Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Bảng B - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Gia Lai

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Bảng B - Năm học 2010-2011 - Sở GD&ĐT Gia Lai

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: Toán - Bảng B ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 01/12/2010 Câu 1: (3 điểm) 3mn 1 Tìm tất cả các bộ 3 số nguyên dương m,n, p sao cho là số nguyên dương. mnp 1 Câu 2: (4 điểm) Giả sử a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 b c , b 2 c a , c 2 a b . a) Chứng minh rằng nếu phương trình x2 a b c x ab bc ca 0 có nghiệm thì các nghiệm đều là số dương. 4 a3 b3 c3 15abc b) Chứng minh bất đẳng thức: 6 . a b c ab bc ca Câu 3: (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P x với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức x4 3x3 3x2 2x .P x x4 x3 x 1 .P x 1 , với mọi x ¡ . Câu 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c . Gọi r, R, p, S lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nửa chu vi, diện tích của tam giác. Chứng minh rằng: S A B C p A B C r a) sin A.sin B.sin C , cos .cos .cos và sin .sin .sin . 2R2 2 2 2 4R 2 2 2 4R b c a c a b a b c 3r b) . b c c a a b R Câu 5: (4,5 điểm) Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi SM là đường cao của tam giác BSC và I1 , I2 lần lượt là các tâm đường tròn nội tiếp tam giác BSM , CSM . Đường thẳng I1I2 cắt SB tại P và SC tại Q . Chứng minh: a) Tam giác PSQ vuông cân và SP SM SQ . b) VSABC 2.VSAPQ , trong đó VSABC và VSAPQ lần lượt là thể tích của tứ diện SABC và tứ diện SAPQ . HẾT