Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 59 - Hoàng Xuân Nhàn

Nội dung text: Đề rèn luyện ôn thi THPT Quốc gia môn Toán Lớp 12 - Đề số 59 - Hoàng Xuân Nhàn

1. ĐỀ SỐ 59 ĐỀ RÈN LUYỆN MƠN TỐN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Nội dung: Thời gian: 90 phút FULL KIẾN THỨC TỐN 12+ Câu 1. Cho hàm số y= f( x) liên tục trên và cĩ bảng biến thiên sau Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3. B. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . C. Hàm số đạt cực đại tại x =−2. D. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 . Câu 2. Cho hàm số y= f( x) cĩ bảng biến thiên như sau. Tổng các giá trị nguyên của m để đường thẳng ym=−1 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt bằng A. 6 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Câu 3. Tìm phương trình mặt cầu cĩ tâm là điểm I (1;2;3) và tiếp xúc với trục Oz . A. ( x−1)2 +( y − 2) 2 +( z − 3) 2 = 5 . B. ( x−1)2 +( y − 2) 2 +( z − 3) 2 = 13 . C. ( x−1)2 +( y − 2) 2 +( z − 3) 2 = 14 . D. ( x−1)2 +( y − 2) 2 +( z − 3) 2 = 10 . Câu 4. Cho hàm số y= f() x cĩ bảng biến thiên như sau: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1. Câu 5. Trong khơng gian Oxyz , gọi là gĩc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đĩ cos bằng HỒNG XUÂN NHÀN 623
2. ab. ab. ab. ab. A. . B. . C. . D. . ab. ab. ab+ ab. Câu 6. Rút gọn biểu thức P= 3 x5 4 x với x 0. 20 7 20 12 A. Px= 21 . B. Px= 4 . C. Px= 7 . D. Px= 5 . Câu 7. Hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây? A. y= − x3 +31 x − . B. y= − x3 −31 x + . C. y= x3 −31 x + . D. y= x3 +31 x + . 4 − x2 Câu 8. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = là x + 3 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2025x = m cĩ nghiệm thực. A. m 1. B. m 0 . C. m 0. D. m 0 . Câu 10. Cĩ bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ nhĩm 41 học sinh? 2 2 41 2 A. 41 . B. A41 . C. 2 . D. C41 . Câu 11. Trong khơng gianOxyz , cho các điểm A(4;− 3;2) , B(6;1;− 7) ,C(2;8;− 1) . Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm G của tam giác ABC . x y z x y z x y z x y z A. ==. B. == . C. == . D. == . 2−− 1 1 2 1− 1 2 3− 1 4 1− 3 Câu 12. Tính thể tích khối chĩp tứ giác đều cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 3a . a3 3 a3 3 a3 A. . B. . C. . D. a3 . 12 4 3 1 Câu 13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = . sin22xx .cos A. 2cot 2xC+ . B. −+cot 2xC. C. cot 2xC+ . D. −+2cot 2xC. Câu 14. Trong khơng gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng (P) : 2 x− y + z − 2 = 0 . A. Q (1;− 2;2) . B. N (1;−− 1; 1) . C. P(2;−− 1; 1) . D. M (1;1;− 1). 4044 1 4044 Câu 15. Cho biết 2f( x) −= d x 2 a với a , khi đĩ f( x)d x bằng: 2022 x 2022 1 1 A. a + ln 2 . B. a −ln 2 . C. a + ln 2. D. a + ln 2. 2 4 2 3 10 Câu 16. Cho tập hợp A = 10;10 ;10 ; 10  . Gọi S là tập các số nguyên cĩ dạng log100 m với mA . Tính tích các phần tử của tập S . A. 60 B. 24 C. 120 D. 720 . Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số yx= ln( sin ) . 1 −1 A. y ' = . B. y ' = . C. yx'= tan . D. yx'= cot . sin x sin2 x HỒNG XUÂN NHÀN 624
3. Câu 18. Cho đồ thị hàm số y= f( x) . Diện tích S của hình phẳng (phần tơ đậm trong hình vẽ) là 13 A. S= − f( x)dd x + f( x) x . 01 13 B. S=− f( x)dd x f( x) x . 01 3 C. S= f( x)d x . 0 13 D. S=+ f( x)dd x f( x) x . 01 Câu 19. Cho cấp số cộng (un ) , biết u2 = 3 và u4 = 7. Giá trị của u15 bằng A. 27 . B. 31. C. 35 . D. 29 . Câu 20. Thể tích của khối nĩn cĩ chiều cao bằng 4 và đường sinh bằng 5 bằng A. 16 . B. 48 . C. 12 . D. 36 . 2 2 Câu 21. Tích phân dx bằng. 0 21x + 1 A. 2ln5 . B. ln5 . C. ln5. D. 4ln5 . 2 Câu 22. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= x32 −31 x + cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất là đường thẳng A. y = 0. B. yx= −32 − . C. yx= . D. yx= −32 + . Câu 23. Số giao điểm của đồ thị hàm số y= − x42 + x + 2024 và trục hồnh là A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. 1 Câu 24. Hàm số yx=+( 1)2 xác định khi A. x −1. B. x . C. x 1. D. x −1. m Câu 25. Nếu (2xx−= 1) d 2 thì m cĩ giá trị bằng 0 m =1 m =1 m =−1 m =−1 A. . B. . C. . D. . m =−2 m = 2 m = 2 m =−2 Câu 26. Cho hình nĩn cĩ bán kính đáy R , đường cao h . Diện tích xung quanh của hình nĩn này là A. Rh . B. 2 Rh . C. R R22+ h . D. 2 R R22+ h . 2 Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình log22xx− 3log + 2 0 là A.(2;4) . B.(1;4) . C.(1;2) . D.(0;2) . 2 sin 2xx+ sin Câu 28. Cho tích phân I= dx . Thực hiện phép biến đổi tx=+1 3cos , ta cĩ thể đưa I về dạng 0 1+ 3cos x nào sau đây? 1 2 1 2 2 2 2 2 A. I=+ (21 t2 ) dt . B. I=+ ( t2 2) dt . C. I=+ (21 t2 ) dt . D. I=+ ( t2 2) dt . 2 9 2 9 1 9 1 9 Câu 29. Xét hình trụ T cĩ thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuơng cạnh bằng a . Tính diện tích tồn phần S của hình trụ. HỒNG XUÂN NHÀN 625
4. a2 3 a2 A. Sa= 4 2 . B. Sa= 2 . C. S = . D. S = . 2 2 Câu 30. Cho a là một số thực dương khác 1. Cĩ bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? 1. Hàm số yx= loga cĩ tập xác định là D =(0; + ) . 2. Hàm số yx= loga đơn điệu trên khoảng (0;+ ) . x 3. Đồ thị hàm số yx= loga và đồ thị hàm số ya= đối xứng nhau qua đường thẳng yx= . 4. Đồ thị hàm số yx= loga nhận trục Ox là một tiệm cận. A. 3 . B. 1. C. 4 . D. 2 . Câu 31. Điều kiện cần và đủ để hàm số y= ax42 + bx + c cĩ hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu là A. a 0, b 0 . B. a 0 , b 0 . C. a 0 , b 0 . D. a 0, b 0 . Câu 32. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) :3x− 2 y + z + 6 = 0 . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A(2;− 1;0) lên mặt phẳng ( ) cĩ tọa độ là A. (1;0;3) . B. (2;− 2;3). C. (1;1;− 1) . D. (−−1;1; 1) . Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm M như hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tính (1+ z)2 A. (12+zi)2 = − . B. (18+zi)2 = − . C. (11+zi)2 = − + . D. (1+zi)2 = − 2 + 2 . Câu 34. Cho hình chĩp S. ABC cĩ SA= a 3 , SA vuơng gĩc với mặt phẳng ()ABC , tam giác ABC vuơng tại B, AB= a , tam giác SBC cân. Thể tích khối chĩp S. ABC bằng 23a3 a3 3 a3 3 A. . B. a3 3 . C. . D. . 3 3 6 1 Câu 35. Cho x,, a b là các số thực dương thỏa mãn log=− 2logab 6log . Khi đĩ giá trị của x là 7x 7 49 b3 a2 A. x=−23 a b . B. x = . C. x = . D. x= a23 b . a2 b3 Câu 36. Cho tứ diện ABCD cĩ AB,, AC AD đơi một vuơng gĩc với nhau và AB== AC AD . Gĩc giữa CD và ( ABC) bằng A. 450 . B. 300 . C. 600 . D. 900 . Câu 37. Cho số phức z=+ a bi với ab, thỏa mãn (1+i) z +( 2 − i) z = 13 + 2 i . Tính tổng ab+ A. ab+=1. B. ab+ = −2 . C. ab+=2 . D. ab+=0. Câu 38. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều cĩ các cạnh đều bằng a . 7 a2 7 a2 7 a2 3 a2 A. . B. . C. . D. . 3 6 5 7 Câu 39. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: zi+24 − = là đường trịn cĩ tâm I và bán kính R lần lượt là: A. I (−−2; 1) ; R = 4 . B. I (−−2; 1) ; R = 2 . C. I (2;− 1) ; R = 4 . D. I (2;− 1) ; I (2;− 1) . HỒNG XUÂN NHÀN 626
5. Câu 40. Cho khối lăng trụ ABCD. A B C D cĩ thể tích bằng 12, đáy ABCD là hình vuơng tâm O . Thể tích của khối chĩp A . BCO bằng A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . 4 ln( sinxx+ 15cos ) Câu 41. Biết rằng tích phân I=d x = a + b ln 2 + c ln3 + d ln5, trong đĩ a,,, b c d . 2 0 cos x Tính T= a + b + c + d . 133 313 135 195 A. T = . B. T = . C. T = . D. . 4 4 4 4 x−+12 y z Câu 42. Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : == và cắt hai đường thẳng 1 1− 1 x+112 y + z − x−1 y − 2 z − 3 d : ==; d : == là: 1 2 1− 1 2 −1 1 3 x+112 y + z − x−−11 y z A. ==. B. == . −−1 1 1 1 1− 1 x−1 y − 2 z − 3 x−−11 y z C. ==. D. == . 1 1− 1 1− 1 1 Câu 43. Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn trịn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ cĩ đường kính 50 (cm) . Người ta trải ra 250 vịng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần cịn lại là một khối trụ cĩ đường kính 45 (cm). Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm trịn đến hàng đơn vị)? A. 373 (m) . B. 187 (m) . C. 384 (m) . D. 192 (m) . Câu 44. Cho hàm số y= x42 +2 mx + m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y =−3 tại bốn điểm phân biệt, trong đĩ cĩ một điểm cĩ hồnh độ lớn hơn 2 cịn ba điểm kia cĩ hồnh độ nhỏ hơn 1, là khoảng (ab; ) (với ab, ; a ,b là phân số tối giản). Khi đĩ, 15ab nhận giá trị nào sau đây? A. −63 . B. 63. C. 95 . D. −95 . HỒNG XUÂN NHÀN 627
6. Câu 45. Cho hàm số y= ax42 + bx + c cĩ đồ thị (C ) , biết rằng (C ) đi qua điểm A(−1;0) . Biết tiếp tuyến d tại A của (C ) cắt (C ) tại hai điểm cĩ hồnh độ lần lượt là 0 và 2 ; đồng thời diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường 28 thẳng d , đồ thị (C ) và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 cĩ bằng (phần 5 tơ màu trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, (C ) và hai đường thẳng x =−1, x = 0 bằng 2 1 A. . B. . 5 4 2 1 C. . D. . 9 5 Câu 46. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC , BD , AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho BC= 3 BM 3 , BD= BN , AC= 2 AP . Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần cĩ thể tích là 2 V1 V1 , V2 với là thể tích khối đa diện chứa đỉnh B. Tính tỉ số . V2 V 26 V 26 V 3 V 15 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 13 V2 19 V2 19 V2 19 Câu 47. Cho hàm số fx( ) cĩ đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f( x) + f ( x) 1,  x và f (00) = . Tìm giá trị lớn nhất của f (1) . 2e− 1 e1− A. . B. . C. e1− . D. 2e− 1. e e Câu 48. Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm AB(1;2;3) ,( 2;3;4) . Một mặt cầu (S ) bán kính R luơn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ và đoạn thẳng AB luơn nằm trong (S ) (mọi điểm thuộc đoạn thẳng AB đều nằm trong (S ) ). Giá trị nguyên lớn nhất của R đạt được là: A. 4. B. 6. C. 5. D. 3. Câu 49. Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn abc =10 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức m m F=5log a .log b + 2log b .log c + log c .log a bằng với mn, nguyên dương và tối giản. Tổng n n mn+ bằng A. 7 . B. 10. C. 13. D. 16. Câu 50. Cho hàm số đa thức fx( ) cĩ đạo hàm trên . Biết f (−=20) và đồ thị của hàm số y= f ( x) như hình vẽ. Hàm số y=44 f( x) − x2 + cĩ bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. ___HẾT___ HỒNG XUÂN NHÀN 628
7. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A C A B C A C D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D D B D C D B D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 C D A A C C A C D A 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A D A C B A A A A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A B A C D B B A A B Lời giải câu hỏi vận dụng cao đề số 59 4 ln( sinxx+ 15cos ) Câu 41. Biết rằng tích phân I=d x = a + b ln 2 + c ln3 + d ln5, trong đĩ a,,, b c d . 2 0 cos x Tính T= a + b + c + d . 133 313 135 195 A. T = . B. T = . C. T = . D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: cosxx− 15sin u=+ln( sin x 15cos x) ddux= sinxx+ 15cos Đặt 1 . ddvx= sinxx+ 15cos cos2 x vx=tan + 15 = C=15 cos x 4 cosxx− 15sin Khi đĩ: I=tan x + 15 ln sin x + 15cos x4 − d x ( ) ( ) 0 0 cos x 4 4sin x 4 d( cos x) =16ln8 2 − 15ln15 − dxx + 15 d = 16ln8 2 − 15ln15 − − 15 0 0cosxx 4 0 cos 1 =16ln8 2 − 15ln15 − − 15ln cosx 4 = 16ln8 2 − 15ln15 − − 15ln 440 2 71 1 − = − +16ln 222 − 15ln 5 − 15ln 3 − 15ln 2 4 1 127 = − +ln 2 − 15ln 3 − 15ln 5. 42 1 127 133 Chọn Suy ra a= −, b = , c = − 15, d = − 15 . Vậy T= a + b + c + d = . ⎯⎯⎯→ A 42 4 HỒNG XUÂN NHÀN 629
8. x−+12 y z Câu 42. Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : == và cắt hai đường thẳng 1 1− 1 x+112 y + z − x−1 y − 2 z − 3 d : ==; d : == là: 1 2 1− 1 2 −1 1 3 x+112 y + z − x−−11 y z A. ==. B. == . −−1 1 1 1 1− 1 x−1 y − 2 z − 3 x−−11 y z C. ==. D. == . 1 1− 1 1− 1 1 Hướng dẫn giải: Vectơ chỉ phương của d là ud =−(1;1; 1) . Gọi là đường thẳng cần tìm. Gọi A(−+12;1;2 a −+ a −= a) d12 ,1;2;33 B( − b + b + b) = d . Suy ra: AB=( − b −2 a + 2; b − a + 3;3 b + a + 1) . Vì song song với d nên AB cùng phương với ud , −b −2 a + 2 b − a + 3 3 b + a + 1 suy ra: == 1 1− 1 −b −2 a + 2 = b − a + 3 a = 1 A(1;0;1) . b− a +3 = − 3 b − a − 1 b = − 1 B(2;1;0) Phương trình chính tắc của Δ qua A và cĩ vectơ chỉ x−−11 y z phương u =−(1;1; 1) là : = = . ⎯⎯⎯→Chọn B 1 1− 1 Câu 43. Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn trịn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ cĩ đường kính 50 (cm) . Người ta trải ra 250 vịng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần cịn lại là một khối trụ cĩ đường kính 45 (cm). Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm trịn đến hàng đơn vị)? A. 373 (m) . B. 187 (m) . C. 384 (m) . D. 192 (m) . Hướng dẫn giải: ☺ Cách giải 1: Gọi a là bề dày của tấm đề can, sau mỗi vịng được quấn thì đường kính của vịng 50− 45 mới sẽ được tăng lên 2a. Vì vậy: 2aa 250 = 50 − 45 = = 0,01 (cm) . 2 250 Gọi l là chiều dài đã trải ra và h là chiều rộng của tấm đề can (tức chiều cao hình trụ). 22 22 50 45 (50− 45 ) Chọn Khi đĩ ta cĩ: lha=− h h =l 37306 (cm) 373 (m) . ⎯⎯⎯→ A 22 4a HỒNG XUÂN NHÀN 630
9. ☺ Cách giải 2: Gọi a là bề dày của tấm đề can, sau mỗi vịng được quấn thì đường kính của vịng 50− 45 mới sẽ được tăng lên 2a. Vì vậy: 2aa 250 = 50 − 45 = = 0,01 (cm) . 2 250 Chiều dài của phần trải ra là tổng chu vi của 250 đường trịn cĩ bán kính là một cấp số cộng cĩ số hạng đầu bằng r1 = 25 , cơng sai là d =−0,01 (do khi trải ra thì bán kính các vịng trịn ngày càng giảm với độ giảm bằng bề dày của tấm đề can). Do đĩ chiều dài của phần đề can đã trải ra là: (2rd+ 249 ).250 250 l=2 r + r + + r = 2 . 1 =2 (2.25 − 249.0,01) 37314 (cm) 373 (m) . 1 2 250 2 2 S250 Câu 44. Cho hàm số y= x42 +2 mx + m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y =−3 tại bốn điểm phân biệt, trong đĩ cĩ một điểm cĩ hồnh độ lớn hơn 2 cịn ba điểm kia cĩ hồnh độ nhỏ hơn 1, là khoảng (ab; ) (với ab, ; a ,b là phân số tối giản). Khi đĩ, 15ab nhận giá trị nào sau đây? A. −63 . B. 63. C. 95 . D. −95 . Hướng dẫn giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: x42+2 mx + m = − 3 (1). Đặt tx= 2 , t 0 . Khi đĩ phương trình trở thành t2 +2 mt + m + 3 = 0 (2) . ft( ) Phương trình (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt Phương trình (2) cĩ hai nghiệm thỏa mãn 2 (1) =mm − −30 1− 13 0 t1 t 2 S (1) = − 2 m 0 − 3 m (*). 2 Pm= +30 Khi đĩ, bốn nghiệm của phương trình (1) là: −t2 − t 1 t 1 t 2 . x1 x 2 x 3 x 4 t2 2 f (10) 3m + 4 0 19 Từ giả thiết, ta cĩ hay tt 14 . Suy ra: m − ( ). 12 f 40 9m + 19 0 9 t1 1 ( ) 19 19 Từ (*) và ( ) suy ra: −3 m − . Do đĩ: a =−3, b =− nên 15ab = 95. ⎯⎯⎯→Chọn C 9 9 Câu 45. Cho hàm số y= ax42 + bx + c cĩ đồ thị (C ) , biết rằng (C ) đi qua điểm A(−1;0) . Biết tiếp tuyến d tại A của (C ) cắt (C ) tại hai điểm cĩ hồnh độ lần lượt là 0 và 2 ; đồng thời diện tích hình phẳng 28 giới hạn bởi đường thẳng d , đồ thị (C ) và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 cĩ bằng (phần tơ màu 5 trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, (C ) và hai đường thẳng x =−1, x = 0 bằng HỒNG XUÂN NHÀN 631
10. 2 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 4 9 5 Hướng dẫn giải: Ta cĩ: y =+42 ax3 bx ; tiếp tuyến của (C) tại A là d: y=( − 4 a − 2 b)( x + 1) . Phương trình hồnh độ giao điểm của d và (C ) là: (−4a − 2 b)( x + 1) = ax42 + bx + c ( 1). Theo giả thiết, ta cĩ: Phương trình (1) nhận x = 0 , x = 2 làm nghiệm (ngồi một nghiệm là x =−1) −42a − b = c −4a − 2 b − c = 0( 2) . −12a − 6 b = 16 a + 4 b + c 28a+ 10 b + c = 0( 3) 2 28 42 Mặt khác, diện tích phần tơ màu là: = ( −4a − 2 b)( x + 1) − ax − bx − c d x 5 0 2 53 28 2 2 ax bx 28 32 8 =( −21a − b)( x +) − + + cx =4( − 4a − 2 b) − a − b − 2 c 50 5 3 5 5 3 0 112 32 28 a + b +24 c = − ( ) . Từ (2), (3), (4) suy ra a =1, b =−3 , c = 2 . 5 3 5 Khi đĩ ta xác định được (C) : y= x42 − 3 x + 2 và d: y=+ 2( x 1) . 0 0 42 42 1 Chọn Diện tích cần tìm là S= x −3 x + 2 − 2( x + 1) d x = (x −32 x − x) dx = . ⎯⎯⎯→ D −1 −1 5 Câu 46. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC , BD , AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho BC= 3 BM 3 , BD= BN , AC= 2 AP . Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần cĩ thể tích là 2 V1 V1 , V2 với là thể tích khối đa diện chứa đỉnh B. Tính tỉ số . V2 V 26 V 26 V 3 V 15 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 13 V2 19 V2 19 V2 19 HỒNG XUÂN NHÀN 632
11. Hướng dẫn giải: Đặt VV= ABCD ; trong (BCD), gọi I= MN CD; trong (ACD), gọi Q= IP AD , suy ra Q= AD( MNP) . Mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tứ giác MNQP . Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác BCD và NB ID MC ID ID 1 ACD ta cĩ: . .= 1 2. .2 = 1 =; ND IC MB IC IC 4 ID PC QA1 QA QA . .= 1 .1. = 1 =4 . IC PA QD4 QD QD V ANPQ AP AQ 14 2 2 VANCD DN 1 Ta cĩ tỉ số thể tích: == = =VVANPQ ANCD mà == VANCD AC AD 25 5 5 V DB 3 1 2 1 2 1 =VV; do vậy VV= . Suy ra VVVV= − = . ANCD 3 ANPQ 15 N. PQDC 3 15 5 VCMNP CM CP 21 1 1 12 Bên cạnh đĩ: == = =VVCMNP CBNA mà VVVVVVCBNA= − ANCD = − = . VCBNA CB CA 32 3 3 33 2 1 2 19 Vì vậy VV= . Ta cĩ: VVVVVV= + = + = . CMNP 9 2.N PQDC CMNP 5 9 45 26 V1 26 Chọn Do đĩ VVV12=− = V . Vậy = . ⎯⎯⎯→ B 45 V2 19 Câu 47. Cho hàm số fx( ) cĩ đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f( x) + f ( x) 1,  x và f (00) = . Tìm giá trị lớn nhất của f (1) . 2e− 1 e1− A. . B. . C. e1− . D. 2e− 1. e e Hướng dẫn giải: x x x xx Ta cĩ:  x , f( x) + f ( x) 1 ef( x) + e f ( x) e eefx( ) ( ) 11 1 1 e1− exxf( x) d x e d x eexxfx( ) e.f ( 1) e − 1 f (1) . ( ) 0 0 00 e e1− Do đĩ giá trị lớn nhất của f (1) là . e Câu 48. Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm AB(1;2;3) ,( 2;3;4) . Một mặt cầu (S ) bán kính R luơn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ và đoạn thẳng AB luơn nằm trong (S ) (mọi điểm thuộc đoạn thẳng AB đều nằm trong (S ) ). Giá trị nguyên lớn nhất của R đạt được là: A. 4. B. 6. C. 5. D. 3. Hướng dẫn giải: Do mặt cầu luơn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ nên tọa độ tâm mặt cầu là I( a,, a a) , suy ra bán kính mặt cầu Ra= . HỒNG XUÂN NHÀN 633
12. Mặt khác, mọi điểm thuộc đoạn thẳng AB đều nằm trong mặt cầu (S ) nên ta cĩ: 2 2 2 2 2 IA R IA22 a (1−a) +( 2 − a) +( 3 − a) a 2aa− 12 + 14 0 IB R 2 2 2 2 2 2 2aa2 − 18 + 29 0 IB a (234−a) +( − a) +( − a) a 3− 2 a 3 + 2 9− 23 a 32 + . 9−+ 23 9 23 2 a 4,414 22 2,102 Giá trị nguyên lớn nhất của R là R = 4 . ⎯⎯⎯→Chọn A Câu 49. Cho ba số thực dương abc,, thỏa mãn abc =10 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức m m F=5log a .log b + 2log b .log c + log c .log a bằng với mn, nguyên dương và tối giản. Tổng n n mn+ bằng A. 7 . B. 10. C. 13. D. 16. Hướng dẫn giải: Đặt x=log a , y = log b , z = log c . Suy ra x+ y + z =log( abc) = log10 = 1. Khi đĩ: F=5 xy + 2 yzzx += 5 xy + 2 y( 1 −−+−−=−−+ xyx) ( 1 xy) 2 yx22 2 xy ++ 2 yx 2 ??? 2 2 2 2 x 1 12 5 5 =−2yxxyyx −+ 2 ++=− 2 2( yxyyxx −−−+=−) 2 y −− −( x − 2) + 2 2 2 2 2 35 Dấu “=” xảy ra x =2, y = , z = − . 22 m 5 Do đĩ: F= = m =5, n = 2 m + n = 7 . max n 2  Lưu ý: Bằng cách nào ta cĩ thể phân tích được các hằng đẳng thức như trên? ▪ Trước hết ta cần dự đốn được điểm rơi trong biểu thức F, mà biểu thức này vốn là hàm hai biến x, y; vì vậy ta sử dụng cách thức tìm cực trị của hàm hai biến: Fx = −2 x + 2 y + 1 = 0 3 (*). Giải hệ (*), ta được: xy==2, . Fy = −4 y + 2 x + 2 = 0 2 ▪ Từ đây, ta xây dựng được các hằng đẳng thức phù hợp cho đánh giá của mình. Câu 50. Cho hàm số đa thức fx( ) cĩ đạo hàm trên . Biết f (−=20) và đồ thị của hàm số y= f ( x) như hình vẽ. Hàm số y=44 f( x) − x2 + cĩ bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. HỒNG XUÂN NHÀN 634
13. Hướng dẫn giải:  Ghi nhớ: Số điểm cực trị của hàm số y= f( x) bằng số cực trị của hàm số y= f( x) cộng y= f( x) với số giao điểm (khơng kể tiếp điểm) hai đồ thị hàm số . y= 0 ( Oy ) Đặt g( x) =44 f( x) − x2 + , suy ra g ( x) =−42 f( x) x ; x =−2 x gx ( ) = 0 =fx ( ) = x 0 . 2 x = 4 Do vậy, hàm số gx( ) cĩ ba cực trị (*). Ta cĩ: gf(−2) = 4( − 2) −( − 2)2 + 4 = 0 . Từ đồ thị ta so sánh các phần diện tích và thấy SS21 . 40 xx 40 xx Suy ra: f ( x) − dd x − f( x) x f ( x) − d x + f( x) − d x 0 02 22 − 02 22 − 4 x 4 f ( x) −d0 x (4f ( x) − 2 x) d x 0 gg(4) −( − 2) 0 gg(4) ( − 2) = 0 . −2 2 −2 Bảng biến thiên hàm và gx( ) : Theo bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y= g( x) cĩ hai giao điểm với trục Oy (khơng tính tiếp xúc) ( ). Từ (*) và ( ) suy ra số cực trị của hàm số y= g( x) là: 3 + 2 = 5. ⎯⎯⎯→Chọn B HỒNG XUÂN NHÀN 635