Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 56 - Hoàng Xuân Nhàn

Nội dung text: Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 56 - Hoàng Xuân Nhàn

1. ĐỀ SỐ 56 ĐỀ RÈN LUYỆN MƠN TỐN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Nội dung: Thời gian: 90 phút FULL KIẾN THỨC TỐN 12+ Câu 1. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x22+( y − 1)2 + z = 2 . Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngồi mặt cầu (S ) ? A. M (1;1;1) . B. N (0;1;0) . C. P(1;0;1) . D. Q (1;1;0) . Câu 2. Cho hàm số fx( ) xác định trên và cĩ bảng xét dấu đạo hàm như sau. Hỏi hàm số cĩ bao nhiêu điểm cực trị dương? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Câu 3. Đặt a = log5 3. Tính theo a giá trị của biểu thức log9 1125. 3 3 2 3 A. log 1125=+ 1 . B. log 1125=+ 2 . C. log 1125=+ 2 . D. log 1125=+ 1 . 9 2a 9 a 9 3a 9 a Câu 4. Thể tích khối tứ diện đều cạnh a bằng a3 3 a3 3 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 12 6 x +−22 Câu 5. Giới hạn lim bằng x→2 x − 2 1 1 A. . B. . C. 0 . D. 1. 2 4 Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình log2 ( x − 1) 3 là: A. (− ;10) . B. (1;9) . C. (1;10) . D. (− ;9) . Câu 7. Đồ thị hàm bậc bốn trùng phương nào dưới đây cĩ dạng đồ thị hình vẽ bên A. f( x )=− x42 2 x . B. f( x )= − x42 + 2 x . C. f( x )=+ x42 2 x . D. f( x )= − x42 + 2 x − 1. xt=−1 Câu 8. Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d: y= − 2 + 2 t . Vectơ nào zt=+1 dưới đây là vectơ chỉ phương của d ? A. n =−(1; 2;1) . B. n = (1;2;1) . C. n =( −1; − 2;1) . D. n =−( 1;2;1) . Câu 9. Đồ thị hàm số nào trong các hàm số được cho dưới đây khơng cĩ tiệm cận ngang? x + 2 x + 2 x2 −1 1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x2 +1 x +1 x + 2 x + 2 HỒNG XUÂN NHÀN 589
2. 1 Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f( x )=+ 5cos x là hàm số nào sau đây: x2 1 1 A. F( x )= − 5sin x − + C . B. F( x )= 5sin x + + C . x x 1 C. F( x )= 5sin x + ln x + C . D. F( x )= 5sin x − + C . x Câu 11. Thể tích của khối nĩn cĩ chiều cao bằng 4 và đường sinh bằng 5 bằng A. 16 . B. 48 . C. 12 . D. 36 . Câu 12. Đồ thị hàm số y= x3 −31 x + cho ở hình bên. Phương trình x3 −30 x − m = ( m là tham số) cĩ ba nghiệm phân biệt khi A. −13 m . B. −22 m . C. −23 m . D. −22 m . Câu 13. Cho khối chĩp S. ABCD cĩ SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, SA= 3 a , ABCD là hình chữ nhật và AB= 2 a , AD= a . Thể tích của khối chĩp S. ABCD bằng 3 A. a3 . B. 3a3 . 2 C. 2a3 . D. 9a3 . 2 Câu 14. Với a và b là các số thực dương. Biểu thức loga (ab) bằng A. 2− loga b. B. 2+ loga b. C. 1+ 2loga b . D. 2loga b . Câu 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=− x2 4 x và trục hồnh. 41 32 7 9 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = . 3 3 4 4 Câu 16. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng (Oyz) ? A. y = 0. B. z = 0. C. yz+=0. D. x = 0 . Câu 17. Cho số phức zi=+1 2020 . Số phức liên hợp của z là A. z = 2 . B. zi= −22 + . C. z = 0 . D. z =−2 . Câu 18. Cho khối lăng trụ cĩ diện tích đáy bằng a2 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 3a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 A. Va= 3 . B. Va= 3 3 . C. Va= 3 . D. Va= 9 3 . 2 Câu 19. Cho x , y là các số thực tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? ex A. ex+ y=+ e x e y . B. ex− y=− e x e y . C. exy= e x e y . D. = exy− . e y 2 2 Câu 20. Tích phân dx bằng. 0 21x + 1 A. 2ln5 . B. ln5 . C. ln5. D. 4ln5 . 2 Câu 21. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng (1;5) ? HỒNG XUÂN NHÀN 590
3. x +1 x − 3 31x − 21x + A. y = . B. . C. y = . D. . 32x + x − 4 x +1 x − 2 21x− 2 27 Câu 22. Nghiệm của phương trình = là 38 A. x = 2 . B. x = 3. C. x =−1. D. x = 4 . Câu 23. Thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều cĩ cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng a là a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. Va= 3 3 . C. V = . D. V = . 2 4 3 Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn: (3+ 2i) z +( 2 − i)2 = 4 + i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Câu 25. Trong các hàm số được cho dưới đây, hàm số nào cĩ tập xác định là D = ? A. yx=−ln( 2 1) . B. yx=−ln( 1 2 ) . C. yx=+ln( 1)2 . D. yx=+ln( 2 1) . Câu 26. Cho khối lăng trụ ABCD. A B C D cĩ thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuơng tâm O . Thể tích của khối chĩp A . BCO bằng A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . Câu 27. Ta xác định được các số a , b , c để đồ thị hàm số y= x32 + ax + bx + c đi qua điểm (1;0) và cĩ điểm cực trị (−2;0) . Tính giá trị biểu thức T= a2 + b 2 + c 2 . A. 25 . B. −1. C. 7 . D. 14. Câu 28. Hình chĩp đều S. ABCD tất cả các cạnh bằng a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp là: A. 4 a2 . B. a2 . C. 2 a2 . D. 2 a2 . Câu 29. Cho A = 1,2,3,4. Từ A lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số đơi một khác nhau? A. 32 . B. 24 . C. 256 . D. 1. mx +16 Câu 30. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = đồng biến trên (0;10) . xm+ A. m ( − ; − 10 ( 4; + ) . B. m ( − ; − 4) ( 4; + ). C. m ( − ; − 10  4; + ) . D. m ( − ; − 4  4; + ) x−4 y + 3 z − 2 Câu 31. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M (2;− 2;3) và hai đường thẳng : = = , 3− 1 2 x+−12 y z : = = . Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng đi qua M 2 3 1 và vuơng gĩc với hai đường thẳng và ? xt=−27 xt= −27 − xt=−27 xt= −27 − A. yt= −2 + . B. yt=+23 . C. yt= −2 − . D. yt=−2 . zt=+3 11 zt= −3 + 11 zt=+38 zt=+38 3 xa Câu 32. Cho dx= + b ln 2 + c ln3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của abc++ bằng 0 4++ 2x 1 3 A. 1. B. 2 . C. 7 . D. 9 . Câu 33. Cho hình chĩp S. ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a . Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy. Biết a 3 khoảng cách từ A đến (SCD) bằng . Tính thể tích khối chĩp S. ABCD theo a . 2 HỒNG XUÂN NHÀN 591
4. a3 3 33a3 a3 3 A. B. . C. a3 3 . D. . 3 4 4 Câu 34. Cho hàm số y= ax32 + bx + cx + d . Hỏi hàm số luơn đồng biến trên khi nào? a= b =0, c 0 a= b =0, c 0 A. 2 . B. 2 . a 0 ; b − 3 ac 0 a 0 ; b − 3 ac 0 a= b =0, c 0 abc= = = 0 C. 2 . D. 2 . a 0 ; b − 3 ac 0 a 0 ; b − 3 ac 0 x−+31 y z Câu 35. Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng : = = và điểm M (2;− 1;5) . Phương trình 2− 3 1 mặt phẳng ( P) qua M và vuơng gĩc với là A. 2x− 3 y + z − 12 = 0. B. 2x− 3 y + z + 12 = 0 . C. 2x− y + 5 z − 12 = 0 . D. 2x− y + 5 z + 12 = 0. Câu 36. Cho số phức z , biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z ;iz và z+ i z tạo thành một tam giác cĩ diện tích bằng 18. Mơ đun của số phức z bằng A. 23. B. 32. C. 6 . D. 9 . logxx+ 3 = log + 3 Câu 37. Số nghiệm của phương trình xx2 −+2 ( ) x+5 ( ) là: A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Câu 38. Trong khơng gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P) : x+ 2 y − 2 z − 6 = 0 và (Q) : x+ 2 y − 2 z + 3 = 0 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( P) và (Q) bằng A. 1. B. 3 . C. 9 . D. 6 . Câu 39. Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục Ox tại điểm cĩ hồnh độ x (0 x ) là một tam giác đều cạnh 2 sin x . A. V = 3. B. V = 3 . C. V = 23 . D. V = 23. z −1 zi− 3 Câu 40. Cho số phức z=+ a bi , (ab, ) thỏa mãn = 1 và = 1. Tính P=+ a b . zi− zi+ A. P = 7 . B. P =−1. C. P =1. D. P = 2 . Câu 41. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AC==1cm, AB 2cm, M là trung điểm của AB. Quay tam giác BMC quanh trục AB , gọi V là thể tích khối trịn xoay thu được, khi đĩ V bằng: 3 A. cm3. B. cm3. C. cm3. D. cm3. 4 3 2 Câu 42. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: zi+24 − = là đường trịn cĩ tâm I và bán kính R lần lượt là: A. I (−−2; 1) ; R = 4 . B. I (−−2; 1) ; R = 2 . C. I (2;− 1) ; R = 4 . D. I (2;− 1) ; I (2;− 1) . HỒNG XUÂN NHÀN 592
5. Câu 43. Một bức tường cao 2m nằm song song với tịa nhà và cách tịa nhà 2m. Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngồi bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tịa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét ? 5 13 A. m . 3 B. 4 2m . C. 6m. D. 3 5m. xx Câu 44. Tập các giá trị của m để phương trình 4.( 5+ 2) +( 5 − 2) −m + 3 = 0 cĩ đúng hai nghiệm âm phân biệt là: A. (− ; − 1) ( 7; + ) . B. (7; 8) . C. (− ;3) . D. (7; 9) . x −1 Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = cĩ đúng bốn đường 2x2 − 2 x − m − x − 1 tiệm cận. A. m  −5;4 \ − 4 . B. m − 5;4. C. m ( −5;4) \ − 4 . D. m ( −5;4 \ − 4 . Câu 46. Cho tập hợp A = 1;2;3; ;10 . Chọn ngẫu nhiên ba số từ A. Tìm xác suất để trong ba số chọn ra khơng cĩ hai số nào là hai số nguyên liên tiếp. 7 7 7 7 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 90 24 10 15 Câu 47. Cho tứ diện ABCD cĩ AB=2, AC = 3, AD = BC = 4, BD = 2 5, CD = 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD bằng. 3 15 240 A. . B. 2. C. . D. 3. 4 79 3 2 3 2 Câu 48. Cho hai hàm số y= x + x −3 x − 1, y = 2 x + 2 x − mx + 2 cĩ đồ thị lần lượt là (CC12), ( ) và m là tham số thực. Biết rằng tồn tại m để (C1 ) cắt (C2 ) tại ba điểm phân biệt cĩ tung độ là y1,, y 2 y 3 thỏa 1 1 1 2 mãn + + = , khi đĩ: y1+4 y 2 + 4 y 3 + 4 3 A. m (4;7) . B. m (9;12) . C. m (6;9) . D. m (8;11). Câu 49. Cho x , y 0 thỏa mãn log( x+ 2 y) = log( x) + log ( y) . Khi đĩ, giá trị nhỏ nhất của biểu thức xy224 P =+ là: 1++ 2yx 1 32 31 29 A. 6 . B. . C. . D. . 5 5 5 Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn 5z− i = z + 1 − 3 i + 3 z − 1 + i . Tìm giá trị lớn nhất T của zi−+23 ? 10 A. T = . B. T =+1 13 . C. T = 45. D. T = 9 . 3 ___HẾT___ HỒNG XUÂN NHÀN 593
6. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A C B B B D C D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B C B B D A B D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A C B D D A A D B A 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A A A A A C A B D D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B A B B D D C D B C Lời giải câu hỏi vận dụng cao đề số 56 Câu 43. Một bức tường cao 2m nằm song song với tịa nhà và cách tịa nhà 2m. Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngồi bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tịa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét ? 5 13 A. m . B. 4 2m . C. 6m. D. 3 5m. 3 Hướng dẫn giải: Xét hệ điểm ABCDE,,,, như hình vẽ. Gọi BC= x( x 0) . Ta cần tìm x để độ dài CD đạt giá trị nhỏ nhất. Dễ thấy hai tam giác CAB, CDE đồng dạng, suy ra: BC x AC x++22 x = = CD = AC. = x2 + 4. . CE x+ 2 CD x x x + 2 Đặt f( x) =+ x2 4. với x 0 . x ☺ Cách giải 1: HỒNG XUÂN NHÀN 594
7. x x+2 − 2 x + 2 2 x22 + 4 x + 2 2 x + 4 2 f( x) =. + x + 4.2 = − 2 = 0 = 2 x2+4x x x 2 + 4 x x 2 + 4 x x2( x +2) = 2( x 2 + 4) x 3 = 8 x = 2 . Bảng biến thiên của fx( ) : Vậy chiều dài tối thiểu của thang bằng 42. ⎯⎯⎯→Chọn B ☺ Cách giải 2: 2 xx++42 2 AM−− GM AM GM 4xx .2 2 x = 4 Ta cĩ: fx( ) = = 42. Dấu đẳng thức xảy tra x = 2. xx x = 2 xx Câu 44. Tập các giá trị của m để phương trình 4.( 5+ 2) +( 5 − 2) −m + 3 = 0 cĩ đúng hai nghiệm âm phân biệt là: A. (− ; − 1) ( 7; + ) . B. (7; 8) . C. (− ;3) . D. (7; 9) . Hướng dẫn giải: x 1 Đặt t =5 + 2 0 =xtlog . Phương trình đã cho trở thành: 4tm+ + 3 = ( *) . ( ) 52+ t Nhận xét: Với mỗi t (0; 1) thì ta tìm được đúng một nghiệm x 0 . Bài tốn trở thành: Tìm m để phương trình (*) cĩ đúng hai nghiệm phân biệt t1,2 (0; 1) . 1 2 t = (0; 1) 1 1 4t − 1 2 Xét hàm số f( t) =43 t + + với t (0; 1) ; ft ( ) =4 − = = 0 . t tt22 1 t = − (0; 1) 2 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta cĩ: 78 m . x −1 Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = cĩ đúng bốn đường 2x2 − 2 x − m − x − 1 tiệm cận. A. m  −5;4 \ − 4 . B. m − 5;4. C. m ( −5;4) \ − 4 . D. m ( −5;4 \ − 4 . HỒNG XUÂN NHÀN 595
8. Hướng dẫn giải: 1 x 1− x 1 Ta cĩ: limy = lim = = 1 + 2 ; xx→+ →+ 21m 21− x 21− −2 − − x x x 1 x 1− x 1 limy = lim = = 1 − 2 . Do đĩ đồ thị hàm số cĩ hai đường tiệm xx→− →− 21m −−21 x −21 − −2 − − x x x cận ngang là y =+12và y =−12. Vì vậy ta cần tìm m để đồ thị hàm số đã cho cĩ hai đường tiệm cận đứng. Khi tìm tiệm cận đứng, ta xét: 2x2 − 2 x − m − x − 1 = 0 2x2 − 2 x − m = x + 1 x −1 x −1 2 22 x−4 x − 1 = m (*) . 2x− 2 x − m = x + 2 x + 1 gx( ) Yêu cầu bài tốn (*) cĩ hai nghiệm phân biệt x1,2 −1 và khác 1 (khơng trùng nghiệm của tử số). Xét hàm số g( x) = x2 −41 x − với x −1 và x 1. Ta cĩ: g ( x) =2 x − 4 = 0 x = 2 . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta cĩ m ( −5;4 \ − 4 . ⎯⎯⎯→Chọn D Câu 46. Cho tập hợp A = 1;2;3; ;10 . Chọn ngẫu nhiên ba số từ A. Tìm xác suất để trong ba số chọn ra khơng cĩ hai số nào là hai số nguyên liên tiếp. 7 7 7 7 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . 90 24 10 15 Hướng dẫn giải: 3 Số phần tử khơng gian mẫu là nC(=) 10 =120 . Gọi B là biến cố “Ba số chọn ra khơng cĩ hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”. B là biến cố “Ba số được chọn cĩ ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”. Tìm các kết quả thuận lợi cho B : Xét bộ ba số cĩ dạng (1;2;a1 ), với aA1 \ 1;2: cĩ 8 bộ thỏa mãn. Xét bộ ba số cĩ dạng (2;3;a2 ) , với aA2 \ 1;2;3 : cĩ 7 bộ thỏa mãn. Xét bộ ba số cĩ dạng (3,4,a3 ) với aA3 \ 2;3;4: cĩ 7 bộ thỏa mãn. Thực hiện tương tự mỗi bộ ba số dạng: (4,5,a4 ) , (5,6,a5 ) , (6,7, a6 ) , (7,8, a7 ) , (8,9, a8 ), (9,10,a9 ) : đều cĩ 7 bộ thỏa mãn. HỒNG XUÂN NHÀN 596
9. 64 7 Suy ra: nB=+8 8.7 = 64 . Do vậy: PBPB( ) =−1 =−1 = . ⎯⎯⎯→Chọn D ( ) ( ) 120 15 Câu 47. Cho tứ diện ABCD cĩ AB=2, AC = 3, AD = BC = 4, BD = 2 5, CD = 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD bằng. 3 15 240 A. . B. 2. C. . D. 3. 4 79 Hướng dẫn giải: Ta cĩ: 2 2 2 nên tam giác ACD vuơng D AD+= AC CD tại A hay AD⊥ AC . Mặt khác: AD2+= AB 2 BD 2 nên tam giác ABD vuơng tại A hay AD⊥ AB. 5 AD⊥ AC 2 5 Ta cĩ: AD⊥ () ABC . 4 AD⊥ AB G A 3 C Dựng hình bình hành ACBE .Khi đĩ AC//( BDE ) . 4 Suy ra khoảng cách cần tìm: 2 d( AC, BD) == d( AC ,( BDE )) d( A ,( BDE )) (1) . E F B Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ AF⊥ BE tại F , trong tam giác ADF, dựng đường cao AG. Ta sẽ chứng minh AG⊥ ( BDE ). BE⊥ AF Thật vậy: ⊥BE() ADF mà AG(). ADF AG ⊥ BE BE⊥ AD AG⊥ BE Vì ⊥AG( BDE ) (2). Từ (1)&(2) d( AC, BD) = AG . AG⊥ DF AB++ BE AE 9 3 15 Đặt: p= = S = ppABpBEpAE( − )( − )( − ) = . 2 2 ABE 4 1 15 Ta lại cĩ: S ABE = AF. BE AF = . 22=3 AD. AF 240 Xét tam giác ADF vuơng tại A cĩ đường cao AG ==. ⎯⎯⎯→Chọn C AD22+ AF 79 3 2 3 2 Câu 48. Cho hai hàm số y= x + x −3 x − 1, y = 2 x + 2 x − mx + 2 cĩ đồ thị lần lượt là (CC12), ( ) và m là tham số thực. Biết rằng tồn tại m để (C1 ) cắt (C2 ) tại ba điểm phân biệt cĩ tung độ là y1,, y 2 y 3 thỏa 1 1 1 2 mãn + + = , khi đĩ: y1+4 y 2 + 4 y 3 + 4 3 A. m (4;7) . B. m (9;12) . C. m (6;9) . D. m (8;11). Hướng dẫn giải:  Cần nhớ: Định lí Vi-ét dành cho phương trình bậc ba. HỒNG XUÂN NHÀN 597
10. b x+ x + x = − 1 2 3 a 32 c Nếu phương trình ax+ bx + cx + d = 0 cĩ ba nghiệm x1,, x 2 x 3 thì x1 x 2+ x 2 x 3 + x 1 x 3 = . a d x1 x 2 x 3 =− a 32 Phương trình hồnh độ giao điểm của (CC12), ( ) : x+ x +(3 − m) x + 3 = 0 (*). Giả sử ABC,, là giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho thì tọa độ ABC,, thỏa hệ y= x3 + x 2 −3 x − 1 2 y = 2 x 3 + 2 x 2 − 6 x − 2 . Suy ra y= m −64 x − . 3 2 3 2 ( ) y=2 x + 2 x − mx + 2 y = 2 x + 2 x − mx + 2 Khi đĩ, ta cĩ: y1+4 =( m − 6) x 1 ; y 2 + 4 =( m − 6) x 2 ; y 3 + 4 =( m − 6) x 3 với x1,, x 2 x 3 là nghiệm của phương trình (*). x1 x 2+ x 2 x 3 + x 3 x 1 =3 − m Theo định lí Vi-ét bậc ba, ta cĩ . x1 x 2 x 3 =−3 2 1 1 1 1x x++ x x x x m − 3 Theo giả thiết: = + + =. 1 2 2 3 3 1 = . Suy ra m = 9 . 3y1+ 4 y 2 + 4 y 3 + 4 m − 6 x 1 x 2 x 3 3( m − 6) Thử lại: với m = 9 thì (*) trở thành x32+ x −6 x + 3 = 0. Phương trình này cĩ 3 nghiệm phân biệt. Vậy m = 9 là giá trị cần tìm. ⎯⎯⎯→Chọn D Câu 49. Cho x , y 0 thỏa mãn log( x+ 2 y) = log( x) + log ( y) . Khi đĩ, giá trị nhỏ nhất của biểu thức xy224 P =+ là: 1++ 2yx 1 32 31 29 A. 6 . B. . C. . D. . 5 5 5 Hướng dẫn giải:  Cần nhớ: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel (cịn gọi là bất đẳng thức cơng mẫu): 2 xy22( xy+ ) xy + . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = . a b a+ b ab Điều kiện: xy 0, 0. Ta cĩ: log( xy+ 2) = log( x) + log( y) log( xy + 2) = log( xyxyxy .) + 2 = (*) . 22 x2 (22y) ( x+ y) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel , ta cĩ: P = + . 1+ 2y 1 + x 2 + x + 2 y (1) Theo AM-GM, ta cĩ: x+2 y 2 x .2 y = 2 2( x + 2 y) ( x + 2 y)2 8( x + 2 y) xy2 0 (loại) (do điều kiện ). Suy ra xy28. xy2 8 (nhận) HỒNG XUÂN NHÀN 598
11. t 2 4 Đặt t= x +28 y , ta cĩ: Pt = −2 + tt++22 1 4 24 52 4 24 52 32 32 P ( t +2) + + t − 2 + .8 − = . Do vậy Pmin = . 25t + 2 25 25 25 25 25 5 5 24 AM− GM .8 25 xy2 = 8− 2yy 2 1++ 2yx 1 = x = 4 Dấu đẳng thức xảy ra 1+ 2yy 1 + 8 − 2 . 14 y = 2 x+2 y = 8;( t + 2) = xy=−82 25t + 2 t ⎯⎯⎯→Chọn B Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn 5z− i = z + 1 − 3 i + 3 z − 1 + i . Tìm giá trị lớn nhất T của zi−+23 ? 10 A. T = . B. T =+1 13 . C. T = 45. D. T = 9 . 3 Hướng dẫn giải: Gọi M là điểm biểu diễn của z; gọi A(0;1) , BC(−−1;3) ,( 1; 1) . Ta thấy A là trung điểm của BC . BC 2 Ta cĩ : MB2+ MC 2 =2 MA 2 + = 2 MA 2 + 10 . 2 Cauchy− Schwarz Theo giả thiết : 5z− i = z + 1 − 3 i + 3 z − 1 + i 5MA = MB + 3 MC 10. MB22 + MC =+2MA2 10 25MA22 10( 2 MA + 10) 5MA2 100 MA 2 5 (1). Xét z−2 + 3 i =( z − i) +( − 2 + 4 i) z − i +24 − i MA +2 5 4 5 (do (1)). zi−=25 zi2 3 (loại) Dấu ""= xảy ra khi và chỉ khi: ab−1 , với z=+ a bi ; ab, . Suy ra . = 0 zi25 −24 Vậy giá trị lớn nhất của là T = 45. ⎯⎯⎯→Chọn C HỒNG XUÂN NHÀN 599