Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Gia Lai

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 12 THPT - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Gia Lai

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP GIA LAI 12 DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2014-2015 ——————————— Môn thi : Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 22/10/2014 Đề thi có 01 trang gồm 06 câu ———————————————————————————————————– Câu 1 (4 điểm). Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất. √7+ x + √11 y 4= m 4 3√10 3m − − − − − √7+ y + √11 x 4= m 4 3√10 3m ( − − − p − − p Câu 2 (3 điểm). Cho dãy số (un) xác định như sau: 1 1 u0 = , u1 = 9 6  3 2 √3  un+2 = un + √un , n N.  4 +1 4 ∀ ∈ Tìm lim un.  n→+∞ Câu 3 (3 điểm). Cho các số tự nhiên a,b,c,n với 1 < a,b,c n sao cho tam thức ax2 + bx + c 1 ≤ có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 0 < x1 x2 . Chứng minh rằng n có không ít hơn hai ước | − | ≤ n nguyên tố. Câu 4 (3 điểm). Tìm tất cả các hàm số: f : R R thỏa mãn: → f f(x)2 + f(y) = xf(x)+ y, x,y R. ∀ ∈ Câu 5 (4 điểm). Cho tam giác ABC nhọn
   nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm chính giữa của cung BC không chứa điểm A và K là trung điểm của đoạn BC. Hai tiếp tuyến của (O) tại B,C cắt nhau ở M; AM cắt BC tại N. a) Chứng minh rằng AI là phân giác của góc MAK. NB AB 2 b) Chứng minh rằng = NC AC   Câu 6 (3 điểm). Bốn bạn Ân, Bích, Châu, Diễm tham gia một kỳ thi học sinh giỏi. Khi hỏi kết quả xếp hạng nhận được các câu trả lời sau: 1) Ân nhất, Bích nhì. 2) Ân nhì, Châu ba. 3) Diễm nhì, Châu tư. Biết rằng mỗi câu trả lời trên chỉ đúng một nửa; hai bạn không đồng thời xếp một vị trí và hiển nhiên một bạn không thể xếp ở hai vị trí. Hãy xác định thứ tự của mỗi bạn. ————————————–Hết————————————– Họ và tên thí sinh Số báo danh Thí sinh không sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm. 1