Đề tham khảo THPT Quốc gia lần 1 năm 2019 môn Toán Lớp 12

Nội dung text: Đề tham khảo THPT Quốc gia lần 1 năm 2019 môn Toán Lớp 12

1. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THAM KHẢO THPTQG LẦN 1 NĂM 2019 ĐỀ THAM KHẢO 1 MÔN: TOÁN Thời gian: 90 phút, không kể thời gian giao đề (50 câu trắc nghiệm) Câu 1. Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng A. 8a3 . B. 2a3 . C. a3 . D. 6a3 . Lời giải Chọn A Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng.(2a)3 = 8a3 Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 5 . Lời giải Chọn D Từ bảng biến thiên ta thấy qua x = 2 đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại x = 2 và giá trị cực đại bằng 5 .  Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;- 1) và B(2;3;2). Vectơ AB có tọa độ là A. (1;2;3). B. (- 1;- 2;3). C. (3;5;1). D. (3;4;1). Lời giải Chọn A  Ta có: AB = (1;2;3). Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (0;1). B. (- ¥ ;- 1). C. (- 1;1). D. (- 1;0). Lời giải Chọn D Nhìn vào đồ thị đã cho, ta có hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1;0) và (1;+ ¥ ). Câu 5. Với a , b là hai số dương tùy ý, log(ab2 ) bằng 1 A. 2log a + logb . B. log a + 2logb . C. .2 (loD.g a .+ logb) log a + logb 2 Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 1
2. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán Lời giải Chọn B Có log(ab2 )= log a + logb2 = log a + 2logb . 1 1 1 é ù Câu 6. Cho ò f (x)dx = 2 và ò g(x)dx = 5 , khi ò ëf (x)- 2g(x)ûdx bằng 0 0 0 A. .- 3 B. 12. C. - 8 . D. .t Î (0;1] Lời giải Chọn C 1 1 1 é ù Có ò ëf (x)- 2g(x)ûdx = ò f (x)dx- 2ò g(x)dx = 2- 2.5 = - 8 . 0 0 0 Câu 7. Thể tích của khối cầu bán kính a bằng: 4 a3 a3 A. . B. .4 a3 C. . D. . 2 a3 3 3 Lời giải Chọn A Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu, ta có: 4 4 a3 V = R3 = 3 3 2 Câu 8. Tập nghiệm của phương trình log2 (x - x + 2)= 1 là A. {0} . B. {0;1} C. {- 1;0} D. {1} Lời giải Chọn B Ta có: éx = 0 2 2 2 ê log2 (x - x + 2)= 1Û x - x + 2 = 2 Û x - x = 0 Û ëêx = 1 Vậy phương trình có tập nghiệm: S = {0;1} Câu 9. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (Oxy) có phương trình là A. z = 0 . B. .x + y +C.z .= 0 D.y = . 0 x = 0 Lời giải Chọn A Mặt phẳng (Oxy) đi qua O(0;0;0) và nhận k (0;0;0) làm vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình mp(Oxy) là z = 0 Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)= ex + x là 1 1 1 A. ex + x2 + C . B. ex + x2 + C . C. . D. . ex + x2 + C ex + 1+ C 2 x + 1 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có f (x)dx = (ex + x)dx = ex + x2 + C ò ò 2 Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 2
3. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán x- 1 y - 2 z - 3 Câu 11. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : = = đi qua điểm nào dưới đây? 2 - 1 2 A. .Q (2;- 1;2)B. M (- 1;- 2;- 3) . C. P(1;2;3) . D. .N(- 2;1;- 2) Lời giải Chọn C Đáp án A nhầm vectơ chỉ phương. Đáp án B nhầm dấu tạo độ điểm. Đáp án D nhầm vectơ chỉ phương. Câu 12. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k £ n , mệnh đề nào dưới đây đúng? n! n! n! k!(n- k)! A. C k = . B. .C k = C. . D. .C k = C k = n k!(n- k)! n k! n (n- k)! n n! Lời giải Chọn A n! Tổ hợp chập k của n là C k = n k!(n- k)! Câu 13. Cho cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 = 2 và công sai d = 5 . Giá trị của u4 bằng. A. 22 . B. 17 . C. .1 2 D. 250 Lời giải Chọn B u4 = u1 + 3d = 2+ 3.5 = 17 . Câu 14. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z = - 1+ 2i . A. .N B. . P C. M . D. Q Lời giải Chọn D Điểm biểu diễn của z = - 1+ 2i là Q(- 1;2) Câu 15. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 2x- 1 x + 1 A. y = . B. y = . C. .y = D.x4 +. x2 + 1 y = x3 - 3x - 1 x- 1 x- 1 Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 3
4. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1 và đường tiệm cận ngang là y = 1 nên là đồ thị x + 1 của hàm số y = . x- 1 Câu 16. Cho hàm số f ¢(t)> (t - 2)2 - 1 liên tục trên đoạn [- 1;3]và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [- 1;3]. Giá trị của M - m bằng. A. .0 B. . 1 C. 4 . D. 5 . Lời giải: Chọn D Từ đồ thị ta thấy M = 3,m = - 2 nên M - m = 5 Câu 17. Cho hàm số f ¢(x) có đạo hàm f ¢(x) = x(x- 1)(x + 2)3 , " x Î ¡ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 . B. 2 C. .5 D. . 1 Lời giải Chọn A éx = 0 ê Ta có f ¢(x) = 0 Û êx = 1 . ê ê ëx = - 2 Xét dấu f ¢(x) , ta được: Do f ¢(x) đổi dấu 3 lần nên hàm số f (x) có 3 điểm cực trị. Câu 18. Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2a + (b + i)i = 1+ 2i với i là đơn vị ảo. 1 A. .a = 0,b =B.2 . C. a = ,b = 1 a = 0,b = 1. D. a = 1,b = 2 . 2 Lời giải Chọn D ïì 2a- 1= 1 ïì a = 1 Ta có 2a + (b + i)i = 1+ 2i Û 2a- 1+ bi = 1+ 2i Û íï Û íï . îï b = 2 îï b = 2 Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 4
5. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I (1;1;1) và A(1;2;3) . Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A là 2 2 2 2 2 2 A. (x + 1) + (y + 1) + (z + 1) = 29 . B. (x- 1) + (y - 1) + (z - 1) = 5 . C. .( x- 1)2 + (yD.- 1.)2 + (z - 1)2 = 25 (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 5 Lời giải Chọn B Ta có bán kính mặt cầu R = IA = 02 + 12 + 22 = 5 Suy phương trình mặt cầu: (x- 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 5 Câu 20. Đặt log3 2 = a , khi đó log16 27 bằng 3a 3 4 4a A. . B. . C. . D. . 4 4a 3a 3 Lời giải Chọn B 3 3 3 Ta có log 27 = log 4 3 = log 3 = 16 2 4 2 4a 2 Câu 21. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z - 3z + 5 = 0 . Giá trị của z1 + z2 bằng A. 2 5 . B. . 5 C. . 3 D. . 10 Lời giải Chọn A Phương trình có D = - 11< 0 , nên phương trình có 2 nghiệm phức là 2 2 3 11 3 11 æ3ö æ 11÷ö = - = + z = z = ç ÷ + ç ÷ = 5 z1 i ; z2 i . Ta có 1 2 ç ÷ ç ÷ . 2 2 2 2 èç2ø÷ èç 2 ÷ø Do đó z1 + z2 = 2 5 Câu 22. Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z - 10 = 0 và (Q): x + 2y + 2z - 3 = 0 bằng 8 7 4 A. . B. . C. .3 D. . 3 3 3 Lời giải Chọn B Ta thấy: (P)P(Q) , ta lấy điểm M (0;0;5)Î (P) . Khi đó ta có : 0+ 2.0+ 2.5- 3 7 d ((P),(Q))= d (M ,(Q))= = . 12 + 22 + 22 3 Nhận xét: Nếu (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D ' = 0 thì khoảng cách giữa D '- D khai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi: d ((P),(Q))= . A2 + B2 + C 2 - 3- (- 10) 7 Áp dụng ta có d ((P),(Q))= = 12 + 22 + 22 3 Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 5
6. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán 2 Câu 23. Tập nghiệm của bất phương trình 3x - 2x < 27 là: A. (- ¥ ;- 1). B. (3;+ ¥ ). C. (- 1;3). D. (- ¥ ;- 1)È(3;+ ¥ ). Lời giải Chọn C x2 - 2x 2 2 3 < 27 Û x - 2x < log3 27 Û x - 2x- 3< 0 Û - 1< x < 3 . Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là(- 1;3). Câu 24. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 A. ò(2x2 - 2x- 4)dx. B. ò(- 2x + 2)dx. - 1 - 1 2 2 C. ò(2x- 2)dx. D. ò(- 2x2 + 2x + 4)dx. - 1 - 1 Lời giải Chọn D Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên: 2 2 é- x2 + 3- x2 - 2x- 1 ùdx = - 2x2 + 2x + 4 dx. ò ëê ( )ûú ò( ) - 1 - 1 Câu 25. Khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính đáy bằng a . Thể tích khối nón đã cho bằng 3 a3 3 a3 2 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 Lời giải Chọn A Ta có chiều cao khối nón: h = l 2 - r 2 = a 3 1 1 3 a3 Thể tích khối nòn: V = r 2h = a2a 3 = 3 3 3 Câu 26. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. .4 B. 1. C. 3 . D. 2 Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 6
7. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán Lờigiải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có: lim f (x) = 2 Þ y = 2 là một tiệm cận ngang x® - ¥ lim f (x) = 5 Þ y = 5 là một tiệm cận ngang x® + ¥ lim f (x) = + ¥ Þ x = 1 là một tiệm cận đứng x® 1- Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 3. Câu 27. Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 4 2a3 8a3 8 2a3 2 2a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A S A D O B C AC 2a 2 Ta có SO ^ (ABCD) và S = 4a2 ; AO = = = a 2 ABCD 2 2 2 SO = SA2 - AO2 = (2a)2 - (a 2) = a 2 1 1 4 2 Vậy thể tích khối chóp là V = .S .SO = .4a2.a 2 = a3 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 2 Câu 28. Hàm số f (x)= log2 (x - 2x) có đạo hàm ln 2 1 A. f '(x)= B. f '(x)= x2 - 2x (x2 - 2x)ln 2 (2x- 2)ln 2 2x- 2 C. f '(x)= D. f '(x)= x2 - 2x (x2 - 2x)ln 2 Lời giải Chọn D 2 ' (x - 2x) 2x- 2 Ta có: f '(x)= = . (x2 - 2x)ln 2 (x2 - 2x)ln 2 Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 7
8. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán Câu 29. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình 2 f (x) + 3 = 0 là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A - 3 Xét phương trình 2 f (x) + 3 = 0 Û f (x) = (1) 2 Ta có: số nghiệm thực của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và 3 đồ thị của đường thẳng y = - . 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Vậy phương trình 2 f (x) + 3 = 0 có 4 nghiệm thực. Câu 30. Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D '. Góc giữa hai mặt phẳng (A' B 'CD) và (ABC ' D ') bằng A. 300. B. 600. C. 450. D. 900. Lời giải Chọn D ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Gọi O, O lần lượt là tâm của hai hình vuông AA D D và BB C C khi đó Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 8
9. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán OO¢^ (AA¢D¢D) ïì AO ^ OO¢ Þ íï îï AO ^ A¢D Þ AO ^ (A¢B¢CD) Lại có AO Ì (ABC¢D¢) Þ (ABC¢D¢) ^ (A¢B¢CD). Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC¢D¢);(A¢B¢CD) là 90o. x Câu 31. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log3 (7- 3 )= 2- x bằng: A. 2 . B. .1 C. . 7 D. 3 Lời giải Chọn A é 7 + 13 é 7 + 13 ê3x = êx = log 9 ê ê 3 x x ê 2 ê 2 log3 (7- 3 )= 2- x Û 7- 3 = x Û Û 3 ê 7- 13 ê 7- 13 ê3x = êx = log ëê 2 ëê 3 2 7 + 13 7- 13 Tổng tất cả các nghiệm log + log = 2 . 3 2 3 2 Câu 32. Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ (H1), (H2 )xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và 1 chiều cao tương ứng là r ,h ,r ,h thỏa mãn r = r ;h = 2h (tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể 1. 1 2 2 2 2 1 2 1 3 tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30cm , thể tích của khối (H1) bằng A. .2 4cm3 B. 15cm3 . C. 20cm3 . D. 10cm3 Lời giải Chọn C 2 V1 = r1 h1 1 V = r 2h = r 2 2h 2 2 2 4 1 1 Þ V1 = 20 Câu 33. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 4x(1+ ln x) là A. .2 x2 ln xB.+ 3x2 2x2 ln C.x + x2. 2x2 ln x + 3x2 + C . D. 2x2 ln x + x2 + C . Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 9
10. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán Lời giải Chọn D Ta có ò 4x(1+ ln x)dx = 4ò xdx + 4ò x ln xdx . ïì ïì 1 ï ï du = dx ï u = ln x ï x Gọi I = 4 x ln xdx . Đặt íï Þ íï . ò ï dv = xdx ï x2 ï ï v = îï îï 2 Khi đó I = 2x2 ln x- 2ò xdx . Vậy ò 4x(1+ ln x)dx = 4ò xdx + 2x2 ln x- 2ò xdx. =2ò xdx + 2x2 ln x =2x2 ln x + x2 + C . Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , B¼AD = 600 , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng 21a 15a 21a 15a A. . B. . C. . D. . 7 7 3 3 Lời giải Chọn A Gọi O = AC ÇBD . Ta có d(B,(SCD)) = 2d(O,(SCD)) . Gọi E là trung điểm của SC, ta có EO ^ (ABCD) tại O vì (EO / /SA mà giả thiết cho SA ^ (ABCD) ) Do đó tứ diện OECD có OD ^ OC,OD ^ OE,OC ^ OE nên d(O,(ECD)) = h 1 1 1 1 28 Thì = + + = h2 OE 2 OD2 OC 2 3a2 1 a a a 3 vì OE = SA = , tam giác ADB đều nên OD = ; OC = OA = 2 2 2 2 a 21 a 21 Do đó d(O,(SCD)) = d(O,(ECD)) = . Vậy d(B,(SCD)) = . 14 7 Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 10
11. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 và đường thẳng x y + 1 z - 2 d : = = . Hình chiếu vuông góc của d trên (P) có phương trình là 1 2 - 1 x + 1 y + 1 z + 1 x- 1 y - 1 z - 1 A. . = = B. . = = - 1 - 4 5 3 - 2 - 1 x- 1 y - 1 z - 1 x- 1 y - 4 z + 5 C. = = . D. . = = 1 4 - 5 1 1 1 Lời giải Chọn C Gọi đường thẳng D là hình chiếu vuông góc của d trên (P) và A = d Ç(P) thì A Î D ïì x = t ï Phương trình tham số của đường thẳng d :íï y = - 1+ 2t ï îï z = 2- t Þ t + 2t - 1+ 2- t + 3 = 0 Û t = 1Þ A(1;1;1) B(0;- 1;2)Î d . Gọi d¢ là đường thẳng đi qua B và vuông góc với.(P) ïì x = t ï Suy ra phương trình đường thẳng d¢:íï y = 1+ t . Gọi B¢ là hình chiếu của B lên (P) thì ï îï z = - 2+ t æ4 7 - 2ö B¢ç ; ; ÷. Đường thẳng D là đường thẳng đi qua A, B¢ . èç3 3 3 ø÷  æ1 4 - 5ö AB¢= ç ; ; ÷ suy ra vectơ chỉ phương của D là u = (1;4;- 5) . Phương trình đường thẳng D èç3 3 3 ø÷ x- 1 y - 1 z - 1 là = = . 1 4 - 5 Câu 36. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = - x3 - 6x2 + (4m- 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 1) là é ö æ ù 3 ÷ ç 3 A. .( - ¥ ;0] B. ê- ;+ ¥ ÷. C. ç- ¥ ;- ú. D. .[0;+ ¥ ) ëê 4 ø èç 4ûú Lời giải Chọn C Ta có y¢= - 3x2 - 12x + 4m- 9 Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 1) khi và chỉ khi y¢£ 0, " x Î (- ¥ ;- 1)Û - 3x2 - 12x + 4m- 9 £ 0, " x Î (- ¥ ;- 1) 4 Û m £ x2 + 4x + 3, " x Î (- ¥ ;- 1)(1) 3 Xét g(x)= x2 + 4x + 3, x Î (- ¥ ;- 1) , có g¢(x)= 2x + 4; g¢(x)=0 Û x = - 2 Bảng biến thiên của g(x) Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 11
12. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán x -∞ -2 -1 g'(x) 0 + +∞ 0 g(x) -1 4 3 Từ bảng biến thiên ta có: (1)Û m £ - 1Û m £ - 3 4 Câu 37. Xét các số phức z thỏa mãn (z + 2i)(z + 2) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là A. (1;- 1). B. (1;1). C. (- 1;1). D. (- 1;- 1). Lời giải Chọn D Đặt z = a + bi. Khi đó (z + 2i)(z + 2) = [a + (2+ b)i].[a + 2- bi]= a2 + b2 + 2a + 2b + 2(a + b + 2)i . Mà (z + 2i)(z + 2) là số thuần ảo nên a2 + b2 + 2a + 2b = 0 . Suy ra tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn có tâm là I(- 1;- 1) 1 xdx Câu 38. Cho = a + bln 2+ c ln 3 với a,b,c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3a + b + c bằng ò (x + 2)2 0 A. - 2. B. - 1. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn B 1 1 æ ö 1 xdx ç 1 2 ÷ æ 2 ö 1 Ta có = ç - ÷dx = çln x + 2 + ÷ = ln 3- ln 2- ò (x + 2)2 òçx + 2 (x + 2)2 ÷ èç x + 2ø÷ 3 0 0 è ø 0 1 Þ a = - , b = - 1, c = 1Þ 3a + b + c = - 1 3 Câu 39. Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f '(x) có bảng biến thiên như sau Bất phương trình f (x) f (- 1)- e. C. m ³ f (- 1)- e. D. m > f (1)- e Lời giải Chọn C Ta có f (x) " x Þ g '(x) < 0, " x Î (- 1;1) Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 12
13. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán 1 (I) đúng với mọi x Î (- 1;1) Û m ³ max g(x) = g(- 1) = f (- 1)- . [- 1;1] e Câu 40. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng 2 1 3 1 A. . B. . C. . D. 5 20 5 10 Lời giải Chọn A Ta có: n W  Gọi A : “Mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ” Chọn chỗ cho học sinh nữ đầu tiên có 6 (cách) Chọn chỗ cho học sinh nữ thứ hai (Không ngồi đối diện với học sinh nữ đầu) có 4 (cách) Chọn chỗ cho học sinh nữ thứ ba (không ngồi đối diện với học sinh nữ đầu và thứ 2) có 2 (cách) Xếp 3 học sinh nam vào ba chỗ còn lại có 3! (cách) n(A) = 6.4.2.3 6.4.2.3 2 P(A) = = . 6 5 Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;- 2;4), B(- 3;3;- 1) và mặt phẳng (P): 2x- y + 2z - 8 = 0 . Xét M là điểm thay đổi thuộc (P) , giá trị nhỏ nhất của 2MA2 + 3MB2 bằng A. 135. B. .1 05 C. . 108 D. . 145 Lời giải Chọn A   Gọi I (x; y) thỏa 2IA+ 3IB= 0 Ta tìm được điểm I (- 1;1;1) . Xét   2   2 2MA2 + 3MB2 = 2(MI + IA) + 3(MI + IB)   = 5MI 2 + 2(2IA+ 3IB) + 2IA2 + 3IB2 = 5MI 2 + 2IA2 + 3IB2 Ta có: IA = 3 3, IB = 2 3,d (I;(P))= 3 2 2 Lại có MI ³ d (I;(P))= 3 nên 2MA2 + 3MB2 ³ 5.32 + 2.(3 3) + 3.(2 3) = 135 . 2 Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 2 z + z + 4 và z - 1- i = z - 3+ 3i ? A. 4 B. .3 C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D Giả sử số phức có dạng z = x + yi Theo giả thiết ta có ïì 2 ì 2 ï z = 2 z + z + 4 ï x + yi = 2 2x + 4(1) íï Û íï ï ï x + yi- 1- i = x + yi- 3+ 3i 2 îï z - 1- i = z - 3+ 3i îï ( ) (2)Þ (x- 1)2 + (y - 1)2 = (x- 3)2 + (y + 3)2 Û x- 2y - 4 = 0 (3) Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 13
14. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán Thế (3) vào (1) ta có phương trình x2 + y2 = 4 x + 4 Û (2y + 4)2 + y2 = 4 2y + 4 + 4 Û 2y + 4 = 3y2 + 8y + 6 é - 3+ 3 2 êy = é3y + 6y + 2 = 0 ê 3 Û ê Û ê ê 2 ê3y + 10y + 10 = 0(vn) ê - 3- 3 ë êy = ëê 3 Vậy có 2 số phức cần tìm. Câu 43. Cho hàm số f (x) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f (sin x)= m có nghiệm thuộc khoảng (0; )? A y x O 1 B A. [- 1;3). B. (- 1;1). C. (- 1;3). D. [- 1;1). Lời giải Chọn D Đặt t = sin x , vì x Î (0; ) nên t Î (0;1]. Phương trình f (sin x)= m có nghiệm thuộc khoảng (0; ) Û phương trình f (t)= m có nghiệm t Î (0;1]. Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy phương trình f (t)= m có nghiệm t Î (0;1] khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f trên (0;1] hay - 1£ m < 1 . Câu 44. Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng ông ta trả nợ cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 2,22 triệu đồng. B. 3,03 triệu đồng. C. 2,25 triệu đồng. D. 2,20 triệu đồng. Lời giải Chọn A Gọi P0 là số tiền gốc vay ban đầu, r là lãi suất/ tháng, A là số tiền ông A hoàn nợ hàng tháng. Ta có: Số tiền nợ ngân hàng còn lại sau khi ông A hoàn nợ tháng thứ nhất: P1 = P0 (1+ r)- A. Số tiền nợ ngân hàng còn lại sau khi ông A hoàn nợ tháng thứ hai: 2 P2 = P1 (1+ r)- A = P0 (1+ r) - A.(1+ r)- A. Số tiền nợ ngân hàng còn lại sau khi ông A hoàn nờ 5 năm là: Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 14
15. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán 60 60 2 59 60 (1+ r) - 1 P = P (1+ r) - Aé1+ (1+ r)+ (1+ r) + + (1+ r) ù= P (1+ r) - A. 60 0 ëê ûú 0 r Theo giả thiết ông A trả hết nợ sau 5 năm nên: P60 = 0. P .(1+ r)60 .r Suy ra: A = 0 » 2,22444768 . (1+ r)60 - 1 Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho điểm E(2;1;3) , mặt phẳng (P): 2x + 2y - z - 3 = 0 và mặt cầu (S):(x- 3)2 + (y - 2)2 + (z - 5)2 = 36 . Gọi D là đường thẳng đi qua E , nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của D là ïì x = 2+ 9t ïì x = 2- 5t ïì x = 2+ t ïì x = 2+ 4t ï ï ï ï A. .íï y = 1+ 9B.t íï y = 1+ 3t . C. íï y = 1- t . D. .íï y = 1+ 3t ï ï ï ï îï z = 3+ 8t îï z = 3 îï z = 3 îï z = 3- 3t Lời giải Chọn C Mặt cầu có tâm I (3;2;5), R = 6, IE = 6 < R suy ra E nằm trong mặt cầu. Gọi C(I ';r) = (P)Ç(S) suy ra I ' là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng (P) . ïì x = 3+ 2t ï Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) là d :íï y = 2+ 2t . ï îï z = 5- t æ23 14 47ö  5 I ' = d Ç(P)Þ I 'ç ; ; ÷Þ I ' E = - (1;1;4). èç 9 9 9 ø÷ 9 Vì D là đường thẳng đi qua E , nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất nên D là đường thẳng đi qua E , nằm trong (P) và vuông góc với I ' E suy ra    u = én , I ' Eù= 9(1;- 1;0). D ëê(P) ûú ïì x = 2+ t ï Vậy phương trình của D :íï y = 1- t ,t Î ¡ . ï îï z = 3 Câu 46. Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2 , B1, B2 như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 vnđ / m2 và phần còn lại 100.000 vnđ / m2 . Hỏi số tiền để sơn theo Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 15
16. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1 A2 = 8m , B1B2 = 6m và tứ giác MNP Qlà hình chữ nhật có MQ = 3m ? B2 M N A1 A2 Q P B1 A. 7.322.000 đồng. B. 7đồng 213. 000C. đồng. D.5 . 5đồng26.000 5.782.000 Lời giải Chọn A y B2 3 M N 4 A1 O 1 A2 x Q P B1 x2 y2 Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: + = 1 a2 b2 ïì A A = 8 = 2a ïì a = 4 x2 y2 3 Với íï 1 2 Û íï ® (E): + = 1Û y = ± 16- x2 . ï ï îï B1B2 = 6 = 2b îï b = 3 16 9 4 2 Suy ra diên tích của hình elip là S(E) = a.b = 12 (m ) . æ 3ö Vì MNPQ là hình chữ nhật và MQ = 3 ® M çx; ÷Î (E) èç 2ø÷ 2 x 1 2 æ 3ö æ 3ö Þ + = 1Þ x = 12 ® M ç- 2 3; ÷; N ç2 3; ÷ 16 4 èç 2ø÷ èç 2ø÷ Gọi S1;S2 lần lượt là diện tích phần bị tô màu và không bị tô màu 4 4 3 2 2 x= 4sint 2 Ta có: S2 = 4. 16- x dx = 3 16- x dx ¾ ¾ ¾® S2 = 4 - 6 3(m ) 4 ò ò 2 3 2 3 Suy ra: S1 = S(E) - S2 = 8 + 6 3 . Gọi T là tổng chi phí. Khi đó ta có T = (4 - 6 3).100+ (8 + 6 3).200 ; 7.322.000 (đồng). Câu 47. Cho khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ có thể tích bằng 1 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA¢ và BB¢ . Đường thẳng CM cắt đường thẳng C¢A¢ tại P , đường thẳng CN cắt đường thẳng C¢B¢ tại Q . Thể tích của khối đa điện lồi A¢MPB¢NQ . Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 16
17. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán 1 1 2 A. .1 B. . C. . D. . 3 2 3 Lời giải Chọn D Đặt V = VABC.A¢B¢C¢ . 2 2 V = V = . CC¢A¢B¢NM 3 3 1 1 4 4 V = d (C,(C¢PQ)).S = d (C,(A¢B¢C¢)).S = V = . CC¢PQ 3 C¢PQ 3 A¢C¢B¢ 3 3 4 2 2 Þ V = - = . A¢MPB¢NQ 3 3 3 Câu 48. Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. Hàm số y = 3 f (x)- x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. .( 1,+ ¥ ) B. (- ¥ ,- 1). C. (- 1;0). D. .(0,2) Lời giải Chọn C y¢= 3 f ¢(x + 2)- 3x2 + 3; y¢= 0 Û 3 f ¢(x + 2)= 3x2 - 3 Û f ¢(x + 2)= x2 - 1 . Để hàm số đồng biến.Û f ¢(x + 2)- x2 + 1> 0 CÁCH 1: éx + 2 = 1 éx = - 1 ê ê êx + 2 = 2 êx = 0 Û ê Û ê f ¢(x + 2)= 0 ê ê . êx + 2 = 3 êx = 1 ê ê ëx + 2 = 4 ëx = 2 Bảng biến thiên: Đặt g(x)= x2 - 1 ta có đồ thị: Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 17
18. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán ì ¢ ï f (x + 2)> 0 Dựa vào đồ thị, ta thấy trên (- 1;0) và (0;1) : í Þ f ¢(x + 2)> g(x) . ï îï g(x) 0 . Vậy hàm số y = 3 f (x)- x3 + 3x đồng biến trên khoảng (- 1;0) và (0;1) . CÁCH 2: Đặt t = x + 2 , bất phương trình trở thành f ¢(t)> (t - 2)2 - 1 . ì - 1 0 ï ê ë îï ët > 4 é1< x + 2 < 2 é- 1< x < 0 Khi đó ê Û ê . ëê2 < x + 2 < 3 ëê0 < x < 1 Vậy hàm số y = 3 f (x)- x3 + 3x đồng biến trên khoảng (- 1;0) và (0;1) . Câu 49. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình m2 (x4 - 1) + m(x2- 1)- 6(x- 1) ³ 0 đúng với mọi x Î R . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng - 3 1 1 A. . B. 1. C. - . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn C Ta có m2 (x4 - 1) + m(x2- 1)- 6(x- 1) ³ 0 Û m2 (x2 + 1)(x2 - 1) + m(x2 - 1)- 6(x- 1) ³ 0 Û (x- 1)[m2 (x2 + 1)(x + 1) + m(x + 1)- 6]³ 0, " x(*) Đặt f (x) = m2 (x2 + 1)(x + 1) + m(x + 1)- 6 TH1: m = 0 → f (x) = - 6(x- 1) ³ 0, " x (Loại) TH2: m ¹ 0 → f (1) = 0 Þ 4m2 + 2m- 6 = 0 ém = 1 ê Þ ê - 3 êm = ëê 2 +) m = 1 Þ (x- 1)[(x2 + 1)(x + 1) + x + 1- 6]³ 0 Û (x- 1)(x3 + x2 + 2x- 4) ³ 0 Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 18
19. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán Û (x- 1)2 (x2 + 2x + 4) ³ 0, " x → Thỏa mãn - 3 +) m = 2 é9 3 ù (*) Û (x- 1) ê (x2 + 1)(x + 1)- (x + 1)- 6ú³ 0 ëê4 2 ûú é 3 2 ù Û (x- 1) ëê3(x + x + x + 1)- 2x- 2- 8ûú³ 0 Û (x- 1)(3x3 + 3x2 + x- 7) ³ 0 Û (x- 1)2 (3x2 + 6x + 7) ³ 0, " x ( Do 3x2 + 6x + 7 ³ 0, " x ) - 3 → m = thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 (- 3) 1 → Đáp số: 1+ = - → Chúng ta chọn đáp án C!. 2 2 Câu 50. Cho hàm số f (x) = mx4 + nx3 + px2 + qx + r (m,n, p,q,r Î R) . Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm của phương trình f (x) = r có số phần tử là. A. 4. B. 3. C. 1. D. 2 Lời giải Chọn B +) Dựa vào đồ thị của đề bài, ta xây dựng hàm f’(x) 5 Từ đồ thị thấy f’(x) có 3 nghiệm là - 1; ;3 và có chiều xuống – lên – xuống 4 5 f '(x) = - (x + 1)(x- )(x- 3) 4 1 5 Û f '(x) = - (x2 - x- )(x- 3) 4 4 13 x 15 Û f '(x) = - x3 + x2 + - 4 2 4 13 x 15 Þ f (x) = f '(x)dx = (- x3 + x2 + - )dx ò ò 4 2 4 x4 13x3 x2 15 = - + + - x + C 4 12 4 4 C là hệ số tự do → C = r x4 13x3 x2 15 f (x) = r Þ - + + - x = 0 4 12 4 4 x3 13 x 15 Û x( - x2 - + ) = 0 4 12 4 4 Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 19
20. Sản phẩm của tập thể Diễn đàn giáo viên Toán x3 13 x 15 - 5 Phương trình bậc 3: - x2 - + = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 là 3 và 4 12 4 4 3 Þ f (x)= r có 3 nghiệm phân biệt. Tổng hợp: Minh Vũ-Nguyễn Giang 20