Đề kiểm tra cuối hè năm 2019 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra cuối hè năm 2019 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HÈ NĂM 2019 TỔ TOÁN – TIN Môn thi: Toán 10 (Dành cho lớp Lý, Hóa, Tin) (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2 điểm) a/ Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức sau 21 7 10 5 1 A ( ) : 3 1 2 1 7 5 2(x y) x 1 4 b/ Giải hệ phương trình (x y) 3 x 1 5 2 x x 1 2 x 1 Câu 2. (2 điểm) Với x 0 , cho hai biểu thức A và B x x x x a/ Rút gọn biểu thức B. A 3 b/ Tìm x để . B 2 Câu 3. (2 điểm) Cho phương trình x2 (m 5)x 3m 6 0 (m là tham số). a/ Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m . b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5. Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H là giao điểm của BN và CM. a/ Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn. b/ Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng AH. Chứng minh KB.KC=KH.KA. c/ Chứng minh: KM + KN ≤ BC. Dấu “ =” xảy ra khi nào? Câu 5. (1,5 điểm) 9 2x a/ Giải phương trình sau: 2 1 0 . x 2x2 9 b/ Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 y2 z2 z2 x2 2019 x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . y z z x x y Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
2. ĐÁP ÁN TOÁN 10 LÝ, HÓA TIN Câu 1. (2 điểm) (Mỗi ý 1 điểm) a/ Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức sau 21 7 10 5 1 A ( ) : 3 1 2 1 7 5 HD: 7( 3 1) 5( 2 1) A ( 7 5) 3 1 2 1 A ( 7 5)( 7 5) 7 5 2 Vậy A = 2 2(x y) x 1 4 b/ Giải hệ phương trình (x y) 3 x 1 5 HD: Với điều kiện x 1, ta có hệ đã cho tương đương: 6(x y) 3 x 1 12 7(x y) 7 (x y) 3 x 1 5 (x y) 3 x 1 5 x y 1 x y 1 x 3 3 x 1 6 x 1 4 y 2 Câu 2. (2 điểm) (Mỗi ý 1 điểm) 2 x x 1 2 x 1 Với x 0 , cho hai biểu thức A và B x x x x a/ Rút gọn biểu thức B. A 3 b/ Tìm x để . B 2 HD: ( x 1)(x x) (2 x 1) x x x 2x 1 x 2 a/ B 1 x(x x) x x x x 1 x 1 b/ Với x > 0 ta có: A 3 2 x 2 x 3 x 1 3 : B 2 x x 1 2 x 2 2 x 2 3 x x 2 0 x 4(Do x>0) Câu 3. (2 điểm) (Mỗi ý 1 điểm) Cho phương trình x2 (m 5)x 3m 6 0 (m là tham số). a/ Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m . b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5. HD: a/ (m 5)2 4(3m 6) m2 2m 1 (m 1)2 0m Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi m. x1 x2 m 5 b/ Ta có x1x2 3m 6
3. Để x1>0;x2>0 điều kiện là m>-5 và m> -2 m>-2(Điều kiện để S>0;P>0) Yêu cầu bài toán tương đương : 2 2 2 x1 x2 25 (x1 x2 ) 2x1x2 25 (m 5)2 2(3m 6) 25 m2 4m 12 0 m 2 m 2(do m 2) m 6 Câu 4. (2,5 điểm) (ý a,b mỗi ý 1 điểm; ý c 0,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H là giao điểm của BN và CM. a/ Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn. b/ Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng AH. Chứng minh KB.KC KH.KA . c/ Chứng minh: KM + KN ≤ BC. Dấu “ =” xảy ra khi nào? HD: a/ Theo giả thiết ta có B· MC B· NC 90o (Do cùng chắn một nữa đường tròn) ·AMH ·ANH 90o Tứ giác AMHN nội tiếpđường tròn. b/ Vì BN AC, CM AB, H là trực tâm ∆ABC. =>AKBC=>·AKB ·ANB 90o =>Tứ giác ABKN nội tiếp đường tròn. =>K· AC N· BC (cùng chắn cung KN) ∆BHK và ∆ACK có: H· BK K· AC, H· KB ·AKC 90O =>∆BHK đồng dạng ∆ACK (g-g). Từ đây suy ra KB.KC KH.KA . c/ Từ M kẻ đường vuông góc với BC cắt đường tròn tại =>BC là trung trực của MP (tính chất đối xứng của đường tròn). Chứng minh 3 điểm P, K, N thẳng hàng suy ra KM + KN = KP+ KN = PN BC (do PN là dây còn BC là đường kính). Dấu “=” xảy ra khi K trùng O, khi đó ∆ABC cân tại A Câu 5. (1,5 điểm) (Ý a 1 điểm, ý b 0,5 điểm) 9 2x a/ Giải phương trình sau: 2 1 0 . x 2x2 9 HD: 2x2 9 x Điều kiện: x 0, đưa phương trình trở thành: 2 2 3 0 x 2x2 9 x Đặt ẩn phụ: t , phương trình trở thành: 2x2 9
4. t 1 1 3 2 2 2t 3 0 2t 3t 1 0 (t 1)(2t t 1) 0 1 t 2 t 2 Trường hợp: t 1 x 2x2 9(VN) 1 x 0 3 2 Trường hợp: t 2x2 9 2x x 2 2 2x 9 2 b/ Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 y2 z2 z2 x2 2019 x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T . y z z x x y HD: Đặt a x2 y2 ;b y2 z2 ;c z2 x2 (*) a b c 2019(1) a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Từ (*) => x2 ; y2 ;z2 2 2 2 Áp dụng BĐT Cau chy ta có: y z 2(y2 z2 ) b 2 z x 2(z2 x2 ) c 2 x y 2(x2 y2 ) a 2 Từ đó ta có: x2 y2 z2 1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 T ( ) y z z x x y 2 2 b c a 1 a2 c2 a2 b2 b2 c2 T ( a b c)(2) 2 2 b b c c a a Áp dụng BĐT Cauchy ta lại có: a2 c2 a2 b2 b2 c2 b 2a; b 2c; c 2a; c 2b; a 2b; a 2c b b c c a a a2 c2 a2 b2 b2 c2 4(a b c) 2(a b c) 2(a b c)(3) b b c c a a 1 Từ (2) và (3)=> T (a b c)(4) 2 2 1 Từ (1) và (4) => T .2019. 2 2 2019 2019 Vậy T khi x=y=z= MIN 2 2 3 2