75 55 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 4 4 4 4 Câu 2.2. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x 3 + 3x 2 + 3x, trục hoành và đường thẳng x = 2 là 3 11 A. S= . B. S = . C. S = 2. D. S = 18. 4 4 Câu 3.2. Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = x 2 + 1 và y = x + 3. Tính thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng (H ) quanh trục Ox. Trang 15
16. 224 117 17 104 A. V = p. B. V = p. C. V = p. D. p. 15 5 15 15 1 Câu 4.2. Cho hình (H) giới hạn bới đồ thị của hàm số y = các, trục tọa độ và đường 2 + 3- x thẳng x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). A. 0,21. B . 0,13. C. 0,25. D. 0,18. Câu 5.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi góc phần tư thứ nhất ; giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 ; y x3 là 1 1 1 1 A. B C. D. . . . 9 10 11 12 Câu 6.2. Cho parabol P : y2 x và đường tròn C : x2 y2 8 . P chia C thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của hai phần đó. 9 2 9 2 9 2 9 2 A. B. C. . D. . . . 3 2 3 2 3 2 3 2 Câu 7.2. Cho đường cong C : y x . D là hình phẳng tạo bởi trục Oy và đường thẳng y m m 0 . 32 Cho D quay xung quanh Oy ta được một vật thể tròn xoay có thể tích V . Giá trị m bằng 5 A.m 1. B. m 2. C.m 3. D. m 4. Câu 8.2. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0, x 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 x 2) là một nửa hình tròn đường kính 5x2 A. 4 . B. C. . D. 3 . 2 . Câu 9.2. Cho phần vật thể  được giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x 0 và x 5Cắt. phần vật thể  bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x 5 , ta được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh lần lượt là x và x 2 4 . Thể tích V của phần vật thể  là 65 19 65 19 A. VB. = p. V = . C. V = . D. V = p. 4 3 4 3 Câu 10.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x 2 x 3 và đường thẳng y 2x 1 là 9 4 2 1 A. S . B. C. S D S . S . 2 5 3 6 Trang 16
17. Câu 11.2. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x 2 3x và trục hoành. Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng H quanh Ox là 81 9 81 9 A. V = p. B. VC. =D. . V = . V = p. 10 2 10 2 Câu 12.2. Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên đoạn a;b với a b . Kí hiệu S là 1 diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 12f x , y 3g x , x a , x b ; S 2là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 4f x 3 , y g x 3 , x a , x b . Khẳng định nào sau đây đúng? A. B.S1 = 12S2. S1 = 3S2. C. D.S1 = 3S2 - 2. S1 = 3S2 + 2. Câu 13.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 3x x 2 và trục hoành bằng 27 9 27 27 A. . B. . C. . D. . 2 2 8 16 Câu 14.2. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi y = ln x,y = 0,x = e là A. pe. B. p (e - 1). C. p (e - 2). D. p (e + 1). Câu 15.2. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x 2 + x - 1 và y = x 4 + x - 1 là 8 7 9 4 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Câu 16.2. Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x , x = 4 và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H ) quanh trục Ox. 15p 14p 16p A. V = . B. V = . C. V = 8p. D. V = . 2 2 3 Câu 17.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 4 - 4x 2 + 1 và đồ thị hàm số y = x 2 - 3 A. 6. B. 4. C. 2. D. 8. Câu 18.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 - x và đồ thị hàm số y = x - x 2 37 9 81 A. B. C. D.13 12 4 12 Trang 17
18. Câu 19.2. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2(x - 1)ex , trục tung và trục hoành.Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox. A.V = 4 - 2e B.V = (4 - 2e)p C.V = e2 - 5 D.V = (e2 - 5)p Câu 20.2. Gọi S là diện tích hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường y = f (x), hai trục tọa độ và đường thẳng x = 2 (như hình vẽ bên). Đặt 1 2 a = ò f (x)dx,b = ò f (x)dx , mệnh đề nào dưới đây là đúng? 0 1 A. S = a + b. B. S = a - b. C. S = b - a. D. S = a + 2b. II. VẬN DỤNG Câu 1.3. Hình chữ nhật OABC có kích thước hai cạnh lần lượt là 2 và 4 được chia thành hai phần bởi đường cong C có phương trình y x . Gọi S1 là phần diện tích tô đen (như hình vẽ). Tính thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay phần S1 quanh trục Ox. A. V 8 . B. 4 . C. D. 16 . 16. 16 Câu 2.3. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x x ; y 0; x 2; x m 0 là S . 3 Giá trị m là 5 A.m 1. B. m 2. C.m . D. m 3. 2 x - 1 Câu 3.3. Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = và các trục tọa độ là x 2 + 4x + 3 S = a ln 2 + bln 3, với a,b là các số nguyên. Tính a + 2b. A. - 1. B. - 4. C. 3. D. - 7. Trang 18
19. æ ö 1 3 2 1 ç 5÷ Câu 4.3. Cho (C) : y = x + mx - 2x - 2m - .Với m Î ç0; ÷ sao cho hình phẳng giới hạn bởi 3 3 èç 6ø÷ đồ thị (C) , y = 0,x = 0,x = 2 có diện tích bằng 4. Tính M = 2m + 3. A. M = 2. B. M = 3. C. M = 4. D. M = 5. Câu 5.3. Cho hình thang cong (H ) giới hạn bới các Đường y = ex ,y = 0,x = 0 và x = ln 4 . Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4) chia (H ) thành hai phần có diện tích là S1 S2 và như hình vẽ bên. Tìm x = k để S1 = 3S2 . 11 13 A. k = ln B. k = ln 2 C. k = ln D. k = ln 3 4 4 IV. VẬN DỤNG CAO Câu 1.4. Một bác thợ gốm làm những cái lọ có dạng mặt tròn xoay bằng cách quay một đường cong (C) quanh một đường thẳng (D). Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường thẳng (D) là trục hoành, người ta tìm được đường cong (C) là đồ thị của hàm số y = x 2 + 1. Cho biết miệng lọ có đường kính là 2(dm) và chiều cao của cái lọ là 4(dm). Tính thể tích của lọ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). A. 37,70(dm 3) B. 79,59(dm 3). C. 65,97(dm 3). D. 146,61(dm 3). Câu 2.4. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m / s thì người lái đạp phanh , từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 5t 10 (m / s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh . Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn , ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A.0,2(m). B.2(m). C.10(m). D. 20(m). Câu 3.4. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v t 7t m / .s Đi được 5 , s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a t 70 m / s2 . Tính quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. Trang 19
20. A. S 95, 7 m . B. S 87 ,C.5 m . S 94 D.m . S 96, 25 m . Câu 4.4. Trong đợt hội trại “Khi tôi 18 ” được tổ chức tại trường THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật A B ABCD , phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn 4m là 200.000 đồng cho một m2 bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)? A. 900.000 đồng.B. 1.2 3đồng.2.000 D C C. 1.230.000 đồng.D. 902.000đồng. 4m Câu 5.4. Cho đường cong (C ): y = x . Gọi d là tiếp tuyến của (C )tại điểm M (4,2) . Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C );d;Ox là 8 2 16 22 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 6.4. Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x , trục hoành và đường thẳng y = x - 2 . 16 10 A. S = . B. S = . C. S = 10. D. S = 16. 3 3 Trang 20