Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2019 môn Toán học Lớp 12 - Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2019 môn Toán học Lớp 12 - Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh

1. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2019 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 05/10/2018 (Đề thi có 01 trang) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu 1. (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, không cân, nội tiếp đường tròn w . Đường tròn w' thay đổi đi qua B,C cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại E,F (E,F ¹ A). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt lại đường tròn w tại K (A ¹ K ) . KE,KF lần lượt cắt lại đường tròn w tại Q,P (P,Q ¹ K ). Gọi T là giao điểm của BQ và CP. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm BF,CE. a) Chứng minh rằng T thuộc một đường thẳng cố định khi đường tròn w' thay đổi. b) Chứng minh rằng KA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Câu 2. (7,0 điểm) 22p - 1 a) Với p là số nguyên tố, đặt n = . Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2n - 2 3 không chia hết cho n. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (m;n) thỏa mãn phương trình: m2 + (3- 2n+ 1)m + 2(3n - 2n + 1) = 0. Câu 3. (7,0 điểm) a) Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một ghế dài. Biết rằng mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng mình hoặc ngồi cạnh một người phụ nữ khác. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn. b) Có n (n Î ¥ * ,n ³ 4) cặp vợ chồng tham dự buổi dạ tiệc. Biết rằng mỗi người đều có thể trò chuyện với tất cả những người khác, trừ vợ hoặc chồng mình. Các cuộc trò chuyện lập thành các nhóm người C1,C2, ,Ck với tính chất sau: Không có một cặp vợ chồng nào ở trong cùng một nhóm và hai người bất kì không phải vợ chồng thì đều có đúng một nhóm để họ trò chuyện. Chứng minh rằng k ³ 2n . Hết (Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh : .Số báo danh :