Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Tuyên Quang (Có đáp án)
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Tuyên Quang (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Tài liệu đính kèm:
- de_thi_mon_toan_ky_thi_chon_hoc_sinh_gioi_cap_tinh_lop_12_na.doc
Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Tuyên Quang (Có đáp án)
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TUYấN QUANG CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011 Mụn: Toỏn (Thời gian 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi này cú 01 trang Cõu 1. ( 4 điểm): ỡ 4 4 ù x + y = 97 ớù a) Giải hệ phương trỡnh: ù x3y + y3x = 78 ợù b) Giải phương trỡnh: 3 x2 5x 5 x2 5x 7 Cõu 2. ( 4 điểm): a) Tỡm cỏc số nguyờn tố x, y là nghiệm của phương trỡnh: x2 - 2y2 - 1= 0 b) Cho n là 1 số tự nhiờn. Chứng minh : 1 1 1 1 2 2 3 2 4 3 (n 1) n Cõu 3. ( 4 điểm): Cho dóy số (Un) xỏc định bởi: ỡ ù U 1 = a ù ớ U n + 1 trong đú -1 <a < 0 ù U n + 1 = - 1 ù 2 ợù U n + 1 a) Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 với " n ẻ Ơ và (Un) là một dóy số giảm. 1 b) Chứng minh rằng: 0 < U n + 1 + 1 Ê (U n + 1) với " n ẻ Ơ a 2 + 1 Cõu 4. (4 điểm): Đối với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(- 1; 0); B(1; 0) và đường thẳng d cú phương trỡnh: ax + by + 1 = 0 tiếp xỳc với đường trũn (C) cú phương trỡnh: x 2 + y 2 = 1 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tổng khoảng cỏch từ A và B đến đường thẳng d. Cõu 5. (4 điểm): Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, tõm O. Đường cao của hỡnh chúp là SA = a. M là một điểm di động trờn SB, đặt BM = x 2 . ( ) là mặt phẳng qua OM và vuụng gúc với (ABCD). a) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi mặt phẳng ( .) Tớnh diện tớch thiết diện theo a và x. b) Xỏc định x để thiết diện là hỡnh thang vuụng. Trong trường hợp đú tớnh thể tớch của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện. Hết Chỳ ý: Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
- sở giáo dục và đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 tuyên quang NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: Toán Hướng dẫn chấm Cõu Nội dung Điểm 1. ỡ 4 4 ù x + y = 97 a) ớù Giải hệ phương trỡnh sau: ù x3y + y3x = 78 (I) ợù Ta cú: x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 ỡ 2 2 2 2 2 ù (x + y ) - 2x y = 97 (1) Û ớù (I) ù xy(x2 + y2) = 78 (2) ợù 2 2 Đặt x + y = u; xy = t Từ PT (2) suy ra ĐK: u 0;t 0 ỡ 2 2 ùỡ u 2 + (- 2t 2 ) = 97 0,5 ù u - 2t = 97 ù Û ớù Û ớù ù ut = 78 ù u 2 (- 2t 2 ) = - 12168 ợù ợù ị u2,(- 2t 2) là nghiệm của phương trỡnh bậc hai: X2 - 97X - 12168 = 0 Û X = 169 và X = - 72 ùỡ x2 + y2 = 13 ỡ 2 ỡ 2 2 2 ù ù u = 169 ù (x + y ) = 169 ù Û ù Û ù Û ù ộxy = 6 ớ 2 ớ 2 ớ ù t = 36 ù (xy) = 36 ù ờ ợù ợù ù ờxy = - 6 0,5 ợù ởờ x2 y2 13 Gớải PT: xy 6 được 4 nghiệm: (x; y) = (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2) 0,5 Hệ (1) cú 4 nghiệm: (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2) Túm lại hệ cú 4 nghiệm như trờn. 0,5 1. 2 2 b) Giải phương trỡnh: 3 x 5x 5 x 5x 7 (1) 5 5 x 2 2 Điều kiện: x 5x 5 0 5 5 x 2 Đặt x2 5x 5 t (t 0) Phương trỡnh đó cho trở thành: 0,5
- 2 t 1 t 3t 2 0 t 2 x2 5x 5 1 x2 5x 4 0 2 2 0,75 x 5x 5 4 x 5x 1 0 x 1 x 4 5 21 0,75 x 2 Cõu 2. 2.a) Tỡm cỏc số nguyờn tố x, y là nghiệm của phương trỡnh: x2 - 2y2 - 1= 0 (1) Ta cú: (1) 0,5 Û x 2 - 1 = 2y 2 Û (x - 1) (x + 1) = 2y.y Vỡ x, y là cỏc số nguyờn tố nờn cú cỏc khả năng sau sảy ra: x 1 2 y x 3 1. (thoả món) x 1 y y 2 x 1 y x 3 2. (loại) 0,75 x 1 2 y y 2 x 1 2y 2 3. (khụng cú nghiệm thoả món) x 1 1 x 1 1 4. vụ nghiệm x 1 2y 2 0,75 Thử lại (3; 2) thoả món PT. Vậy (3; 2) là nghiệm duy nhất của phương trỡnh. 2. Giả sử n là 1 số tự nhiờn. Chứng minh : 1 1 1 1 b) 2 2 3 2 4 3 (n 1) n 1 n 1 n 1 n 1 1 Ta cú : n. n. n.( ) (n 1) n n(n 1) n(n 1) (n 1)n n n 1 0,5 1 1 1 1 n 1 1 1 1 n.( )( ) (1 )( ) 2.( ) n n 1 n n 1 n 1 n n 1 n n 1
- (Vỡ dễ thấy : 1 + n 0 với " n Un + 1 Từ (1) suy ra: Un + 1 = - 1 < (Un + 1) - 1 = Un 2 Un + 1 0,75 Vậy Un là dóy giảm.
- 3. 1 Từ đẳng thức (1) suy ra: Un+1 + 1= (Un + 1) "n (3) b) U2 + 1 n 0,5 Vỡ Un là dóy giảm; -1 < Un < 0 với mọi n và U1 = a nờn: 2 2 - 1<Un Ê a< 0 với " n từ đú suy ra: Un ³ a Û Un ³ a 1 1 Do đú: Ê " n và từ (3) ta cú: 2 2 Un + 1 a + 1 1 Un + 1 + 1 Ê (Un + 1) " n a2 + 1 0,75 Theo chứng minh trờn ta cú: 1 0 < U n + 1 + 1 Ê (U n + 1) " n a 2 + 1 0,75 Cõu Đối với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(- 1; 0); B(1; 0) và đường thẳng 4 d cú phương trỡnh: ax + by + 1 = 0 tiếp xỳc với đường trũn (C) cú phương trỡnh: x 2 + y 2 = 1 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tổng khoảng cỏch từ A và B đến đường thẳng d. Ta cú: (C) cú tõm O(0;0) bỏn kớnh R = 1 1,0 Vỡ d tiếp xỳc với (C) Û d(O;d) = R 1 =1 a2 b2 1 a2 b2 1 a2 b2 1,0 Mặt khỏc tổng khoảng cỏch từ A, B đến đường thẳng d là: a 1 b 1 T 1 a a 1 1,0 a2 b2 a2 b2 Do a2 + b2 = 1 ị a Ê 1 ị T = 2 1,0 Vậy Min T = 2 Cõu Hỡnh vẽ: S 5. M K A 0,5 N D O H B C Ta có: SA(ABCD) 5. a) ( )(ABCD) SA // ( )
- ( )(SAB) = MN // SA ( )(SAC) = OK // SA ( )(SABCD) = NH qua O ( )(SCD) = KH Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK. 0,75 Ta có MN// OK // SA MN (ABCD); OK (ABCD) 1 1 S S S (MN KO).ON .OK.OH td htMKON KOH 2 2 SA MN = BN = x; KO = ; 2 Tớnh ON, theo định lý hàm số Cụsin ta cú: a2 a 2 OH ON BN 2 BO2 2BN.BO.cosOã BN x2 2x .cos450 2 2 a2 x2 ax 2 Suy ra : (a 2x) 2x2 2ax a2 s1 4 2 a 2x2 2ax a2 s 1 4 2 0,75 1 a2 Vậy: Std = (a x). x2 ax 2 2 5. Để thiết diện là hình thang vuông MK// NO// BC N là trung b) a điểm AB x 2 S 0,5 M K A D N O H B E C 1 a3 Gọi V là thể tích khối chóp, ta có : V= .SA.dt(ABCD) 3 3 Mặt phắng ( ) chia khối chóp thành 2 phần V1 , V2 với : 0,5 V1 =VK.OECH+VKOE.MNB ; V2 V V1
- 2 1 1 a a a3 0,5 Ta có : VK.OECH .OK.dt(OECH ) . 3 3 2 2 24 2 a 1 a a3 VKOE.MNB ON.dt(MNB) . 0,5 2 2 2 16 a3 a3 5a3 11a3 Suy ra : V V V V 1 24 16 48 2 1 48 0,5 Hết Chỳ ý: Nếu thớ sinh cú cỏch giải khỏc mà kết quả đỳng thỡ cho điểm tối đa.