Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi Lớp 10 - Trường THPT Hàm Rồng

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi Lớp 10 - Trường THPT Hàm Rồng

1. SỞ GD&ĐT THANH HểA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG NĂM HỌC 2015-2016 —————— ĐỀ THI MễN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề ———————————— Cõu I(4 điểm ) Cho hàm số y x2 2 m 1 x 4 (1) 1.Lập bảng biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1 2.Tỡm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ xx12; thỏa món xx12 4 Cõu II(5 điểm) x2 1 1.Giải phương trỡnh (x 1)2 3x x 2.Giải bất phương trỡnh 4x 3 x2 3x 4 8x 6 Cõu III(3 điểm)Giải hệ phương trỡnh 2 2 x 21 y 1 y 2 2 y 21 x 1 x Cõu IV(6 điểm) 1.Cho hỡnh vuụng ABCD , M là điểm di động trờn đường thẳng AB (M khụng trựng với A và B ).Gọi N là chõn đường vuụng gúc hạ từ A xuống MC , E là giao điểm của MC và AD I là giao điểm của AN và BE . Chứng minh ba điểm M , I , D thẳng hàng 2.Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường trũn (T) x2 + y2 = 25 . Viết phương trỡnh đường trũn (C) cú bỏn kớnh R = 6 tiếp xỳc với đường trũn (T) tại điểm M(3 ;4) 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D; CD = 2AB; M là trung 79 điểm của CD; H là hỡnh chiếu của M trờn đường chộo AC. Biết đỉểm H ; , đỉnh D 1;1 , 55 đỉnh B thuộc đường thẳng: xy 2 5 0, điểm E 2;2 thuộc đường thẳng BC. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, B và C Cõu V(2 điểm) Cho cỏc số thực dương x , y , z thỏa món x + y + z = xyz Chứng minh rằng xy yz zx 3 x2 1 y 2 1 z 2 1
2. TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mụn TOÁN – Lớp 10 Thời gian làm bài 150phỳt Ngày thi 25 / 03 / 2017 Cõu 1:(4 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho y x2 2 x ( P ) và y = 2mx+ m – 1 (d) 1. Tỡm m để phương trỡnh x2 2 x m cú hai nghiệm phõn biệt. 2. Tỡm m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ x1, x2 thỏa 22 món: x1 x 2 7 x 1 x 2 12 0 . Cõu 2: (4 điểm) 1/ Giải phương trỡnh: 9( 4x 1 3 x 2) x 3 11 2/ Giải bất phương trỡnh: 0 xx2 43 24x Cõu 3:(4 điểm) 15 1 xy x y Cho hệ phương trỡnh: , với m là tham số. 1 m 1 2 2 2 2 x y x y 1/ Giải hệ phương trỡnh với m = 9. 2/ Tỡm m để hệ phương trỡnh cú nghiệm. Cõu 4:(6 điểm) 1/ Cho tam giỏc ABC cú AB = c, AC = b và BAC 600 . Cỏc điểm M, N được xỏc định bởi MC 2 MB và NB 2 NA . Tỡm hệ thức liờn hệ giữa b và c để AM và CN vuụng gúc với nhau. 2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M(1; 1) và hai đường thẳng d1 : x y 1 0, d2 : 2 x y 5 0 . Gọi A là giao điểm của d1 và d2 . Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm M cắt d1 , d2 lần lượt ở B và C sao cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giỏc cú BC 3AB. 3/ Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC biết A(-3;14);B(-9;-4); C(9;5). Hỡnh chữ nhật MNPQ cú diện tớch là 60 với M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Tỡm tọa độ điểm M. Cõu 5:(2 điểm) Cho x,y,z là cỏc số thực dương thoả món x+y+z=xyz.Tỡm giỏ trị lớn nhất của : 211 P 1 x2 1 y 2 1 z 2
3. TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 Mụn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt Ngày thi: 29/3/2018 Cõu 1 (4,0 điểm). 13 a) Xỏc định parabol y ax2 bx c biết parabol cú đỉnh I(;) và đi qua A( 1;1). 24 b) Cho hàm số y x2 21 x (P). Tỡm m để đường thẳng d: y x m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phõn biệt A, B sao cho tam giỏc OAB vuụng tại O (Với O là gốc tọa độ). Cõu 2 (4,0 điểm). a) Giải phương trỡnh : 23 3x 2 3 6 5x 8 0 (x R) x x22 1 y y 1 (1) b) Giải hệ phương trỡnh 22 x y xy 1 (2) Cõu 3 (4,0 điểm) Cho bất phương trỡnh x2 2 mx 3 m 2 0 (1); trong đú m là tham số và x là ẩn. a) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để bất phương trỡnh (1) cú tập nghiệm là . b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của để bất phương trỡnh (1) thỏa món với mọi x 1;2. Cõu 4(6,0 điểm). sin2 A a) Cho ABC thỏa món: cosA 1. 2sinBC .sin Chứng minh: ABC là tam giỏc cõn. 3 b) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng , 2 A(2; - 3), B(3; - 2). Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc đ•ờng thẳng (d) có ph•ơng trình: 3x- y- 8 = 0. Tính bán kính đ•ờng tròn nội tiếp tam giác ABC. c) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D; CD = 2AB; M là trung điểm của CD; H là hỡnh chiếu của M trờn đường chộo AC. 79 Biết đỉểm H ; , đỉnh D 1;1 , đỉnh B thuộc đường thẳng: xy 2 5 0, điểm 55 E 2;2 thuộc đường thẳng BC. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A, B và C Cõu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa món x(x+y+z) = 3yz, ta cú (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) 5(y + z)3.
4. TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013 - 2014 Mụn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt Ngày thi: 13/4/2014 Cõu 1:(4 điểm) 1/ Lập bảng biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số: y = x2 - 4x + 3. 42 2/ Tỡm m để phương trỡnh x 43 x m cú 4 nghiệm phõn biệt x1, x2, x3, x4 thỏa món: 1111 2222 4 xxxx1 2 3 4 Cõu 2: 1/ (2 điểm) Giải phương trỡnh: 3x 5 x 241323 x x2 1110 x xx 2/ (3 điểm) Giải bất phương trỡnh: 1 1 2 xx2 1 Cõu 3:(2 điểm) x3 x 10 y 3 6 y 2 13 y Giải hệ phương trỡnh: 22 x y x y 0 Cõu 4:(6 điểm) 1/ Cho hỡnh vuụng ABCD và đường thẳng d. Tỡm điểm M trờn d sao cho biểu thức: L = MA2 + MB2 +MC2 +MD2 đạt giỏ trị nhỏ nhất. 2/ Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC biết B(-2; 4), đường cao AH: 3x – y + 2 = 0, đường trung tuyến CN: x + y - 4 = 0. Tỡm tọa độ A và C. 3/ Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 – x – 7y = 0 và A(9; -6), B(5; - 3). Lập phương trỡnh đường thẳng d song song với AB và cắt (C) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hỡnh bỡnh hành. Cõu 5:(3 điểm) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài cỏc cạnh BC, CA, AB và ma, mb, mc lần lượt là độ dài đường trung tuyến qua A, B, C của tam giỏc ABC. Chứng minh: a b c 23. Đẳng thức xảy ra khi nào? ma m b m c Hết
5. TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mụn TOÁN – Lớp 10 Thời gian làm bài 150phỳt Ngày thi 20 / 04 / 2015 Cõu 1: 1/ (2 điểm) Cho Parabol (P): y = x2 - 3x – 1 – m và đường thẳng d: y = 2 – x. Tỡm m để d cắt (P) tại hai điểm phõn biệt cú tung độ dương. 3 2x 7 x . 2 x 11 2/ (2 điểm) Tỡm tập xỏc định của hàm sụ: y 1 x22 3 x 2 x 5 Cõu 2: 1/ (2 điểm) Giải phương trỡnh: xxx 2 3 1 2 3 2/ (2 điểm) Giải phương trỡnh: x2 x 11 x 2 2 2 2 x y x xy y 3 3 x y 2 3/ (2 điểm) Giải hệ phương trỡnh: 2 x 6 y 3 x 2 x 8 Cõu 3: 1/ (2 điểm) Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món abc = 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu 1 1 1 thức: P a2 2 b 2 3 b 2 2 c 2 3 c 2 2 a 2 3 x y 21 xy m 2/ (2 điểm) Tỡm m để hệ bất phương trỡnh: cú nghiệm duy nhất. xy 1 Cõu 4: 2 2 1/ (2 điểm) Cho tam giỏc ABC. Cỏc điểm D, I, M xỏc định như sau AD AC, IB IC, 5 5 MB MD 0. Chứng minh: A, M, I thẳng hàng. 11 1 2/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. Điểm M ; là trung điểm BC, 22 điểm N thuộc cạnh CD sao cho CN = 2ND, đường thẳng AN cú phương trỡnh 2x – y – 3 = 0. a/ (2 điểm) Tỡm tọa độ hỡnh chiếu H của M lờn AN. b/ (2 điểm) Tỡm tọa độ điểm A. Hết
6. Tr•ờng THPT hàm rồng đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Môn Toán Thời gian làm bài 150phút Ngày thi 03/ 04 / 2013 Cõu 1(3 điểm) 1/Lập bảng biến thiờn vẽ đồ thị hàm số: y=x2-2x-3. 2/Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh x 2 2 x 3 m 0 cú 4 nghiệm phõn biệt. Cõu 2( 6 điểm) 1/ Giải phương trỡnh: x2 2x 3 x 3 2/ Giải bất phương trỡnh: (x 4) x22 2 x 3 x 16 Cõu 3 (3điểm) x22 xy y x y 40 Giải hệ phương trỡnh: 2 2 3 x xy y 2011( x y ) 12 Cõu 4 (6điểm) 1/Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x + y + 1 = 0, (d2): 2x – y – 1 = 0 . Lập phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2) tương ứng tại A và B sao cho 20MA MB . 11 1 2/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD, M (;) là trung điểm của cạnh 22 BC, N là điểm trờn cạnh CD sao cho CN=2ND và đường thẳng AN cú phương trỡnh 2x-y-3=0. Tỡm tọa độ điểm A, biết A cú tung độ dương. 3/Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trũn x2 + y2 = 9. Gọi A và B lần lượt là cỏc điểm di động trờn tia ox và tia oy sao cho đường thẳng AB luụn tiếp xỳc với đường trũn đú. Hóy xỏc định tọa độ của cỏc điểm A, B để tam giỏc OAB cú diện tớch nhỏ nhất. Cõu 5 (2điểm) 2xz2 y 2 1 1 1 Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: x3 y 2 y 3 z 2 z 3 x 2 x 2 y 2 z 2 Hết
7. Tr•ờng THPT hàm rồng đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Môn Toán Thời gian làm bài 150phút Ngày thi 14/ 04 / 2011 Cõu 1(6điểm) 1/ Giải ph•ơng trình: x 1 x 1 2 x 1 x 1 2/ Giải bất ph•ơng trình: 10x x 3 8x 1 3x 1 Cõu 2.(5điểm) x y x y 2 1/ Giải hệ phương trỡnh 22 x y x y 4 2/ Tỡm m để hệ bất phương trỡnh sau: x 2 4x 3 0 2 x 8x 14 m 0 a/ Vụ nghiệm b/ Cú nghiệm duy nhất Cõu 3:(7điểm) 1/ Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G .Cỏc điểm M , N thoả món : 1 CN BC và 3MA 4MB 0 2 a/ Chứng minh ba điểm M , N , G thẳng hàng b/ Đường thẳng MN chia tam giỏc ACN thành hai tam giỏc. Tớnh tỷ số diện tớch của hai tam giỏc đú 2/ Cho tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũn (O), cỏc tiếp tuyến với đường Trũn tại B,C cắt nhau tại M. Đường thẳng AM cắt BC tại N. Chứng minh 2 NB AB NC AC 3/ Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho đường thẳng (d) cú phương trỡnh x-y+2=0, điểm A(0;4) ; B(4;2) .Tỡm điểm M trờn (d) sao cho MA MB lớn nhất. Cõu 4:(2điểm) Cho x,y,z là ba số thực dương thoả món xy yz zx 1.Chứng minh rằng ta luụn cú: x y z 3 x 2 1 y 2 1 z 2 1 2
8. Tr•ờng THPT hàm rồng đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Môn Toán Thời gian làm bài 150phút Ngày thi 13/ 04 / 2010 Câu 1. (6 điểm) 1/ Giải ph•ơng trình: x2 x 5 5 2/ Giải bất ph•ơng trình: 2 3x 2 x 2 34 3 x 2 x 2 Câu 2. (6 điểm) x 1 1/ Tỡm tham số m để bất phương trỡnh 1 cú tập nghiờm là R mx2 43 x m 22 x y 2 x 2 y 2 m 2/ Tỡm tham số m để hệ phương trỡnh 2 cú đỳng hai nghiệm xy 24 phõn biệt Câu 3. (2 điểm ) 1 Tam thức f() x x2 bx c thỏa món fx() với x  1;1. 2 Hóy tỡm cỏc hệ số b và c . Câu 4. (4 điểm ) 1/ Trong mặt phẳng toạ độ cho 3 điểm A(1;4),B(-2;-2),C(4;2). Tìm điểm M trên đ•ờng tròn (C) có ph•ơng trình : x2+y2=1 sao cho tổng MA2 +2MB2 +3MC2 lớn nhất. 2/ Cho tam giác cân ABC , đáy BC có ph•ơng trình : x – 3y – 1 = 0; Cạnh bên AB có Ph•ơng trình : x - y – 5 = 0. Đ•ờng thẳng AC đi qua M(- 4;1). Viết ph•ơng trình của cạnh AC. Câu 5. (2 điểm) Cho cặp số thực (x;y) thoả mãn điều kiện : x - 2y + 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x2 y 2 6 x 12 y 45 x 2 y 2 10 x 16 y 89 .
9. Tr•ờng THPT hàm rồng đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 Môn Toán Thời gian làm bài 150phút Ngày thi 21/ 04 / 2009 Câu 1. (6 điểm) 1/ Giải ph•ơng trình: x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 2/ Giải hệ ph•ơng trình: x2 y2 x 2y 19 xy x 1 y 2 20 Câu 2. (6 điểm) 1/ Tùy theo giá trị của m. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F x, y x 2y 1 2 2x my 5 2 2/ Cho hệ ph•ơng trình : 2 ax bx c y 2 * ay by c z (a R ; b,c R) 2 az bz c x Chứng minh nếu b 1 2 4ac 0 thì hệ ph•ơng trình trên vô nghiệm Câu 3. (3 điểm ) Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Xét 2009 cặp điểm của đoạn AB đối xứng với nhau qua O. Ký hiệu 2009 điểm bất kỳ trong 2009 cặp điểm đó là A , A , ,A ; 1 2 2009 2009 điểm còn lại là B ,B , ,B . 1 2 2009 2009 2009 Chứng minh :  AAi  BBi i 1 i 1 Câu 4. (3 điểm ) Cho đ•ờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh OAsin A OBsin B OCsinC O Câu 5. (2 điểm) Cho x,y,Z >0 và xy + yz + zx = xyz 2 2 2 2 x 2y y 2z z2 2x2 Chứng minh : 3 xy yz zx