Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2009-2010 - Sở GD&ĐT Điện Biên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2009-2010 - Sở GD&ĐT Điện Biên (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP CƠ SỞ - NĂM HỌC 2009 -2010 Đề thi chính thức Môn:Toán Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 07/01/2010 (Đề thi có 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (6 điểm) 1. Cho phương trình: 21 2sin x 3.21 sin x m 4 (1) (m là tham số). a) Giải phương trình (1) với m = 0. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. x6 y6 1 2. Giải hệ phương trình: 5 5 x y 1 Câu 2: (5 điểm) 1. Tìm GTLN của hàm số: y x3 3x2 72x 90 trên đoạn  7;7 . 1 2. Cho hàm số y x4 2x2 3 có đồ thị là (C). Tính diện tích tam giác có các 4 đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị (C). Câu 3: (6 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Chứng minh rằng với mọi giá trị của t đường thẳng (d) có phương trình: xcost ysint sint 2cost 3 0 (t là tham số) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và · BAC 120 . Gọi M là trung điểm của CC1. Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BM). Câu 4: (1.5 điểm) n n 1 n 2 Cho đa thức f x x an 1x an 2 x  a1x 1 có các hệ số không âm và có n nghiệm thực. Chứng minh f 2 3n . Câu 5: (1.5 điểm) 3 Cho hàm số: y x 2009x có đồ thị là (C). M1 là điểm trên (C) có hoành độ x1 1. Tiếp tuyến của (C) tại M1cắt (C) tại điểm M 2khác M ,1 tiếp tuyến của (C) tại M 2 cắt (C) tại điểm M 3 khác M 2 , tiếp tuyến của (C) tại điểm M n cắt1 (C) tại điểm M n khác M n 1 (n = 4; 5; ), gọi xn ; yn là tọa độ điểm M n . 2013 Tìm n để : 2009xn yn 2 0 Hết
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2009-2010 Câu 1 NỘI DUNG 6điểm 1 21 2sin x 3.21 sinx m 4 0.5 (4điểm) 1 Đặt 2sinx t t ;2 ta có phương trình: 2t 2 6t m 4 (2) 2 a.Với m = 0 suy ra:2t 2 6t 4 0 t 1 t 2 0.5 t 1 2sinx 1 sinx 0 x k 1 t 2 2sinx 2 sinx 1 x k2 2 1 0.5 b.ycbt (2) có nghiệm t ;2 2 2 2t 2 6t 4 m 2 1 0.5 (2) có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt P : y 2t 6t 4 trên ;2 2 0.5 1 3 3 1 y ; y ; y 2 0 2 2 2 2 1 3 0.5 Suy ra m thì (1) có nghiệm 2 2 2 x6 y6 1 (1) 0.75 (2điểm) 5 5 x y 1 (2) Lập luận từ (1) và (2) suy ra x, y  1;1 và x, y không cùng dấu Vai trò của x, y bình đẳng , không làm mất tính tổng quát giả sử 0.75 1 x 0 y 1. Lập luận đưa ra hệ vô nghiệm Nhận thấy 0;1 ; 1;0 là các nghiệm của hệ 0.5 Câu 2 y x3 3x2 72x 90 trên đoạn  7;7 4 điểm 1 Xét hàm f x x3 3x2 72x 90 trên  7;7 0.5 (2điểm) y' 3x2 6x 72 0 x 4  x 6 y 4 266; y 6 234; y 7 218; y 7 104 1.0 max y y 4 266 0.5  7;7 2 1 1.0 y x4 2x2 3 (2điểm) 4 Các điểm cực trị: A 2; 1 ;B 0;3 ;C 2; 1
3. NX: các điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại C. Suy ra diện tích được 1.0 1 1 tính: S BH.AC 4.4 8 dvdt 2 2 Câu 3 6 điểm 1 xcost ysint sint 2cost 3 0 y 1 sint x 2 cost 3(*) 0.5 (2điểm) tìm các điểm mà đường thẳng không đi qua với mọi t hay (*) vô 0.5 nghiệm y 1 2 x 2 2 32 xét đt y 1 2 x 2 2 32 (C ) C/M đường tròn ( C ) tiếp xúc (d) với mọi t 0.5 Vậy đường thẳng đã cho luôn tiếp xúc với đường tròn cố định có phương 0.5 trình : y 1 2 x 2 2 32   2 a. Chứng minh MB  MA' . B C (4điểm) A 0.75 M B' C' A'         1  BM BA AM AB AC CM AB AC AA' 2     1  A'M A'C ' C 'M AC AA' 2     1   1  0.75 BM.A'M AB AC AA' AC AA' 2 2         1 2 1 1 1 2 AB.AC AB.AA' AC AC.AA' AA'.AC AA' 2 2 2 4 1 2 a2 4a2 2 5a 0 4   Suy ra MB  MA' 0.5 b.Tính khoảnh cách từ A đến mp(A’BM) 0.5 0.5
4. 1 1 VA.A'BM d A, A'BM .SA'BM d B, AA'M .SAA 'M 3 3 1 0.5 S MB.MA' A'BM 2 0.5 2 2 2 2 2 0 1 2 2 MB BC CM AB AC 2.AC.AB.cos120 AA' 12a 4 MA'2 A'C '2 C 'M 2 9a2 1 S 3a.a 12 3a2 3 A'BM 2 1 2 0 a 3 SAA 'M 2a.2 5a 2a 5;d B, AA'M BH AB.sin60 2 2 a 3 5 d A, A'BM .3a2 3 2a2 5. d A, A'BM a 2 3 Câu 5 y x3 2009x 0.5 2 điểm Gọi M k xk ; yk suy ra tiếp tuyến tại M k : y yk y' xk x xk 2 3 y 3xk 2009 x xk xk 2009xk Tọa độ điểm M k 1 được xác định: 0.5 3 2 3 x 2009x 3xk 2009 x xk xk 2009xk 2 2 x xk x x.xk 2xk 0 x xk  x 2xk xk 1 2xk n 1 0.5 Ta có : x1 1; x2 2; x3 4; ; xn 2 2010 3 2010 2009xn yn 2 0 2009xn xn 2009xn 2 0 0.5 2 3n 3 22013 2 2013 3n 3 2013 n 672 Câu 4 n n 1 n 2 0.5 f x x an 1x an 2 x  a1x 1 có các hệ số không âm và n 2 điểm nghiệm thực . Suy n nghiệm đó âm giả sử là các nghiệm: xi ,i 1,2, ,n n 0.5 Theo cách phân tích đa thức ta được f x  x xi i 1 n n 0.5 Đặt xi i i 0 f x  x i với  i 1 i 1 i 1 n n n 0.5 n 3 n Ta có f 2  2 i  1 1 i 3  i 3 .Suy ra đpcm i 1 i 1 i 1