Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2018-2019

1. ĐỀ VÀ HDG H ỌC SINH GI ỎI 12 ĐIỆN BIÊN 2018-2019 Câu 1: (6,0 điểm) 2x − 3 1. Cho hàm s ố y= ( C ) và đường th ẳng d: x− y − 1 = 0 . Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến x−1 của đồ th ị (C ) bi ết ti ếp tuy ến đó song song v ới d. 2. Tìm m để hàm s ố yx=−33 mx 2 + 31( m 2 −++) xm 2 đồng bi ến trên kho ảng (2; +∞ ). Câu 2: (4,0 điểm) 2sin 2 x 1. Tìm giá tr ị lớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố f() x = . x x sin4+ cos 4 2 2  33 22 xy−−32( xy −+ 2 y) + 15 x −= 100 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình  ()x; y ∈ ℝ .   2−+y 3 −= x 22 x − Câu 3: (4,0 điểm) 1. Gọi S là t ập h ợp t ất c ả các s ố tự nhiên có 5 ch ữ số khác nhau được ch ọn t ừ các s ố 0;1;2;3; 4;5;6;7;8;9 . Xác định s ố ph ần t ử của S . Ch ọn ng ẫu nhiên m ột s ố từ S , tính xác su ất để số được ch ọn là s ố ch ẵn. 2. Trong m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy cho hai điểm A(0;9) , B ( 3;6 ) . G ọi D là mi ền nghi ệm c ủa h ệ 2x− y + a ≤ 0 ph ươ ng trình  . Tìm t ất c ả các giá tr ị của a để AB⊂ D . 6x+ 3 y + 5 a ≥ 0 Câu 4: (4,0 điểm) 1. Cho hình chóp SABC . Trên các đoạn th ẳng SA, SB , SC lần l ượt l ấy các điểm A', B ', C ' khác V SA SB SC với điểm S . Ch ứng minh r ằng: S. ABC = . . VS.' A B ' C ' SASBSC' ' ' 2. Cho hình chóp t ứ giác đều S. ABCD , có AB= aSA, = a 3 . G ọi O là giao điểm c ủa AC và BD , G là tr ọng tâm tam giác SCD . a) Tính th ể tích kh ối chóp S. OGC . b) Tính kho ảng cách t ừG đến mặt ph ẳng (SBC ). c) Tính cosin góc gi ữa hai đường th ẳng SA và BG . Câu 5: (2,0 điểm) 1. Cho ph ươ ng trình ()m+2 xx( 2 +−+− 1) xmx 2 ()() 6101 −= . Tìm các giá tr ị của m để ph ươ ng trình (1) có nghi ệm th ực. 2. Cho đa th ức f( x)=+ x4 ax 3 + bx 2 ++ ax 1 có nghi ệm th ực. Ch ứng minh r ằng a2+ b 2 −4 b +> 1 0 .
2. HDG Câu 1: (6,0 điểm) 2x − 3 1. Cho hàm s ố y= ( C ) và đường th ẳng d: x− y − 1 = 0 . Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến x−1 của đồ th ị (C ) bi ết ti ếp tuy ến đó song song v ới d. 2. Tìm m để hàm s ố yx=−33 mx 2 + 31( m 2 −++) xm 2 đồng bi ến trên kho ảng (2; +∞ ). Tập xác định: ℝ. Lời gi ải 1. dxy:−−=⇒ 10: dyx =−⇒ 1 d có h ệ số góc kd =1. 2x− 3 Xét hàm s ố y= f( x ) = : x−1 + T ập xác định D = ℝ \{ 1} . / 1 + f() x =2 , ∀x1. ≠ (x−1) 2x − 3  2x − 3 Gọi ∆ là ti ếp tuy ến c ủa (C ) tại M x ; 0  thì ∆ : y= fx/ ( )( xx − ) + 0  0  0 0  x0 −1  x0 −1 1 x = 0 + Gi ả sử ∆ / / d ta được f/ ( x )=⇔ k =⇔ 1  0 . 0 d 2 x = 2 (x0 −1)  0 + Th ử lại: i x0 =0 ⇒∆ : y = x + 3 th ỏa mãn ∆ / / d . i x0 =2 ⇒∆ : y = x −⇒ 1 ∆ ≡ d. Tr ường h ợp này không th ỏa mãn. Vậy có đúng m ột ti ếp tuy ến c ủa (C ) th ỏa đề, đó là ∆:y = x + 3. 2. y/=3 x2 − 6 mx + 3( m 2 −∀∈ 1), x ℝ x= m − 1 y / =0 ⇔  : Hai nghi ệm phân bi ệt v ới m ọi m. x= m − 1 Bảng bi ến thiên
3. x -∞ m-1 m+1 +∞ y' + 0 _ 0 + +∞ y y1 y -∞ 2 Hàm s ố đồng bi ến trên (2;+∞⇔) ( 2; +∞⊂) (m ++∞⇔ 1;) m +≤ 1 2 ⇔ m ≤ 1. Vậy m c ần tìm là m ≤1. Câu 2: (4,0 điểm) 2sin 2 x 1. Tìm giá tr ị lớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố f() x = . x x sin4+ cos 4 2 2  33 22 xy−−32( xy −+ 2 y) + 15 x −= 100 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình  ()x; y ∈ ℝ .   2−+y 3 −= x 22 x − Lời gi ải xx xx1 2− sin 2 x 1. Ta có sin44+ cos =− 1 2sin 22 cos =− 1 sin 2 x = ≠∀ 0, x . 22 222 2 Cách 1: 4sin2 x 8 Khi đó f() x = = − 4 . 2− sin2x 2 − sin 2 x 8 Vì 0≤ sin2x ≤⇒≤− 1 1 2 sin 2 x ≤ 2 nên 4≤ ≤ 8 . Do đó 0≤f( x ) ≤ 4 . 2− sin 2 x Ta có fx( )=⇔0 sin2 x =⇔ 0 sin x =⇔= 0 xkkπ( ∈ ℤ), π fx()=⇔4sin2 x =⇔ 1sin x =±⇔=±+ 1 x 2 kkπ() ∈ ℤ . 2 Vậy giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa f( x ) là 0 đạt được khi x= kπ( k ∈ ℤ), π giá tr ị lớn nh ất c ủa f( x ) là 4 đạt được khi x=±+2 kπ() k ∈ ℤ . 2 Cách 2: Đặt sin 2 x= t , Điều ki ện t ∈[0;1 ]  x ≤ 3 2. Điều ki ện:  . y ≤ 2 Ph ươ ng trình th ứ nh ất c ủa h ệ tươ ng đươ ng v ới: 3 3 (x−232) +( x −=−+) ( y 1311) ( y − ) ( )
4. Xét hàm s ố ft( )= t3 +3 tt , ∈ ℝ . Khi đó ta có ftt'( )=3 2 +> 3 0, ∀∈ t ℝ . Do đó f( t ) là hàm đồng bi ến trên ℝ . Nên ph ươ ng trình (1) tr ở thành fx( −2) = fy( − 1 ) ⇔x −=2 y −⇔ 1 yx = − 1 . Thay y= x − 1 vào ph ươ ng trình th ứ hai ta được: 23−=xx 223 −⇔ −=− xx 1 x ≥1 x ≥1  ⇔  ⇔ x = 2 ⇔x = 2 3−=x x2 − 2 x + 1    x = − 1 Với x = 2 thì y =1 (th ỏa mãn). Vậy h ệ ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm là (x; y )=( 2;1 ). Câu 3: (4,0 điểm) 1. Gọi S là t ập h ợp t ất c ả các s ố tự nhiên có 5 ch ữ số khác nhau được ch ọn t ừ các s ố 0;1;2;3; 4;5;6;7;8;9 . Xác định s ố ph ần t ử của S . Ch ọn ng ẫu nhiên m ột s ố từ S , tính xác su ất để số được ch ọn là s ố ch ẵn. 2. Trong m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy cho hai điểm A(0;9) , B ( 3;6 ) . G ọi D là mi ền nghi ệm c ủa h ệ 2x− y + a ≤ 0 ph ươ ng trình  . Tìm t ất c ả các giá tr ị của a để AB⊂ D . 6x+ 3 y + 5 a ≥ 0 Lời gi ải 1. Số ph ần t ử của t ập S là n( S )=9.9.8.7.6 = 27216. Gọi s ố ch ẵn thu ộc t ập S có d ạng abcde( a ≠ 0). Nếu e ∈ {2;4;6;8 } , tr ường h ợp này ta có: 8.8.7.6.4= 10752 số. Nếu e = 0 , tr ường h ợp này ta có: 9.8.7.6= 3024 số. 10752+ 3024 13776 41 Vậy xác su ất c ần tìm là: P = = = . 27216 27216 81 2. Ph ươ ng trình đường th ẳng AB: x+ y − 90. = Tr ường h ợp 1: Nếu AB là đường th ẳng. a≤−2 x + y Xét h ệ  . 5a≥− 6 x − 3 y a ≤− 12 a ≤− 12   Dễ th ấy điểm C(2;7 )∈ AB nh ưng C∉ D vì 33 ⇔  33 ⇔a ∈ φ. 5a ≥−  a ≥− 2  10 a≤−2 x + y Tr ường h ợp 2: Nếu AB là đoạn th ẳng. Ta thay y=9 − x x ∈ [ 0;3 ] vào h ệ  ( )  5a≥− 6 x − 3 y
5. a≤9 − 3 x  −3x − 27 ta được  −3x − 27 ⇒ ≤≤−a9 3 x () * a ≥ 5  5 27 ()* đúng v ới ∀x ∈ []0;3 ⇔− ≤a ≤ 0 . 5 27 Vậy − ≤a ≤ 0 th ỏa mãn yêu c ầu bài toán. 5 Câu 4: (4,0 điểm) 1. Cho hình chóp SABC . Trên các đoạn th ẳng SA, SB , SC lần l ượt l ấy các điểm A', B ', C ' khác V SA SB SC với điểm S . Ch ứng minh r ằng: S. ABC = . . VS.' A B ' C ' SASBSC' ' ' 2. Cho hình chóp t ứ giác đều S. ABCD , có AB= aSA, = a 3 . G ọi O là giao điểm c ủa AC và BD , G là tr ọng tâm tam giác SCD . a) Tính th ể tích kh ối chóp S. OGC . b) Tính kho ảng cách t ừG đến m ặt ph ẳng ()SBC . c) Tính cosin góc gi ữa hai đường th ẳng SA và BG . Lời gi ải 1. Gọi H, H ' lần l ượt là hình chi ếu vuông góc c ủa A, A ' trên (SBC ) . AH SA Ta có = AH' SA ' 1 1 SSBC = SBSC. .sin BSC ; SSB' C ' = SBSC'. '.sin BSC 2 2 1 1 Khi đó V= V = AHS. = AHSBSC sin BSC SABC. ASBC . 3 SBC 6 1 1 VSABC.'''= V ASBC '.'' = AHS' '. SBC '' = AHSBSC ' '. '. '.sin BSC 3 6
6. V AH SB SC SA SB SC Vậy S. ABC = = VS.' A B ' C ' AH'''' SBSC SASBSC ''' 2. a 10 a) Ta có AC= a 2 ; SO= SA2 − OA 2 = 2 Gọi M là trung điểm CD 1a3 10 Khi đó VS. OCM = SOOMMC. . = 6 48 V SG 2 S. OCG = = V SM 3 S. OCM 2a3 10 Suy ra S. OGC= S . OMC = . 3 72 2 2 b) Ta có dGSBC(,( ))= dM (,( SBC )) = dOSBC (,( )) 3 3 Gọi H là trung điểm BC , K là hình chi ếu vuông góc c ủa O trên SH . 1 1 1 4 4 22 Ta có = + =+ = OK2 OH 2 OH 22 a10 a 22 5 a a 110 d( O ,( SBC )) = OK = 22 2a 110 dG(,( SBC ))= dO (,( SBC )) = 3 33 c) G ọi I là giao điểm c ủa BD và AM , I là trong tam tam giác ADC . Suy ra IG/ / SA nên góc gi ữa hai đường th ẳng SA và BG bằng góc gi ữa hai đường th ẳng IG và BG 1a 3 22 a a 11 Ta có IG== SA; BI = ; BG = 33 3 3 BG2+ IG 2 − BI 2 33 cos IGB = = 2 BG IG 11 Ta có th ể tọa độ hóa. Câu 5: (2,0 điểm)
7. 1. Cho ph ươ ng trình ()m+2 xx( 2 +−+− 1) xmx 2 ()() 6101 −= . Tìm các giá tr ị của m để ph ươ ng trình (1) có nghi ệm th ực. 2. Cho đa th ức f( x)=+ x4 ax 3 + bx 2 ++ ax 1 có nghi ệm th ực. Ch ứng minh r ằng a2+ b 2 −4 b +> 1 0 . Lời gi ải 1. Điều ki ện: x ≥ 0. - Với x = 0 thì ph ươ ng trình vô nghi ệm. x2+1 x 2 + 1 - Với x > 0 , ph ươ ng trình ()()12⇔+m − +−= m 60 . x x  ≥ 2 + t 2 = x 1  Đặt t ⇒  x2 +1 ; x t 2 =  x t2 −2 t + 6 Ta được ph ươ ng trình m ới theo ẩn ph ụ: ()mttm+−+−=⇔22 60 = m () 2 . t +1 ⇔  +∞ Yêu c ầu bài toán (2) có nghi ệm trên  2; ) . tt2−+ tt 2 +− t= − 4( l ) () = 26⇒ ′() = 28 = ⇔ Xét hàm s ố ft ft 2 0  . t +1 ()t +1 t = 2 Bảng bi ến thiên + ∞ x – ∞ -4 2 y' + 0 – – 0 + + ∞ y 2 Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm ⇔m ≥ 2 . 2 2 2. Gi ả s ử đa th ức đã cho có nghi ệm trong tr ường h ợp a+ b −4 b +≤ 1 0 . 2 abb2+ 2 −410 +≤⇔ ab 2 +−( 231) ≤ ( ).
8. Vì x = 0 không ph ải là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình f() x = 0 nên   2 432 2 11   11   xaxbxax+ + ++=⇔10 x +2  + ax  ++=⇔+ b 0  x  + ax ++−=  b 20 . xx    xx   1 Đặt t= x + thì ph ươ ng trình trên có nghi ệm khi và ch ỉ khi t2 + at + b −2 = 0 có nghi ệm x tho ả mãn t ≥ 2 . 2 Xét hàm s ố g() t= t + at +− b 2 −a −a gt′()=2 ta + ; g′() t=0 ⇔ t = . Nh ư (1) trên thì ∉() − 2;2 2 2 Do đó ta có b ảng bi ến thiên: −2a + b + 202 ≤  () Ph ươ ng trình có nghi ệm thì  2a+ b + 20 ≤ () 3 Nh ững điểm M() a; b tho ả (1) thì n ằm bên trong ho ặc biên đường tròn tâm I ()0;2 và bán kính bằng 3 . Nh ững điểm N() a; b tho ả mãn (2) và (3) là nh ững điểm thu ộc ph ần không ch ứa g ốc t ạo độ của −2x + y + 2 = 0 các đường th ẳng  . 2x+ y + 2 = 0 Nh ững ph ần đó theo hình v ẽ là không có điểm chung, vì v ậy ta có mâu thu ẫn.
9. Ta có điều ph ải ch ứng minh: N ếu đã th ức đã cho có nghi ệm thì a2+ b 2 −4 b +> 1 0 . Chú ý: Bài có th ể gi ải nhanh nh ư sau: 2 2 t2 + at + b −2 = 0 ⇔ t2 =− at +2 − b ⇒=−+−t4( at2 bab) ≤ 2 +−( 2)  1 + t 2   ( ) 4 22 t −1 2 2 2 ⇒+−a() b2 >2 =−≥ t 1 3 ⇒a + b −4 b +> 1 0 . t +1