Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Bảng A - Năm học 2012-2013- Sở GD&ĐT Gia Lai

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Bảng A - Năm học 2012-2013- Sở GD&ĐT Gia Lai

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi : TOÁN BẢNG A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) (không kể thời gian giao đề ) Ngày thi : 06/12/2012 x3 + x − 2= y3 + 3y2 + 4y Câu 1 (3,0 điểm). Giải hệ phương trình sau trên tập số thực : 4 4  (x − 3) +(y − 4) = 82. 2 Câu 2 (3,0 điểm). Xét dãy (an) xác định như sau : a1 =2; an+1 =(an) − an + 1, n = 1, 2, 3, Chứng minh rằng dãy đã cho là một dãy vô hạn các số nguyên tố cùng nhau từng cặp. Câu 3 (3,5 điểm). Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn các điều kiện sau : 1) f(x + y) ≤ f(x)+ f(y), ∀x,y ∈ R. 2) f(x) ln 2013 ≤ 2013x − 1, ∀x ∈ R. Câu 4 (3,5 điểm). Xét dãy số (an) xác định như sau : a1 = α ∈ R và (n + 2)an + 2013 an+1 = , ∀n = 1, 2, n a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (an). b) Tìm α để dãy số (an) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn của dãy (an) trong trường hợp đó. Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các đường thẳng qua A, B, C đôi một song song, cắt (O) lần lượt tại A1, B1, C1 khác với A, B, C. Chứng minh rằng các trực tâm của các tam giác A1BC, B1CA, C1AB thẳng hàng. Câu 6 (4,0 điểm). Xét dãy nhị phân gồm 2013 chữ số 0 và 2012 chữ số 1. a) Có bao nhiêu dãy như vậy ? b) Có bao nhiêu dãy mà trong mỗi dãy đều tồn tại vị trí lẻ 2s + 1 mà tại đó là chữ số 1 còn 2s vị trí đầu số chữ số 0 bằng số chữ số 1. HẾT • Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. • Giám thị không giải thích gì thêm.