Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Bảng A - Năm 2009-2010 - Sở GD&ĐT Gia Lai

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Bảng A - Năm 2009-2010 - Sở GD&ĐT Gia Lai

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn thi: Toán - Bảng A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/01/2010 Câu 1: (3 điểm) Tìm các cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn: x x+1 x+2 x+3 = y y+1 . Câu 2: (5 điểm) a) Cho các số a , b , cthỏa mãn abc = .1 Chứng minh: 1 1 1 + + = 1 . 1+ a + ab 1+ b + bc 1+ c + ca b) Giải phương trình: 1+ cos2x 2cos2x 2009. cosx + = . 1+ cosx -sinx + cos2x 3cosx + sinx + 2cos2x + cos3x + sin3x 2010 Câu 3: (5 điểm) a) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn f x x f 1 x x2 với mọi số thực x . b) Xét dãy các số thực xn , n 1,2,3, , xác định bởi: x1 0 ; xn 1 2 xn 1 , n 1,2,3, Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Suy ra giới hạn của dãy khi n . Câu 4: (3 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn abc a c b . Chứng minh: 2 2 3 10 . a2 1 b2 1 c2 1 3 Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC và đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đó. Các tiếp tuyến với (O) ở A và B lần lượt cắt tiếp tuyến với (O) ở C tại M và N. AN cắt BC tại P. BM cắt AC tại Q. Gọi S và T lần lượt là trung điểm của AP và BQ. Đặt α = B· AC ,  = C· BA , γ = A· CB . Chứng minh rằng: a) cot A· B S = 2cotα + 2cotβ + cotγ . b) A· BS = B· AT HẾT