Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ. 1 7 8 1 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 5 1 1 Câu 2. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên ; thỏa mãn 2 2 1 1 2 109 2 f (x) f 2 (x) 2 f (x)(3 x) dx . Tính dx 2 1 12 0 x 1 2 7 2 5 8 A. .lB.n . C. . ln D. . ln ln 9 9 9 9 Câu 3. Tổng các nghiệm của phương trình cos3x cos2x 9sin x 4 trên khoảng 0;3 là 11 25 A. 5 . B. . C. . D. 6 . 3 6 Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x 1 là 1 1 A. . 2x 1 2x 1 C B. . 2x 1 C 3 2 2 1 C. . 2x 1 2x 1 C D. . 2x 1 2x 1 C 3 3 Câu 5. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang? x3 1 3x2 2x 1 A. y . B. y x3 x 1. C. y . D. y 2x2 3. x2 1 4x2 5 Câu 6. Cho các hàm số f0 (x), f1(x), f2 (x), thỏa mãn: f0 (x) ln x ln x 2019 ln x 2019 , fn 1(x) fn (x) 1 n N . Số nghiệm của phương trình: f2020 (x) 0 là: A. 6058. B. 6057. C. 6059. D. 6063. 4 ln sin x cos x a bc Câu 7. Biết dx ln 2 , với a,b,c là các số nguyên. Khi đó, bằng 2 0 cos x b c a 8 8 A. . 6 B. . C. .D. . 6 3 3 2 4 f x Câu 8. Cho f x dx 2 , khi đó I dx bằng 1 1 x 1 A. .4 B. . C. . 1 D. . 2 2 3 2 Câu 9. Cho hàm số y x (m 1)x x 2m 1 có đồ thị (C) ( m là tham số thực). Gọi m1,m2 là các giá trị của m để đường thẳng d : y x m 1 cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B,C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B,C bằng 19. Khi đó m m bằng 1 2 A. . 4 B. . 2 C. .D. . 0 2 Câu 10. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x4 2mx2 (2m 1) 0có 4 nghiệm thực phân biệt là Trang 1/29 - WordToan
2. 1 1 A. ; \ 1. B. .( 1; ) C. . ; D. . ¡ 2 2 x2 y2 z2 6 Câu 11. Cho hệ phương trình xy yz zx 3 với x, y, z là ẩn số thực, m là tham số. Số giá trị nguyên 6 6 6 x y z m của m để hệ có nghiệm là A. .2 5 B. . 24 C. .D. . 12 13 Câu 12. Cho lim x2 ax 5 x 5 . Khi đó giá trị a là x A. .1 0 B. . 6 C. .D. . 6 10 2 3 Câu 13. Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f 1 2x x f 1 x với x ¡ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 . 6 1 8 1 6 1 8 A. .y x B. . C.y . x D. . y x y x . 7 7 7 7 7 7 7 x 1 Câu 14. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y và các trục tọa độ. Khi đó giá trị x 1 của S bằng A. .SB. . ln 2 1 C. . SD. .2ln 2 1 S 2ln 2 1 S ln 2 1 Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có SA 6, SB 2, SC 4, AB 2 10, S· BC 90o , ·ASC 120o . Mặt phẳng P đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với SAC cắt SA tại M. Tính tỉ số thể V tích k S.BMN . VS.ABC 2 1 1 2 A. .k B. . k C. . k D. . k 5 4 6 9 Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C . có độ dài cạnh đáy bằng avà chiều cao bằng .h Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. a2h a2h A. .V a2h B. . V C. . D. . V V 3 a2h 9 3 Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2z 1 0 và x y 2 z đường thẳng d : . Hai mặt phẳng P , P ' chứa d và tiếp xúc với (S) tại T , T .' 1 1 1 Tìm tọa độ trung điểm H của TT '. 7 1 7 5 2 7 5 1 5 5 1 5 A. .H ;B.; . C. . H D.; .; H ; ; H ; ; 6 3 6 6 3 6 6 3 6 6 3 6 Câu 18. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân, AA' h a,h 0 AB ' BC ' AB AC a, . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và theo a,h. ah ah ah ah A. . B. . C. . D. . a2 5h2 5a2 h2 2a2 h2 a2 h2 Câu 19. Cho hàm số y = (m- 3)x- 2m + 1 có đồ thị là đường thẳng d . Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục Ox ,Oy lần lượt tại hai điểm A ,B sao cho tam giác OAB cân. Số tập con của tập S là A. .4 B. . 6 C. . 3 D. . 2 2x 1 Câu 20. Biết đường thẳng d : y x 2 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A và B có x 1 hoành độ lần lượt là xA và xB . Giá trị của biểu thức xA xB bằng Trang 2/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
3. A. .5 B. . 1 C. . 3 D. . 2 * Câu 21. Cho dãy số un thỏa mãn: u1 1 , u2 11 , u3 111 ,.,un 11 1 (n chữ số 1 , n ¥ ). Đặt Sn u1 u2 un . Giá trị S2019 bằng 2012 1 19 10 1 2019 A. . 2019 B. . 10 1 9 9 9 2020 1 19 10 10 2019 C. . 2019 D. . 10 1 2019 9 9 9 Câu 22. Cho hàm số y f x là hàm số đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và y f x có diện tích là 127 127 107 13 A. . B. . C. . D. . 40 10 5 5 Câu 23. Cho x, y là hai số thực dương khác 1 và ,  là hai số thực tùy ý. Mệnh đề nào sau đây SAI  x x x x   A. .  B. . C. . D. . x .x x x .y xy y y y y Câu 24. Mệnh đề nào dưới đây SAI? A. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. B. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. D. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình log x 1 log 2x 5 là 4 4 5 A. . 1;6 B. . ;6 C. . D. 6; . ;6 2 Câu 26. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x2 x 1 x2 2mx 5 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị? A. .0 B. . 5 C. . 6 D. . 7 Câu 27. Thiết diện qua trục của một hình nón tam giác đều có cạnh có độ dài 2a. . Thể tích của khối nón là pa3 3 pa3 3 pa3 3 pa3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 12 Câu 28. Cho khối chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và A·SB = B·SC = C·SA= 300. Mặt phẳng (a) bất kỳ qua A, cắt hai cạnh SB, SC tại B¢,C¢. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AB¢C¢. A. 2a. B. a 2. C. a 3. D. a. Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , BC a 3 . Cạnh SA vuông góc với đáy và đường thẳng SCtạo với mặt phẳng (SAB một) góc 30 . 0Thể tích của khối chóp S.ABCD là 2a3 3a3 2 6a3 A. . B. . C. . D. . 3a3 3 3 3 Trang 3/29 - WordToan
4. Câu 30. Cho hình phẳng H được giới hạn bởi đường cong y m2 x2 ( m là tham số khác 0 ) và trục hoành. Khi H quay quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích V . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để V 1000 A. 18. B. 20. C. 19. D. 21. Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm tại mọi x ¡ , hàm số y f x x3 ax2 bx c có đồ thị như hình vẽ y 1 -1 1 O x -1 Số điểm cực trị của hàm số y f f x là A. .7 B. . 11 C. . 9 D. . 8 Câu 32. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc m  2019;2019 để phương trình 2 log2 x 2log2 x m log2 x m (*) có nghiệm? A. .2 021 B. . 2019 C. . 4038 D. . 2020 x 2 y z 1 Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : . Gọi M là giao điểm 3 1 2 của với mặt phẳng P : x 2y 3z 2 0 . Tọa độ điểm M là A. .M 2;0; 1B. . C. .D.M .5; 1; 3 M 1;0;1 M 1;1;1 Câu 34. Cho hàm số y ax3 cx d , a 0 có min f x f 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y f x ;0 trên đoạn 1;3 bằng A. .dB. .1 1a C. . d 16a D. . d 2a d 8a Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 6; 0; 0 , N 0; 6; 0 , P 0; 0; 6 . Hai mặt 2 2 2 2 2 2 cầu có phương trình S1 : x y z 2x 2y 1 0 và S2 : x y z 8x 2y 2z 1 0 cắt nhau theo đường tròn C . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM ? A. .1 B. . 3 C. Vô số. D. . 4 2 32x 34x 4 34x 7 32x 2 Câu 36. Bất phương trình 2x có bao nhiêu nghiệm? 2 32x 2 32x 3 4 34x 2 32x A. Vô số. B. .2 C. . 1 D. . 3 Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u 1;1; 2 ,v 1;0;m . Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa hai vectơ u ,v bằng 450 . A. .m 2 B. . m 2C. . 6 D. . m 2 6 m 2 6 4 x2 Câu 38. Cho hàm số f x có đồ thị C . Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị x2 3x C là Trang 4/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
5. A. .3 B. . 0 C. . 1 D. . 2 Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a 2;m 1;3 ,b 1;3; 2n . Tìm m,n để các vec tơ a,b cùng hướng. 3 4 A. .m 7;n B. . C. . m 4;n D. 3 . m 2;n 0 m 7;n 4 3 Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng vàP : haix yđiểm z 1 0 A 1; 1;2 , B 2;1;1 . Mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng P , mặt phẳng Q có phương trình là A. .3 x 2y z 3 0 B. . x y z 1 0 C. .3 x 2y z 3 0 D. . x y 0 Câu 41. Cho a 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 3 a2 1 1 A. a 3 . B. a 3 a. C. 1. D. . a 5 a a2016 a2017 Câu 42. Cho tứ diện ABCD có AB 6a;CD 8a và các cạnh còn lại bằng a 74. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 100 A. S 25 a2. B. S 100 a2. C. S a2. D. .S 96 a2 3 2019 Câu 43. Tập xác định của hàm số y 4 3x x2 là A. ¡ \ 4;1. B. ¡ . C.  4;1. D. 4;1 . 20 22 3 1 1 Câu 44. Cho T (x) x x 2 ,(x 0). Sau khi khai triển và rút gọn T(x) có bao nhiêu số x x hạng? A. 36. B. 38. C. 44. D. 40. Câu 45. Xét hàm số f x x2 ax b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a 2b ? A. .2 B. . 4 C. . 4 D. . 3 2 2 2 14 Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 và đường 3 x 4 y 4 z 4 thẳng d : . Gọi A x ; y ; z x 0 là điểm nằm trên đường thẳng d sao 3 2 1 0 0 0 0 cho từ điểm A , kẻ được 3 tiếp tuyến đến mặt cầu S có các tiếp điểm B , C , D sao cho tứ diện ABCD là tứ diện đều. Tính giá trị của biểu thức x0 y0 z0 . A. .6 B. . 16 C. . 12 D. . 8 1 Câu 47. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx đồng biến trên khoảng 5x5 0; ? A. .1 2 B. . 0 C. . 4 D. . 3 Câu 48. Cho tứ diện OABC , có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau, kẻ OH vuông góc với mặt phẳng ABC tại H . Khẳng định nào sau đây là khẳng định SAI? A. H là trực tâm tam giác ABC . B. .AH  OBC 1 1 1 1 C. . D. . OA  BC OH 2 OA2 OB2 OC 2 Câu 49. Cho hai hàm số f x ,g x có đạo hàm liên tục trên ¡ .Xét các mệnh đề sau 1) k. f x dx k. f x dx với k là hằng số thực bất kì. Trang 5/29 - WordToan
6. 2) f x g x dx f x dx g x dx. 3) f x .g x dx f x dx. g x dx . 4) f x g x dx f x g x dx f x .g x . Tổng số mệnh đề đúng là: A. .1 B. . 4 C. . 2 D. . 3 Câu 50. Cho hình trụ có bán kính đáy r .Gọi O và O là tâm của hai đường tròn đáy với OO 2r . Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O .Gọi VC và VT lần lượt là thể tích của khối cầu và V khối trụ.Khi đó C bằng VT 5 3 1 2 A. . B. . C. .D. . 3 4 2 3 HẾT Trang 6/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
7. BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B D D C C D A D A D D C B C C C A A A C C A D C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C C B C A A A D B C C C C A C A B A D C C C B A D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ. 1 7 8 1 A. . B. . C. . D. . 15 15 15 5 Lời giải Chọn A 2 Không gian mẫu  C10 Gọi A là biến cố: “ hai người được chọn đều là nữ” 2 Kết quả thuận lợi  A C3 3 3 1 Vậy xác suất P(A) 2 . C10 15 1 1 Câu 2. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm trên ; thỏa mãn 2 2 1 1 2 109 2 f (x) f 2 (x) 2 f (x)(3 x) dx . Tính dx 2 1 12 0 x 1 2 7 2 5 8 A. .l n B. ln . C. .l n D. . ln 9 9 9 9 Lời giải Chọn B 1 2 109 Ta có (3 x)2 dx . 1 12 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Do đó f (x) 2 f (x)(3 x) dx 3 x dx f (x) (3 x) dx 0 1 1 1 2 2 2 Suy ra f (x) 3 x . 1 1 1 2 f (x) 2 3 x 2 1 2 1 1 3 2 dx dx ( )dx= ln x 1 2ln x 1 2 ln 2ln ln 2 2 0 0 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 2 2 9 Câu 3. Tổng các nghiệm của phương trình cos3x cos2x 9sin x 4 trên khoảng 0;3 là 11 25 A. 5 . B. . C. . D. 6 . 3 6 Lời giải Chọn D Phương trình cos3x cos2x 9sin x 4 0 4cos3 x 3cosx 2sin2 x 9sin x 5 0 Trang 7/29 - WordToan
8. cos x 1 4sin2 x 2sin x 1 sin x 5 0 cos x 2cos xsin x sin x 5 1 2sin x 0 cos x 2cos xsin x sin x 5 0 1 1 . sin x 2 2 Giải 1 : cos x 2cos xsin x sin x 5 0 sin 2x 2cos x 5 0 phương trình vô 4 nghiệm vì sin 2x 1, 2cos x 2 sin 2x 2cos x 5 1 2 5 0 4 4 x k2 1 6 Giải 2 : sin x k ¢ . 2 5 x k2 6 +)TH1: Với x k2 . 6 x 1 17 k 0 6 Ta có: 0 k2 3 k . 6 12 12 k 1 13 x 6 5 +) TH 2: Với x k2 . 6 5 x 5 5 13 k 0 6 Ta có: 0 k2 3 k . 6 12 12 k 1 17 x 6 13 5 17 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: S 6 . 6 6 6 6 Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2x 1 là 1 1 A. . 2x 1 2x 1 C B. . 2x 1 C 3 2 2 1 C. . 2x 1 2x 1 C D. 2x 1 2x 1 C . 3 3 Lời giải Chọn D 1 1 1 2 3 1 Ta có: 2x 1dx 2x 1 2 d 2x 1 . 2x 1 2 C 2x 1 2x 1 C . 2 2 3 3 Câu 5. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang? x3 1 3x2 2x 1 A. y . B. y x3 x 1. C. y . D. y 2x2 3. x2 1 4x2 5 Lời giải Chọn C 2 1 3 2 3 Ta có: lim y lim x x x x 5 4 4 x2 Câu 6. Cho các hàm số f0 (x), f1(x), f2 (x), thỏa mãn: Trang 8/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
9. f0 (x) ln x ln x 2019 ln x 2019 , fn 1(x) fn (x) 1 n N . Số nghiệm của phương trình: f2020 (x) 0 là: A. 6058. B. 6057. C. 6059. D. 6063. Lời giải Chọn C Ta có f2020 (x) f2019 (x) 1 f2018 (x) 1 1 f2017 (x) 1 1 1 f0 (x) 0 f (x) 0 f (x) 1 f (x) 2 Do đó ta có f (x) 0 f (x) 1 2018 2017 0 2020 2019 f2018 (x) 2 f2017 (x) 3 f0 (x) 2020 ln x khi x e 2019 2019 2019 Ta có f0 (x) ln x 4038 khi e e Từ đó suy ra bảng biến thiên của f0 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy các phương trình f0 (x) 0, f0 (x) 2, , f0 (x) 2018 mỗi phương trình có 3 nghiệm (có 2019 phương trình như vậy). Mặt khác 2 phương trình f0 (x) 2020; f0 (x) 2020 mỗi phương trình chỉ có một nghiệm nên tổng số nghiệm là: 2019. 3 + 2 = 6059. Vậy chọn đáp án C. 4 ln sin x cos x a bc Câu 7. Biết dx ln 2 , với a,b,c là các số nguyên. Khi đó, bằng 2 0 cos x b c a 8 8 A. . 6 B. . C. . 6 D. . 3 3 Lời giải Chọn D dx cos x sin x sin x cos x Đặt u ln sin x cos x ; dv du và chọn v tan x 1 . cos2 x sin x cos x cos x 4 ln sin x cos x 4 cos x sin x Khi đó I dx tan x 1 .ln sin x cos x 4 dx . cos2 x cos x 0 0 0 4 4 d cos x 2 3 I ln 2 dx ln 2 ln cos x 4 ln 2 ln ln 2 . cos x 4 4 2 2 4 0 0 0 bc 8 Vậy a 3; b 2; c 4 . a 3 2 4 f x Câu 8. Cho f x dx 2 , khi đó I dx bằng 1 1 x 1 A. 4 . B. . C. . 1 D. . 2 2 Trang 9/29 - WordToan
10. Lời giải Chọn A 4 f x dx dx Xét tích phân I dx . Đặt t x dt 2dt . 1 x 2 x x Đổi cận: x 1 t 1; x 4 t 2 . 2 2 Khi đó I 2. f t dt 2. f x dx 2.2 4 . 1 1 3 2 Câu 9. Cho hàm số y x (m 1)x x 2m 1 có đồ thị (C) ( m là tham số thực). Gọi m1,m2 là các giá trị của m để đường thẳng d : y x m 1 cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B,C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B,C bằng 19. Khi đó m m bằng 1 2 A. . 4 B. . 2 C. . 0 D. 2 . Lời giải Chọn D Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d : y x m 1 là x3 (m 1)x2 x 2m 1 x m 1 x3 (m 1)x2 m 0 x 1 x2 mx m 0 x 1 2 . x mx m 0 (1) (C) và d cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 m2 4m 0 0 m 4 2 1 . 1 2m 0 m m 0 2 Gọi kA ,kB ,kC lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B,C . y x3 (m 1)x2 x 2m 1 y ' 3x2 2(m 1)x 1. Giả sử kA y '(1) 2 2m . Gọi xB , xC là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) . 2 kB y '(xB ) 3xB 2(m 1)xB 1. 2 kC y '(xC ) 3xC 2(m 1)xC 1. 2 2 Theo giả thiết kA kB kC 19 2 2m 3xB 2(m 1)xB 1 3xC 2(m 1)xC 1 19 . 2 2 2m 3[(xB xC ) 2xB xC ] 2(m 1)(xB xC ) 2 19 (2) . xB xC m Áp dụng định lí viet vào phương trình (1) ta được: (3) . xB .xC m 2 m 5 Thay (3) vào (2) ta có phương trình m 2m 15 0 . m 3 Giải sử m1 5 và m2 3 . Vậy m1 m2 2 . Câu 10. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x4 2mx2 (2m 1) 0có 4 nghiệm thực phân biệt là 1 1 A. ; \ 1. B. .( 1; ) C. . ; D. . ¡ 2 2 Lời giải Chọn A Xét phương trình: x4 2mx2 (2m 1) 0 . Đặt x2 t(t 0) . Phương trình đã cho trở thành t 2 2mt (2m 1) 0 (*) . Để phương trình ban đầu có bốn nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương Trang 10/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
11. ' 2 0 m 2m 1 0 m 1 1 m 1 S 0 2m 0 m 0 2 hay m ; \ 1 . 2 P 0 2m 1 0 1 m 1 m 2 x2 y2 z2 6 Câu 11. Cho hệ phương trình xy yz zx 3 với x, y, z là ẩn số thực, m là tham số. Số giá trị nguyên 6 6 6 x y z m của m để hệ có nghiệm là A. .2 5 B. . 24 C. . 12 D. 13. Lời giải Chọn D Ta thấy x2 y2 z2 2(xy yz zx) 0 (x y z)2 0 x y z. Đặt t z2 0 x2 y2 6 z2 6 t, và xy 3 z(x y) 3 z2 t 3. Vì x2 y2 2xy nên 6 t 2(t 3) t 4. Ta được 0 t 4. Nhận thấy x6 y6 (x2 y2 (x4 y4 x2 y2 ) (x2 y2 ) (x2 y2 )2 3x2 y2 (6 t) (6 t)2 3(t 3)2 2t3 18t 2 27t 54. Do đó phương trình cuối trong hệ trở thành 3t3 18t 2 27t 54 m (1). Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm t 0;4. Ta có min 3t3 18t 2 27t 54 54, max 3t3 18t 2 27t 54 66, t 0;4 t 0;4 nên phương trình (1) có nghiệm trên 0;4 khi 54 m 66. Có tất cả 13 giá trị nguyên của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm. Câu 12. Cho lim x2 ax 5 x 5 . Khi đó giá trị a là x A. .1 0 B. . 6 C. . 6 D. 10 . Lời giải Chọn D x2 ax 5 x x2 ax 5 x Ta có: lim x2 ax 5 x lim x x x2 ax 5 x 5 a ax 5 a lim lim x . x 2 x a 5 2 x ax 5 x 1 1 x x2 a Do đó: lim x2 ax 5 x 5 5 a 10 . x 2 2 3 Câu 13. Cho hàm số y f x xác định và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f 1 2x x f 1 x với x ¡ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 . 6 1 8 1 6 1 8 A. .y x B. . C.y x y x . D. .y x . 7 7 7 7 7 7 7 Lời giải Chọn C 2 3 Đặt f 1 2x x f 1 x * Trang 11/29 - WordToan
12. 2 3 f 1 0 M 1;0 Từ * cho x 0 ta được f 1 f 1 . f 1 1 M 1; 1 2 Từ * đạo hàm 2 vế ta được 4. f 1 2x . f 1 2x 1 3 f 1 x . f 1 2x . 2 Từ cho x 0 ta được 4. f 1 . f 1 1 3 f 1 . f 1 Nếu f 1 0 thì từ suy ra 0 1 , vô lý. 1 Nếu f 1 1 thì từ suy ra f 1 . 7 Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 là 1 6 y x . 7 7 x 1 Câu 14. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y và các trục tọa độ. Khi đó giá trị x 1 của S bằng A. .S ln 2 1 B. S 2ln 2 1. C. .S 2ln 2 D.1 . S ln 2 1 Lời giải Chọn B x 1 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung là 0 x 1 . x 1 x 1 Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y và các trục tọa độ. Nên ta có x 1 1 x 1 1 x 1 1 2 1 S dx dx 1 dx x 2ln x 1 2ln 2 1. 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có SA 6, SB 2, SC 4, AB 2 10, S· BC 90o , ·ASC 120o . Mặt phẳng P đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với SAC cắt SA tại M. Tính tỉ số thể V tích k S.BMN . VS.ABC 2 1 1 2 A. .k B. . k C. k . D. .k 5 4 6 9 Lời giải Chọn C S 2 2 2 M B D 2 H E N 2 10 6 A C Ta có: • SA2 SB2 62 22 40 AB2 ·ASB 90o . Trang 12/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
13. 1 • SBC vuông tại B BN SC 2 . 2 SN NB SB 2 SNB đều. Gọi D là điểm thuộc cạnh SA sao cho SD 2 , ta có: DB2 22 22 8 DN 2 22 22 2.2.2.cos120o 12 NB2 4 DB2 NB2 DN 2 DNB vuông tại .B • Gọi H, E lần lượt là trung điểm của DN, NB, ta có: NB  SE +) NB  SHE NB  SH . NB  HE SH  DN +) SH  DNB SDN  DNB D  M SM 2 . SH  NB V SM SN 2 2 1 k S.BMN . . . VS.ABC SA SC 6 4 6 Câu 16. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C . có độ dài cạnh đáy bằng avà chiều cao bằng .h Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. a2h a2h A. .V a2h B. . V C. V . D. .V 3 a2h 9 3 Lời giải Chọn C C' A' O' B' h C a R A O a a B a 3 Gọi O là trọng tâm của ABC R OA . 3 a2h V R2h . 3 Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2z 1 0 và x y 2 z đường thẳng d : . Hai mặt phẳng P , P ' chứa d và tiếp xúc với (S) tại T , T .' 1 1 1 Tìm tọa độ trung điểm H của TT '. 7 1 7 5 2 7 5 1 5 5 1 5 A. .H ;B.; . C. H ; ; H ; ; . D. .H ; ; 6 3 6 6 3 6 6 3 6 6 3 6 Lời giải Chọn C Mặt cầu S có tâm I 1;0; 1 , bán kính R 1 . Trang 13/29 - WordToan
14.  Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u 1;1; 1 . d  Gọi K là hình chiếu của I trên d , ta có K t;2 t; t IK t 1;2 t; t 1 .    Vì IK  d nên ud .IK 0 t 1 2 t t 1 0 t 0 IK 1;2;1 . x 1 t ' Phương trình tham số của đường thẳng IK là y 2t ' z 1 t '  Khi đó, trung điểm H của TT ' nằm trên IK nên H 1 t ';2t '; 1 t ' IH t ';2t ';t ' . Mặt     2 1 5 1 5 khác, ta có: IH.IK IT IH.IK 1 t ' 4t ' t ' 1 t ' H ; ; . 6 6 3 6 Câu 18. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân, AA' h a,h 0 AB ' BC ' AB AC a, . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và theo a,h. ah ah ah ah A. . B. . C. . D. . a2 5h2 5a2 h2 2a2 h2 a2 h2 Lời giải Chọn A A a C a a 2 h B A' C' B' D Gọi D là điểm đối xứng với A ' qua B '. Ta có AB '/ /BD AB '/ / BDC ' d AB ', BC ' d AB ', DBC ' d B ', DBC ' 1 Vì C ' B ' là trung tuyến của tam giác A' DC ' nên S S a2 . DB'C ' A'B'C ' 2 1 a2h Do đó V S .BB ' . B.B'C 'D 3 B'C 'D 6 Xét tam giác BDC ' , có : BD B ' D2 BB '2 a2 h2 ; BC ' B 'C '2 BB '2 2a2 h2 C ' D A'C '2 A' D2 a2 2a 2 a 5 BD2 BC '2 C ' D2 h2 a2 Khi đó: cos D· BC ' 2.BD.BC ' a2 h2 . 2a2 h2 Trang 14/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
15. a a2 5h2 Suy ra, sin D· BC ' 1 cos2 D· BC ' . a2 h2 . 2a2 h2 1 a a2 5h2 Từ đó S BD.BC 'sin D· BC ' . BDC ' 2 2 1 Mặt khác: VB.B'C 'D SBDC '.d B ', DBC ' . 3 a2h 3. 3V ah d B ', DBC ' B.B'C 'D 6 . 2 2 2 2 SBDC ' a a 5h a 5h 2 Câu 19. Cho hàm số y = (m- 3)x- 2m + 1 có đồ thị là đường thẳng d . Gọi S là tập các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục Ox ,Oy lần lượt tại hai điểm A ,B sao cho tam giác OAB cân. Số tập con của tập S là A. 4 . B. .6 C. . 3 D. . 2 Lời giải Chọn A Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox ,Oy lần lượt tại hai điểm A ,B sao cho tam giác OAB cân. ïì m ¹ 3 ïì m- 3 ¹ 0 ï Điều kiện để tồn tại tam giác OAB là: í Û í 1 (*) . îï - 2m + 1¹ 0 ï m ¹ îï 2 æ2m- 1 ö Khi đó d cắt Ox tại Aç ;0÷ , cắt Oy tại B(0;- 2m + 1) . èç m- 3 ÷ø 2m- 1 Tam giác OAB cân Û OA = OB Û = 2m- 1 m- 3 é2m- 1 = 0(l) ém = 2 Û ê Û ê . ê ê = ëêm- 3 = 1 ëm 4 Vậy S 2;4 . Số tập con của S là 22 4 . 2x 1 Câu 20. Biết đường thẳng d : y x 2 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A và B có x 1 hoành độ lần lượt là xA và xB . Giá trị của biểu thức xA xB bằng A. 5 . B. .1 C. . 3 D. . 2 Lời giải Chọn A Hoành độ giao điểm của A và B là nghiệm của phương trình: 2x 1 x 1 0 x 1 5 21 x 2 2 x . x 1 x 2 x 1 2x 1 x 5x 1 0 2 Vậy xA xB 5 . * Câu 21. Cho dãy số un thỏa mãn: u1 1 , u2 11 , u3 111 ,.,un 11 1 (n chữ số 1 , n ¥ ). Đặt Sn u1 u2 un . Giá trị S2019 bằng 2012 1 19 10 1 2019 A. . 2019 B. . 10 1 9 9 9 2020 1 19 10 10 2019 C. 2019 . D. . 10 1 2019 9 9 9 Lời giải Chọn C Trang 15/29 - WordToan
16. 1 Ta có: S u u u 1 11 111 11 1 9 99 999 99 9 n 1 2 n 9 1 1 10 1 102 1 103 1 10n 1 10 102 103 10n n 9 9 n 1 10 10 1 1 10n 1 10 n n . 9 10 1 9 9 1 102010 10 Vậy . S2019 2019 9 9 Câu 22. Cho hàm số y f x là hàm số đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và y f x có diện tích là 127 127 107 13 A. . B. . C. . D. . 40 10 5 5 Lời giải Chọn C Vì hàm số y f x là hàm số đa thức bậc 4 và có đồ thị như hình vẽ nên hàm số có dạng: 2 2 f x a x 2 x 1 , a 0 . 1 1 2 2 Mà f 1 1 a . Vậy f x x 2 x 1 . 4 4 1 2 2 1 f x 2 x 2 x 1 2 x 1 . x 2 x 2 x 1 2x 1 . 4 2 x 1 x 1 Xét phương trình f x f x x 2 x 1 x2 3x 4 0 . x 2 x 4 1 f x f x x 2 x 1 x2 3x 4 . 4 Vậy diện tích cần tìm là: 4 S f x f x dx 2 1 1 4 107 f x f x dx f x f x dx f x f x dx . 5 2 1 1 Câu 23. Cho x, y là hai số thực dương khác 1 và ,  là hai số thực tùy ý. Mệnh đề nào sau đây SAI  x x x x   A.  . B. . C. . D. x. .x x x .y xy y y y y Lời giải Chọn A Phương án B,C, D đúng theo tính chất của lũy thừa. Trang 16/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
17. 2 24 16 2 4 Phương án A sai. Ví dụ 2 . 3 9 3 9 Câu 24. Mệnh đề nào dưới đây SAI? A. Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. B. Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. D. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. Lời giải Chọn D Phương án A đúng theo công thức tính thể tích khối lăng trụ. Phương ánB đúng theo công thức tính thể tích khối chóp. Xét phương ánC : 2 2 Diện tích toàn phần của hai hình lập phương có cạnh bằng a và b là 6a và 6b . Do đó hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì a b và khi đó chúng có thể tích cùng bằng a3 . Suy ra phương án C đúng. Phương án D sai vì hai hình hộp chữ nhật có cùng diện tích toàn phần nhưng có ba kích thước khác nhau thì thể tích của chúng có thể khác nhau. Ví dụ: Xét khối hộp chữ nhật có 3 kích thước là 4, 4, 6 và khối hộp chữ nhật có ba kích thước là 2, 2,15 với cùng đơn vị đo, có cùng diện tích toàn phần bằng 128 nhưng có thể tích lần lượt là 96 và 60. Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình log x 1 log 2x 5 là 4 4 5 A. . 1;6 B. . ;6 C. 6; . D. . ;6 2 Lời giải Chọn C 5 Điều kiện: x . 2 5 Khi đó log x 1 log 2x 5 x 1 2x 5 x 6 thỏa mãn điều kiện x . Vậy tập 4 4 2 nghiệm của bất phương trình đã cho là 6; . Câu 26. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x2 x 1 x2 2mx 5 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị? A. .0 B. . 5 C. 6 . D. .7 Lời giải Chọn C Hàm số f x có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức g x x2 2mx 5vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là x 1 , hoặc g x có nghiệm kép x 1 0 2 g m 5 0 g 1 0 2m 6 0 5 m 5 Tức là . Do đó tập các giá trị nguyên thỏa mãn 2 g 0 m 5 0 m 3 b m 1 1 a 0 g 0 g yêu cầu bài toán là S 2, 1, 0, 1, 2, 3 . Trang 17/29 - WordToan
18. Câu 27. Thiết diện qua trục của một hình nón tam giác đều có cạnh có độ dài 2a. . Thể tích của khối nón là pa3 3 pa3 3 pa3 3 pa3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 12 Lời giải Chọn C Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón, thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB . SB 3 Theo bài ra ta có tam giác SAB đều nên SO = = a 3. 2 1 pa3 3 Thể tích khối nón là: V = pR2h = . (đvtt). 3 3 Câu 28. Cho khối chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và A·SB = B·SC = C·SA= 300. Mặt phẳng (a) bất kỳ qua A, cắt hai cạnh SB, SC tại B¢,C¢. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AB¢C¢. A. 2a. B. a 2. C. a 3. D. a. Lời giải Chọn B Khai triển mặt xung quanh khối chóp theo SA và trải phẳng ta được hình như hình bên. Chu vi thiết diện là m = AB '+ B 'C '+ C ' A . Và m nhỏ nhất khi A, B ',C ', A thẳng hàng, tức là B ' º D,C ' º E . Khi đó m = AB '+ B 'C '+ C ' A = AD + DE + EA = a 2. Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , BC a 3 . Cạnh SA vuông góc với đáy và đường thẳng SCtạo với mặt phẳng (SAB một) góc 30 . 0Thể tích của khối chóp S.ABCD là 2a3 3a3 2 6a3 A. . B. . C. . D. . 3a3 3 3 3 Lời giải Chọn C Trang 18/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
19. S 30 D A a B C a 3 Vì SA  ABCD nên SA  BC . Hơn nữa AB  BC (giả thiết) nên BC  SAB . Khi đó SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB . · 0 Từ đó suy ra (SC,(SAB)) = (SC,SB) = BSC = 30 BC BC a 3 Xét SBC vuông ở B : tan 300 SB 3a SB tan 300 3 3 Xét SAB vuông ở A : SA SB2 AB2 9a2 a2 2a 2 2 Lại có ABCD là hình chữ nhật nên SABCD AB.BC a 3 Ta có: 1 1 2a3 6 V  S  SA a2 3.2a 2 3 ABCD 3 3 Câu 30. Cho hình phẳng H được giới hạn bởi đường cong y m2 x2 ( m là tham số khác 0 ) và trục hoành. Khi H quay quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích V . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để V 1000 A. 18. B. 20. C. 19. D. 21. Lời giải Chọn A Xét hàm số chẵn y m2 x2 có điều kiện xác định: m2 x2 0 m x m Thể tích khối tròn xoay khi H quay quanh trục hoành là m 2 m V m2 x2 dx m2 x2 dx m m 3 x3 m m3 m m2 x m3 m2 m 3 m 3 3 4 m 3  3 Theo bài ra ta có: 3 4 m 3000 3000 3000 0 V 1000 0 1000 m 3 3 m 3 3 4 4 4 Trang 19/29 - WordToan
20. Nên có 19 giá trị nguyên của m thỏa điều kiện trên là m  9;9,m ¢ 1 . Hơn nữa theo bài ra ta có m 0 2 . Từ 1 và 2 ta có 18 giá trị nguyên của m là m  9;9 \ 0,m ¢ . Câu 31. Cho hàm số y f x có đạo hàm tại mọi x ¡ , hàm số y f x x3 ax2 bx c có đồ thị như hình vẽ y 1 -1 1 O x -1 Số điểm cực trị của hàm số y f f x là A. 7 . B. .1 1 C. . 9 D. . 8 Lời giải Chọn A Nhận thấy f ( f '(x)) ' f ''(x). f '( f '(x)) và dựa vào đồ thị hàm y f '(x) ta có x x1 ( 1;0) f ''(x) 0 x x2 (0;1) f '(x) 1 x x3 1 f '( f '(x)) 0 f '(x) 0 x 1, x 0, x 1 f '(x) 1 x x4 1 nên phương trình f ( f '(x)) ' 0 có 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y f f x có 7 điểm cực trị. Câu 32. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc m  2019;2019 để phương trình 2 log2 x 2log2 x m log2 x m (*) có nghiệm? A. 2021. B. .2 019 C. . 4038 D. . 2020 Lời giải Chọn A Đặt t log2 x thì phương trình (*) trở thành t 2 2t m t m 2 2 1 1 t m t 2 2 t 1 m t (2) . t m t (3) t 1 0 t 1 (2) . Trường hợp thứ nhất: 2 2 (t 1) t m m t 3t 1 Trang 20/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
21. 5 Phương trình (2) có nghiệm khi m (4). 4 t 0 t 0 (3) . Trường hợp thứ hai: 2 2 ( t) t m m t t Phương trình (3) có nghiệm khi m 0 (5). 5 Từ (4) và (5) suy ra phương trình (*) có nghiệm khi m . Lấy các giá trị nguyên 4 m 2019;2019 ta được m 1,0,1,2, ,2019. Có 2021 giá trị nguyên của m. x 2 y z 1 Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : . Gọi M là giao điểm 3 1 2 của với mặt phẳng P : x 2y 3z 2 0 . Tọa độ điểm M là A. .M 2;0; 1B. . C. . M 5; 1; 3D. M 1;0;1 M 1;1;1 . Lời giải Chọn D x 2 3t Phương trình tham số của : y t . z 1 2t Tọa độ giao điểm M của với mặt phẳng P là nghiệm của hệ: x 2 3t x 2 3t x 1 y t y t y 1 z 1 2t z 1 2t z 1 x 2y 3z 2 0 2 3t 2t 3 1 2t 2 0 t 1 M 1;1;1 . Câu 34. Cho hàm số y ax3 cx d , a 0 có min f x f 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y f x ;0 trên đoạn 1;3 bằng A. .d 11a B. d 16a . C. .d 2a D. . d 8a Lời giải Chọn B Ta có: y 3ax2 c . c Vì hàm số f x là hàm bậc ba và min f x f 2 nên y 0 x2 có hai nghiệm phân ;0 3a biệt trái dấu nhau x1 2 x2 2 và a 0 . Trang 21/29 - WordToan
22. Ta có bảng biến thiên của hàm số nhưf x sau: c Với x 2 có 4 c 12a . 3a Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y f x đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 1;3 tại x 2 . Ta có: f 2 8a 2c d 8a 24a d 16a d . Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 6; 0; 0 , N 0; 6; 0 , P 0; 0; 6 . Hai mặt 2 2 2 2 2 2 cầu có phương trình S1 : x y z 2x 2y 1 0 và S2 : x y z 8x 2y 2z 1 0 cắt nhau theo đường tròn C . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM ? A. .1 B. . 3 C. Vô số. D. 4 . Lời giải Chọn C I L M P J H K N Nếu điểm Athuộc x; y ; z thì C x2 y2 z2 2x 2y 1 0 3x 2y z 0 . 2 2 2 x y z 8x 2y 2z 1 0 Suy ra phương trình mặt phẳng chứa đường tròn C là 3x 2y z 0 . Phương trình mặt phẳng MNP là x y z 6 0 . Gọi I là tâm mặt cầu thỏa bài toán, H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng MNP , J , K , L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường thẳng MN , NP , PM . Ta có IJ IK IL HJ HK HL . Suy ra I thuộc đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác MNP và vuông góc với mặt phẳng MNP . Hình chóp O.MNP là hình chóp đều nên đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác MNP và vuông góc với mặt phẳng MNP cũng chính là đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng MNP . Phương trình đường thẳng d là x y z . Trang 22/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
23. Dễ thấy d  suy ra mọi điểm thuộc d đều là tâm của một mặt cầu thỏa bài toán. Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa C và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM . 2 32x 34x 4 34x 7 32x 2 Câu 36. Bất phương trình 2x có bao nhiêu nghiệm? 2 32x 2 32x 3 4 34x 2 32x A. Vô số. B. .2 C. 1. D. .3 Lời giải Chọn C Đặt u 2 32x và v 2 32x , ta có u2 v2 u2 v2 4 , uv 4 34x , 32x , u 0 , v 0 , u v * . 2 Bất phương trình đã cho trở thành 2 2 2 u uv uv 3 v 2 uv uv 3 u v u v u2 v2 uv v2 u v 2 u v 2 2 uv 2 uv 3 0 do * uv 1 2 0 uv 1. 1 Từ đó ta có: u 2 3,v 2 3, x . 4 Vậy bất phương trình có 1 nghiệm. Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u 1;1; 2 ,v 1;0;m . Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa hai vectơ u ,v bằng 450 . A. .m 2 B. . m 2C. 6 m 2 6 . D. .m 2 6 Lời giải Chọn C u.v 1 2m Ta có: cos u ,v . u . v 6 . 1 m2 2 Góc giữa hai vectơ u ,v bằng 450 cos u ,v . 2 1 1 2m 2 1 2m 0 m 2 2 m 2 6 . 2 2 6 . 1 m 2 1 2m 3 1 m 2 m 4m 2 0 Vậy với mthì góc2 giữa6 hai vectơ bằng u ,v . 450 4 x2 Câu 38. Cho hàm số f x có đồ thị C . Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị x2 3x C là A. .3 B. . 0 C. 1. D. .2 Lời giải Chọn C Tập xác định D  2;2 \ 0 . 4 x2 4 x2 +) lim f x lim 2 ( hoặc lim f x lim 2 ) nên đường thẳng x 0 là x 0 x 0 x 3x x 0 x 0 x 3x tiệm cận đứng của C . Trang 23/29 - WordToan
24. +) x D , ta có lim f x không tồn tại nên C không có tiệm cận ngang. x Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị C là 1 . Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a 2;m 1;3 ,b 1;3; 2n . Tìm m,n để các vec tơ a,b cùng hướng. 3 4 A. m 7;n . B. .m 4;n C. 3 . D.m . 2;n 0 m 7;n 4 3 Lời giải Chọn A a 2;m 1;3 ,b 1;3; 2n cùng hướng a kb,k 0 2 k.1 k 2 m 1 k.3 m 7 . 3 k. 2n 3 n 4 3 Vậy các vec tơ a,b cùng hướng khi m 7;n . 4 Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng vàP : haix yđiểm z 1 0 A 1; 1;2 , B 2;1;1 . Mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng P , mặt phẳng Q có phương trình là A. .3 x 2y z 3 0 B. . x y z 1 0 C. 3x 2y z 3 0 . D. . x y 0 Lời giải Chọn C + Gọi n là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng Q . Mặt phẳng cóP vec: x tơy pháp z 1tuyến 0 là . nP 1;1;1  A 1; 1;2 , B 2;1;1 AB 1;2; 1 . n  nP Mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với nênP .  n  AB  Chọn n nP  AB 3;2;1 . + Phương trình mặt phẳng Q đi qua điểm A 1; 1;2 , có vec tơ pháp tuyến n 3;2;1 là 3 x 1 2 y 1 1. z 2 0 3x 2y z 3 0 3x 2y z 3 0 . Câu 41. Cho a 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1 1 3 a2 1 1 A. a 3 . B. a 3 a. C. 1. D. . a 5 a a2016 a2017 Lời giải Chọn A 1 Vì a 1; 3 5 a 3 a 5 a 3 . a 5 Câu 42. Cho tứ diện ABCD có AB 6a;CD 8a và các cạnh còn lại bằng a 74. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Trang 24/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
25. 100 A. S 25 a2. B. S 100 a2. C. S a2. D. .S 96 a2 3 Lời giải Chọn B Goi I, K lần lượt trung điểm của CD , AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD có tâm H bán kính r . d là đường thẳng đi qua H và vuông góc mp BCD . Dễ thấy các đường thẳng d, AI, BI, IK cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CD . Gọi O IK  d. Do O nằm trên đường thẳng d OB OC OD Hiển nhiên IK là đường thẳng trung trực của AB. O nằm trên đường thẳng IK OB OA Vậy OA OB OC OD hay tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là điểm O. 2 Ta có BI BC 2 CI 58a 1 2 BC.BD.CD 37 58 S BCD BI.CD 4 58 a r a 2 4S BCD 58 Hiển nhiên IK là đường thẳng trung trực của AB IK 7a. IH IO IH.BI OHI : BKI IO 3a KO IK OI 7a 3a 4a IK BI IK Mặt cầu có bán kính là: R OB BK 2 KO2 (3a)2 (4a)2 5a. Vậy S 100 a2. 2019 Câu 43. Tập xác định của hàm số y 4 3x x2 là A. ¡ \ 4;1. B. ¡ . C.  4;1. D. 4;1 . Lời giải Chọn A 2019 Vì hàm số y 4 3x x2 có số mũ nguyên âm nên điều kiện xác định là 4 3x x2 0 x 4  x 1. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là ¡ \ 4;1. 20 22 3 1 1 Câu 44. Cho T (x) x x 2 ,(x 0). Sau khi khai triển và rút gọn T(x) có bao nhiêu số x x hạng? A. 36. B. 38. C. 44. D. 40. Lời giải Chọn D 20 22 3 1 1 Đặt f (x) x , g(x) x 2 . x x Trang 25/29 - WordToan
26. 20 20 n 20 3 1 n 3 20 n 1 n 60 4n f (x) x C20 x C20.x (0 n 20). x n 0 x n 0 22 k 1 22 1 22 g(x) x C k .x22 k C k .( 1)k .x22 3k (0 k 22). 2  22 2  22 x k 0 x k 0 4n 38 Xét x60 4n x22 3k (x 0) 60 4n 22 3k k . 3 4n 38 Vì k 0 nên 0. Mà 0 n 20 10 n 20. 3 Ta tìm được 4 bộ số (n;k) (11;2),(14;6),(17;10),(20;14) nên khi khai triển f (x) có 4 số hạng cùng số mũ với 4 số hạng của g(x) . k k Mặt khác, k 2;6;10;14 nên C22.( 1) 0 n k k Do đó với (n;k) (11;2),(14;6),(17;10),(20;14) thì C20 C22.( 1) 0. Khai triển f (x) ta được 21 số hạng, khai triển g(x) ta được 23 số hạng. Vậy sau khi khai triển và rút gọn T(x) có 21 23 4 40 số hạng. Câu 45. Xét hàm số f x x2 ax b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a 2b ? A. .2 B. . 4 C. 4 . D. .3 Lời giải Chọn C Theo giả thiết hàm số f x liên tục trên đoạn  1;3 nên tồn tại giá trị lớn nhất M của hàm số. Ta có M f 1 1 a b (1), M f 3 9 3a b (2) và M f 1 1 a b 1 a b (3). Từ (1), (2) và (3) thì 4M f 1 f 3 2 f 1 1 a b 9 3a b 2 1 a b 8 M f 1 M f 3 M 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M f 1 (I). 1 a b 9 3a b 0 1 a b 9 3a b 1 a b 0 a 0 Từ f 1 f 1 1 a b 1 a b . b 1 b 7 Nếu a 0 , thế vào M f 3 9 0 b 2 . b 11 Ta thấy không có cặp a;b thỏa mãn (I) hệ trên. a 2 Nếu b 1 , thế vào M f 3 9 3a 1 2 10 . Ta thấy cặp a;b 2; 1 thỏa a 3 mãn hệ (I) trên. Vậy min M 2 , đạt được khi a;b 2; 1 . Từ đó ta được a 2b 4 . 2 2 2 14 Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 và đường 3 x 4 y 4 z 4 thẳng d : . Gọi A x ; y ; z x 0 là điểm nằm trên đường thẳng d sao 3 2 1 0 0 0 0 Trang 26/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
27. cho từ điểm A , kẻ được 3 tiếp tuyến đến mặt cầu S có các tiếp điểm B , C , D sao cho tứ diện ABCD là tứ diện đều. Tính giá trị của biểu thức x0 y0 z0 . A. .6 B. . 16 C. 12. D. .8 Lời giải Chọn C 42 S có tâm I 1;2;3 , bán kính R . 3 4 Vì A d A 4 3t;4 2t;4 t với điều kiện 4 3t 0 t . 3 Đặt AB a , gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD , khi đó I , G , A thẳng hàng do IA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . a 3 a 6 Tứ diện ABCD là tứ diện đều nên BG và AG . 3 3 AB2 3a Trong tam giác vuông ABG với đường cao BG , ta được AI.AG AB2 AI . AG 6 9a2 42 3a2 14 28 Mặt khác, ta có AI 2 AB2 BI 2 a2 a nên AI 14 6 9 6 3 3 Từ AI 14 AI 2 14 3 3t 2 2 2t 2 1 t 2 14 2 t 0 4 t 1 1 . Kết hợp với t nên chỉ có t 0 thỏa mãn. t 2 3 Với t 0 A 4;4;4 . Từ giả thiết suy ra x0 y0 z0 4 . Vậy x0 y0 z0 12 . 1 Câu 47. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y x3 mx đồng biến trên khoảng 5x5 0; ? A. .1 2 B. . 0 C. 4 . D. .3 Lời giải Chọn C 1 Ta có hàm số xác định liên tục trên 0; và có y 3x2 m . x6 Hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ khi: 1 y 0,x 0; m 3x2 ,x 0; 1 . x6 Trang 27/29 - WordToan
28. 1 Đặt t x2 thì (1) trở thành: m 3t f t , t 0; . t3 3 t 1 Có f t 4 3, f t 0 t t 1 l Bảng biến thiên của f t : Từ bảng biến thiên suy ra m f t , t 0; m 4 Do m nguyên âm nên ta được tập các giá trị của m là S 4; 3; 2; 1 . Câu 48. Cho tứ diện OABC , có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau, kẻ OH vuông góc với mặt phẳng ABC tại H . Khẳng định nào sau đây là khẳng định SAI? A. H là trực tâm tam giác ABC . B. AH  OBC . 1 1 1 1 C. . D. . OA  BC OH 2 OA2 OB2 OC 2 Lời giải Chọn B A H O C I B OA  OB Ta có OA  BC 1 suy ra D đúng. OA  OC OH  ABC OH  BC 2 Từ (1) và (2) suy ra AH  BC , tương tự ta cũng có CH  AB , từ đó suy ra H là trực tâm tam giác ABC , do vậy A đúng. Gọi I là giao điểm của AH và BC , dễ thấy OI  BC . 1 1 1 Tam giác OBC vuông tại O nên: 3 OI 2 OB2 OC 2 1 1 1 Tam giác OIA vuông tại A nên: 4 OH 2 OA2 OI 2 Từ (3) và (4) suy ra C đúng. Từ OA  OBC nên nếu OH  OBC thì O, A, H thẳng hàng, điều này không đúng, do đó B sai. Câu 49. Cho hai hàm số f x ,g x có đạo hàm liên tục trên ¡ .Xét các mệnh đề sau 1) k. f x dx k. f x dx với k là hằng số thực bất kì. Trang 28/29 – Diễn đàn giáo viên Toán
29. 2) f x g x dx f x dx g x dx. 3) f x .g x dx f x dx. g x dx . 4) f x g x dx f x g x dx f x .g x . Tổng số mệnh đề đúng là: A. 1. B. .4 C. . 2 D. . 3 Lời giải Chọn A Xét mệnh đề 1) k. f x dx k. f x dx với k là hằng số thực bất kì là mệnh đề sai khi k 0 . Xét mệnh đề 2) f x g x dx f x dx g x dx là mệnh đề đúng. Xét mệnh đề 3) f x .g x dx f x dx. g x dx là mệnh đề sai. Xét mệnh đề 4) f x g x dx f x g x dx f x .g x là mệnh đề sai vì f x g x dx f x g x dx f x .g x dx f x .g x C , với C const . Câu 50. Cho hình trụ có bán kính đáy r .Gọi O và O là tâm của hai đường tròn đáy với OO 2r . Một mặt cầu tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O .Gọi VC và VT lần lượt là thể tích của khối cầu và V khối trụ.Khi đó C bằng VT 5 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 2 3 Lời giải Chọn D Cắt mặt cầu và mặt trụ theo thiết diện qua trục OO ,ta được hình vuông ABCD như hình vẽ. 4 r3 4 3 2 VC 3 2 Ta có:VC r ,VT r .2r 2 . 3 VT r .2r 3 HẾT Trang 29/29 - WordToan