Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Vòng 1 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT An Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Vòng 1 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT An Giang (Có đáp án)

1. hoctoancapba.com SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH AN GIANG Năm học 2012 – 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN (vòng 1) Lớp : 12 Thời gian làm bài : 180 phút SBD : PHÒNG : (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3,0điểm). Cho hàm số ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu lần lượt là và đồng thời tam giác cân tại với . Bài 2: (3,0 điểm) Giải phương trình : Bài 3: (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Bài 4: (4,0 điểm) Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình: Trong số các nghiệm này có bao nhiêu nghiệm trong đó đôi một khác nhau. Bài 5 : (3,0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh của một hình thang cân ABCD biết rằng CD=2AB, phương trình hai đường chéo , các tọa độ hai điểm A, B đều dương và hình thang có diện tích bằng 36. Bài 6: (4,0 điểm) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng , cho a cố định, thay đổi. Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất. (Cho biết: ) Hết
2. hoctoancapba.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 AN GIANG Năm học 2012 – 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN VÒNG 1 A.ĐÁP ÁN Đ Để hàm số có hai điểm cực trị thì và ta có bảng biến thiên sau Bài 1 3,0 điểm 0 0 Ta có hai điểm cực đại và cực tiểu là Tam giác ABC cân tại C(-4;-2) ta được ạ Vậy thỏa đề Giải phương trình 3,0 Nhận xét: Nếu viết phương trình trên lại là điểm Bài 2 thì phương trình có nghiệm khi do vế phải dương Đặt phương trình trở thành
3. hoctoancapba.com Lại đặt phương trình trở thành ạ Với vậy là nghiệm của phương trình Vậy phương trình có hai nghiệm Cách khác: + Nhận xét không là nghiệm của phương trình + Nếu phương trình trên viết lại là : So với điều kiện phương trình có hai nghiệm TXĐ: 3,0 Đặt điểm Bài 3 Vậy Xét hàm số
4. hoctoancapba.com Vậy 4,0 Mỗi bộ ba số nguyên dương thỏa mãn tương điểm ứng với bộ ố ố ố trong đó có đúng 2012 số1 và 2 số 0. Như vậy số bộ ba số cần tìm chính là số các cách sắp xếp hai chữ số 0 và 2012 chữ số 1 vào 2013 vị trí sao cho hai số 0 không đứng cạnh nhau và không được đứng đầu và đứng cuối. Để sắp xếp các số như trên ta thực hiện * Sắp xếp 2012 chữ số 1 có 1 cách sắp xếp * Sắp xếp số 0 đầu tiên vào giữa 2012 số1 có 2011 cách sắp xếp (trừ đi vị trí đầu và cuối). * Sắp xếp số 0 thứ hai vào giữa 2013 số trên có 2010 cách sắp xếp ( không sắp đầu và cuối và không sắp bên trái, bên phải số 0 vừa sắp) Bài 4 * Vì hai số 0 có thể đổi chổ cho nhau nên có các bộ số cần tìm. Ta có nhận xét 2012 không chia hết cho 3 nên phương trình không có ba nghiệm bằng nhau. Ta đếm các nghiệm trong đó . Để có nghiệm loại này ta thấy mỗi cặp có duy nhất một số nguyên với để chọn nghiệm loại này ta thực hiện * Chọn một số nguyên thuộc vào hai vị trí có 1005 cách chọn. * Số còn lại là có đúng một cách chọn. Vậy có 1005 bộ ba số trong đó . * Vì vai trò đỗi chổ cho nhau nên có 3.1005 các nghiệm có hai số giống nhau Vậy có các bộ nghiệm trong đó đôi một khác nhau.
5. hoctoancapba.com * Gọi M là giao điểm hai đường chéo hình thang, tọa độ M là nghiệm của hệ 3,0 điểm * Ta có nhận xét hai đường thẳng vuông góc nhau. CD=2AB suy ra hình thang cân có hai đáy là AB; CD * Vậy diện tích hình thang cân ABCD là: * Ta lại có Vậy Bài 5 Vậy tọa độ điểm A là (loại) Với do * Ta lại có Vậy tọa độ B là (loại) Với do Vậy tọa độ các đỉnh của hình thang là . * Do hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và S BD 4,0 Gọi M là trung điểm của CD dể thấy CD (SHM) điểm A nên (SHM) (SCD) hay SM là hình chiếu của SH D lên mặt phẳng (SCD) vậy ớ M H * Đặt B C * Tam giác SHM vuông tại H ta được Bài 6 * Đặt ớ
6. hoctoancapba.com Xét hàm số : Bảng biến thiên + - Vậy B. HƯỚNG DẪN CHẤM + Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. + Điểm từng câu có thể chia nhỏ đến 0,25 và không làm tròn.