Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 51 - Hoàng Xuân Nhàn

Nội dung text: Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 51 - Hoàng Xuân Nhàn

1. ĐỀ SỐ 51 ĐỀ RÈN LUYỆN MƠN TỐN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Nội dung: Thời gian: 90 phút Giải tích: SỐ PHỨC Câu 1. Tính mơđun của số phức zi=+34. A. 3 . B. 5 . C. 7 . D. 7 . Câu 2. Số phức liên hợp của số phức z=− i(12 i) cĩ điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây? A. E (2;− 1) . B. B(−1;2) . C. A(1;2) . D. F (−2;1) . Câu 3. Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Phần thực là 3 , phần ảo là 2 . B. Phần thực là 3 , phần ảo là 2i . C. Phần thực là −3, phần ảo là 2i . D. Phần thực là −3, phần ảo là 2 . Câu 4. Cho số phức zi=+12. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w=+ z iz trên mặt phẳng toạ độ? A. M (3;3) . B. Q(3;2) . C. N (2;3) . D. P(−3;3) . Câu 5. Cho hai số phức zi1 =+23, zi2 =+1 . Giá trị của biểu thức zz12+ 3 là A. 55 . B. 5 . C. 6 . D. 61 . 2 Câu 6. Gọi z0 là nghiệm phức cĩ phần ảo dương của phương trình zz+2 + 10 = 0 . Tính iz0 . A. iz0 =−3 i. B. iz0 = −31 i + . C. iz0 = −3 − i. D. iz0 =−31 i . Câu 7. Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức zi=+1 là: A. Phần thực là 1, phần ảo là −1. B. Phần thực là 1, phần ảo là −i . C. Phần thực là 1, phần ảo là i . D. Phần thực là 1, phần ảo là 1. Câu 8. Xác định phần ảo của số phức zi=−18 12 . A. −12 . B. 18. C. 12. D. −12i . Câu 9. Điểm biểu diễn của số phức z là M (1;2) . Tọa độ của điểm biểu diễn cho số phức w=− z2 z là A. (2;− 3). B. (2;1) . C. (−1;6) . D. (2;3). 2 Câu 10. Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình zz−4 + 5 = 0. Giá trị của biểu thức P=( z1 −2 z 2) . z 2 − 4 z 1 bằng: A. −10 . B. 10. C. −5. D. −15 . Câu 11. Cho số phức z=(1 + i)2 ( 1 + 2 i). Số phức z cĩ phần ảo là: A. 2 . B. 4 . C. −2. D. 2i . HỒNG XUÂN NHÀN 534
2. Câu 12. Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn cho số phức A. z=2 − 2 i +( − 5 + i) . B. z=(1 + 2 i) −( 4 + i) . C. zi= −31 + . D. zi= −13 − . Câu 13. Cho số phức zi=+12. Số phức liên hợp của z là A. zi= −12 + . B. zi= −12 − . C. zi=+2 . D. zi=−12. (2−− 3ii)( 4 ) Câu 14. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z = . 32+ i A. (−−1; 4) . B. (1;4) . C. (1;− 4) . D. (−1;4) . Câu 15. Cho số phức z=+ a bi (ab, ) . Khẳng định nào sau đây sai? A. z=+ a22 b . B. z=− a bi . C. z 2 là số thực. D. zz. là số thực. 2 Câu 16. Cho hai số phức zi1 =−3 và zi2 =−4 . Tính mơđun của số phức zz12+ . A. 12. B. 10. C. 13. D. 15. Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn (1+z)( 1 + i) − 5 + i = 0 . Số phức wz=+1 bằng A. −+13i . B. 13− i . C. −+23i . D. 23− i . Câu 18. Gọi ab, lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z=1 − 3 i( 1 + 2 i) + 3 − 4 i( 2 + 3 i) . Giá trị của ab− là A. 7 . B. −7. C. 31. D. −31. Câu 19. Cho số phức zi1 =+32, zi2 =+65. Tìm số phức liên hợp của số phức z=+65 z12 z A. zi=+51 40 . B. zi=−51 40 . C. zi=+48 37 . D. zi=−48 37 . Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn (1+ 2i) z =( 1 + 2 i) −( − 2 + i) . Mơ đun của z bằng A. 2 . B. 1. C. 2 . D. 10 . Câu 21. Số phức z nào sau đây thỏa z = 5 và z là số thuần ảo? A. z = 5 . B. zi=+23. C. zi= 5 . D. zi=− 5 . Câu 22. Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z=+ a bi ( ab, , ab 0 ), M là điểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. M đối xứng với M qua Oy . B. M đối xứng với M qua Ox . C. M đối xứng với M qua đường thẳng yx= . D. M đối xứng với M qua O . 22 Câu 23. Cho hai số phức zi1 = −12 + , zi2 = −12 − . Giá trị của biểu thức zz12+ bằng A. 10 . B. 10. C. −6. D. 4 . Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn: (3+ 2i) z +( 2 − i)2 = 4 + i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Câu 25. Biết z=+ a bi (ab, ) là số phức thỏa mãn (3− 2i) z − 2 iz = 15 − 8 i . Tổng ab+ là A. ab+=5. B. ab+ = −1. C. ab+=9. D. ab+=1. HỒNG XUÂN NHÀN 535
3. 13 Câu 26. Cho số phức zi= − + . Tìm số phức w=1 + z + z2 . 22 13 A. 23− i . B. 1. C. 0 . D. −+ i . 22 Câu 27. Tính mơđun của số phức z thỏa mãn: 3z . z+ 2024( z − z) = 48 − 2023 i . A. z = 4. B. z = 2 506 . C. z =17 7 . D. z = 3 . 13+ i Câu 28. Cho số phức z=+ a bi (ab, ) thỏa a+( b −1) i = . Giá trị nào dưới đây là mơđun của z ? 12− i A. 5 . B. 1. C. 10 . D. 5 . Câu 29. Trong các số phức: (1+ i)3 , (1+ i)4 , (1+ i)5 , (1+ i)6 số phức nào là số phức thuần ảo? A. (1+ i)3 . B. (1+ i)4 . C. (1+ i)5 . D. (1+ i)6 . Câu 30. Cho số phức z= a + bi( a, b ) thỏa mãn zi+2 + 5 = 5 và zz.= 82 . Tính giá trị của biểu thức P=+ a b . A. 10. B. −8. C. −35 . D. −7. 1 Câu 31. Cho số phức z= mi , ()m . Tìm phần ảo của số phức ? z 1 1 1 1 A. − . B. . C. − i . D. i . m m m m Câu 32. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn zi−3 + 4 = 5 là A. Một đường trịn. B. Một đường thẳng. C. Một đường parabol. D. Một đường Elip. Câu 33. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B , C , Dlần lượt là các điểm biểu diễn số phức zi1 = −1 + , zi2 =+12 , zi3 =−2 , zi4 =−3 . Gọi S là diện tích tứ giác ABCD. Tính S . 17 19 23 21 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 2 2 2 2 Câu 34. Cho số phức z thoả mãn zi+3 − 4 = 5 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là một đường trịn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường trịn đĩ. A. I (3;− 4), R = 5 . B. I (−3;4) , R = 5 . C. I (3;− 4), R = 5. D. I (−3;4) , R = 5. Câu 35. Cho các số phức z thỏa mãn zi−=5 . Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức w= iz +1 − i là đường trịn. Tính bán kính của đường trịn đĩ. A. r = 22. B. r = 20. C. r = 4. D. r = 5 . Câu 36. Cho số phức thỏa z = 3 . Biết rằng tập hợp số phức w=+ z i là một đường trịn. Tìm tâm của đường trịn đĩ. A. I (0;1) . B. I (0;− 1) . C. I (−1;0) . D. I (1;0) . Câu 37. Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z= z + z =1? A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Câu 38. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2z− 1 = z + z + 2 trên mặt phẳng tọa độ là một HỒNG XUÂN NHÀN 536
4. A. đường thẳng. B. đường trịn. C. parabol. D. hypebol. Câu 39. Cho số phức z=+ a bi (ab, ) thỏa mãn z+2 + i − z( 1 + i) = 0 và z 1. Tính P=+ a b . A. P =−1. B. P =−5. C. P = 3. D. P = 7 . Câu 40. Tổng các nghiệm phức của phương trình zz32+ −20 = là A. 1. B. −1. C. 1− i . D. 1+i . 2 Câu 41. Kí hiệu z1 là nghiệm phức cĩ phần ảo âm của phương trình 4zz− 16 + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ 3 điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w=(12 + i) z − i ? 1 2 A. M (−2;1) . B. M (3;− 2) . C. M (3;2) . D. M (2;1) . Câu 42. Trên mặt phẳng phức tập hợp các số phức z=+ x yi thỏa mãn z+23 + i = z − i là đường thẳng cĩ phương trình A. yx=+1. B. yx= − +1. C. yx= − −1. D. yx=−1. z−−13 z i Câu 43. Cĩ bao nhiêu số phức z= a + bi( a, b ) thỏa mãn ==1? z−+ i z i A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Câu 44. Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn zi+1 − 3 = 3 2 và ( zi+ 2 )2 là số thuần ảo? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 45. Số phức z=+ a bi ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn (13− iz) là số thực và zi−2 + 5 = 1. Khi đĩ ab+ là A. 9 . B. 8 . C. 6 . D. 7 . zz+ Câu 46. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z +13 = + , gọi số phức z=+ x yi là số phức cĩ 2 mơ-đun nhỏ nhất. Tính S=2022 x + 2023 y + 2024 . A. 2024 . B. −2020 . C. 2023. D. −2022 Câu 47. Cho số phức z thõa mãn zi−12 + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= z +2 − i22 + z − 2 − 3 i . A. 18. B. 38+ 8 10 . C. 18+ 2 10 . B. 16+ 2 10 . Câu 48. Cho hai số phức z , w thỏa mãn zw+=23, 2zw+= 3 6 và zw+=47. Tính giá trị của biểu thức P=+ z w z w . A. Pi=−14 . B. Pi=−28 . C. P =−14 . D. P =−28 . Câu 49. Cho hai số phức zz12, thoả mãn zz12==2, 3 . Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz2 . 22 Biết MON =30 . Tính S=+ z124 z . A. 52. B. 33. C. 47. D. 5 . z −11 Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= z + i +2 z − 4 + 7 i . zi+ 3 2 A. 8 . B. 20 . C. 25. D. 45. ___HẾT___ HỒNG XUÂN NHÀN 537
5. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 51 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A A D C A A C D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B D A C C D B D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 D B B D C C A D D B 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A A A D D A C C D B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C D B C B B B D C B Lời giải câu hỏi vận dụng cao đề số 51 z−−13 z i Câu 43. Cĩ bao nhiêu số phức z= a + bi( a, b ) thỏa mãn ==1? z−+ i z i A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải: 2222 z −1 = z − i (a−11) + b = a +( b − ) −2ab + 1 = − 2 + 1 a =1 Ta cĩ: . z−3 i = z + i 2222−6bb + 9 = 2 + 1 b =1 a+( b −31) = a +( b + ) Suy ra zi=+1 . Vậy cĩ một số phức thỏa mãn. ⎯⎯⎯→Chọn B Câu 44. Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn zi+1 − 3 = 3 2 và ( zi+ 2 )2 là số thuần ảo? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải: Giả sử z=+ x yi ( xy, ) . Ta cĩ: z+1 − 3 i = 3 2 ( x + 1)22 +( y − 3) = 18( 1). 222 2 Xét wzi=( +2) = xyixy +( + 2) = −( + 2) + 2 xyi( + 2) . ab 2 2 xy=+2 Theo giả thiết: w thuần ảo xy −( +20) = . xy= −( + 2) 2 Trường hợp 1: xy=+2 , thay vào (1) ta được: 2y= 0 y = 0 x = 2 =z1 2 . y =+15 Trường hợp 2: xy= −( + 2) , thay vào (1) ta được: 2yy2 − 4 − 8 = 0 y =−15 =−−z233 5 ++( 1 5) i , z =−+ 3 5 +−( 1 5) i . Vậy cĩ 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài tốn. ⎯⎯⎯→Chọn C HỒNG XUÂN NHÀN 538
6. Câu 45. Số phức z=+ a bi ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn (13− iz) là số thực và zi−2 + 5 = 1. Khi đĩ ab+ là A. 9 . B. 8 . C. 6 . D. 7 . Hướng dẫn giải: Xét số phức w=−(13 i) z =(13 −i)( a + bi) =a +33 b +( b − a) i . Theo giả thiết w là số thực nên ba−=30 =ba3 (1) . Ta lại cĩ: zi−2 + 5 = 1 a −2 +( 5 − b) i = 1 (ab −2)22 +( 5 −) = 1 (2) . ab=26 = 22 Thế (1) vào (2) ta cĩ: (aa−2) +( 5 − 3) = 1 10aa2 − 34 + 28 = 0 7 . a = (loại) 5 Vậy ab+=+=2 6 8. ⎯⎯⎯→Chọn B zz+ Câu 46. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z +13 = + , gọi số phức z=+ x yi là số phức cĩ 2 mơ-đun nhỏ nhất. Tính S=2022 x + 2023 y + 2024 . A. 2024 . B. −2020 . C. 2023. D. −2022 Hướng dẫn giải: x+ yi + x − yi 22 Gọi z= x + yi( x, y ) . Theo giả thiết: x+ yi +1 = + 3 ( x + 1) + y2 =( x + 3) 2 2x+ 1 + y22 = 6 x + 9 y = 4 x + 8 (1). (1) Mơ-đun của z là: z= x2 + y 2 = x 2 +4 x + 8 =( x + 2)2 + 4 4 = 2 . z = 2 Chọn Do vậy min ; khi đĩ: xy= −2, = 0 . Do vậy S=2022 x + 2023 y + 2024 = − 2020. ⎯⎯⎯→ B Câu 47. Cho số phức z thõa mãn zi−12 + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= z +2 − i22 + z − 2 − 3 i . A. 18. B. 38+ 8 10 . C. 18+ 2 10 . B. 16+ 2 10 . Hướng dẫn giải:  Lưu ý: Giả sử z cĩ điểm biểu diễn là M, khi đĩ: 1) z−( a + bi) = MN với N( a; b) . 2) z−( a + bi) = c (với c 0 ) là phương trình đường trịn tâm I( a;, b) bán kính rc= . 3) Xét tam giác MAB với I là trung điểm AB, ta cĩ: 22 MA22+ MB =( MI + IA) +( MI + IB) =22MI2 + MI IA + IB + IA 2 + IB 2 =0 22 2 22 AB AB AB =2MI + + = 2 MI + . 2 2 2 4) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: HỒNG XUÂN NHÀN 539
7. Với hai cặp số (a;,; x) ( b y) , ta cĩ: ax+ by ( a2 + b 2)( x 2 + y 2 ) . a b a x Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = (điều kiện mẫu khác 0). x y b y ☺ Cách giải 1: Gọi M( x; y) là điểm biểu diễn cho số phức z . Gọi I (1;− 1) , A(−2;1) , B (2;3) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức 1− i ; −+2 i ; 23+ i . Khi đĩ, ta cĩ: z−1 + i = 2 z −( 1 − i) = 2 MI = 2; nghĩa là M thuộc đường trịn (C ) cĩ tâm I (1;− 1) , R = 2 . M I 22 Ta cĩ P=+−+−− z2 i22 z 2 3 i =−−+ z( 2 i) +−+ z( 2 3 i) =+MA22 MB . (Xem mục Lưu ý). MM AB AB2 Gọi E (0;2) là trung điểm của AB , ta cĩ: P=+2 ME2 . (Xem mục Lưu ý). 2 Ta thấy AB khơng đổi, do đĩ P cĩ giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ME cĩ giá trị lớn nhất. Nhận thấy : IE=1 + 9 = 10 2 = R nên nên điểm E nằm ngồi đường trịn . Ta cĩ: ME= IE + R =2 + 10 . ( )max 2 2 2 AB Chọn Vậy Pmax =2(( ME) ) + = 2 2 + 10 + 10 = 38 + 8 10 . ⎯⎯⎯→ B max 2 ( ) ☺ Cách giải 2: Giả sử z=+ x yi ( xy, ). M( x; y) là điểm biểu diễn của z . Từ giả thiết: zi−12 + = , suy ra MC ( 1 ) cĩ tâm I1 (1;− 1) và bán kính R1 = 2 . 22 Khi đĩ: z−+= −++= +=−+1 i 2( x 1) ( y 1) 4 x22 y 2 x 2 y 2 (1) . Ta cĩ: P=+−+−− z2 i22 z 2 3 i =+( x 2)2 +−+−( y 1) 2( x 2) 2 +−( y 3) 2 . (1) Suy ra Pxyy=+−+=222 2 8 1822( xyy −+−+=−+= 2 28) 184 xy 12 224( x −− 112) ( y ++ 138) . Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : 2 2 2 41121(x−) −( y +) 42 +( − 12) ( x − 1) +( y + 1) = 810 . =4 −8 10 −− 4(x 1) 12( y + 1) 8 10 − 8 10 + 38 P 8 10 + 38.Do đĩ Pmax =+38 8 10 . x −−14 = Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y +1 12 . 4xy− 12 + 22 = 38 + 8 10 (Học sinh cĩ thể giải tìm x, y bằng phương pháp thế hoặc dùng máy tính bỏ túi). Câu 48. Cho hai số phức z , w thỏa mãn zw+=23, 2zw+= 3 6 và zw+=47. Tính giá trị của biểu thức P=+ z w z w. A. Pi=−14 . B. Pi=−28 . C. P =−14 . D. P =−28 . Hướng dẫn giải: HỒNG XUÂN NHÀN 540
8. Ta cĩ: zw+=23 zw +292 = (z +2 w) .( z + 2 w) = 9 (z +2 w) .( z + 2 w) = 9 22 z. z + 2 z . w + z . w + 4 w . w = 9 z +2 P + 4 w = 9 (1) ; =P 22 2zw+= 3 6 2zw + 32 = 36 (2z + 3 w) .( 2 z + 3 w) = 36 4z + 6 P + 9 w = 36 (2) ; 22 zw+=47 (z +4 w) .( z + 4 w) = 49 z +4 P + 16 w = 49 (3) . z 2 = 33 Chọn Giải hệ phương trình gồm (1) , (2) , (3) ta cĩ: P =−28. Vậy P =−28 . ⎯⎯⎯→ D 2 w = 8 Câu 49. Cho hai số phức zz12, thoả mãn zz12==2, 3 . Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1 và iz2 . 22 Biết MON =30 . Tính S=+ z124 z . A. 52. B. 33. C. 47. D. 5 . Hướng dẫn giải: Nhận xét: Từ giả thiết, ta cĩ: OM= z1 =2, ON = iz 2 = i . z 2 = 3 . 2 2 2 2 Ta cĩ Sz=1 +4 z 2 = z 1 −( 2 iz 2) = z 1 − 2 izz 2 . 1 + 2 iz 2 Gọi P là điểm biểu diễn của số phức 2iz2 , suy ra OP=2 iz22 = 2 iz = 2 ON = 2 3 hay N là trung điểm OP. Ta cĩ: z1−2 iz 2 . z 1 + 2 iz 2 = OM − OP . OM + OP ==PM. 2 OI 2 PM . OI với I là trung điểm MP. Xét tam giác OMP với MOP= MON =30  , áp dụng định lí Cơ-sin, ta cĩ MP= OM2 + OP 2 − 2 OM . OP .cos30 0 3 =4 + 12 − 2.2.2 3. MP = 2 . 2 OM2+ OP 2 MP 2 Tam giác OMP cĩ trung tuyến OI nên OI2 = − =77 OI = . 24 Vậy S=2 PM . OI = 2.2. 7 = 4 7 . ⎯⎯⎯→Chọn C z −11 Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= z + i +2 z − 4 + 7 i . zi+ 3 2 A. 8 . B. 20 . C. 25. D. 45. Hướng dẫn giải: Gọi z=+ x yi với xy, ; M( x;,; y) M ( x− y) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức zz, . HỒNG XUÂN NHÀN 541
9. z −11 Ta cĩ: = 2z − 1 = z + 3 i 2( x − 1) + yi = x +( y + 3) i zi+ 3 2 2(x −+=++ −++=+++ 1)22 y2 x 2( y 3) 2 x 2 4 x 2 2 y 2 x 2 y 2 6 y 9 +−−−= −+−=x22 y4 x 6 y 7 0( x 2)22( y 3) 20 . Như vậy, tập hợp điểm M là đường trịn (C ) tâm I (2;3) và bán kính R = 25. P= z + i +2 z − 4 + 7 i = OM − OA + 2 OM − OB với A(0;− 1) , B(4;− 7) . Suy ra P=+ AM2 BM . Vì M đối xứng với M qua Ox nên ta cần gọi điểm B (4;7) đối xứng với B qua , khi đĩ MB = MB . Do đĩ: P=+ AM2 MB . Ta lại cĩ , B (4;7) thuộc đường trịn (C ) và AB ==4 5 2 R, vì vậy AB là đường kính của đường trịn MA2 + MB 2 = AB 2 = 80 . 2 2 2 2 Do đĩ: P =MA +2 MB ( 1 + 2) MA + MB = 20 . =80 Cauchy− Shwart MB = 2 MA MA = 4 Chọn Dấu ""= xảy ra khi 22 . Vậy maxP = 20. ⎯⎯⎯→ B MA+= MB 80 MB = 8 HỒNG XUÂN NHÀN 542