›
›
›

Tuyển chọn 124 bài tập trắc nghiệm môn Hình học Lớp 12 - Quan hệ vuông góc (Có đáp án)

pdf 44 trang thungat 1540
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển chọn 124 bài tập trắc nghiệm môn Hình học Lớp 12 - Quan hệ vuông góc (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftuyen_chon_124_bai_tap_trac_nghiem_mon_hinh_hoc_lop_12_quan.pdf

Nội dung text: Tuyển chọn 124 bài tập trắc nghiệm môn Hình học Lớp 12 - Quan hệ vuông góc (Có đáp án)

  1. TUYỂN CHỌN 124 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ VUÔNG GÓC CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN  Câu 1: Cho ba vectơ abc,, không đồng phẳng. Xét các vectơ x=2 a − by ; =−+ 4 a 2; bz =−− 3 b 2 c. Chọn khẳng định đúng?   A. Hai vectơ yz; cùng phương. B. Hai vectơ xy; cùng phương.  C. Hai vectơ xz; cùng phương. D. Ba vectơ xyz;; đồng phẳng. Hướng dẫn giải   + Nhận thấy: yx= −2 nên hai vectơ xy; cùng phương. Câu 2: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tạiO . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?     A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA+++ OB OC OD =0 .     B. Nếu ABCD là hình thang thì OA++ OB220 OC + OD =     C. Nếu OA+++ OB OC OD =0 thì ABCD là hình bình hành.     D. Nếu OA++ OB220 OC + OD = thì ABCD là hình thang. Hướng dẫn giải Chọn B. Câu 3: Cho hình hộp ABCD. A111 B C D 1. Chọn khẳng định đúng?       A. BD,, BD11 BC đồng phẳng. B. CD1,, AD A 11 B đồng phẳng.       C. CD11,, AD AC đồng phẳng. D. AB,, AD C1 A đồng phẳng. Hướng dẫn giải D C A B D1 C1 A1 B1 + M, N ,, PQ lần lượt là trung điểm của AB,AA11 , DD ,CD .
  2. +CD1 / /( MNPQ ). + AD//( MNPQ) . + A1 C/ /( MNPQ ).    ⇒ CD11,, AD A C đồng phẳng.  Câu 4: Cho ba vectơ abc,, không đồng phẳng. Xét các vectơ x=2 a + by ; =−− a b c; z =−− 3 b 2 c. Chọn khẳng định đúng?  A. Ba vectơ xyz;; đồng phẳng. B. Hai vectơ xa; cùng phương.  C. Hai vectơ xb; cùng phương. D. Ba vectơ xyz;; đôi một cùng phương. Hướng dẫn giải  1  Ta có: y=( xz + ) nên ba vectơ xyz;; đồng phẳng. 2 Câu 5: Cho hình hộp ABCD. A111 B C D 1. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     AB++= B11 C DD 1 k AC 1 A. k = 4 B. k = 1 C. k = 0 D. k = 2 . Hướng dẫn giải D C A B D1 C1 A1 B1 + Ta có:    AB++ B11 C DD 1    =++AB BC CC1 .  = AC1 Nên k = 1. Chọn B Câu 6: Cho hình hộp ABCD.’’’’ A B C D có tâmO . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt      AC' = u ,CA' = v , BD' = x , DB' = y . đúng?  1   1  A. 2(OI=− u +++ v x y ). B. 2(OI=− u +++ v x y ). 4 2
  3.  1   1  C. 2(OI= u +++ v x y ). D. 2(OI= u +++ v x y ). 2 4 Hướng dẫn giải K D C J A B O D’ C’ A’ B’ + Gọi JK, lần lượt là trung điểm của AB, CD . + Ta có:    2OI= OJ + OK 1     =(OA ++ OB OC + OD) 2 1  =−()uvxy +++ 4      Câu 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A111 B C . Đặt AA1 = a,,, AB = b AC = c BC = d ,trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?    A. abcd+++ =0 . B. abc++= d. C. bcd−+ =0 . D. abc= + . Hướng dẫn giải A C B A1 C1 B1
  4. + Dễ thấy:    AB++= BC CA 0  . ⇒bdc +−=0 Câu 8: Cho hình hộp ABCD. EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?       A. BD,, AK GF đồng phẳng. B. BD,, IK GF đồng phẳng.       C. BD,, EK GF đồng phẳng. D. BD,, IK GC đồng phẳng. Hướng dẫn giải D C A B K I H G E F IK/ /( ABCD )  + GF/ /( ABCD )  BD⊂ (ABCD)    ⇒ IK,, GF BD đồng phẳng. + Các bộ vecto ở câu AC,, D không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng. Câu 9: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu giá của ba vectơ abc,, cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng. B. Nếu trong ba vectơ abc,, có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng. C. Nếu giá của ba vectơ abc,, cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng. D. Nếu trong ba vectơ abc,, có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng. Hướng dẫn giải + Nắm vững khái niệm ba vecto đồng phẳng. Câu 10: Cho hình hộp ABCD. A111 B C D 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?       A. AC11+= AC2 AC . B. AC111++ CA20 C C =.       C. AC11+= AC AA 1. D. CA11+= AC CC .
  5. Hướng dẫn giải + Gọi O là tâm của hình hộp ABCD. A111 B C D 1. + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra. D C A B O D1 C1 A1 B1 Câu 11: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:      A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB+++= BC CD DA O .   B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB= CD .     C. Cho hình chóp S. ABCD . Nếu có SB+=+ SD SA SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.    D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB+= AC AD . Hướng dẫn giải A B D C            SB+ SD =+ SA SC ⇔+ SA A B ++ SA A D =++ SA SA A C .    ⇔+=AB AD AC. ⇔ ABCD là hình bình hành   Câu 12: Cho hình lập phương ABCD. EFGH có cạnh bằng a.Ta có AB. EG bằng? a2 2 A. a2 2 . B. a2 . C. a2 3 . D. . 2 Hướng dẫn giải
  6. A B D C F E H G      AB. EG= AB .( EF + EH )     =AB EF + AB EH  2     =+=AB AB.( AD EH AD )   = a2 (Vì AB⊥ AD ) Câu 13: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm ABCD,,, không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để ABCD,,, tạo thành hình bình hành là:  11     11    A. OA+=+ OB OC OD . B. OA+=+ OC OB OD . 22 22         C. OA+=+ OC OB OD . D. OA+++ OB OC OD =0 . Hướng dẫn giải A B D C     OA+=+ OC OB OD        ⇔++OA OA AC =+++ OA AB OA BC    ⇔=+AC AB BC Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A′′′′ B C D . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’’ A và BCC’’ B . Khẳng định nào sau đây sai ?  11   A. Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng B. IK= AC = A'' C 22       C. Ba vectơ BD; IK ;'' B C không đồng phẳng. D. BD+=22 IK BC Hướng dẫn giải   A. Đúng vì IK, AC cùng thuộc (B′ AC) B. Đúng vì    11 IK= IB′ + B' K =( a + b) +( −+ a c) 22 1 11   =(b += c) AC = A′′ C . 2 22 C. Sai vì
  7.    11 1 IK= IB′ + B'. K =( a + b) +( −+ a c) =( b + c) 22 2    ⇒BDIKbcbc +2 =−++ + =22 c = BC′′ . ⇒ ba véctơ đồng phẳng. D. Đúng vì theo câu C     ⇒BD +2 IK =−++ bcbc + =22 c = BC′′ = 2. BC Câu 15: Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy MN, sao cho AM=3; MD BN = 3 NC . Gọi PQ, lần lượt là trung điểm của AD và BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?       A. Các vectơ BD,, AC MN đồng phẳng. B. Các vectơ MN,, DC PQ đồng phẳng.       C. Các vectơ AB,, DC PQ đồng phẳng. D. Các vectơ AB,, DC MN đồng phẳng. A P M B D Q N C A. Sai vì         MN=++ MA AC CN MN =++ MA AC CN     ⇒     MN= MD ++ DB BN3 MN = 3 MD + 33 DB + BN    1  ⇒43MN =−+ AC BD BC 2    ⇒ BD,, AC MN không đồng phẳng. B. Đúng vì     MN= MP ++ PQ QN     1       ⇒2.MN =+⇒ PQ DC MN =( PQ + DC) MN= MD ++ DC CN 2    ⇒ MN,, DC PQ : đồng phẳng.   1   C. Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta có PQ=( AB + DC). 2  11   D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có MN= AB + DC . 44 Câu 16: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:       a2 A. AD+++ CB BC DA =0 B. AB. BC = − . 2       C. AC. AD= AC CD D. AB⊥ CD hay AB.0 CD = .
  8. Hướng dẫn giải A B C D Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC,,, BCD CDA ABD là các tam giác đều.         A. Đúng vì AD+++=+++= CB BC DA DA AD BC CB 0 .     −a2 B. Đúng vì AB. BC=−=−= BA . BC a . a .cos600 . 2 C. Sai vì   a2 AC. AD= a . a .cos600 = . 2     a2 AC. CD=−=−=− CA . CD a . a .cos600 . 2     D. Đúng vì AB⊥⇒ CD AB. CD = 0.    Câu 17: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB= a,,, AC = b AD = c gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?   1 A. AGabc=++. B. AG=( abc ++) . 3  1  1 C. AG=( abc ++) . D. AG=( abc ++) . 2 4 Hướng dẫn giải A B D G M C Gọi M là trung điểm BC.
  9.    2  AG=+=+ AB BG a BM 3 21   =++a. BC BD 32( ) 1     =+a( AC −+− AB AD AB) 3 11 =+a −2. abc ++ = abc ++ 33( ) ( ) Câu 18: Cho hình hộp ABCD. A111 B C D 1. Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng        1  A. BM=++ BB BA BC . B. CM=++ CC CD CB . 1 1 11 11 1 1 1 12 11   11       C. CM=++ CC CD CB. D. BB++= B A B C2 B D . 1 122 1 1 11 111111 Hướng dẫn giải A B M D C A1 B1 D1 C1 A. Sai vì     1   B M=+=+ B B BM BB BA + BD 11 12 ( )  1   =++ BB1( B 11 A B 1 D 1) 2  1    =+BB BA ++ BA BC 12 ( 11 11 11)   1  =++BB B A B C . 1 112 11 B. Đúng vì
  10.     1   C M=+=+ C C CM C C CA + CD 11 12 ( )  1   =++ CC1( CA 11 CD 1 1) 2  1    =+CC CB ++ CD CD 12 ( 11 11 11)   1  =++CC CD CB. 1 1 12 11 C. Sai. theo câu B suy ra       + + = += D. Đúng vì BB111111 B A B C BA BC BD1.     Câu 19: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA+++ GB GC GD =0 (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi GO là giao điểm của GA và mp ()BCD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?         A. GA= −2 G0 G . B. GA= 4 G0 G . C. GA= 3 G0 G . D. GA= 2 G0 G . Hướng dẫn giải A G B D G0 M C Theo đề: GO là giao điểm của GA và mp (BCD ) ⇒ G0 là trọng tâm tam giác BCD .    ⇒++= GA000 GB GC 0     Ta có: GA+++ GB GC GD =0     ⇒=−++GA( GB GC GD)     =−+++(3GG0000 G A G B G C)   =−=33GG00 G G Câu 20: Cho tứ diện ABCD . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của AD, BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?       A. Các vectơ AB,, DC MN đồng phẳng. B. Các vectơ AB,, AC MN không đồng phẳng.
  11.       C. Các vectơ AN,, CM MN đồng phẳng. D. Các vectơ BD,, AC MN đồng phẳng. Hướng dẫn giải  1   A. Đúng vì MN=( AB + DC). 2 A M B D N C  B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN thì  MN không nằm trong mặt phẳng ( ABC) .  C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN không nằm trong mặt phẳng (CMN ) .  1   D. Đúng vì MN=( AC + BD). 2 Câu 21: Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi     GA+++ GB GC GD =0 ”. Khẳng định nào sau đây sai ? A. G là trung điểm của đoạn IJ ( IJ, lần lượt là trung điểm AB vàCD ) B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC D. Chưa thể xác định được. Hướng dẫn giải       Ta có:(GA+++ GB) ( GC GD) =⇔+02 GI 2 GJ = 0 G là trung điểm IJ nên đáp án A đúng Tương tự cho đáp án B và C cũng đúng.
  12. Câu 22: Cho hình lập phương ABCD. A111 B C D 1. Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?  1     1    A. AO=( AB ++ AD AA1 ) B. AO=( AB ++ AD AA1 ) 3 2  1     2    C. AO=( AB ++ AD AA1 ) D. AO=( AB ++ AD AA1 ) . 4 3 Hướng dẫn giải     Theo quy tắc hình hộp: AC11=++ AB AD AA  1  Mà : AO= AC 2 1  1    Nên AO=( AB ++ AD AA1 ) . 2 Câu 23: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?         A. Từ AB= 3 AC ta suy ra BA= −3 CA  1  B. Nếu AB= − BC thì B là trung điểm đoạn AC . 2    C. Vì AB=−+25 AC AD nên bốn điểm ABCD, , , đồng phẳng     D. Từ AB= −3 AC ta suy raCB= 2 AC . Hướng dẫn giải A M G B D N C    Ta có: AB=−+25 AC AD    Suy ra: AB,, AC AD hay bốn điểm ABCD, , , đồng phẳng. Câu 24: Cho tứ diện ABCD . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?          A. MA+++ MB MC MD =4 MG B. GA++ GB GC = GD       C. GA+++ GB GC GD =0 D. GM+= GN 0 . Hướng dẫn giải M, NG, lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN theo quy tắc trung điểm :         GA+= GB2 GM ; GC += GD 2; GN GM + GN = 0     Suy ra: GA+++ GB GC GD =0     Hay GA++ GB GC =− GD . Câu 25: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tìm mệnh đề sai trong những mệnh đề sau đây:
  13.       2 A. 20AB+ B′ C ′ ++ CD D ′′ A = B. AD′′. AB= a    C. AB′′.0 CD = D. AC′ = a 3 . Hướng dẫn giải D' C' A' B' D C A B     Ta có : 20AB+ B′ C ′ ++ CD D ′′ A =        ⇔+AB( AB + CD) +( B′ C ′ + D ′′ A ) =0 ⇔AB ++=⇔000AB = 0(vô lí) Câu 26: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với tâm O. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:           A. AB++ BC CC′ = AD ′′ + D O + OC ′ B. AB+=+ AA′′ AD DD         C. AB+ BC′′ ++ CD D A =0 D. AC′′=++ AB AD AA . Hướng dẫn giải D' C' A' B' D C A B       Ta có : AB+ AA′′ =+ AD DD ⇔= AB AD (vô lí)   Câu 27: Cho ba vectơ abc,, không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?  A. Các vectơ x= a ++ b2; cy = 2 a − 3 b − 6; cz =−+ a 3 b + 6 c đồng phẳng.  B. Các vectơ xabcyabczabc=−+2 4; =−+ 3 3 2; = 2 −− 3 3 đồng phẳng.  C. Các vectơ x= abcy ++; = 23 a − bcz + ; =−+ a 33 b + c đồng phẳng.  D. Các vectơ x=+− abcy; = 2 ab −+ 3; cz =−−+ ab 2 c đồng phẳng. Hướng dẫn giải   Các vectơ xyz,, đồng phẳng ⇔∃m,: n x = my + nz  Mà : x= my + nz ⇔−+=abcmabcnabc24( 332 −+) +( 233 −−) 3mn+= 21  ⇔− 33mn − =− 2(hệ vô nghiệm)  234mn−=
  14.  Vậy không tồn tại hai số m,: n x= my + nz Câu 28: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn:      GS+++ GA GB GC + GD =0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?   A. GSO, , không thẳng hàng. B. GS= 4 OG     C. GS= 5 OG D. GS= 3 OG . Hướng dẫn giải S B C O A D      GS+++ GA GB GC + GD =0       ⇔+GS40 GO +( OA +++ OB OC OD) =   ⇔+GS40 GO =   ⇔=GS4 OG     Câu 29: Cho lăng trụ tam giác ABC.’’’ A B C có AA',= a AB = b , AC = c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ  BC ' qua các vectơ ab,, c.     A. BC' =+− a b c B. BC′ =−+− a b c C. BC′ =−−+ a b c D. BC' =−+ a b c . Hướng dẫn giải A' C' B' A C B       Ta có: BC''= BA + AC =− AB + AC + AA ' =−++ b c a = a − b + c . Câu 30: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâmG . Mệnh đề nào sau đây là sai?      1     A. GA+++= GB GC GD 0 B. OG=( OA +++ OB OC OD) 4  2     1    C. AG=( AB ++ AC AD) D. AG=( AB ++ AC AD) . 3 4 Hướng dẫn giải G là trọng tâm tứ diện ABCD          1    ⇔+++=⇔+++=⇔=GA GB GC GD04 GA AB AC AD0 AG( AB ++ AC AD) . 4 Câu 31: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k    thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN= k( AC + BD)
  15. 1 1 A. k = . B. k = . C. k = 3. D. k = 2. 2 3 Hướng dẫn giải  1   MN=( MC + MD) (quy tắc trung điểm) 2 1     =(MA +++ AC MB BD) 2   Mà MA+= MB 0 (vì M là trung điểm AB )  1   ⇒=MN( AC + BD). Chọn A 2 Câu 32: Cho ba vectơ abc,, . Điều kiện nào sau đây khẳng định abc,, đồng phẳng? A. Tồn tại ba số thực mnp,, thỏa mãn mnp++ =0 và ma++ nb pc =0 . B. Tồn tại ba số thực mnp,, thỏa mãn mnp++ ≠0 và ma++ nb pc =0 . C. Tồn tại ba số thực mnp,, sao cho ma++ nb pc =0 . D. Giá của abc,, đồng qui. Hướng dẫn giải Theo giả thuyết mnp++ ≠0 ⇒ tồn tại ít nhất một số khác 0 . Giả sử m ≠ 0 . np Từ ma+ nb + pc =⇒=−−0 a b c . mm ⇒ abc,, đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ). Chọn B.     Câu 33: Cho lăng trụ tam giác ABC. A′′′ B C có AA′ = a,, AB = b AC = c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ  BC' qua các vectơ ab,, c.     A. BC′ =+− a b c. B. BC′ =−++ abc. C. BCabc'.=++ D. BC′ =−−+ a b c. Hướng dẫn giải C' A' B' C A B    BC′= BB ′ + BC ′′ (qt hình bình hành)     =−AA′ + BC =−+ a AC − AB =−−+ a b c. Chọn D. Câu 34: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
  16.  1  A. Nếu AB= − BC thì B là trung điểm của đoạn AC . 2     B. Từ AB= −3 AC ta suy ra CB= AC.    C. Vì AB=−+25 AC AD nên bốn điểm ABCD,,, cùng thuộc một mặt phẳng.         D. Từ AB= 3 AC ta suy ra BA= −3. CA Hướng dẫn giải  1  A. Sai vì AB=−⇒ BC A là trung điểm BC. 2 C A B     B. Sai vì AB−⇒3 AC CB= −4 AC . C A B C. Đúng theo định lý về sự đồng phẳng của 3 véctơ.     D. Sai vì AB=33 AC ⇒= BA CA (nhân 2 vế cho −1). Câu 35: Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: A. Ba véctơ abc,, đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương. B. Ba véctơ abc,, đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ 0 . C. véctơ x=++ abc luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ a và b .    D. Cho hình hộp ABCD.’’’’ A B C D ba véctơ AB′,, C ′′ A DA ′ đồng phẳng Hướng dẫn giải B' C' A' D' B C a b A c D A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng. B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng. C. Sai    DA′′=−=− AA AD a c     D. Đúng vì AB′=+ a b ⇒=−AB′′ DA CA   ′′ C A= CA =−− b c    ⇒ 3 vectơ AB′,, C ′′ A DA ′ đồng phẳng.
  17. Câu 36: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD. EFGH có cạnh a .   Ta có AB. EG bằng: a 2 A. a2. B. a 2 C. a 3. D. . 2 Hướng dẫn giải F G E H B C A D        AB. EG=( EF + EH)( AE ++ EF FB)           =+++++EF. AE EF2 EF FB EH AE EH EF EH FB   =+0a2 ++++ 000EH . EA =aa22 +=0 Chọn A. Câu 37: Cho hình chóp S. ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?      A. Nếu SA++ SB226 SC + SD = SO thì ABCD là hình thang.      B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA+++ SB SC SD =4 SO .      C. Nếu ABCD là hình thang thì SA++ SB226 SC + SD = SO .      D. Nếu SA+++ SB SC SD =4 SO thì ABCD là hình bình hành. Hướng dẫn giải S A D O B C      A. Đúng vì SA++ SB226 SC + SD = SO     ⇔++OA OB220 OC + OD =. Vì O, A,C và OBD,, thẳng hàng nên    đặt OA= kOC; OB = mOD .   ⇒+(k1) OC +( m + 10) OD =.
  18.   Mà OC, OD không cùng phương nên k = −2 và m = −2 . OA OB ⇒ = =2 ⇒ AB // CD . OC OD B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái. C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD, BC thì sẽ sai. D. Đúng. Tương tự đáp án A với kO=−1, m =−⇒ 1 là trung điểm 2 đường chéo. Câu 38: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?       A. Từ hệ thức AB=28 AC − AD ta suy ra ba véctơ AB,, AC AD đồng phẳng.   B. Vì NM+= NP 0 nên N là trung điểm của đoạn MP.  1   C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điẻm O bất kì ta có OI=( OA + OB.) 2     D. Vì AB+++= BC CD DA 0 nên bốn điểm ABCD,,, cùng thuộc một mặt phẳng. Hướng dẫn giải A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ. B. Đúng       C. Đúng vì OA+ OB = OI ++ IA OI + IB   Mà IA+= IB 0 (vì I là trung điểm AB)    ⇒+=OA OB2 OI . D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng.   Câu 39: Cho hình hộp ABCD.’’’’ A B C D có tâm O . Đặt AB= a ; BC= b . M là điểm xác định bởi  1 OM=( a − b) . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 A. M là trung điểm BB′. B. M là tâm hình bình hành BCC′′ B . C. M là tâm hình bình hành ABB′′ A . D. M là trung điểm CC′. Hướng dẫn giải    1   A. M là trung điểm BB′ ⇒2OM =+=−+ OB OB′( B ′′ D BD ) (quy tắc trung điểm). 2 1   =−(BBbaBBba' +−+′ +−) (quy tắc hình hộp). 2 1 =−−+( 22a b) =− ab. 2 ⇒ A. Đúng. Câu 40: Cho hai điểm phân biệt AB, và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB . Mệnh đề nào sau đây là đúng?    A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM= OA + OB .    B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM= OB = k BA.
  19.    C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM= kOA +−(1 k) OB .     D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM= OB = k( OB − OA) . Hướng dẫn giải    A. Sai vì OA+= OB2 OI (I là trung điểm AB)   ⇒=⇒OM2 OI OM,, I thẳng hàng.   B. Sai vì OM= OB ⇒≡ M B ;   Và OB= k BA ⇒ OBA,, thẳng hàng: vô lý        C. OM= kOA +−(1. k) OB ⇔ OM − OB = k( OA − OB)   ⇔=BM k BA ⇒ BAM,, thẳng hàng.        D. Sai vì OB−=⇒= OA AB OB k( OB − OA) = k AB ⇒ OBA,, thẳng hàng: vô lý. BẢNG TỔNG HỢP ĐÁP ÁN 1-40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B C A B A C B A A C B C C A C B B C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D B C B A B B B D C A B D C C A C D A C Câu 41: Gọi MN, lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào      đẳng thức vectơ: PI= k( PA +++ PB PC PD) 1 1 A. k = 4 . B. k = . C. k = . D. k = 2 . 2 4 Hướng dẫn giải :       Ta có PA+= PC2 PM , PB+= PD2 PN           nên PA+++ PB PC PD =2 PM + 2 PN = 2( PM + PN ) = 2.2. PI = 4 PI 1 Vậy k = 4 Câu 42: Cho hình hộp ABCD. A111 B C D 1. Chọn đẳng thức sai?         A. BC+= BA B11 C + B 11 A . B. AD++= D11 C D 11 A DC .         C. BC++ BA BB11 = BD . D. BA++= DD11 BD BC .
  20. B1 C1 A1 D1 B C A D Hướng dẫn giải :          Ta có : BA++=++=+≠ DD11 BD BA BB 1111 BD BA BD BC nên D sai.         Do BC= B11 C và BA= B11 A nên BC+= BA B11 C + B 11 A . A đúng          Do AD++=+=+== D11 C D 11 A AD D11 B A 1 D 1 D 11 B A 11 B DC nên     AD++= D11 C D 11 A DC nên B đúng.       Do BC++ BA BB1 = BD + DD 11 = BD nên C đúng. Câu 43: Cho tứ diện ABCD . Gọi PQ, là trung điểm của AB vàCD . Chọn khẳng định đúng?  1    1    1      A. PQ=( BC + AD) . B. PQ=( BC + AD) .C. PQ=( BC − AD) D. PQ= BC + AD . 4 2 2 Hướng dẫn giải :         Ta có : PQ=++ PB BC CQ và PQ=++ PA AD DQ nên           1   2PQ=( PA + PB) +++ BC AD( CQ + DQ) =+ BC AD . Vậy PQ=( BC + AD) 2 Câu 44: Cho hình hộp ABCD.' A B ' C ' D '. M là điểm trên AC sao cho AC= 3 MC . Lấy N trên đoạn CD' sao cho xC'' D= C N . Với giá trị nào của x thì MN BD’ . 2 1 1 1 A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 3 3 4 2 Hướng dẫn giải : B' C' A' D' B N C M A D Câu 45: Cho hình hộp ABCD.' A B ' C ' D '. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     BD−− D' D B '' D = k BB ' A. k = 2 . B. k = 4 . C. k = 1 . D. k = 0 . Hướng dẫn giải :
  21. B' C' A' D' B C A D     Ta có BD++ DD' D '' B = BB ' nên k = 1 Câu 46: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?  1   A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: OI=( OA + OB) . 2     B. Vì AB+++= BC CD DA 0 nên bốn điểm ABCD, , , đồng phẳng.   C. Vì NM+= NP 0 nên N là trung điểm đoạn NP .       D. Từ hệ thức AB=28 AC − AD ta suy ra ba vectơ AB,, AC AD đồng phẳng. Hướng dẫn giải :     Do AB+++= BC CD DA 0 đúng với mọi điểm ABCD,,, nên câu B sai. Câu 47: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? A. Ba véctơ abc,, đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng B. Ba tia Ox,, Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng. C. Cho hai véctơ không cùng phương a và b . Khi đó ba véctơ abc,, đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số mn, sao cho c= ma + nb , ngoài ra cặp số mn, là duy nhất. D. Nếu có ma++= nb pc 0 và một trong ba số mnp,, khác 0 thì ba véctơ abc,, đồng phẳng. Hướng dẫn giải : Ba véctơ abc,, đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng. Câu A sai Câu 48: Gọi MN, lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào     đẳng thức vectơ: IA+(2 k − 1) IB + k IC += ID 0 A. k = 2 . B. k = 4 . C. k = 1 . D. k = 0 . Hướng dẫn giải :     Ta chứng minh được IA+++ IB IC ID =0 nên k = 1 Câu 49: Cho ba vectơ abc,, . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Nếu abc,, không đồng phẳng thì từ ma++ nb pc =0 ta suy ra mn= = p = 0 . B. Nếu có ma++ nb pc =0 , trong đó mn22++ p 2 >0 thì abc,, đồng phẳng. C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn mn++ p ≠0 ta có ma++ nb pc =0 thì abc,, đồng phẳng. D. Nếu giá của abc,, đồng qui thì abc,, đồng phẳng.
  22. Hướng dẫn giải : Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.      Câu 50: Cho hình lăng trụ ABC.’’’ A B C , M là trung điểm của BB’ . Đặt CA= a ,CB= b , AA' = c . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1  1  1 A. AM=+− a c b B. AM=+− b c a . C. AM=−+ b a c . D. AM=−+ a c b . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải : A' C' B' M A C B      11  Ta có AM= AB + BM = CB − CA + BB' =−+ b a c 22      Câu 51: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA′′′ B C . Đặt AA′ = a,,, AB = b AC = c BC = d . Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.    A. abc= + . B. abcd+++ =0 . C. bcd−+ =0 . D. abc++= d. Hướng dẫn giải:       Ta có: b−+=−+=+= c d AB AC BC CB BC 0 . Chọn C. Câu 52: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Đẳng thức đúng là.         A. 6SI=++ SA SB SC . B. SI=++ SA SB SC .      111    C. SI=3( SA −+ SB SC) . D. SI=++ SA SB SC . 333 Hướng dẫn giải:      111    Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên SA++ SB SC =3 SI ⇔= SI SA + SB + SC . 333 Chọn D. Câu 53: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng. A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng. B. Ba véctơ abc,, đồng phẳng thì có c= ma + nb với mn, là các số duy nhất.   C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có d= ma ++ nb pc với d là véctơ bất kì. D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng. Hướng dẫn giải: Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng. Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ ab, không cùng phương.
  23.   Câu C sai vì d= ma ++ nb pc với d là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ abc,, đồng phẳng. Vậy ta chọn đáp án D. Câu 54: Cho hình hộp ABCD.' A B ' C ' D '. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:     AC++ BA' k( DB + C '0 D) =. A. k = 0 . B. k =1. C. k = 4 . D. k = 2 . Hướng dẫn giải:            Với k =1 ta có: AC++ BA' 1.( DB + C ' D) =++ AC BA' C 'B =+ AC C 'A' =+= AC CA 0 . Chọn B. Câu 55: Cho hình chóp S. ABC Lấy các điểm ABC′′′,, lần lượt thuộc các tia SA,, SB SC sao cho SA= a., SA′′ SB = b ., SB SC = c . SC ′, trong đó abc,, là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa abc,, để mặt phẳng ( ABC′′′) đi qua trọng tâm của tam giác ABC . A. abc++=3. B. abc++=4 . C. abc++=2 . D. abc++=1. Hướng dẫn giải: Nếu abc= = =1 thì SA= SA′′,, SB = SB SC = SC ′ nên ( ABC) ≡ ( A''' B C ) . =>( ABC''') đi qua trọng tâm của tam giác ABC => abc++=3 là đáp án đúng. Chọn A.      Câu 56: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA= a,,, SB = b SC = c SD = d . Khẳng định nào sau đây đúng.     A. acdb+= +. B. acdb++ +=0 . C. ad+=+ bc. D. abcd+=+. Hướng dẫn giải:    a+= c SA + SC =2 SO  Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Ta có:      => acdb+= + b+= d SB + SD =2 SO Chọn A. Câu 57: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai.  2     1    A. AG=( AB ++ AC AD) . B. AG=( AB ++ AC AD) . 3 4  1         C. OG=( OA +++ OB OC OD). D. GA+++ GB GC GD =0 . 4 Hướng dẫn giải:  1     Theo giả thuyết trên thì với O là một điểm bất kỳ ta luôn có: OG=( OA +++ OB OC OD) . 4 Ta thay điểm O bởi điểm A thì ta có:  11         AG=( AA +++ AB AC AD) ⇔ AG =( AB ++ AC AD) 44  2    Do vậy AG=( AB ++ AC AD) là sai. 3 Chọn A. Câu 58: Cho hình hộp ABCD. A111 B C D 1 với tâm O . Chọn đẳng thức sai.
  24.         A. AB+=+ AA11 AD DD . B. AC11=++ AB AD AA .           C. AB+ BC11 ++ CD D A =0 . D. AB++=++ BC CC1 AD 11 D O OC 1. Hướng dẫn giải:             Ta có AB+= AA11 AB, AD + DD 1 = AD 1 mà AB11≠ AD nên AB+=+ AA11 AD DD sai. Chọn A. Câu 59: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt     AB= b , AC= c , AD= d . Khẳng định nào sau đây đúng.  1   1  A. MP=() c ++ d b . B. MP=() d +− b c . 2 2  1   1  C. MP=() c +− b d . D. MP=() c +− d b . 2 2 Hướng dẫn giải:         1  Ta có c+−= d b AC + AD − AB =22 AP − AM = 2( MP) ⇔ MP = ( c +− d b ). 2 Chọn D. Câu 60: Cho hình hộp ABCD. A111 B C D 1. Chọn khẳng định đúng.       A. BD,, BD11 BC đồng phẳng. B. BA11,, BD BD đồng phẳng.       C. BA11,, BD BC đồng phẳng. D. BA111,, BD BC đồng phẳng. Hướng dẫn giải:    Ta có 3 véctơ BA11,, BD BC đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng (BCD11 A ). Chọn C.     Câu 61: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt x= AB; y= AC; z= AD. Khẳng định nào sau đây đúng?  1   1  A. AG=() x ++ y z . B. AG=−() x ++ y z . 3 3  2   2  C. AG=() x ++ y z . D. AG=−() x ++ y z . 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có:    AG= AB + BG                 AG=+ AC CG ⇒3 AG =+++++ AB AC AD BG CG DG =++=++ AB AC AD x y z     AG= AD + DG    Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên BG++ CG DG =0. Câu 62: Cho hình chóp S ABCD Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?     A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB+=+ SD SA SC .     B. Nếu SB+=+ SD SA SC thì ABCD là hình bình hành.     C. Nếu ABCD là hình thang thì SB+=+22 SD SA SC .     D. Nếu SB+=+22 SD SA SC thì ABCD là hình thang. Hướng dẫn giải:
  25. Đáp án C sai do nếu ABCD là hình thang có 2 đáy lần lượt là AD và BC thì ta có     SD+=+2 SB SC 2. SA Câu 63: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k    thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN= k( AD + BC) 1 1 A. k = 3. B. k = . C. k = 2. D. k = . 2 3 Hướng dẫn giải:     MN=++ MA AD DN         Ta có:      ⇒2MN =++++ AD BC MA MB DN + CN MN= MB ++ BC CN        Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MA==−==− BM MB; DN NC CN     1   Do đó 2MN=+⇒ AD BC MN =( AD + BC) . 2    Câu 64: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB= a,,, AC = b AD = c gọi M là trung điểm của BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  1  1 A. DM=( a +− b2 c) B. DM=( −2 abc ++) 2 2  1  1 C. DM=( a −+2 b c) . D. DM=( a +−2 b c) 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có:       11      DM=++ DA AB BM =−+ AB AD BC =−+ AB AD( BA + AC) 22 1 1   11 1 =AB + ACAD − = a + bc −=( ab +−2. c) 2 2 22 2 Câu 65: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào     đẳng thức vectơ: DA++ DB DC = k DG 1 1 A. k = . B. k = 2. C. k = 3. D. k = . 3 2 Hướng dẫn giải:     Chứng minh tương tự câu 61 ta có DA++ DB DC =3 DG . BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC   Câu 66: Cho hình lập phương ABCD. EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và DH ? A. 45o B. 90o C. 120o D. 60o Hướng dẫn giải: AB⊥ AE   ⇒⊥AB DH ⇒( AB, DH ) = 90o AE// DH  Câu 67: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c ).
  26. B. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c . C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Câu 68: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'' D có chung cạnh AB và nằm trong  hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O ' . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB  vàOO '? A. 60o B. 45o C. 120o D. 90o Hướng dẫn giải: Vì ABCD và ABC'' D là hình vuông nên AD// BC '; AD= BC ' ⇒ ADBC ' là hình bình hành Mà OO;' là tâm của 2 hình vuông nên OO;' là trung điểm của BD và AC ' ⇒ OO ' là đường trung bình của ADBC ' ⇒ OO'// AD Mặt khác, AD⊥ AB nên OO' ⊥ AB ⊥⇒( OO', AB) = 90o Câu 69: Cho tứ diện ABCD có AB= AC = AD và BAC = BAD =6000 , CAD = 90 . Gọi I và J lần    lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD ? A. 45o B. 90o C. 60o D. 120o Hướng dẫn giải: Ta có BAC và BAD là 2 tam giác đều, I là trung điểm của AB nên CI= DI (2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh AB ) nên CID là tam giác cân ở I . Do đó IJ⊥ CD. Câu 70: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt abc,,. Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì ab// . B. Nếu ab// và ca⊥ thì cb⊥ . C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì ab// . D. Nếu a và b cùng nằm trong mp(α ) // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c . Câu 71: Cho hình chóp S. ABC có SA= SB = SC và ASB= BSC = CSA . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ SB và AC ? 0 0 0 0 A. 60 . B. 120 . C. 45 . D. 90S . Hướng dẫn. Ta có: ∆SAB =∆ SBC =∆ SCA( c −− g c) ⇒==AB BC CA . Do đótam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Vì hình chóp S. ABC có SA= SB = SC nên hình chiếu của S trùng với G A C Hay SG⊥ ( ABC) . AC⊥ BG G Ta có:  ⇒⊥AC( SBG) AC⊥ SG Suy ra AC⊥ SB . B   Vậy góc giữa cặp vectơ SB và AC bằng 900 . Câu 72: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD . Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, NPQ , , . Tứ giác MNPQ là hình gì?
  27. A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Tứ giác không phải là hình thang. Hướng dẫn A (MNPQ) // AB Ta có: ⇒ MQ// AB .  P (MNPQ) ∩=( ABC) MQ Tương tự ta có: MN// CD , NP // AB , QP // C D . Q Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành B D N ⊥⊥ lại có MN MQ( do AB CD ) . M Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. C Câu 73: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC′ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, NPQ , , lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC′ và CA′ . Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thang. Hướng dẫn Vì M, NPQ , , nên dễ thấy tứ giác MNPQ là hình bhình hành. C' Gọi H là trung điểm của AB . CH⊥ AB Vì hai tam giác ABC và ABC′ nên  C′ H⊥ AB Q Suy ra AB⊥ ( CHC′) . Do đó AB⊥ CC′ . A P M PQ// AB C  Ta có: PN// CC′ ⇒⊥ PQ PN . H  N AB⊥ CC′ Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. B Câu 74: Cho tứ diện ABCD có AB= AC = AD và BAC = BAD =6000 , CAD = 90 . Gọi I và J lần lượt    là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ ? A. 1200 . B. 900 . C. 600 . D. 450 . A Hướng dẫn Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD .  1   Ta có: IJ=( IC + ID) 2 I Vì tam giác ABC có AB= AC và BAC = 600 Nên tam giác ABC đều. Suy ra: CI⊥ AB Tương tự ta có tam giác ABD đều nên DI⊥ AB . B D   1    11     Xét IJ. AB=+=+( IC ID) . AB IC . AB ID .0 AB = . 2 22 J      ⊥ 0 Suy ra IJ AB . Hay góc giữa cặp vectơ AB và IJ bằng 90 . C Câu 75: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn khẳng định đúng? A. AB222222+++++= AC AD BC BD CD3( GA 2222 +++ GB GC GD ) . B. AB222222+++++= AC AD BC BD CD4( GA 2222 +++ GB GC GD ) .
  28. C. AB222222+++++= AC AD BC BD CD6( GA 2222 +++ GB GC GD ) . D. AB222222+++++= AC AD BC BD CD2( GA 2222 +++ GB GC GD ) . Hướng dẫn AB222222+++++ AC AD BC BD CD   222222           =+( AG GB) ++( AG GC) ++( AG GD) ++( BG GC) ++( BG GD) ++( CG GD)             =++++3333AG222 BG CG DG 2 2.( AG GB + AG . GC + AG . GD + BG . GD + BG . GD + CG.1 GD)( ) A Lại có:     (GA+++ GB GC GD0) = I ⇔+++GA2222 GB GC GD G             B D =2 2( AG GB +++++ AG GC AG GD BG GD BG GD CG GD)( ) J Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. C Câu 76: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là? A. 1200 . B. 600 . C. 900 . D. 300 . C Hướng dẫn Gọi I là trung điểm của AB Vì ABC và ABD là các tam giác đều CI⊥ AB Nên  . DI⊥ AB A D Suy ra AB⊥ CID ⇒⊥ AB CD . ( ) I B Câu 77: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn. B. Tứ diện có ít nhất hai mặt là tam giác nhọn. C. Tứ diện có ít nhất ba mặt là tam giác nhọn. D. Tứ diện có cả bốn mặt là tam giác nhọn. Bài này em không biết chứng minh. Nghĩ mãi bằng phản chứng mà không xong. Huhu. Câu 78: Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc ( IJ, CD) bằng: A. 900 . B. 450 . C. 300 . D. 600 . Hướng dẫn S Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Ta có: OJ// CD . Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ . Xét tam giác IOJ có I 11a aa 1 IJ= SB =,, OJ = CD = IO = SA = . 22 2 2 22 A K D Nên tam giác IOJ đều. B O J C
  29. Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa IJ và OJ bằng góc IJ O= 600 . Câu 79: Cho hình hộp ABCD. A′′′′ B C D . Giả sử tam giác AB′ C và A′′ DC đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và AD′ là góc nào sau đây? A. AB' C . B. DA '' C . C. BB ' D . D. BDB ' . Hướng dẫn A' D' Ta có: AC// A′′ C nên góc giữa hai đường thẳng AC và AD′ là góc giữa hai đường thẳng AC′′ và AD′ B' C' bằng góc nhọn DA ′′ C (Vì tam giác A′′ DC đều có 3 góc nhọn A D B C Câu 80: Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: A. 600 . B. 300 . C. 900 . D. 450 . Hướng dẫn A Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Vì tứ diện ABCD đều nên AG⊥ ( BCD). CD⊥ AG Ta có:  ⇒⊥CD( ABG) ⇒⊥ CD AB . CD⊥ BG B D Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 900 G C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C D B A C B A C D C C D D B A C A A D C 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A C B A C B A D B B D C B B B C A D B C Câu 81: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là? A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai. B. Trong không gian , hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải: Theo lý thuyết. Chọn A. Câu 82: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Cắt tứ diện đó bằng một mặt phẳng song song với một cặp cạnh đối diện của tứ diện. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Thiết diện là hình chữ nhật. B. Thiết diện là hình vuông.
  30. C. Thiết diện là hình bình hành. D. Thiết diện là hình thang. Hướng dẫn giải: Chọn A. A M Q B D P N C       Câu 83: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng nếu AB. AC= AC AD = AD . AB thì AB⊥ CD , AC⊥ BD , AD⊥ BC . Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải:          Bước 1: AB. AC= AC AD ⇔ AC.( AB−= AD ) 0 ⇔ AC.0 DB = ⇔ AC⊥ BD         Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD= AD AB ta được AD⊥ BC và AB AC= AD AB ta được AB⊥ CD . Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương. Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. Sai ở bước 3. B. Đúng C. Sai ở bước 2. D. Sai ở bước 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 84: Cho hình chóp S. ABC có SA= SB = SC và ASB= BSC = CSA . Hãy xác định góc giữa cặp     vectơ SC và AB ? A. 1200 B. 450 C. 600 D. 900 Hướng dẫn giải:          S Ta có: SC. AB= SC .( SB −= SA) SC SB − SC SA =−=SA. SB cos BSC SC . SA .cos ASC 0 Vì SA= SB = SC và BSC = ASC   Do đó: (SC, AB) = 900 A C Chọn D. B Câu 85: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc (MN, SC) bằng: A. 450 B. 300 C. 900 D. 600 Hướng dẫn giải: S Ta có: ACa=22 ⇒ AC222 = a = SA + SC 2 ⇒∆ SAC vuông tại S . Khi đó:   1     N NM. SC==⇔=⇒= SA . SC 0( NM , SC) 9000( MN , SC) 90 C 2 B Chọn C. A M D
  31. Câu 86: Cho hình lập phương ABCD. A111 B C D 1. Chọn khẳng định sai? 0 0 A. Góc giữa AC và BD11 bằng 90 . B. Góc giữa BD11 và AA1 bằng 60 . 0 0 C. Góc giữa AD và BC1 bằng 45 . D. Góc giữa BD và AC11 bằng 90 . Hướng dẫn giải:        A 1 D Ta có: AA1. B 11 D= BB 1 BD = BB1( BA + BC) 1     B1 C1 =+=BB11. BA BB .0 BC   0   0 (vì (BB1, BA) = 90 và (BB1, BC) = 90 )   A 00 D Do đó: ( AA1, B 11 D) =⇒= 90( AA1 , B 11 D ) 90 B Chọn B. C   Câu 87: Cho hình lập phương ABCD. A111 B C D 1 có cạnh a . Gọi M là trung điểm AD . Giá trị B11 M. BD là: 1 3 3 A. a2 . B. a2 . C. a2 . D. a2 . 2 4 2 Hướng dẫn giải: A1         B1 Ta có: B1 M. BD 11=( B B ++ BA AM)( BA + AD + DD1) D1    2   C1 =B11 B DD ++ BA AM AD 2 22a =−++aa A 2 M B a2 D = C 2 Chọn A. Câu 88: Cho hình hộp ABCD. A′′′′ B C D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai? A. A′′ C⊥ BD B. BB′ ⊥ BD C. A′′ B⊥ DC D. BC′′⊥ A D Hướng dẫn giải:          Ta có: BB′. BD= BB ′ .( BA += BC) BB ′′ BA + BB BC = BB′′. BA( cosB BA+ cosB ′ BC) Vì AABB′′ và ABCD là hai hình thoi bằng nhau nên   + B ′′ BA= B BC ⇒ BB′.0 BD ≠ suy ra BB′ không vuông góc với BD   + B ′′ BA+=⇒ B BC1800 cosB ′ BA =−⇒ cosB ′ BC BB′.0 BD = suy ra BB′ ⊥ BD Nên đáp án B có thể sai vì chưa có điều kiện của góc B ′ BA và B ′ BC Chọn B. Câu 89: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c B. Cho ba đường thẳng abc, , vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c C. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c D. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ab, ) . Hướng dẫn giải:
  32. Chọn C.   Câu 90: Cho hình lập phương ABCD. EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG ? A. 900 B. 600 C. 450 D. 1200 Hướng dẫn giải: E     H Ta có: AB, EG= AB , AC = 450 ( ) ( ) F G Chọn C. A D B C Câu 91: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm CD , α là góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng? 3 1 3 0 A. cosα = B. cosα = C. cosα = D. α = 60 4 3 6 Hướng dẫn giải: ∆ ⇒⊥ Gọi O là trọng tâm của BCD AO (BCD) A Trên đường thẳng d qua C và song song BM lấy điểm N sao cho BMCN là hình chữ nhật, từ đó suy ra: ∠(AC,BM) =∠=∠=α (AC,CN) ACN 3 a B D Có: CN= BM = a và BN= CM = d 2 2 O 2 N M 2222222 AO=−=− AB BO AB BM = a C 33 7 ON2=+= BN 22 BO a 2 12 5 AN= AO22 += ON a 2 AC22+− CN AN 2 3 ⇒cos α= = 2.AC.CN 6 Chọn C Câu 92: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC'   và C' A . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB vàCC '? A. 450 B. 1200 C. 600 D. 900 Hướng dẫn giải: C I ·Gọi I là trung điểm CC' C' M Q · ∆CAC' cân tại A ⇒⊥CC' AI (1) A N P · ∆CBC' cân tại B ⇒⊥CC' BI (2) B
  33.   (1),(2)  →CC' ⊥ (AIB) ⇒ CC' ⊥ AB ⇔⊥CC' AB   Kết luận: góc giữa CC' và AB là 900 Chọn D Câu 93: Cho a=35 ,b = góc giữa a và b bằng1200 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng đính sau? A. ab+=19 B. ab−=7 C. ab−=2 139 D. ab+=29 Hướng dẫn giải 2 22 Ta có: a+ b =++ a b2 a.b.cosa,b( ) =19 . Chọn A.   Câu 94: Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AF và EG ? A.900 B. 600 C. 450 D. 1200 Hướng dẫn giải: Đặt cạnh của hình lập phương trên là a H G I Gọi I là giao trung điểm EG E F Qua A kẻ đường thẳng d / /FI D C d Qua I kẻ đường thẳng d'/ /FA d' J  → d cắt d' tại J A B   Từ đó suy ra ∠(EG,AF) =∠=α EIJ IJ= AF = 2EI = 2FI = 2AJ = a 2 3 EJ2= AE 22 += AJ 2 EI22+− IJ EJ 2 1 cosα= = ⇒α=600 2.EI.IJ 2 Chọn B Câu 95: Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?     A. 2.AB AC=+− AB222 AC BC B. 2.AB AC=+− AB22 AC2 BC 2
  34.   22 2   222 C. AB.2 AC=+− AB AC BC D. AB. AC=+− AB AC BC Hướng dẫn giải   BC222=+− AB AC22 AB.AC.cos( AB, AC) =+− AB22 AC AB.AC , do đó đáp án A đúng. Chọn A   Câu 96: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG 2 2 2 a 2 2 A. a 3 B. a C. D. a 2 2 Hướng dẫn giải.        Ta có AB.EG= AB.AC , mặt khác AC= AB + AD . Suy ra         2   AB.EG= AB.AC = AB.( AB +=+ AD) AB AB.AD = a2 . Chọn B Câu 97: Cho tứ diện ABCD có AB= a, BD = 3 a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết AC vuông góc với BD . Tính MN a 6 a 10 A. MN = B. MN = 3 2 23a 32a C. MN = D. MN = 3 2 Hướng dẫn giải Kẻ NP / /AC( P∈ AB) , nối MP . 1 a NP là đường trung bình ∆BAC ⇒= PN AC =. 22 13a PM là đường trung bình ∆ABD ⇒= PM BD =. 22 Lại có ( AC,BD ) =( PN,PM ) = NPM =90 ° suy ra ⇒∆NPM vuông tại P . 10a Vậy MN= PN22 += PM . 2
  35. Chọn B. Câu 98: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng? A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng B. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quy C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng D. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳng Hướng dẫn giải Gọi d,d,d123 là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một. Giả sử d,d12 cắt nhau tại A , vì d3 không nằm cùng mặt phẳng với d,d12 mà d3 cắt d,d12 nên d3 phải đi qua A . Thật vậy giả sử d3 không đi qua A thì nó phải cắt d,d12 tại hai điểm B, C điều này là vô lí, một đường thẳng không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt. Câu 99: Cho tứ diện ABCD trong đó AB=63 , CD = , góc giữa AB và CD là 60° và điểm M trên BC sao cho BM= 2 MC . Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC lần lượt tại M, N, Q. Diện tích MNPQ bằng: 3 A. 22 B. 2 C. 23 D. 2 Hướng dẫn giải Thiết diện MNPQ là hình bình hành. Ta có ( AB;CD ) =( QM;MP ) = QMP =60 °. 0 Suy ra SMPNQ = QM.QN.sin60 . Lại có CM MQ 1 ∆CMQ ∆⇒= CBA =⇒=MQ 2 CB AB 3 AQ QN 2 ∆AQN ∆ ACD ⇒ = =⇒=QN 2 AC CD 3 00 Do đó SMPNQ = QM.QN.sin60= 2 . 2 .sin 60 = 2 3 . Chọn C
  36. Câu 100: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB=46 , CD = . M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC= 2 BM . Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD . Diện tích thiết diện của (P) với tứ diện là? 17 16 A. 5 B. 6 C. D. 3 3 Hướng dẫn giải Ta có ( AB,CD ) = ( MN,MQ ) = NMQ =90 ° . Suy ra thiết diện MNPQ là hình chữ nhật. Lại có: CM MN 14 ∆CMN ∆⇒= CBA =⇒=MN CB AB 33 AN NP 2 ∆ANP ∆ ACD ⇒ ==⇒=MP 4 AC CD 3 16 Suy ra S= MN.NP = . MNPQ 3 Chọn D Câu 101: Cho tứ diện ABCD có AB= AC = AD và BAC = BAD = 600 . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ AB và CD ? A. 600 . B. 450 . C. 1200 . D. 900 . Hướng dẫn giải Ta có A          AB CD= AB AD −= AC AB AD − AB AC ( ) 00 =−=AB. AD .cos60 AB . AC .cos60 0 B D   ⇒=( AB, CD) 900 C Câu 102: Cho hình lập phương ABCD. A111 B C D 1. Góc giữa AC và DA1 là A. 450 . B. 900 . C. 600 . D. 1200 . Hướng dẫn giải B C Vì A' C '// AC nên góc giữa AC và DA1 là DA11 C . A D 0 Vì tam giác DA11 C đều nên DA11 C = 60 . C1 0 B1 Vậy góc giữa AC và DA1 bằng 60 . A1 D 1
  37. Câu 103: Cho hình chóp S. ABC có SA= SB = SC và ASB= BSC = CSA . Hãy xác định góc giữa cặp   vectơ SA và BC ? A. 1200 . B. 900 . C. 600 . D. 450 . Hướng dẫn giải Ta có S          SA. BC= SA .( SC −= SB) SA SC − SA SB =SA cos SC ASC −= SA cos SB ASB 0 A C   0 ⇒=(SA, BC) 90 B Câu 104: Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos( AB , DM ) bằng 2 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 6 2 2 Hướng dẫn giải Giả sử cạnh của tứ diện là a . A       AB DM AB DM Ta có cos( AB , DM ) =  = AB. DM a 3 B D a. 2 M C Mặt khác          AB. DM= AB( AM −= AD) AB. AM − AB . AD = AB . AM .cos3000 − AB . AD .cos60 a33 13aaa22 2 =a. . − aa = −=. 22 24 2 4   3 3 Do có cos( AB , DM ) = . Suy ra cos( AB , DM ) = . 6 6 Câu 105: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB= CD = 6 . M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC= x. BC (0 << x 1). mp(P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC,,, DB AD AC tại M, N ,, PQ. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu ? A. 9. B. 11. C. 10. D. 8 . Hướng dẫn giải MQ// NP // AB A Xét tứ giác MNPQ có  MN// PQ // CD ⇒ MNPQ là hình bình hành. P Q Mặt khác, AB⊥⇒ CD MQ ⊥ MN . B D N Do đó, MNPQ là hình chữ nhật. M MQ CM Vì MQ// AB nên = =⇒==x MQ x.6 AB x . C AB CB
  38. Theo giả thiết MC= x.1 BC ⇒=− BM( x) BC . MN BM Vì MN// CD nên = =−⇒1 x MN =(1 − x) . CD = 61( − x) . CD BC Diên tích hình chữ nhật MNPQ là 2 xx+−1 SMNPQ = MN. MQ = 6( 1 − x) .6 x = 36. x .( 1 −≤ x) 36 =9 . 2 1 Ta có S = 9 khi x=−⇔=1 xx MNPQ 2 Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC . Câu 106: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ? A. 00 . B. 300 . C. 900 . D. 600 . Hướng dẫn giải A      Ta có AO. CD=( CO − CA) CD     00 B =CO. CD −= CACD . CO . CD .cos30 − CACD . .cos60 D O a33 1aa22 = a − aa =−=0. 3 2 222 C Suy ra AO⊥ CD . Câu 107: Cho tứ diện ABCD có AB= CD . Gọi IJEF,,, lần lượt là trung điểm của AC,,, BC BD AD . Góc (IE, JF ) bằng A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . Hướng dẫn giải Tứ giác IJEF là hình bình hành. A  1 IJ= AB  2 F Mặt khác  mà AB= CD nên IJ= JE . 1 JE= CD I   2 B D E Do đó IJEF là hình thoi. J Suy ra (IE, JF ) = 900 . C Câu 108: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c . C. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b . Nếu đường thẳng c vuông góc với a và b thì a , b , c không đồng phẳng.
  39. D. Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu a vuông góc với c thì b cũng vuông góc với c . Hướng dẫn giải Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng. Câu 109: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. Hướng dẫn giải Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng. 3 Câu 110: Cho tứ diện ABCD với AC= AD, CAB = DAB =600 , CD = AD . Gọi ϕ là góc giữa AB và 2 CD . Chọn khẳng định đúng ? 3 1 A. cos ϕ = . B. ϕ = 600 . C. ϕ = 300 . D. cos ϕ = . 4 4 Hướng dẫn giải       AB CD AB CD A Ta có cos( AB , CD) =  = AB . CD AB. CD Mặt khác B D          AB. CD= AB( AD −= AC) AB AD − AB AC C = AB. AD .cos6000− AB . AC .cos60 1 3 11 1 =AB AD − AB . AD . =−=− AB . AD AB CD 2 2 24 4 1 − AB. CD   1 1 Do có cos( AB , CD) =4 = − . Suy ra cosϕ = . AB. CD 4 4 Câu 111: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'' D có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O ' . Tứ giác CDD'' C là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình vuông. C. Hình thang. D. Hình chữ nhật. Hướng dẫn giải Tứ giác CDD'' C là hình bình hành. Lại có: DC⊥( ADD') ⇒⊥ DC DD '. Vậy tứ giác CDD'' C là hình chữ nhật.
  40. a 3 Câu 112: Cho tứ diện ABCD có AB= CD = a, IJ= ( IJ, lần lượt là trung điểm của BC và AD ). 2 Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là : A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 900 . Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm của AC. A Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ. J IM22+− MJ IJ 2 1 M Tính được: cosIMJ = = − 2.MI MJ 2 B D Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD I là: 600 . Câu 113: Cho tứ diện ABCD với AB⊥⊥ AC, AB BD . Gọi PQ, lần lượt là trung điểm của AB và CD . Góc giữa PQ và AB là? A. 900 . B. 600 . C. 300 . D. 450 . Hướng dẫn giải   AB. PQ⇒⊥ AB PQ Câu 114: Cho hai vectơ ab, thỏa mãn: a=4; b = 3; ab −= 4 . Gọi α là góc giữa hai vectơ ab, . Chọn khẳng định đúng? 3 1 A. cosα = . B. α = 300 . C. cosα = . D. α = 600 . 8 3 Hướng dẫn giải 22 9 ()a−=+− b2 a b2. ab ⇒= ab . . 2 ab.3 Do đó: cos α = = . ab. 8       Câu 115: Cho tứ diện ABCD . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: AB CD++= AC DB AD BC k A. k = 1. B. k = 2. C. k = 0. D. k = 4. Hướng dẫn giải              AB CD++=++− AC DB AD BC( AC CB) CD AC DB AD CB           =AC( CD ++ DB) CB( CD −= AD) AC. CB + CB . AC = 0. Chọn đáp án C. Câu 116: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G . Chọn hệ thức đúng? A. AB222++= AC BC2.( GA 222 ++ GB GC ) B. AB222222++=++ AC BC GA GB GC .
  41. C. AB222++= AC BC4.( GA 222 ++ GB GC ) D. AB222++= AC BC3.( GA 222 ++ GB GC ) Hướng dẫn giải Cách 1 Ta có    2 (GA++ GB GC) =0       ⇔+++GA22 GB GC 22. GAGB + 2. GAGC + 2. GB GC = 0 ⇔+++GA222 GB GC( GA 222 +− GB AB) +( GA 222 +− GC AC) +( GB 222 +− GC BC ) =0 ⇔++=AB222 AC BC3( GA 222 ++ GB GC ) Cách 2: Ta có: 222 2 AB AC BC MA 222 242 4 AB AC BC GA . 2 92 4 GA MA 3 Tương tự ta suy ra được 4 AB22 AC BC 222 BA BC AC 2222 CA CB AB GA22 GB GC 2 . 92 4 2 4 2 4 1 AB2 BC 22 CA . 3 3 GA2 GB 2 GC 2 AB 2 BC 22 CA Chọn đáp án D. Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC đều có cạnh là 1. Khi đó AB2 BC 22 CA 3 3. GA2 GB 2 GC 2 AB 2 BC 22 CA 22 2 GA GB GC 1 Chọn đáp án D. Câu 117: Trong không gian cho tam giác ABC . Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P=++ MA22 MB MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. M là trọng tâm tam giác ABC . B. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . C. M là trực tâm tam giác ABC . D. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Hướng dẫn giải    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC G cố định và GA GB GC 0.
  42.   22     2 P MG GA MG GB MG GC     3MG2 2. MG GA GB GC GA22 GB GC 2 3.MG222 GA GB GC 222 GA GB GC 2 Dấu bằng xảy ra MG. 22 2 Vậy Pmin GA GB GC với MG là trọng tâm tam giác ABC. Chọn đáp án A. Câu 118: Cho hai vectơ ab, thỏa mãn: abab=26; = 28; += 48 . Độ dài vectơ ab− bằng? A. 25. B. 616 . C. 9. D. 618 . Hướng dẫn giải 2 22 22 22 ab− =−( ab) = a +− b2. ab = 2( a + b) −+( ab) 22 2  22 2 =2a + b −+ ab =2 26 + 28 − 48 = 616  ( ) ⇒−=ab 616. Câu 119: Cho tứ diện ABCD có DA= DB = DC và BDA =6000 , ADC = 90 , BDC = 120 0. Trong các mặt của tứ diện đó: A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất. B. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất. C. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất. D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn giải Đặt DA= DB = DC = a a2 3 Tam giác ABD đều cạnh a nên diện tích S = . ABD 4 Tam giác ACD vuôn tại D nên diện tích 1 a2 S= DA. DC = . ACD 22 13a2 Diện tích tam giác BCD là S= DB. DC sin1200 = . BCD 24 Tam giác ABC có AB= a, AC = a 2, BC = a 3 nên tam giác ABC vuông tại A . Diện tích 12a2 tam giác ABC là S= AB. AC = . ABC 22 Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất. Câu 120: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại. C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
  43. D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. Hướng dẫn giải Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng. 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A A B D C B A B C C C D A B A B B B C D 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 D C B B A C D D D D D C A A C D A B D D Câu 121: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Cho hai đường thẳng ab, song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ab,. B. Cho ba đường thẳng abc,, vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c . C. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c . D. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c . Hướng dẫn giải Chọn D. Theo định lý-sgk Câu 122: Cho hai đường thẳng phân biệt ab, và mặt phẳng P , trong đóaP . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Nếu bP thì ba// . B. Nếu bP// thìba . C. Nếu ba// thìbP . D. Nếu ba thì bP// . Hướng dẫn giải Chọn D.  Câu 123: Cho hai vectơ ab, thỏa mãn: a=4; b = 3; ab . = 10 . Xét hai vectơ y= ab − xa= − 2, b. Gọi α  là góc giữa hai vectơ xy, . Chọn khẳng định đúng. −2 1 3 2 A. cosα = . B. cosα = . C. cosα = . D. cosα = . 15 15 15 15 Hướng dẫn giải 22 Ta có xy. a 2 b a b a 2 b 3. ab 4. 2 2 22 x x a2 b a 4 b 4. ab 2 3. 2 2 22 y y a b a b 2. ab 5.
  44. xy. 42 cos xy. 2 3. 5 15 Câu 124: Cho tam giác ABC có diện tích S . Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn: 1  22    2 S= AB. AC− 2. k( AB AC) . 2 1 1 A. k = . B. k = 0. C. k = . D.k 1. 4 2 Hướng dẫn giải 11 1 S AB. AC .sin C AB222. AC sin C AB22. AC 1 cos 2 C 22 2 1  22    2 AB AC AB AC . 2 Chọn C.