›
›
›

Các dạng toán ôn Chuyên đề 6: Tiệm cận đồ thị hàm số (Có đáp án)

docx 29 trang haihamc 14/07/2023 1660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các dạng toán ôn Chuyên đề 6: Tiệm cận đồ thị hàm số (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxcac_dang_toan_on_chuyen_de_6_tiem_can_do_thi_ham_so_co_dap_a.docx

Nội dung text: Các dạng toán ôn Chuyên đề 6: Tiệm cận đồ thị hàm số (Có đáp án)

  1. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Chuyên đề 6 TIỆM CẬN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng 1. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước 1 Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y f x có TXD: D Điều kiện cần: D phải chứa hoặc Điều kiện đủ: P(x) Dạng 1. y f (x) . Q(x) Nếu degP x degQ x : thì không có tiệm cận ngang Nếu degP x degQ x : TCN y 0 Nếu degP x degQ x : y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu) u2 v u v Dạng 2: y f (x) u v (hoặc u v ): Nhân liên hợp y f (x) (hoặc ) u v u v 2 Đường tiệm cận đứng P x Cho hàm số y có TXD: D Q x Đkiện cần: giải Q x 0 x x0 là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ Đkiện đủ: Đkiện 1: x0 làm cho P(x) và Q(x) xác định. Đkiện 2: - x0 không phải nghiêm P(x) x x0 là TCĐ -x0 là nghiêm P(x) x x0 là TCĐ nếu lim f (x) x x0 Câu 1. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 5x2 - 4x - 1 y = là x2 - 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn C Tiệm cận ngang: 2 4 1 4 1 2 x 5 5 5x 4x 1 x 2 x 2 Ta có: lim y lim lim x lim x 5 nên đồ thị hàm 2 x x x 1 x 2 1 x 1 x 1 1 x2 x2 số có một tiệm cận ngang y 5 . Tiệm cận đứng: 2 x 1 Cho x 1 x 1 Trang 1
  2. 5x2 4x 1 5x 1 x 1 5x 1 6 Ta có: lim y lim lim lim 3 nên x 1 không là tiệm x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 cận đứng. 5x2 4x 1 5x2 4x 1 1 5x2 4x 1 lim y lim lim lim . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 lim x 1 x 1 vì . 5x2 4x 1 lim 4 0 x 1 x 1 Khi đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x 1 . Tổng cộng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận. Câu 2. (Đề Tham Khảo 2018) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? x2 3x 2 x2 x A. y B. y C. y x2 1 D. y x 1 x2 1 x 1 Lời giải Chọn D x x Ta có lim , lim nên đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm x 1 x 1 x 1 x 1 số. x2 5x 4 Câu 3. (Mã 110 2017) Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y . x2 1 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Lời giải Chọn A Tập xác định: D ¡ \ 1 5 4 2 1 x 5x 4 2 Ta có: lim y lim lim x x 1 y 1 là đường tiệm cận ngang. x x 2 x 1 x 1 1 x2 Mặc khác: x2 5x 4 x 1 x 4 x 4 3 lim y lim 2 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 không là đường tiệm cận đứng. x2 5x 4 x 1 x 4 x 4 lim y lim 2 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 5x 4 x 1 x 4 x 4 lim y lim 2 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 là đường tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận x2 3x 4 Câu 4. (Mã 123 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y x2 16 A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Lời giải Chọn C Trang 2
  3. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 x2 3x 4 x 1 Ta có y (với điều kiện xác định), do đó đồ thị hàm có 1 tiệm cận đứng. x2 16 x 4 x 2 Câu 5. (Mã 104 2017) Đồ thị hàm số y có mấy tiệm cận. x2 4 A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 Lời giải Chọn C Ta có x 2 4 0 x 2 x 2 1 lim 2 nên đường thẳng x 2 không phải là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số. x 2 x 4 4 x 2 1 x 2 1 lim lim , lim lim , nên đường thẳng x 2 là 2 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 tiệm cân đứng của đồ thị hàm số. x 2 lim 2 0 nên đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x 4 Vậy có đồ thị có hai đường tiệm cận. x 9 3 Câu 6. (Mã 101 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x2 x A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Lời giải Chọn A Tập xác định của hàm số: D  9; \ 0; 1 x 9 3 x 9 3 Ta có: lim y lim và lim y lim . 2 2 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x TCĐ: x 1 . x 9 3 x 1 1 lim y lim lim lim . 2 x 0 x 0 x x x 0 x2 x x 9 3 x 0 x 1 x 9 3 6 x 9 3 x 1 1 lim y lim lim lim . 2 x 0 x 0 x x x 0 x2 x x 9 3 x 0 x 1 x 9 3 6 x 0 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng. x 4 2 Câu 7. (Mã 102 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x2 x A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 Lời giải Chọn B Tập xác định của hàm số: D  4; \ 0; 1 1 Ta có: lim y . x 0 4 x 4 2 x 4 2 lim y lim 2 và lim y lim 2 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x Trang 3
  4. TCĐ: x 1 . Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng. 5x + 1- x + 1 Câu 8. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Đồ thị hàm số y = có tất cả bao nhiêu x2 + 2x đường tiệm cận? A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Lời giải Chọn D Tập xác định: D = [- 1;+ ¥ )\ {0 } . 5 1 1 1 + - + 5x + 1- x + 1 x x2 x3 x4 lim y = lim = lim = 0 Þ y = 0 là đường tiệm cận ngang x® + ¥ x® + ¥ 2 x® + ¥ 2 x + 2x 1+ x của đồ thị hàm số. 2 5x + 1- x + 1 (5x + 1) - x - 1 25x2 + 9x lim y = lim 2 = lim = lim x® 0 x® 0 x + 2x x® 0 (x2 + 2x)(5x + 1+ x + 1) x® 0 (x2 + 2x)(5x + 1+ x + 1) 25x + 9 - 9 = lim = x® 0 (x - 2)(5x + 1+ x + 1) 4 Þ x = 0 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có tất cả 1 đường tiệm cận. 2x 1 x2 x 3 Câu 9. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y . x2 5x 6 A. x 3 và x 2 . B. .x 3 C. x và 3 x . D.2 . x 3 Lời giải Chọn B Tập xác định D ¡ \ 2;3 2 2 2x 1 x2 x 3 2x 1 x x 3 lim lim 2 x 2 x 5x 6 x 2 x2 5x 6 2x 1 x2 x 3 2x 1 2 x2 x 3 lim x 2 x2 5x 6 2x 1 x2 x 3 (3x 1) 7 lim x 2 x 3 2x 1 x2 x 3 6 2x 1 x2 x 3 7 Tương tự lim 2 . Suy ra đường thẳng x 2 không là tiệm cận đứng của x 2 x 5x 6 6 đồ thị hàm số đã cho. 2x 1 x2 x 3 2x 1 x2 x 3 lim 2 ; lim 2 . Suy ra đường thẳng x 3 là tiệm cận x 3 x 5x 6 x 3 x 5x 6 đứng của đồ thị hàm số đã cho. x 25 5 Câu 10. (Mã 103 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x2 x A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 Trang 4
  5. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Lời giải Chọn D 1 Tập xác định D  25; \ 1;0 . Biến đổi f (x) . x 1 x 25 5 1 Vìlim y lim nên đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng x 1 . x 1 x 1 x 1 x 25 5 x 16 4 Câu 11. (Mã 104 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x2 x A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Lời giải Chọn C Tập xác định hàm số D  16; \ 1;0 . Ta có x 16 4 x 1 1 lim y lim lim lim . x 0 x 0 x 1 x x 0 x x 1 x 16 4 x 0 x 1 x 16 4 8 x 16 4 1 lim y lim lim . x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 16 4 vì lim x 16 4 15 4 0 , lim x 1 0 và x 1 thì x 1 x 1 0 . x 1 x 1 1 Tương tự. lim y lim x 1 x 1 x 1 x 16 4 Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x 1 . x 4 2 Câu 12. (Chuyên Sơn La 2019) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là x2 x A. .3 B. . 0 C. . 1 D. . 2 Lời giải TXĐ: D  4; \ 1;0 . x 4 2 Ta có: lim y lim 2 x 1 x 1 x x Nên đường thẳng x 1 là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. x 4 2 x 4 2 x 4 2 1 1 lim y lim lim lim x 0 x 0 x2 x x 0 x x 1 x 4 2 x 0 x 1 x 4 2 4 Nên đường thẳng x 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Vậy đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x 1 . x 1 Câu 13. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Đồ thị hàm số f x có tất cả bao nhiêu tiệm x2 1 cận đứng và tiệm cận ngang? Trang 5
  6. A. .4 B. . 3 C. . 1 D. . 2 Lờigiải Tập xác định của hàm số D ; 1  1; 2 x 1 x 1 x 1 TH1: x 1 x 1 0 . Khi đó f x . x2 1 x 1 x 1 x 1 Suy ra hàm số TCN y 1 , không có TCĐ. 2 x 1 x 1 x 1 TH2: x 1 x 1 0 . Khi đó f x . x2 1 x 1 x 1 x 1 Suy ra hàm số TCN y 1 , TCĐ x 1 . Vậy hàm số có 2 TCN và 1 TCN x 4x 6 2 Câu 14. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là? x 2 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 Lời giải Chọn C 6 2 x 4x 6 2 4 lim lim x x 2 x x 2 x 2 1 x 6 2 x 4x 6 2 4 lim lim x x 2 x x 2 x 2 1 x x 4x 6 2 x 2 4x 2 4x 2 5 lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 4x 6 2 x 2 x 4x 6 2 2 Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y 2 . x2 2x 3 Câu 15. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số y . Đồ thị hàm số đã cho có x4 3x2 2 bao nhiêu đường tiệm cận? A. .4 B. . 5 C. . 3 D. . 6 Lời giải Điều kiện: x ; 2  1;1  2; . 2 3 2 1 x 2x 3 2 Do lim y lim y lim lim x x 1 y 1 là đường tiệm cận ngang x x x 4 2 x 3 2 x 3x 2 1 x2 x4 của đồ thị hàm số. Có lim y nên đường thẳng x 1 là đường tiệm cận đứng. x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 Có lim y lim lim 0 nên x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 đường thẳng x 1 không là đường tiệm cận đứng. Trang 6
  7. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Có lim y nên đường thẳng x 2 là đường tiệm cận đứng. x 2 Có lim y nên đường thẳng x 2 là đường tiệm cận đứng. x 2 Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận (1 tiệm cận ngang, 3 tiệm cận đứng). x x2 x 1 Câu 16. (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận? x3 x A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 Lời giải Chọn C TXĐ: D ¡ \ 0 1 1 1 1 x 1 1 2 1 1 x x 1 2 lim y lim lim . x x 0 x x x 2 3 1 x 1 x 1 1 2 2 x x 1 1 1 1 x 1 1 2 1 1 x x 1 2 lim y lim lim . x x 0 x x x 2 3 1 x 1 x 1 1 2 2 x x TCN: y 0 lim y TCĐ: x 0 . x 0 Câu 17. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị x 2 1 hàm số y là x2 3x 2 A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 Lời giải Chọn D x 2 0 x 2 x 2 Đkxđ: 2 x 3x 2 0 x 2, x 1 x 2 1 Ta có: lim nên đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2 x 2 x 3x 2 x 2 1 lim 0 nên đường thẳng y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x 2 x 3x 2 5 x2 6 x 12 Câu 18. (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y có đồ thị C . Mệnh 4x3 3x 1 đề nào sau đây là đúng? A. Đồ thị C của hàm số không có tiệm cận. B. Đồ thị C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang .y 0 1 C. Đồ thị C của hàm số có một tiệm cận ngang y 0 và hai tiệm cận đứng .x 1; x 2 Trang 7
  8. D. Đồ thị C của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y 0 và một tiện cận đứng x 1 Lời giải Chọn D ïì 1ïü TXĐ: D = R\íï 1;- ýï îï 2þï Ta có: lim y = - ¥ ; lim y = + ¥ Þ Đồ thị hàm số có một TCĐ là x = 1 x® 1- x® 1+ lim y = 0 Þ Đồ thị hàm số có một TCN là y = 0 x® ± ¥ 2x x2 x Câu 19. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Đồ thị hàm số y có tất cả bao nhiêu 3x 1 đường tiệm cận? A. 2 . B. .3 C. . 0 D. . 1 Lời giải Chọn A 2x x2 x 1 Xét hàm số y có tập xác định D ;01; \  . 3x 1 3 Ta có 2x x2 x 3x2 x x 1 lim lim lim ; 1 1 2 1 2 x 3x 1 x 3x 1 2x x x x 2x x x 4 3 3 3 2x x2 x 2x x2 x 1 lim 0 và lim nên đồ thị không có tiệm cận đứng. x 0 3x 1 x 1 3x 1 2 1 1 2x x 1 2 1 2x x2 x 1 lim lim x lim x , 1 1 x 3x 1 x 3x 1 x 1 3 3 3 3 x 1 1 2x x 1 2 1 2x x2 x và lim lim x lim x 1 nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là 1 1 x 3x 1 x 3x 1 x 1 3 3 3 x 1 y và y 1 . 3 Vậy đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận. 1- 4- x2 Câu 20. Đồ thị hàm số y = có số đường tiệm cận đứng là m và số đường tiệm cận ngang là x2 - 2x- 3 n. Giá trị của m+ n là A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Lời giải Chọn A D = [- 2;2]\ {- 1} 1- 4- x2 1- 4- x2 lim y = lim 2 = + ¥ ; lim y = lim 2 = - ¥ x® (- 1)+ x® (- 1)+ x - 2x- 3 x® (- 1)- x® (- 1)- x - 2x- 3 Þ x = - 1 là tiệm cận đứng. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. Vậy m + n = 1 . Trang 8
  9. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Câu 21. Gọi n,d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1- x y = . Khẳng định nào sau đây là đúng? (x- 1) x A. n = 0, d = 2 . B. .n = d = 1 C. . D.n . = 1, d = 2 n = 0, d = 1 Lời giải Chọn A Tập xác định: D = (0;1) . Từ tập xác định suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. n = 0 . 1- x - 1 +) lim y = lim = lim = - ¥ x® 0+ x® 0+ (x- 1) x x® 0+ 1- x x 1- x - 1 +) lim y = lim = lim = - ¥ x® 1- x® 1- (x- 1) x x® 1- 1- x x Suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng, d = 2 . 5x 1 x 1 Câu 22. (Chuyên Long An-2019) Đồ thị hàm số y có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? x2 2x A. .0 B. . 1 C. 2 . D. .3 Lời giải Chọn C Tập xác định của hàm số là D  1;0  2; . Ta có 25x2 9x 25x 9 9 lim y lim lim . x 0 x 0 x2 2x 5x 1 x 1 x 0 x 2 5x 1 x 1 4 lim y . x 2 5 1 1 1 2 3 4 lim y lim x x x x 0 . x x 2 1 x Vậy đồ thị của hàm số có hai đường tiệm cận có phương trình x 2 và y 0 . x 1 Câu 23. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y . 4 3x 1 3x 5 A. 2. B. .3 C. . 1 D. . 0 Lời giải Chọn A 1 Tập xác định: D ; \ 1 3 x 1 x 1 4 3x 1 3x 5 4 3x 1 3x 5 + Ta có: lim lim 2 lim x 1 4 3x 1 3x 5 x 1 9 x 1 x 1 9 x 1 Trang 9
  10. do đó đường thẳng x 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 1 1 x 1 1 1 + lim lim x do đó đường thẳng y là đường x 4 3x 1 3x 5 x 3 1 5 3 3 4 3 x x2 x tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. x2 2x 3 Câu 24. Cho hàm số y . Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? x4 3x2 2 A. .4 B. 5 . C. .3 D. . 6 Lời giải Chọn B □ Tập xác định D ; 2  1;1  2; . □ lim y lim y lim y lim y . x 2 x 2 x 1 x 1 Các đường tiệm cận đứng của đồ thị là x 2 , x 1 . □ lim y lim y 1 đồ thị có một tiệm cận ngang y 1 . x x 5x 8 Câu 25. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm x2 3x cận? A. 2. B. 4. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn B Tập xác định D ;0  3; 8 5 5x 8 5x 8 lim y lim lim lim x 5 x x 2 x 3 x 3 x 3x x 1 1 x x Đường thẳng y 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 8 5 5x 8 5x 8 lim y lim lim lim x 5 x x 2 x 3 x 3 x 3x x 1 1 x x Đường thẳng y 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 5x 8 lim y lim x 0 x 0 x2 3x ( vì lim(5x 8) 8 0; lim x2 3x 0; x2 3x 0 x 0 ) x 0 x 0 Trang 10
  11. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Suy ra: đường thẳng x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 5x 8 lim y lim x 3 x 3 x2 3x ( vì lim(5x 8) 7 0; lim x2 3x 0; x2 3x 0 x 3 ) x 3 x 3 Suy ra: đường thẳng x 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 4x2 2x 1 x Câu 26. Đồ thị hàm số y có bao nhiêu đường tiệm cận? x 1 A. .1 B. . 0 C. 2. D. .3 Lời giải Chọn C 1 5 x 4 4x2 2x 1 x 4x2 2x 1 0 Hàm số y xác định 1 5 . x 1 x 1 0 x 4 x 1 1 5 1 5 Tập xác định của hàm số đã cho là . D ; 1  1;  ; 4 4 2 1 x 4 x 4x2 2x 1 x 2 lim y lim lim x x x x x 1 x x 1 2 1 2 1 x 4 2 x 4 2 1 lim x x lim x x 1. x x 1 x 1 1 x y 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x . 2 1 x 4 x 4x2 2x 1 x 2 lim y lim lim x x x x x 1 x x 1 2 1 2 1 x 4 2 x 4 2 1 lim x x lim x x 3 . x x 1 x 1 1 x y 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x . 4x2 2x 1 x 4x2 2x 1 x2 x 1 3x 1 lim y lim lim lim 2. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 4x2 2x 1 x x 1 x 1 4x2 2x 1 x 4x2 2x 1 x Vậy đồ thị hàm số y có 2 đường tiệm cận. x 1 Trang 11
  12. Dạng 2. Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước 1 Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y f x có TXD: D Điều kiện cần: D phải chứa hoặc Điều kiện đủ: P(x) Dạng 1. y f (x) . Q(x) Nếu degP x degQ x : thì không có tiệm cận ngang Nếu degP x degQ x : TCN y 0 Nếu degP x degQ x : y k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu) u2 v u v Dạng 2: y f (x) u v (hoặc u v ): Nhân liên hợp y f (x) (hoặc ) u v u v 2 Đường tiệm cận đứng P x Cho hàm số y có TXD: D Q x Đkiện cần: giải Q x 0 x x0 là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ Đkiện đủ: Đkiện 1: x0 làm cho P(x) và Q(x) xác định. Đkiện 2: - x0 không phải nghiêm P(x) x x0 là TCĐ -x0 là nghiêm P(x) x x0 là TCĐ nếu lim f (x) x x0 Câu 1. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số x 1 y có hai tiệm cận ngang mx2 1 A. m 0 B. m 0 C. m 0 D. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài Lời giải Chọn C Xét các trường hơp sau: Với m 0 : hàm số trở thành y x 1 nên không có tiệm cận ngang. Với m 0 : x 1 x 1 1 1 hàm số y có tập xác định là D ; suy ra không tồn tại 2 2 mx 1 1 m x m m giới hạn lim y hay hàm số không có tiệm cận ngang. x Với m 0 : 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có: lim y lim lim lim lim . x x 2 x 1 x 1 x 1 m mx 1 x m x m m x2 x2 x2 Trang 12
  13. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 và lim y lim lim lim lim . x x 2 x 1 x 1 x 1 m mx 1 x m x m m x2 x2 x2 1 1 Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang là : y ;y khi m 0 . m m Câu 2. (Chuyên KHTN - 2020) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số x 2 y có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của S là x2 6x 2m A. vô số. B. 12. C. .1 4 D. . 13 Lời giải Chọn B x 2 0 Điều kiện xác định 2 . x 6x 2m 0 Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình x2 6x 2m 0có hai nghiệm 9 m 9 2m 0 2 9 m phân biệt x1, x2 lớn hơn 2 x1 x2 2 3 2 2 . 2 4 12 2m 0 m 8 2 6 2 2m 0 Do đó tập S 7; 6; 5; ;4 có 12 giá trị. Câu 3. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số x 1 m để đồ thị hàm số y có 3 đường tiệm cận? x2 8x m A. 14. B. .8 C. . 15 D. . 16 Lời giải Chọn A x 1 x 1 Ta có lim lim 0 nên hàm số có một tiện cận ngang y 0 . x x2 8x m x x2 8x m Hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình Δ 16 m 0 m 16 x 2 8x m 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 . m 7 0 m 7 Kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta có m 1;2;3; ;6;8; ;15 . Vậy có 14 giá trị của m thỏa mãn đề bài. x 3 Câu 4. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số y . Có bao nhiêu x3 3mx2 2m2 1 x m giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2020;2020 để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận? A. 4039. B. 4040. C. 4038. D. 4037. Lời giải Chọn D Ta có lim y 0, lim y 0 đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang. x x Trang 13
  14. Do đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có 3 tiệm cận đứng * . Có x3 3mx2 2m2 1 x m x m x2 2mx 1 x m 3 2 2 x 3mx 2m 1 x m 0 2 x 2mx 1 0 2 * x3 3mx2 2m2 1 x m 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 3 . m 3 và 2 có 2 nghiệm phân biệt khác m và khác 3. m 3 5 m 3,m 2 m 2m.m 1 0 3 2 m 1 3 2m.3 1 0 2 m 1 2 m 1 0 Do đó tập tất cả giá trị nguyên của m thỏa ycbt là 2020; 2019; ; 2;2;4;5; ;2020 . Vậy có 4037 giá trị m thỏa ycbt. Câu 5. (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số nguyên của mthuộc đoạn  100;100để đồ 1 thị hàm số y có đúng hai đường tiệm cân? x m 2x x2 A. 200. B. 2. C. 199. D. 0. Lời giải Chọn A x m Ta có điều kiện xác định là , khi đó đồ thị hàm số sẽ không có tiệm cận ngang. x 0;2 Ta có lim y , lim y x 0 x 2 Suy ra x 0, x 2 là hai đường tiệm cận đứng m 0 Vậy để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì , theo bài mthuộc đoạn  100;100 . m 2 Vậy có 200 số nguyên của m thỏa mãn đầu bài. Câu 6. (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số x2 m y có đúng hai đường tiệm cận. x2 3x 2 A. m 1 B. m {1;4} C. m 4 D. m { 1; 4} Lời giải x2 m x2 m y . x2 3x 2 x 1 x 2 lim y 1 y 1 là đường tiệm cận ngang. x x2 m Đồ thị hàm số y có đúng hai đường tiệm cận đồ thị hàm số có đúng một tiệm x2 3x 2 cận đứng pt x2 m 0 nhận nghiệm x 1 hoặc x 2 . m 1 Khi đó: . m 4 Với m 1 có một tiệm cận đứng x 2 . Trang 14
  15. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Với m 4 có một tiệm cận đứng x 1 . Vậy m { 1; 4} . Câu 7. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm 6x 3 số y có đúng một đường tiệm cận? mx2 6x 3 9x2 6mx 1 A. .0 B. . 2 C. . 1 D. Vô số. Lời giải 6x 3 Kí hiệu C là đồ thị hàm số y . mx2 6x 3 9x2 6mx 1 * Trường hợp 1: m 0 . 6x 3 Khi đó y . Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang y 0 . 6x 3 9x2 1 Do đó chọn m 0 . * Trường hợp 2: m 0 . Xét phương trình mx2 6x 3 9x2 6mx 1 0 1 Nhận thấy: C luôn có một đường tiệm cận ngang y 0 và phương trình 1 không thể có duy nhất một nghiệm đơn với mọi m . Do đó C có đúng một đường tiệm cận khi và chỉ khi C không có tiệm cận đứng 1 vô 9 3m 0 m 3 nghiệm 2 , ( không tồn tại m ). 9m 9 0 1 m 1 Kết hợp các trường hợp ta được m 0 . x 1 Câu 8. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x . Tìm tất cả các giá x2 2mx 4 trị của tham số m để đồ thị có ba đường tiệm cận m 2 m 2 m 2 m 2 A. m 2 B. 5 C. D. m 5 m 2 2 m 2 Lời giải Chọn C Để đồ thị có ba đường tiệm cận thì x 2 2mx 4 0 có hai nghiệm phân biệt 1 m 2 0 m 2 2 1 2m 1 4 0 5 m  2 n 3 x n 2017 Câu 9. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Biết rằng đồ thị của hàm số y (m,n là các số x m 3 thực) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tính tổng m n . A. 0 B. 3 C. 3 D. 6 Lờigiải Chọn A Trang 15
  16. ax b Theo công thức tìm nhanh tiệm cận của đồ thị hàm số y ta có cx d d Đồ thị hàm số nhận x m 3 0 làm TCĐ m 3 c a Đồ thị hàm số nhận y n 3 0 làm TCN n 3 . c Vậy.m n 0 Câu 10. (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số x 1 y có đúng bốn đường tiệm cận? mx2 8x 2 A. 8 B. 6 C. 7 D. Vô số Lời giải TH1: m 0 suy ra tập xác định của hàm số là D x1; x2 , (x1; x2 là nghiệm của phương trình mx 2 8x 2 0 ). Do đó m 0 không thỏa yêu cầu của bài toán. x 1 TH2: m 0 y suy ra tập xác định của hàm số là D ;4 . 8x 2 lim y ; lim y . Khi đó ta có x 4 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x x 4 Do đó m 0 không thỏa yêu cầu của bài toán TH3: m 0 suy ra tập xác định của hàm số là D ; x1  x2; (x1; x2 là nghiệm của phương trình mx 2 8x 2 0 ). Do đó đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình mx 2 8x 2 0 có hai nghiệm phân biệt khác 16 2m 0 m 8 1 m 0;m ¢ m 0;m ¢ m 1;2;3;4;5;7. Suy ra có tất cả 6 giá trị nguyên của m 8 2 0 m 6 tham số m thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Câu 11. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Với giá trị nào của hàm số m để đồ thị hàm số y x mx2 3x 7 có tiệm cạn ngang. A. m 1 B. m 1 C. m 1 D. Không có m Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Hàm số xác định trên một trong các miền ;a , ;a, a, hoặc a; m 0 TH1: m 0 y x 3x 7, lim y đồ thị không có tiệm cận ngang x TH2: m 0, y x mx2 3x 7 3 7 3 Khi lim y lim x x m đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi m 1 . x 2 x x x 2 Vậy m 1 Cách trắc nghiệm: 3 Thay m 1 y x x2 3x 7 lim x x2 3x 7 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x 2 Trang 16
  17. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 lim x x2 3x 7 không có tiệm cận ngang. x Thay m 1 y x x2 3x 7 lim x x2 3x 7 không xác định. x lim x x2 3x 7 không xác định. x Vậy m 1 ax 1 1 Câu 12. Cho hàm số y . Tìm a,b để đồ thị hàm số có x 1 là tiệm cận đứng và y là tiệm bx 2 2 cận ngang. A. .a 1;bB. 2. C. a 4;b 4 a 1;b 2. D. .a 1;b 2 Lời giải Chọn C ax 1 + b 0 đồ thị hàm số y không có tiệm cận. 2 ax 1 2 + b 0 , tập xác định của hàm số y là D R \  . bx 2 b  1 a ax 1 a lim y lim lim x . x x x 2 bx 2 b b x ax 1 a a 1 đồ thị hàm số y có tiệm cận ngang là đường thẳng y b 2a . bx 2 b b 2 ax 1 lim y lim . 2 2 x x bx 2 b b ax 1 2 2 đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng là đường thẳng x 1 b 2 a 1 . bx 2 b b Vậy a 1;b 2 . x 1 Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên m  10;10 sao cho đồ thị hàm số y có hai 2x2 6x m 3 đường tiệm cận đứng? A. .1 9 B. . 15 C. 17 . D. .18 Lời giải Chọn C x 1 Ta có đồ thị hàm số y có hai đường tiệm cận đứng khi phương trình 2x2 6x m 3 2 15 3 2 m 3 0 m 2x 2 6x m 3 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 2 2.12 6.1 m 3 0 m 5 Từ đó ta suy ra tập các giá trị nguyên của m thỏa mãn là 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,6,7,8,9,10 . Vậy có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Trang 17
  18. Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số mx 2 3mx 4 y bằng 3? x 2 A. .4 B. 2. C. Vô số. D. .3 Lời giải Chọn B mx 2 3mx 4 Đồ thị hàm số y có nhiều nhất một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang. x 2 mx 2 3mx 4 Điều kiện để đồ thị hàm số y có 3 tiệm cận là nó có đúng 1 tiệm cận đứng và 2 x 2 tiệm cận ngang. * Xét điều kiện tồn tại lim y và lim y x x m 0 16 Trường hợp 1: g x mx2 3mx 4 0 với x R m 0 0 m 9 2 9m 16m 0 2 Trường hợp 2: g x mx 3mx 4 0 với x ; x1  x2 ; với x1 ; x2 là nghiệm của m 0 16 m g x 2 9m 16m 0 9 Vậy m 0 thì tồn tại lim y và lim y x x Khi đó: 3m 4 m mx 2 3mx 4 2 lim y lim lim x x m x x x 2 x 2 1 x 3m 4 m mx2 3mx 4 2 lim y lim lim x x m x x x 2 x 2 1 x Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là m 0 2 * Xét trường hợp x 2 là nghiệm của tử số x 2 là nghiệm của g x mx 3mx 4 g 2 0 m 2 2x 2 6x 4 2 x 1 x 2 2 x 1 Khi đó y lim y lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x 2 . m 2 thỏa mãn * Xét trường hợp x 2 không là nghiệm của tử số, để x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm g 2 0 số thì g 2 0 4 2m 0 m 2 g 2 0 đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng x 2 với m 0;2 Trang 18
  19. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 mx 2 3mx 4 Vậy điều kiện để đồ thị hàm số y có 3 tiệm cận là m 0;2 x 2 Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là m 1; m 2 . Câu 15. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Tổng các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số x 1 y có đúng một tiệm cận đứng. x2 2 m 1 x m2 2 1 3 A. . B. .2 C. . 3 D. . 2 2 Lời giải Chọn A Đặt f x x2 2 m 1 x m2 2 Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi f x 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm x 1 hoặc f x 0 có nghiệm kép 2 2 3 m 1 m 2 0 m 0 2 m 1 2 1 2 m 1 m 2 0 f 1 0 m 1;m 3 m 3. 0 3 3 3 m m m 2 2 2 1 Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là: . 2 x- 3 Câu 16. Cho hàm số y = . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [- 6;6] của x3 - 3mx2 + (2m2 + 1)x- m tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận? A. .1 2 B. 9. C. .8 D. . 11 Lời giải Chọn B lim y = lim y = 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng.y = 0 x® + ¥ x® - ¥ Do đó, đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận khi phương trình x3 - 3mx2 + (2m2 + 1)x- m = 0 có 3 nghiệm phân biệt x ¹ 3 . Xét phương trình x3 - 3mx2 + (2m2 + 1)x- m = 0 (*) ta có éx = m x3 - 3mx2 + 2m2 + 1 x- m = 0 Û (x- m) x2 - 2mx + 1 = 0 Û ê . ( ) ( ) ê 2 ëx - 2mx + 1= 0 Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x ¹ 3 khi và chỉ khi m ¹ 3 và phương trình ì ï ï m ¹ 3 ïì m ¹ 3 ï ï ï é > 2 ï 2 ï m 1 x - 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x ¹ 3 Û íï m - 1> 0 Û í ê . ï ï êm < - 1 ï 2 ï ë ï 3 - 2.3.m + 1¹ 0 ï îï ï 5 ï m ¹ îï 3 Do m nguyên và mÎ [- 6;6] nên m Î {- 6;- 5;- 4;- 3;- 2;2;4;5;6} . Trang 19
  20. Vậy có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài. Câu 17. (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 2x2 3x m y không có tiệm cận đứng. x m A. .m 1 B. . m 1 C. m 1và m 0 . D. .m 0 Lời giải Chọn C TXĐ ¡ \ m . 2x 2 3x m 2m 2 2m Có lim lim 2x 2m 3 . x m x m x m x m 2x2 3x m Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì phải tồn tại lim , x m x m 2 m 0 2m 2m 0 m 1 Vậy đáp ánC. Câu 18. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn x + 2 [- 2017;2017] để đồ thị hàm số y = có hai tiệm cận đứng. x2 - 4x + m A. .2 019 B. . 2021 C. . 201D.8 2020. Lời giải Chọn D x + 2 Để đồ thị hàm số y = có hai tiệm cận đứng thì phương trình x 2 - 4x + m = 0 có x2 - 4x + m hai nghiệm phân biệt khác - 2 ïì - 2017 £ m 0 ï Û íï Þ íï m ¹ - 12 Þ m Î {- 2017;- 2016; ;3} \ {- 12} . îï 12+ m ¹ 0 ï îï m Î ¢ Do đó số giá trị nguyên của tham số m thỏa đề bài là:3- (- 2017) + 1- 1 = 2020 giá trị. Câu 19. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn lim f (x) = 2019m , x® - ¥ lim f (x) = 2020m4 (với m là tham số thực). Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của m để đồ thị x® + ¥ của hàm số y = f (x) có duy nhất một tiệm cận ngang? A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số y f x có duy nhất một tiệm cận ngang Trang 20
  21. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 m 0 4 2019m 2020m 2019 . m 3 2020 Vậy có 2 giá trị của m thỏa bài toán 1 Câu 20. (THPT Hai Bà Trưng - Huế - Lần 1- 2019) Cho hàm số y . 2 x 2m 1 x 2m x m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận. 0 m 1 m 1 0 m 1 A. 1 . B. . 1 C. . m 1 D. . 1 m m m 2 2 2 Lời giải Chọn A Điều kiện x m. Ta có lim y 0 y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x x m x2 2m 1 x 2m x m 0 Xét phương trình 2 x 2m 1 x 2m 0(*) Để hàm số có 4 đường tiệm cận thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt m x1 x2 . 1 1 2m 1 2 0 m m 2 2 1 2 2 m x1 m x2 m 0 x1x2 m x1 x2 m 0 m m 0 2 . x x 2m 2m 1 2m 1 0 0 m 1 1 2 Câu 21. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm 6x 3 số y có đúng 1 đường tiệm cận? mx2 6x 3 9x2 6mx 1 A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số. Lời giải Chọn C Đặt f x mx2 6x 3 và g x 9x2 6mx 1 . Ta xét các trường hợp: 6x 3 + Trường hợp 1: m 0 khi đó ta có y đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận 6x 3 9x2 1 ngang là đường thẳng y 0 do đó m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. + Trường hợp 2: m 0 và cả hai tam thức f x và g x đều vô nghiệm ' f 0 9 3m 0 m 3 m  . 2 'g 0 9m 9 0 1 m 1 1 1 13 + Trường hợp 3: Tam thức g x nhận x làm nghiệm g 0 m khi đó f x 2 2 12 luôn có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số đã cho có nhiều hơn 1 đường tiệm cận. Trang 21
  22. 6x 3 Vậy có 1 giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y có đúng 1 mx2 6x 3 9x2 6mx 1 đường tiệm cận Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số: y = x + mx2 + 1 có tiệm cận ngang. A. 0 1. Lời giải Chọn B Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số: y = x + mx2 + 1 có tiệm cận ngang là tồn tại số thực k sao é ê 2 êlim (x + mx + 1) = k cho: êx® + ¥ êlim (x + mx2 + 1) = k êx® - ¥ ëê x® ¥ Hiển nhiên nếu m £ 0 thì giới lim (x + mx2 + 1) không hữu hạn x® ± ¥ Nếu m> 0 ta có + lim (x + mx2 + 1) = + ¥ . x® + ¥ 1 2 x(1- m)- x (1- m)- 1 + lim y = lim (x + mx2 + 1) = lim = lim x x® - ¥ x® - ¥ x® - ¥ 2 x® - ¥ 1 x- mx + 1 1+ m + x2 Để giới hạn trên hữu hạn khi và chỉ khi m=1. x 2 Câu 23. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y . Có tất cả bao nhiêu mx2 2x 4 giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận ( tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)? A. .0 B. . 2 C. . 3 D. 1. Lời giải Chọn D x 2 Với m 0 ; ta có hàm số y 2 Không thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2x 4 x 2 Với m 0 , ta có: lim 0 y 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. x mx2 2x 4 Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng mx 2 2x 4 0 có nghiệm duy nhất hoặc mx 2 2x 4 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x 2 . 1 mx 2 2x 4 0 có nghiệm duy nhất 0 1 4m 0 m . 4 Trang 22
  23. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 1 0 m mx 2 2x 4 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x 2 . 4 4m 0 m 0 m 0 không thỏa mãn điều kiện. Vậy chỉ có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 24. (HSG Sở Nam Định-2019) Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số 2019x y có bốn đường tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang). Tính số 17x2 1 m x phần tử của tập S. A. Vô số B. 3 C. 5 D. 4 Lời giải Chọn C 2019 2019 lim y , lim y . x m 17 x 17 m 2019 2019 Với m 17 thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y , y . m 17 17 m Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi phương trình 17x2 1 m x 0 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0. m 0 m 0 Ta có: 1 17x2 1 m x 2 2 2 2 2 17x 1 m x 17 m x 1 2 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân m 0 0 m 17 biệt khác 0 2 . 17 m 0 Suy ra S 0,1,2,3,4 . Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số x f (x) nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tổng các phần x3 mx 1 3 x4 x 1 m2 x tử của S bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Lời giải Chọn B 1 Ta có: lim f (x) lim . x 0 x 0 x3 mx 1 3 x4 x 1 m2 x x x3 mx 1 3 x4 x 1 m2 x Mà lim x 0 x Trang 23
  24. x3 mx 1 1 3 x4 x 1 1 m2 x lim x 0 x x x x3 mx x4 x lim m2 . x 0 3 3 4 2 3 4 x( x mx 1 1) x( (x x 1) x x 1 1) Đồ thị hàm số f (x) nhận trục tung làm tiệm cận đứng (x2 m) (x3 1) m 1 lim( m2 ) 0 m2 0 . x 0 ( x3 mx 1 1) 3 (x4 x 1)2 3 x4 x 1 1 2 3 2 1 6m 3m 2 0 Vậy m1 m2 . 2 Câu 26. (Trường THPT Thăng Long Lần 2019) Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng x(x- m) - 1 (- 10;10) để đồ thị hàm số y = có đúng ba đường tiệm cận? x + 2 A. 12 . B. .1 1 C. . 0 D. . 10 Lời giải Chọn A Xét g(x)= x(x- m)- 1 . x(x- m) - 1 x(x- m) - 1 Ta có lim = 1 và lim = - 1 . Nên đồ thị hàm số luôn có hai đường x® + ¥ x + 2 x® - ¥ x + 2 tiệm cận ngang y = 1 vày = - 1 . x - 1 Trường hợp 1: m = 0 khi đó hàm số là y = . Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = - 2 . x + 2 Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Trường hợp 2: m> 0 . Hàm số g(x) có tập xác định là D = (- ¥ ;0]È[m;+ ¥ ) . x = - 2Î D . g(- 2) = 2(m + 2)- 1¹ 0 nên x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Vậy m= 1 , m = 2 ,.m = 9 thỏa mãn. Nên có 9 giá trị m . Trường hợp 3: m< 0 . Hàm số g(x) có tập xác định là D = (- ¥ ;m]È[0;+ ¥ ) . Để x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì trước hết x = - 2Î D hay m ³ - 2 . Nên chỉ có m= - 2, m= - 1 thỏa mãn Với m= - 1 ta có g(x) = x(x + 1)- 1 , g(- 2) = 2 - 1¹ 0 nên x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Với m= - 2 ta có g(x) = x(x + 2)- 1 , g(- 2) = x(x+ 2)- 1= - 1¹ 0 nên x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu. x 3 Câu 27. Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn  2019;2019 của tham số m để đồ thị hàm số y x2 x m có đúng hai đường tiệm cận. A. .2 007 B. . 2010 C. . 200D.9 2008. Lời giải ChọnD. Trang 24
  25. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 x 3 0 Điều kiện xác định: 2 . x x m Dựa vào điều kiện xác định ta suy ra hàm số đã cho không có giới hạn khi x . x 3 lim 0,m . x x2 x m y 0 là pt đường tiệm cận ngang. Xét hàm số f x x2 x . 1 f ' x 2x 1; f ' x 0 x 2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Khi m 12 thì đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Khi m 12 thì đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng. Do đó để hàm số có đúng 2 đường tiệm cận thì m 12;2019 . Vậy có 2008 giá trị nguyên của m . x 1 Câu 28. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y . Có tất cả bao nhiêu giá trị m để đồ thị mx2 2x 3 hàm số có đúng hai đường tiệm cận. A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 Lời giải Chọn B Nhận xét: + f (x) mx2 2x 3 có bậc 1 nên đồ thị hàm số luôn có 1 tiệm cận ngang. + Do đó: Yêu cầu bài toán 9 đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. 3 + m 0 , đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là đường thẳng x m 0 thỏa bài toán. 2 + m 0 , đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình mx 2 2x 3 0 có 1 0 f m nghiệm kép hoặc nhận x 1 làm nghiệm 3 f (1) 0 m 1 1  + KL: m 0; ; 1 . 3  1 Câu 29. Cho hàm số y với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm x3 3x2 m 1 số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận. A. .1 m 5 B. . C. 1 hoặcm 2 . D. hoặcm 1 . m 5 m 2 m 1 Lời giải Trang 25
  26. 1 1 Ta có lim y lim 0 , lim y lim không tồn tại. Suy ra x x x3 3x2 m 1 x x x3 3x2 m 1 y 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó, để đồ thị hàm số đã cho có 4 đường thẳng tiệm cận thì phương trình x3 3x 2 m 1 0 có 3 nghiệm phân biệt. Xét hàm số g x x3 3x2 m 1 . Tập xác định D R . 2 x 0 g x 3x 6x ; g x 0 . x 2 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình x3 3x 2 m 1 0 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m 5 0 m 1 1 m 5. 3x 1 ax b Câu 30. Hàm số y không có tiệm cận đứng. Khi đó hiệu a b bằng: x 1 2 1 3 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Lời giải Chọn A Do hàm số không có tiệm cận đứng nên f x 3x 1 ax b x 1 2 g x . 3 a b 2 0 a f 1 0 4 1 Suy ra 3 a b đáp ánA. f ' 1 0 a 0 5 2 4 b 4 n n 1 Chú ý: Với f x x x0 g x thì ta luôn có f x0 f ' x0 f '' x0 f x0 0 . x2 2016x 2017 24 7 Câu 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham để m đồ thị hàm số y có x m tiệm cận đứng? A. vô số. B. .2 C. 2017 D. .2019 Lời giải Chọn C Biểu thức: x2 2016x 2017 có nghĩa khi x 2 2016x 2017 0 1 x 2017 . Đặt f x x2 2016x 2017 . Xét x m 0 x m . Vậy đồ thị nếu có tiệm cận đứng chỉ có thể là x m , khi đó điều kiện là: 1 x 2017 m  1;2017 1 f m 0 2 m 2016m 2017 24 7 * 2 m 1 Ta có * m 2016m 2015 0 2 m 2015 Trang 26
  27. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 Từ 1 , 2 m  1;2017 \ 1;2015 m ¢ có 2019 2 2017số nguyên m thỏa mãn bài toán đáp ánC. Câu 32. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số x f (x) nhận trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó tổng các phần x3 mx 1 3 x4 x 1 m2 x tử của S bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 3 Lời giải Chọn B 1 Ta có: lim f (x) lim . x 0 x 0 x3 mx 1 3 x4 x 1 m2 x x x3 mx 1 3 x4 x 1 m2 x Mà lim x 0 x x3 mx 1 1 3 x4 x 1 1 m2 x lim x 0 x x x x3 mx x4 x lim m2 . x 0 3 3 4 2 3 4 x( x mx 1 1) x( (x x 1) x x 1 1) Đồ thị hàm số f (x) nhận trục tung làm tiệm cận đứng (x2 m) (x3 1) m 1 lim( m2 ) 0 m2 0 . x 0 ( x3 mx 1 1) 3 (x4 x 1)2 3 x4 x 1 1 2 3 2 1 6m 3m 2 0 Vậy m1 m2 . 2 Câu 33. (THPT Thăng Long 2019) Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng (- 10;10 )để đồ thị x(x- m) - 1 hàm số y = có đúng ba đường tiệm cận? x + 2 A. 12 . B. .1 1 C. . 0 D. . 10 Lời giải Chọn A Xét g(x)= x(x- m)- 1 . x(x- m) - 1 x(x- m) - 1 Ta có lim = 1 và lim = - 1 . Nên đồ thị hàm số luôn có hai đường x® + ¥ x + 2 x® - ¥ x + 2 tiệm cận ngang y = 1 vày = - 1 . x - 1 Trường hợp 1: m = 0 khi đó hàm số là y = . Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = - 2 . x + 2 Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Trường hợp 2: m> 0 . Hàm số g(x) có tập xác định là D = (- ¥ ;0]È[m;+ ¥ ) . x = - 2Î D . g(- 2) = 2(m + 2)- 1¹ 0 nên x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Trang 27
  28. Vậy m= 1 , m = 2 ,.m = 9 thỏa mãn. Nên có 9 giá trị m . Trường hợp 3: m< 0 . Hàm số g(x) có tập xác định là D = (- ¥ ;m]È[0;+ ¥ ) . Để x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì trước hết x = - 2Î D hay m ³ - 2 . Nên chỉ có m= - 2, m= - 1 thỏa mãn Với m= - 1 ta có g(x) = x(x + 1)- 1 , g(- 2) = 2 - 1¹ 0 nên x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Với m= - 2 ta có g(x) = x(x + 2)- 1 , g(- 2) = x(x+ 2)- 1= - 1¹ 0 nên x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy 12 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu. Câu 34. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm mx 2 1 số y có đúng một đường tiệm cận. x 1 A. 1 m 0. B. . 1 m C.0 . mD. . 1 m 0 Lời giải Chọn A 1 Nếu m 0 thì y . Hàm số này có tập xác định D ¡ \ 1 . x 1 1 Ta có lim 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 0 . x x 1 1 lim nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 . x 1 x 1 Vậy với m 0 thì đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận (loại). Nếu m 0 thì mx 2 1 0 với mọi x và tập xác định của hàm số là D ¡ \ 1 . 1 1 m m mx2 1 2 mx2 1 2 lim lim x m , lim lim x m . Suy ra đồ thị hàm x x 1 x x 1 x 1 1 x 1 1 x x số có hai tiệm cận ngang là y m và y m . mx2 1 lim nên x 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x 1 x 1 Vậy m 0 không thỏa mãn. 1 1 Nếu m 0 thì tập xác định của hàm số là D ; \ 1 . m m Trường hợp này đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có một tiệm cận đứng. Điều này xảy ra khi 1 1 1 1 1 1 m 1 . m m m Vậy với 1 m 0 thì đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận. Trang 28
  29. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023 40 CHUYÊN ĐỀ TOÁN – ÔN LUYỆN THPT QG Toàn file Word Tải đầy đủ 40 chuyên đề tại website : Trang 29