Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN, LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm) x + 4 x x - 8 x x + 8 Cho biểu thức P = + - , với mọi x > 0, x ¹ 4 . x x - 2 x x + 2 x a) Chứng minh rằng P > 8 với mọi x > 0, x ¹ 4 ; 9 b) Tìm x để nhận giá trị nguyên. P Câu 2 (1,5 điểm) Cho đường thẳng (d) có phương trình mx m 1 y 2m 1 0 , với m là hằng số. a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m; b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ điểm P(0;4) đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Câu 3 (2,5 điểm) a) Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn các điều kiện: 1 1 1 a b c a b c và 1 . a b c b) Cho một bảng 5 5 gồm 25 ô vuông đơn vị. Lúc đầu, con ếch ngồi trên một ô vuông liền kề với một ô vuông ở góc bảng. Mỗi lần di chuyển, con ếch chỉ nhảy sang một ô liền kề theo hàng ngang hoặc theo cột dọc chứ không di chuyển theo đường chéo. Chứng minh rằng với cách di chuyển đó, con ếch không thể đi đến mỗi ô đúng một lần. Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA và CB lần lượt tại M và N. Đường thẳng MN cắt AI tại P. a) Chứng minh rằng P·IB = P·NB khi AC<AB. b) Gọi H là giao điểm của CI và MN. Đường tròn đường kính NH cắt IN và CN lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng EF3 = EI.CI.CF . Câu 5 (1,0 điểm) Cho a,b,c là những số dương thỏa mãn: a2 b2 c2 3 . Chứng minh bất đẳng 1 1 1 4 4 4 thức a b b c c a a2 7 b2 7 c2 7 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? HẾT Học sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
2. UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN HƯỚNG DẪN CHÂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN, LỚP 9 (Hướng dẫn này gồm 04 trang) Lưu ý chung: - Hướng dẫn chấm dưới đây chỉ trình bày vắn tắt một cách giải, các cách giải khác của HS nếu đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm theo thang điểm tương ứng. - Với câu 4, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai ý nào thì không chấm điểm ý đó. - Tổ chấm có thể chia nhỏ thang điểm hơn so với đáp án, điểm toàn bài là tổng số điểm của các câu thành phần. Câu Nội dung trình bày Điểm 1 2,0 điểm a) (1,0 điểm) Với x > 0, x ¹ 4 ta có x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 4 P x x x 2 x x 2 0,5 x 4 x 2 x 4 x 2 x 4 x 4 x 4 P x x x x 2 x + 4 x + 4 x - 4 x + 4 ( x - 2) Xét P- 8 = - 8 = = ³ 0 0,25 x x x Dấu “=” xảy ra Û x = 4 , loại. Do đó P- 8> 0, hay P > 8. 0,25 Vậy P > 8, " x > 0, x ¹ 4 . HS cũng có thể chứng minh P > 8 bằng BĐT Cô-si như sau: x 4 x 4 4 4 P x 4 2 x. 4 8 , x x x sau đó lập luận dấu “=” không xảy ra. b) (1,0 điểm) 9 9 Với mọi x > 0, x ¹ 4 , vì P > 8 Þ 0 < < P 8 0,5 9 9 Để nhận giá trị nguyên thì chỉ xảy ra trường hợp = 1Û P = 9 P P x + 4 x + 4 é x = 1 éx = 1 P = 9 Û = 9 Û x - 5 x + 4 = 0 Û ê Û ê (TMĐK) ê x = 16 x ë x = 4 ëê 0,5 Vậy x Î {1;16} . 2 1
3. a) (0,5 điểm) Gọi I(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m. Vì I(x0 ; y0 )Î (d) " m nên ta có mx0 m 1 y0 2m 1 0 đúng " m mx0 m 1 y0 2m 1 0 đúng " m Û x + y - 2 m = y - 1 " m ( 0 0 ) 0 đúng 0,5 ïì x + y - 2 = 0 Û íï 0 0 îï y0 - 1= 0 Û x0 = y0 = 1Þ I(1;1) Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định I(1;1)với mọi giá trị của m. b) 1,0 điểm Kẻ PH(d) tại H (học sinh tự vẽ hình minh hoạ). Ta có PH £ PI cố định (quan hệ đường vuông góc - đường xiên) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi H trùng I. 0,5 Khi đó, phương trình đường thẳng PH là y = - 3x + 4 . Với m = 1 thì (d) trở thành x = 1, không vuông góc với PH, loại. mx - 2m + 1 Với m ¹ 1 thì (d) được viết lại là y = 1- m Trường hợp này đường thẳng PH vuông góc với (d) khi và chỉ khi m 1 0,5 - 3. = - 1Û m = (thoả mãn). 1- m 4 1 Vậy m = thoả mãn đề bài. 4 3 2,5 điểm a) (2,0 điểm) Có a b c a b c a b c b a c a b c 2 b a b c b a c 2 ac b a b c ac 0,5 a b a b b c 0 b c Nếu a b và a, c dương: Ta có 1 1 1 2 1 0,25 1 1 2c a ac a 2 c 1 2 . a b c a c Vì a, b, c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau: a 2 2 a 4 b 0,25 Trường hợp 1: c 1 1 c 2 a 2 1 Trường hợp 2: a c 3 b 0,25 c 1 2 2
4. Nếu b c và a, b dương: Ta có 1 1 1 1 2 0,25 1 1 2a b ab b 2 a 1 2. a b c a b Vì a, b, c nguyên dương nên ta có các trường hợp sau: b 2 1 0,25 Trường hợp 1: a b 3 c a 1 2 b 2 2 b 4 c Trường hợp 2: a 1 1 a 2 0,25 Vậy các cặp số nguyên dương (a ; b ; c) thỏa mãn là: (3 ; 3 ; 3) ; (2 ; 4 ; 4) ; (4; 4 ; 2) . b (0,5 điểm) Tô màu các ô của bảng 5 5 bằng hai màu đen và trắng xen kẽ như bàn cờ vua, sao cho các ô ở góc bảng đều là màu trắng. Khi đó, ta có 12 ô đen và 13 ô trắng. 0,5 Để đến mỗi ô đúng một lần thì con ếch phải bắt đầu ở một ô trắng và kết thúc ở một ô trắng khác. Nhưng theo đề bài và với cách tô màu như trên thì nó phải bắt đầu ở một ô đen, do đó nó không thể đi đến mỗi ô đúng một lần (đpcm). 4 C P F N H E M I A B a) 1,5 điểm Ta có 0,5 P·IB = I·AB+ I·BA (góc ngoài tam giác IAB) P·IB = 450 + I·BA = 450 + I·BC (1) 3
5. Mặt khác, theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì 1 C·NM = C·MN = 1800 - A·CB , do đó ta có: 2( ) · · 1 0 · 1 é 0 0 · ù 0,75 PNB = CNM = 180 - ACB = ê90 + 90 - ACB ú 2( ) 2 ë ( )û 1 1 = 900 + A·BC = 450 + A·BC = 450 + I·BC (2) 2( ) 2 Từ (1) và (2) suy ra P·IB = P·NB . 0,25 b) 1,5 điểm Các tam giác ENH và FNH có cạnh NH là đường kính của đường tròn ngoại 0,25 tiếp nên là các tam giác vuông. Trong tam giác NCI vuông, có: NI.NC = NH.CI; NH2 = HI.HC (3) 0,25 Trong tam giác NHI vuông, có: IH2 = EI.IN (4) 0,25 Trong tam giác NCH vuông, có: CH2 = CF.CN (5) Từ (4) và (5) ta có: (IH.CH)2 = IE.IN.CF.CN (6) 0,25 Từ (3) và (6) ta có: NH4 = IE.CI.CF.NH (7) 0,25 Tứ giác NEHF là hình chữ nhật nên NH = EF, 0,25 do đó từ (7) suy ra EF4 = IE.CI.CF.EF Û EF3 = IE.CI.CF . 5 1,0 điểm 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức (x 0, y 0) ta có: x y x y 0,25 1 1 4 1 1 4 1 1 4 ; ; a b b c a 2b c b c c a a b 2c c a a b 2a+b+c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 2 2 2 0,25 a b b c a c a 2b c a b 2c 2a+b+c Mặt khác, áp dụng BĐT u2 v2 2uv, u, v , kết hợp với a2 b2 c2 3, ta có: 1 2 2 2 2 2a b c 4a 2b 2c a2 4 b2 1 c2 1 2a2 b2 c2 4 a2 7 0,25 1 2 1 2 Tương tự: ; 2b c a b2 7 2c a b c2 7 1 1 1 4 4 4 Từ đó suy ra a b b c c a a2 7 b2 7 c2 7 0,25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. HẾT 4