Đề luyện thi môn Toán Lớp 12 - Đề số 13 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi môn Toán Lớp 12 - Đề số 13 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 13 ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC (Đề thi có 06 trang) Môn: Toán (Đề có lời giải) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề 1 Câu 1. Cho hàm số y x 3 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận. B. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng. D. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng. 3 11i Câu 2. Cho số phức z . Tính z . 2 A. z 3 B. C. zD. 5 z 2 z 5 Câu 3. Cho hàm số y f x là hàm bậc bốn trùng phương có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;3 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 2;2 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2  0;2 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 4; . Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 1 .B. Hàm số đồng biến trên khoảng . 1;3 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 .D. Hàm số đồng biến trên khoảng . 0;1 1 Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f x là x 1 1 1 2 A. C B. ln x C. 1 C D. ln x 1 C ln x 1 C x 1 2 2 Trang 1
2. Câu 6. Đường cong như hình vẽ bên là dạng đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y x4 2x2 1 B. y x 1 x 2 2 C. y x3 3x2 4 D. y x 3 3 x 1 y 2 z Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : , véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ 1 3 2 phương của đường thẳng d? A. u 1; 3;2 B. u C.1; 3;2 D. u 1; 3; 2 u 1;3; 2 a3 Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A cạnh AB AC a và thể tích bằng . 6 Tính chiều cao h của hình chóp đã cho. A. h a 2 B. C. h a D.3 h a h 2a Câu 9. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  1;3 . Giá trị của 4M m bằng A. 3B. 5 C. 10D. 4 Câu 10. Cho hàm số f x x3 3x2 2021 . Giá trị của f 1 bằng A. 2018 B. C. 0D. 3 3 1 xdx Câu 11. Biết a bln 2 (với a,b ¢ ). Giá trị a 2b bằng 0 x 1 A. 0B. 1C. 2D. 3 Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB a, AC 2a quay xung quanh cạnh AB ta được một khối nón tròn xoay có đường kính  bằng bao nhiêu? A.  a 3 B. C.  3a D.  2a 2  a 5 x 8 y 9 z 10 Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : . Mặt phẳng vuông góc 1 2 3 với Δ có một véctơ pháp tuyến là A. b 8;9;10 B. v C. 1; 2; 3 D. a 1;2;3 u 1;2; 3 Trang 2
3. Câu 14. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 trên3 đoạn 1;3 . Khi đó M m bằng A. 5B. 3C. 4D. 2 Câu 15. Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng un biết u9 5u2 và u13 2u6 5 . A. u1 3;d 4 B. u1 C.3 ;d 5 D. u1 4;d 5 u1 4;d 3 Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình sau: Số nghiệm thực của phương trình 4 f 2 x 16 0 là A. 2B. 4C. 6D. 3 Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, BC bằng a 2 a A. aB. C. D. 2a 2 2 2 Câu 18. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình z 2z 5 0 . 2020 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w i 2 z0 ? A. M 2; 1 B. C.M 1;2 D. M 5;0 M 0; 5 x 1 Câu 19. Cho hàm số f x log2 e m thỏa mãn f ln 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? ln 2 A. m 1;1 B. C.m 1;3 D. m 0;2 m 2; 1 Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho ABC biết A 2;0;0 , B 0;2;0 ,C 1;1;3 . H x0 ; y0 ; z0 là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó x0 y0 z0 bằng 38 34 30 11 A. B. C. D. 9 11 11 34 Câu 21. Cho hàm số f x có đạo hàm f x xác định, liên tục trên ¡ và có đồ thị f x như hình vẽ, biết rằng S2 S1 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. f c f b f a B. f b f c f a C. f c f a f b D. f b f a f c Trang 3
4. Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm a O của tam giác ABC đến mặt phẳng A BC bằng . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là 6 3a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2 A. B. C. D. 8 28 4 16 xy Câu 23. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log4 x log9 y log6 1 . Giá trị của biểu thức 4 P xlog4 6 ylog9 6 bằng A. 2B. 5C. 4D. 6 Câu 24. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 24π, diện tích toàn phần bằng 42π. Thể tích khối trụ là A. V 36 B. C. V 9 D. V 18 V 32 Câu 25. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z 2i z 4 trong mặt phẳng Oy là A. đường thẳng : 2x y 3 0 . B. đường thẳng . : x y 3 0 C. đường thẳng : 2x y 3 0 .D. đường thẳng . : x y 3 0 Câu 26. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Số nghiệm của phương trình f x 1 2 là A. 5B. 4C. 2D. 3 x y 1 z 2 Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2;2;1 và đường thẳng d : , 1 2 1 2 x 3 y 2 z d : . Phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d và cắt d là 2 1 2 3 1 2 x 2 y 2 z 1 x 1 y z 2 A. d : B. d : 1 3 5 2 3 4 x 2 t x 2 y 2 z 1 C. d : y 2 t ¡ D. d : 1 2 3 z 1 t n 2 1 3 6 9 Câu 28. Trong khai triển 2x , hệ số của x là 2 Cn . Tính n. x A. n 12 B. C. n D. 1 3 n 14 n 15 Trang 4
5. Câu 29. Cho hàm số y ex có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x y e , x 1, x k và S2 là diện tích hình phẳng giới hạn x bởi các đường y e , x k, x 1 . Xác định k để S1 S2 . 1 1 A. k ln e ln 2 B. k 2ln e 1 e e C. k 2ln 2 1 D. k ln 2 x 4 3t Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho điểm M 0;2;0 và đường thẳng d : y 2 t . Đường thẳng đi z 1 t qua M, cắt và vuông góc với d có phương trình là x y 2 z x 1 y z x 1 y 1 z x y z 1 A. B. C. D. 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 Câu 31. Phương trình 32x 2x 3x 1 4.3x 5 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm? A. 1B. 2C. 0D. 3 1 f x 1 Câu 32. Cho f x là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ . Nếu dx 1010 thì f x dx bằng x 1 1 e 0 A. 4040B. 505C. 2020D. 1010 Câu 33. Cho hàm số f x asin x bcos x (với a,b ¡ ;b 0 ), có f 0 1 . Gọi hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số f x với các trục hoành, trục tung và đường thẳng x . Khi quay H quanh 17 2 trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng . Khi đó giá trị biểu thức T 2021a b10 2 thuộc khoảng nào sau đây? A. 210 ;310 B. C. 310 ;410 D. 410 ;510 72020 ;92020 Câu 34. Cho hai số phức z, w thỏa mãn z 2w 3, 2z 3w 6 và z 4w 7 . Tính giá trị của biểu thức P z.w z.w . A. P 14i B. C. P 28i D. P 14 P 28 Câu 35. Cho hàm số f x ax4 bx2 c có đồ thị như hình vẽ. Số các giá trị 2020x nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g x có tổng số 9 f x f x m đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là A. 2B. 1 C. 4D. 3 Trang 5
6. Câu 36. Cho hàm số y f x , y g x . Hai hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình sau. Trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y g x . Hàm số h x f x g x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? 11 13 13 9 2 1 3 A. ; B. C. ; D. ; ; 5 5 10 10 5 10 6 2 Câu 37. Cho m loga ab với a,b 1 và P 1010loga b 2020logb a . Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là A. 1B. 2C. 4D. 5 Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A 1;1;1 , B 2;0;2 ,C 1; 1;0 , D 0;3;4 . AB AC AD Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B ,C , D thỏa mãn 4 . Phương trình AB AC AD mặt phẳng B C D biết tứ diện AB C D có thể tích nhỏ nhất là phương trình nào sau đây? A. 16x 40y 44z 39 0 B. 1 6x 40y 44z 39 0 C. 16x 40y 44z 39 0 D. 1 6x 40y 44z 39 0 Câu 39. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 , cung tròn y 2x x2 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình H bằng 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 3 4 3 2 3 Trang 6
7. Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a 2, AC a 5 . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABC trùng với điểm của đoạn thẳng BC. Biết rằng góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng SAC bằng 60 . Thể tích của khối chóp S.ABC là 5a3 6 5a3 10 a3 210 a3 30 A. B. C. D. 12 12 24 12 Câu 41. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BB , A C . Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng 5 1 7 1 A. V B. C. D. V V V 24 4 24 3 Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 9 và mặt phẳng P : 2x 2y z 3 0 . Gọi M a;b;c là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến P lớn nahát. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a b c 8 B. a C.b c 5 D. a b c 6 a b c 7 Câu 43. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tham số a để hàm số y f x a có ba điểm cực trị. A. 1 a 3 B. a 1 hoặc a 3 C. a 1 hoặc a 3 D. a 3 hoặc a 1 Câu 44. Giá trị nhỏ nhất của P a2 b2 để hàm số f x x4 ax3 bx2 ax 1 có đồ thị cắt trục hoành là 5 2 5 4 A. P B. C. P D. P P 4 5 2 5 Câu 45. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ hơn 4567 và có chữ số hàng chục là chữ số lẻ? A. 170B. 171C. 172D. 173 2 x 2 Câu 46. Gọi m0 là số nguyên để phương trình log3 x x m 2020 x , 2020 m 2020 2020 1011 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2 . Với m0 đó giá trị của biểu thức P ln x x2 2 ln x x2 2 thuộc vào khoảng nào dưới đây? 1 2 2 1 A. 5;1 B. C. 1;5 D. 2018;2020 2020;2025 Câu 47. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên  1;1 và thỏa mãn f 1 0 , Trang 7
8. 1 f (x)2 4 f (x) 8x2 16x 8 với mọi x thuộc  1;1 . Giá trị của f x dx bằng 0 5 2 1 1 A. B. C. D. 3 3 5 3 Câu 48. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình m 1 f x3 3x có 10 nghiệm phân biệt? 10 m A. 9B. 5 C. Vô số.D. 6 Câu 49. Xét số phức z thỏa mãn 4 z i 3 z i 10 . Gọi P; p tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị của 7P 5p bằng A. 5B. 6C. 18D. 2 Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z 2 0 và các điểm A 1;1;1 , B 2;3;1 . Mặt cầu S thay đổi qua A, B và tiếp xúc với P tại C. Biết rằng C luôn chạy trên một đường tròn cố định. Diện tích S đường tròn đó bằng A. 5πB. 10πC. 20πD. 126 ĐÁP ÁN 1-D 2-D 3-D 4-D 5-D 6-C 7-A 8-C 9-C 10-D 11-D 12-D 13-D 14-B 15-A 16-B 17-A 18-D 19-A 20-B 21-D 22-D 23-C 24-A 25-A 26-A 27-C 28-D 29-A 30-A 31-A 32-D 33-C 34-D 35-A 36-C 37-A 38-A 39-C 40-D 41-A 42-D 43-C 44-D 45-C 46-A 47-A 48-B 49-B 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Tập xác định D 0; . 1 1 Ta có: lim x 3 , lim x 3 0 . x 0 x 1 Đồ thị hàm số y x 3 nhận Oy là tiệm cận đứng và nhận Ox là tiệm cận ngang. Câu 4: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng 2; 1và 1;3 ; nghịch biến trên khoảng 1;1 . Trang 8
9. Câu 6:Loại A do đồ thị không phải dạng đồ thị hàm trùng phương. Loại B do a 0 . Đồ thị hàm số có cực đại tại x 0 nên y 0 có nghiệm x 0 . Ta có x 3 3 x3 9x2 27x 27 nên y x 3 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (loại đáp án D). Câu 7: d có véctơ chỉ phương là 1;3; 2 . Xét đáp án A, u 1; 3;2 1 1;3; 2 . 1 1 1 a3 Câu 8: Ta có: V h.S h. a2 h a . S.ABC 3 ABC 3 2 6 9 9 max y M Câu 9: Dựa vào đồ thị ta có  1;3 4 4 4M m 9 1 10 . min y 1 m 1  1;3 Câu 10: Ta có f x x3 3x2 2018 f x 3x2 6x f 1 3 . 1 1 xdx 1 1 Câu 11: 1 dx x ln x 1 1 ln 2 a 1;b 1 a 2b 3. 0 0 x 1 0 x 1 Câu 12: Ta có:  BC AB2 AC 2 a2 4a2 a 5 . Câu 13: Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng nên các véctơ pháp tuyến của mặt phẳng có dạng n k 1; 2;3 ,k 0 . Câu 14: Xét hàm số f x x3 3x2 3 trên đoạn 1;3 . x 0 1;3 Ta có f x 3x2 6x; f x 0 . x 2 1;3 Bảng biến thiên của hàm số f x x3 3x2 3 trên đoạn 1;3 . 3 2 Gọi x1 và x2 là hai nghiệm trên đoạn 1;3 (với x1 x2 ) của phương trình x 3x 3 0 . Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số g x x3 3x2 3 trên đoạn 1;3 . Trang 9
10. Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x2 3 trên đoạn 1;3 bằng 3 và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 3 trên đoạn 1;3 bằng 0. Do đó M 3,m 0 M m 3 . u9 5u2 u1 8d 5 u1 d 4u1 3d 0 d 4 Câu 15: Xét hệ . u 2u 5 u 2d 5 u 3 13 6 u1 12d 2 u1 5d 5 1 1 f x 2 Câu 16: Ta có: 4 f 2 x 16 0 . f x 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y 2 cắt đồ thị hàm số y f x tại 2 điểm phân biệt và đường thẳng y 2 cắt đồ thị hàm số y f x tại 2 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. Câu 17: Vì BC // AD BC // SAD d BC, SD d BC,(SAD) d B,(SAD) . AB  SA Ta có: AB  SAD d B,(SAD) BA a . AB  AD 2021 Câu 18: Giải phương trình ta có: w i 2 z0 5i . Vậy điểm M 0; 5 biểu diễn số phức w. x x e Câu 19: Ta có f x log2 e m f x . ex m ln 2 1 2 1 Vậy f ln 2 m 0 1;1 . ln 2 2 m ln 2 ln 2  Câu 20: Đường thẳng BC có véctơ chỉ phương là BC 1; 1;3 . x t Nên phương trình đường thẳng BC: y 2 t t ¡ . z 3t Gọi H t;2 t;3t BC .  Khi đó: AH t 2;2 t;3t . Trang 10
11. Mà H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC nên     4 AH  BC AH.BC 0 t 2 2 t 9t 0 t . 11 4 18 12 34 H ; ; x0 y0 z0 . 11 11 11 11 x a Câu 21: Từ đồ thị hàm f x ta có: f x 0 x b . x c Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có f a f b ; f c f b . b b Diện tích S f x dx f x f b f a . 1 a a c c Diện tích S f x dx f x f b f c . 2 b b Ta có: S1 S2 f b f a f b f c f c f a . Vậy f b f a f c . Câu 22: Gọi M là trung điểm của BC. Ta có A AM  A BC theo giao tuyến A M . Trong A AM kẻ OH  A M H A M OH  A BC . a a2 3 Suy ra: d O,(A BC) OH ;S . 6 ABC 4 a 1 a 3 . OH OM Ta có: A AM # OHM , suy ra 6 3 2 A A A M A A A A2 AM 2 1 3 a 6 A A . A A 2 4 a 3 A A2 2 a 6 a2 3 3a3 2 Thể tích V S .A A . . ABC.A B C ABC 4 4 16 Trang 11
12. xy t t t Câu 23: Đặt log4 x log9 y log6 1 t x 4 , y 9 , xy 4.6 4 4 2t t t 6 4.6 4 0 6 2 t log6 2 . xy log6 2 log6 2 Khi đó log4 x log9 y log6 1 t log6 2 x 4 , y 9 . 4 log4 6 log9 6 log6 2 log6 2 Do đó P 4log6 2 9log6 2 4log4 6 9log9 6 6log6 2 6log6 2 4 . 2 Câu 24: Ta có Sxq 2 Rh 24 và Stp Sxq 2 R 42 R 3,h 4 . Vậy thể tích khối trụ trên là: V R2h .32.4 36 . Câu 25: Gọi z x yi với x, y ¡ . Khi đó điểm M x; y là điểm biểu diễn cho số phức z. Ta có z 2i z 4 x yi 2i x yi 4 x2 y 2 2 x 4 2 y2 8x 4y 12 0 2x y 3 0 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng : 2x y 3 0 . Câu 26: Từ bảng biến thiên của hàm số đã cho ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x 1 như sau (trong đó x1, x2 , x3 là các nghiệm của phương trình f x 0 ): Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x 1 2 có 5 nghiệm.   Câu 27: Véctơ chỉ phương của d ,d lần lượt là u 2;1;2 , u 1;2;3 . 1 2 d1 d2 Giả sử d  d2 B B d2 .  Gọi B 3 t;2 2t;3t AB 1 t;2t;3t 1 .     Vì d  d AB  u AB.u 0 1 d1 d1 2 1 t 2t 2 3t 1 0 t 0 .  Khi đó AB 1;0; 1 . x 2 t  d đi qua A 2;2;1 và có véctơ chỉ phương là AB 1;0; 1 , nên có phương trình: y 2 t ¡ . z 1 t n n 2 1 k n k 2n 3k k n k 2n 3k Câu 28: Ta có: 2x Cn 2 x ak Cn 2 x . x k 0 Trang 12
13. k n k 6 9 3 6 9 Cn 2 2 .Cn Hệ số chứa x là 2 Cn n 15 . 2n 3k 3 k 1 x x x 1 k 1 Câu 29: Ta có: e dx e dx e e e k ln e ln 2 . 1 k e e  Câu 30: Ta có: d đi qua N 4;2; 1 và có véctơ chỉ phương ud 3;1;1 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d x 4 3t   MH  d MH.u 0 y 2 t d H 1;1; 2 . H d H d z 1 t 3x y 2 z 0  Đường thẳng Δ đi qua M và vuông góc với d có véctơ chỉ phương là u 1 . MH 1; 1; 2 . x y 2 z Phương trình : . 1 1 2 Câu 31: Ta có: 32x 2x 3x 1 4.3x 5 0 32x 1 2x 3x 1 4.3x 4 0 3x 1 3x 1 2x 4 3x 1 0 3x 2x 5 3x 1 0 3x 2x 5 0 . Xét hàm số f x 3x 2x 5 , ta có: f 1 0 và f x 3x ln 3 2 0;x ¡ . Do đó hàm số f x đồng biến trên ¡ . Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x 1 . 1 1 Câu 32: Do f x là hàm số chẵn nên f x f x và f x dx 2 f x dx . 1 0 1 f x Xét I dx 1010 . Đặt x t dx dt . x 1 1 e Đổi cận: x 1 t 1 . x 1 t 1 . 1 f x 1 f t 1 et . f t 1 et . f t 1 ex . f x I dx dt dt dt dx x t t t x 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 f x 1 ex . f x dx dx 1010 . x x 1 1 e 1 1 e 1 f x 1 ex . f x 1 ex 1 . f x 1 Khi đó: dx dx dx f x dx 1010 1010 2020 x x x 1 1 e 1 1 e 1 1 e 1 1 1 2 f x dx 2020 f x dx 1010 . 0 0 Câu 33: Thể tích của vật thể là: Trang 13
14. 2 17 2 asin x bcos x dx a2 sin2 x b2 cos2 x 2absin x cos x dx 2 0 0 2 1 cos 2x 2 1 cos 2x a b absin 2x dx 0 2 2 2 2 x sin 2x 2 x sin 2x ab 2 2 a b cos 2x a b . 2 4 2 4 2 2 0 Suy ra có a2 b2 17 . Mặt khác f x a cos x bsin x 1 f 0 a a 1 b 4 . Ta được T 2020 410 . Câu 34: Ta có: z 2w 3 z 2w 2 9 z 2w . z 2w 9 z 2w z 2w 9 z.z 2 z.w z.w 4w.w 9 z 2 2P 4 w 2 9 (1). Tương tự: 2z 3w 6 2z 3w 2 36 2z 3w 2z 3w 36 4 z 2 6P 9 w 2 36 (2). z 4w 7 z 4w z 4w 49 z 2 4P 16 w 2 49 (3). z 2 33 Giải hệ phương trình gồm (1), (2), (3) ta có: P 28 P 28 . 2 w 8 Câu 35: Ta có g x là hàm phân thức hữu tỉ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên lim g x 0 , do x đó đồ thị hàm số g x luôn có một tiệm cận ngang là y 0 . x x1 2; 1 x x2 1;0 Phương trình f x 0 . x x 0;1 3 x x4 1;2 Ta thấy phương trình f x 0 có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên x x1, x x2 , x x3 , x x 4là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số g x . Vậy để đồ thị hàm số g x có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì phương trình 3 m 2 f x m phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4 nghiệm x i(i 1,4 ) 2 m 0 mà m ¢ nên m 1;1 . Trang 14
15. 9 2 Câu 36: Ta có: h x f x g x . Với x ; , ta có: 10 5 9 2 Đồ thị y f x nằm hoàn toàn phía dưới đồ thị y g x nên h x 0, x ; . 10 5 9 2 Nên hàm số h x nghịch biến trên khoảng ; . 10 5 2 2 2020 Câu 37: Ta có P 1010loga b 2020logb a 1010loga b . loga b 2020 Đặt t log b . Khi đó P 1010t 2 . a t Vì a,b 1 nên t loga b 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 2020 1010 1010 P 1010t 2 1010t 2 33 10103 3030 . t t t 1010 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1010t 2 t 1 . t 1 1 1 1 Ta có m log ab log ab 1 log b 1 t 1 1 1 . a 2 a 2 a 2 2 AB AC AD AB.AC.AD Câu 38: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 4 33 . AB AC AD AB '.AC '.AD ' AB '.AC'.AD' 27 VAB'C 'D' AB '.AC'.AD' 27 27 VAB C D VABCD AB.AC.AD 64 VABCD AB.AC.AD 64 64  3  7 1 7 AB AC AD 3 AB AB B ; ; Để VAB C D nhỏ nhất khi và chỉ khi 4 4 4 4 . AB AC AD 4 B C D // BCD   Ta có CB 3;1;2 , CD 1;4;4 suy ra mặt phẳng BCD có véctơ pháp tuyến là   n CB;CD 4; 10;11 . 7 1 7 Lúc đó mặt phẳng B C D song song với mặt phẳng BCD và đi qua B ; ; 4 4 4 B C D :16x 40y 44z 39 0 . Câu 39: Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol 2 2 x 1 và cung tròn: x 2x x . x 0 1 2 2 1 2 Khi đó: S x2dx 2x x2 dx 1 x 1 dx . 0 1 3 1 Trang 15
16. Đặt x 1 sin t,t ; dx costdt . 2 2 Đổi cận: x 1 t 0; x 2 t . 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 Suy ra S cos tdt 1 cos 2t dt t sin 2t . 3 0 3 2 0 3 2 2 0 3 4 Câu 40: Gọi H là trung điểm của BC, M là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB, kẻ HI  SM . Ta có SAB  SAC SA , kẻ BE  SA và GH // BE , suy ra ·(SAC),(SAB) ·GH,(SAC) H· GI 60. 7a2 5a2 Đặt SH h , ta tính được SA h2 và SP h2 . 4 4 5a2 a 2. h2 2S Vậy BE SAB 4 SA 7a2 h2 4 a 2 2 2 h MH .SH 2 HI 2 2 MH SH a2 h2 2 Tam giác GIH vuông tại I có 2 a 2 2 5a a 2 h h 2 4 IH 3 7a 15a 2a 3 sin 60 . 2 4 2 h4 h2 0 h . HG 2 7a2 a2 4 8 4 h2 h2 4 4 1 a3 30 Vậy V AB.AC.SH . SABC 6 12 Câu 41: Gọi I là trung điểm AC NP  BI J . 1 Lại có BP NI và BN // IP suy ra BN là đường trung bình tam 2 giác PIJ. Suy ra B là trung điểm IJ. Suy ra CM  BI G là trọng tâm tam giác ABC. S JG 2 5 Ta có: JCM mà JG BJ BG BI BI BI SBCM BG 3 3 Trang 16
17. 5 BI S 5 5 5 JCM 3 S S S .S . S 2 2 JCM 2 BCM JCM 4 ABC BCM BI 3 1 5 1 1 1 5 5 Ta có V V hS V; V V . hS .h. S V . 1 P.MJC 3 JMC 12 2 N.MJC 3 2 JMC 3 8 ABC 24 5 Vậy V V V V . P.CMN 1 2 24 Câu 42: Mặt cầu S có tâm I 1;2;3 , R 3 . 2.1 2.2 3 3 4 Ta có: d I,(P) R nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn. 22 2 2 12 3 Gọi M a;b;c là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến P lớn nhất thì điểm M thuộc đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với P . x 1 2t 2 2 2 2 Phương trình : y 2 2t . Thay vào mặt cầu S ta có: 2t 2t t 9 9t 9 t 1 . z 3 t 2.3 2.0 4 3 13 Với t 1 ta có: M 3;0;4 d M ,(P) . 22 2 2 12 3 2. 1 2.4 2 3 5 Với t 1 ta có: M 1;4;2 d M ,(P) . 22 2 2 12 3 Vậy M 3;0;4 nên a b c 7 . Câu 43: Đồ thị hàm số y f x a là đồ thị y f x tịnh tiến lên trên một đoạn thẳng bằng a khi a 0 tịnh tiến xuống dưới một đoạn bằng a khi a 0 . Hơn nữa đồ thị y f x a là: +) Phần đồ thị của y f x a nằm phía trên trục Ox. +) Lấy đối xứng phần đồ thị của y f x a nằm dưới Ox qua Ox và bỏ đi phần đồ thị của y f x a nằm dưới Ox. Vậy để đồ thị hàm số y f x a có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số y f x a xảy ra hai trường hợp: +) Đồ thị hàm số y f x a có điểm cực tiểu nằm phía trên trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực đại dương. Khi đó a 3 . Trang 17
18. +) Đồ thị hàm số y f x a có điểm cực đại nằm phía dưới trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực tiểu âm. Khi đó a 1 . Vậy giá trị a cần tìm là a 1 hoặc a 3 . 2 4 3 2 1 1 Câu 44: Xét phương trình: x ax bx ax 1 0 x a x b 2 0 x 0 . x x 1 Đặt t x t 2 t 2 at b 2 0 (*) x Xét đường thẳng :tx y t 2 2 0 t 2 và đường tròn C : x2 y2 P có tâm O 0;0 , bán kính R P . Để (*) có nghiệm thì Δ và C tiếp xúc hoặc cắt nhau: 2 2 t 2 2 t 2 2 t 2 2 2 u 3 2 d O, R P P 2 t 2 ; 2 u t 1 5 . t 2 1 t 1 t 1 u 2 u 3 4 4 1 Xét f u ,u 5 f u P khi u 5 x 2 . u 5 5 x Câu 45: Gọi abcd là số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ hơn 4567 và có chữ số hàng chục là chữ số lẻ. Ta có: abcd4 1000a 100b 10c d4 2c d4 (1). Mặt khác do c lẻ nên 2c chia cho 4 dư 2, nên để thỏa mãn (1), thì d phải chia cho 4 dư 2.  Trường hợp 1: a 1;3 . Khi đó do c lẻ suy ra c 1;3;5;7;9 \ a suy ra c có 4 cách chọn. Ta có d chia cho 4 dư 2, hay d 2;6 . Sau khi chọn a, c, d thì b có 7 cách chọn. Vì vậy trong trường hợp này có 2.4.2.7 112 số thỏa mãn.  Trường hợp 2: a 2 . Khi đó do c lẻ suy ra c 1;3;5;7;9 suy ra c có 5 cách chọn. Sau khi chọn a, c, d thì b có 7 cách chọn. Vì vậy trong trường hợp này có 1.5.1.7 35 số thỏa mãn.  Trường hợp 3: a 4,b 1;3 . Khi đó do c lẻ suy ra c 1;3;5;7;9 \ b suy ra c có 4 cách chọn. Ta có d chia cho 4 dư 2, hay d 2;6 . Vì vậy trong trường hợp này có 1.2.4.2 16 số thỏa mãn.  Trường hợp 4: a 4,b 2 . Khi đó do c lẻ suy ra c 1;3;5;7;9 suy ra c có 5 cách chọn. Ta có d chia cho 4 dư 2, hay d 6 . Vì vậy trong trường hợp này có 1.1.5.1 5 số thỏa mãn.  Trường hợp 5: a 4,b 5 . Khi đó c 1;3 . Ta có d chia cho 4 dư 2, hay d 2;6 . Trang 18
19. Vậy trong trường hợp này có 2.2 4 số thỏa mãn. Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 172 số. x 0 Câu 46: Điều kiện: . m 2020 2 3 Phương trình có dạng: log3 x x log3 2020 m x 2020 m 2 3 log3 x log3 x x log3 x log3 2020 m x 2020 m 3 3 log3 x x log3 x 2020 m x 2020 m (1). Xét hàm số: f t t log3 t trên D 0; . 1 Vì f t 1 0,t D nên hàm số f t đồng biến trên D. t ln 3 Từ phương trình (1) f x 3 f x 2020 m 3 2 x 2020 m x x 2020 m x 2020 m m 2020 (2). x 2020 m 2020 2020 1011 1010 1011 Mà x1 x2 2 2 2020 m 2 2020 m 2 m 2018. x1 2 Khi đó . x2 2 Vậy P ln x x2 2 ln x x2 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 0,693. 1 2 2 1 Câu 47: Ta có: 1 1 1 2 2 2 2 f (x) 4 f x 8x 16x 8 f x dx 2 2 f x dx 8x 16x 8 dx (1). 1 1 1 1 u f x du f x dx Xét I 2 f x dx , đặt . 1 dv 2dx v 2x 2 1 1 1 1 Do đó I 2 f x dx 2x 2 f x 2x 2 f x dx 2x 2 f x dx . 1 1 1 1 1 1 1 2 2 Từ (1) suy ra f x dx 2 2 f x dx 8x 16x 8 dx 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 f x dx 2 2x 2 f x dx 2x 2 dx 12x 24x 4 dx 1 1 1 1 1 2 2 f x 2x 2 dx 0 f x 2x 2 f x x 2x C . 1 Trang 19
20. 1 1 5 Vì f 1 0 nên C 3 . Suy ra f x dx x2 2x 3 dx . 0 0 3 m 1 Câu 48: Xét phương trình: f x3 3x (1). 10 m Đặt t x3 3x , ta có: t 3x2 3, t 0 x 1 . Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có: Ứng với mỗi giá trị t 2 hoặc t 2 thì phương trình x3 3x t có một nghiệm x duy nhất. Ứng với mỗi giá trị t 2 hoặc t 2 thì phương trình x3 3x t có 2 nghiệm x. Ứng với mỗi giá trị 2 t 2 thì phương trình x3 3x t có 3 nghiệm x. m 1 Phương trình (1) trở thành f t với t ¡ . 10 m Từ đồ thị hàm số y f x ban đầu, ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y f t như sau: (trong đó f a 1 ), m 1 Từ bảng biến thiên của hàm số y f t để phương trình f x3 3x 0 có 10 nghiệm phân 10 m m 1 biệt thì phương trình f t có 6 nghiệm thỏa mãn t 2 t t 2 t t t . 10 m 1 2 3 4 5 6 m 1 9 Hay 0 1 1 m . Do m ¢ nên m 0;1;2;3;4 . 10 m 2 Câu 49: Gọi A 0; 1 , B 0;1 , có trung điểm là O 0;0 . Điểm M biểu diễn số phức z. 2 2 2 2 MA MB AB Theo công thức trung tuyến thì z OM 2 . 2 4 10 4a Theo giả thiết 4MA 3MB 10 . Đặt MA a MB . 3 Trang 20
21. 10 7a 4 16 Khi đó MA MB AB 2 6 10 7a 6 a . 3 7 7 2 2 2 2 2 2 10 4a 25a 80a 100 5a 8 36 Ta có MA MB a . 3 9 9 MA2 MB2 4 z 1 36 24 2 1296 Do 5a 8 0 5a 8 nên . 2 2 340 2 121 11 7 7 49 MA MB z z 49 49 7 11 Vậy p 1; P 7P 5p 6 . 7 Câu 50: Giả sử C xC ; yC ; zC , ta có: xC yC zC 2 0 (1). x xC t  Đường thẳng Δ qua C nhận nP 1;1; 1 làm véctơ chỉ phương có phương trình: y yC t . z zC t Gọi I là tâm mặt cầu S , có: IA IB I thuộc mặt phẳng trung trực của AB. 11 2x 4y Mặt phẳng có phương trình: 2x 4y 11 0 . Mặt khác I  t C C (2). 6 2 2 2 Lại có: IC IA nên: 3t 2 x 1 t y 1 t z 1 2 t C C C 2 2 2 xC 1 yC 1 zC 1 2t xC yC zC 1 0 . 2 2 2 11 2xC 4yC Kết hợp (1) và (2) ta được: xC 1 yC 1 zC 1 6 0 6 2 2 2 xC yC 1 zC 1 10 (3). xC yC zC 2 0 Từ (1) và (3), suy ra C thuộc đường tròn giao tuyến: . 2 2 2 xC yC 1 zC 1 10 Khi đó bán kính của đường tròn là: r 10 . Vậy S R2 10 . Trang 21