Đề thi môn Toán - Kỳ thi học sinh giỏi Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT tỉnh Quảng Nam

Nội dung text: Đề thi môn Toán - Kỳ thi học sinh giỏi Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT tỉnh Quảng Nam

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH QUẢNG NAM Năm học 2018 - 2019 Môn thi : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 01 trang) Ngày thi : 04/4/2019 Câu 1. (4,5 điểm) 3 x 3 4x x 4 a) Cho biểu thức A với x 1 . Rút gọn biểu thức A và x x 2x 2 x 1 x3 1 tìm x để A 1 . 1 1 1 b) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn 3 . Tìm giá trị lớn nhất 2x 1 2y 1 2z 1 2x y 2y z 2z x của biểu thức A . x(x 2y) y(y 2z) z(z 2x) Câu 2. (4,0 điểm) a) Giải phương trình x2 4x 2 2x 1 1 0 . x2 y2 x 2y 5 b) Giải hệ phương trình . 2 2 x 6y x 12xy 16 Câu 3. (4,5 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 2y2 2xy 4x 6y 1 0. 2 b) Cho parabol (P): y x và đường thẳng (d): y x m (m là tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B (A, B không trùng gốc tọa độ O). Gọi A', B lần' lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành. Tìm m để diện tích tứ giác ABB ' A' 15 bằng . 2 Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB AC) có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. a) Chứng minh HE.CB HC.EF . b) Một đường thẳng qua H cắt hai đường thẳng AB, AC lần lượt tại M , N sao cho H là trung điểm của MN. Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng M Nđi qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Câu 5. (4,5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AD 2a, BC a, ·ADB 300. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD, F là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD, I là trung điểm của EF. a) Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Tính diện tích tứ giác OBIC theo a. c) Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, lấy điểm M thuộc nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm B sao cho ·ADM 300. Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại điểm N (N khác B). Dựng đường kính NKcủa đường tròn (O) .Chứng minh ba đường thẳng AK, BD và MO đồng quy. HẾT (Giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Phòng thi: Số báo danh: