Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi trường - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Yên Phong số 2

Nội dung text: Đề thi môn Toán Lớp 10 - Kỳ thi chọn học sinh giỏi trường - Năm học 2019-2020 - Trường THPT Yên Phong số 2

1. SỞ GD&ĐT B ẮC NINH ĐỀ THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI C ẤP TR ƯỜNG TR ƯỜNG THPT YÊN PHONG S Ố 2 NĂM H ỌC 2019 - 2020 MÔN: TOÁN H ỌC - LỚP 10 Th ời gian làm bài: 150 phút (không k ể th ời gian phát đề ) ĐỀ CHÍNH TH ỨC (Đề thi g ồm 01 trang) Ngày thi: 11/01/2020 Bài 1. (2,0 điểm) Cho hàm s ố b ậc hai y= ax2 + bx + c có đồ th ị là parabol (P ), trong đó a, b , c là các hằng s ố th ực, a ≠ 0. a) Xác định các h ệ s ố a, b , c bi ết r ằng (P ) có đỉnh là I(2;− 4) và đi qua điểm M(1;− 3). b) V ới a, b , c vừa tìm được ở trên, hãy v ẽ đồ th ị (P ) . Bài 2. (2,0 điểm) 3x − 5 Gi ải b ất ph ươ ng trình x +2 + < 0. x − 1 Bài 3. (2,0 điểm) Tìm m hệ ph ươ ng trình sau đây có nghi ệm  x++1 xym −+ 2 += 1 m  . 3x− y + 2 m = 0  Bài 4. (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn n ội tiếp và AB=c, BC = a , CA = b . Ch ứng minh r ằng a.IA+ b. IB + c . IC = 0. b) Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ t ọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(7;2), B(0;− 4), C(3;0). Tìm t ọa độ điểm I là tâm đường tròn n ội ti ếp tam giác ABC . Bài 5. (1,0 điểm) Cho các s ố th ực x y z   và th ỏa mãn x+ y + z = 5. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị , ,∈  1;3  nh ỏ nh ất của bi ểu th ức F= x2 + y 2 + z 2 . HẾT Họ và tên thí sinh: .S ố báo danh: .
2. SỞ GD&ĐT B ẮC NINH HƯỚNG D ẪN CH ẤM TR ƯỜNG THPT YÊN PHONG S Ố 2 THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI C ẤP TR ƯỜNG NĂM H ỌC 2019 - 2020 MÔN: TOÁN H ỌC - LỚP 10 Th ời gian làm bài: 150 phút (không k ể th ời gian phát đề ) (Hướng d ẫn gồm 03 trang) Ngày thi: 11/01/2020 Bài Câu Đáp án Điểm 1 a) Xác định các h ệ s ố a, b , c bi ết r ằng (P ) có đỉnh là I(2;− 4) và đi qua điểm M(1;− 3). 1,0  4a+ 2 b + c =− 4   a = 1  b  Ta có −=2 ⇔=−  b 4. 1,0 2a    c = 0 a+ b + c =− 3    b) Vẽ đồ th ị (P ) . 1,0 1,0 2 3x − 5 Gi ải b ất ph ươ ng trình x +2 + 0  35x− 35 x − 35 x − Ta th ấy x++2 <⇔ 0 <−−⇔ x 2 ≥ 0 0,5 x−1 x − 1 x − 1 3x − 5  <x2 +4 x + 4  x −1
3.    x ++ 5( xxx 4 4)( − 1)  ( x −> 1) 2 x  x−1 > 2 x     x ( 2 − 1) x 1− 3 2  1 Vậy b ất ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm x < . 1− 3 2 3 Tìm m hệ ph ươ ng trình sau đây có nghi ệm 2,0   x++−+1 xym 21 += mx  ++ 121 x −= m Ta có ⇔  . 0,5 320xym−+=  yxm =+ 32   Hệ ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình x++1 2 x − 1 = m có nghi ệm. Ta xét hàm s ố fx()= x ++ 12 x − 1 với x ∈ ℝ. Nh ận th ấy  1 0,5  3x khi x ≥  f( x )=  2 .  1 2−x khi x <  2 Bảng bi ến thiên c ủa f( x ) nh ư sau 1 x −∞ +∞ 2 +∞ +∞ f( x ) 3 1,0 2 3 Từ đó suy ra ph ươ ng trình x++1 2 x − 1 = m có nghi ệm khi và ch ỉ khi m ≥ . 2 3 Vậy h ệ ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm khi và ch ỉ khi m ≥ . 2 4 a) Ch ứng minh r ằng a.IA+ b. IB + c . IC = 0. 1,5 MB AB c c ac Gọi M= AI ∩ BC thì = = . Do đó MB= − . MC và MB = . MC AC b b b+ c A 0,5 I B M C
4. IA AB b+ c b + c b+ c Tươ ng t ự = =c. = . Ta được IA= − . IM . 0,5 IM MB ac a a c c c b c Vì MB= − . MC nên IB− IM =. IM − . IC . Suy ra IM=. IB + . IC . b b b bc+ bc +   bc+ bcb +  c bc 0,5 Vậy IA=−. IM =−  IB + . IC =−− IBIC a abcbc+ +  aa hay a.IA+ b. IB + c . IC = 0. b) Tìm t ọa độ điểm I là tâm đường tròn n ội ti ếp tam giác ABC . 1,5 Từ a.IA+ b. IB + c . IC = 0 suy ra a.OA+ b. OB + c . OC =++ ( a b cOI )  ax.+ bx . + cx . x = A B C  I a b c 0,5 Vì th ế  + + .  ay.+ by . + cy .  A B C yI =  a+ b + c Ta có a= BC ===5, b CA 25, c == AB 85. 0,5  ax.+ bx . + cx . 35+ 3 85 x =A B C = I a + b + c Vậy  5+ 25 + 85  ay.+ by . + cy . 10− 8 85 y =A B C =  I 0,5  a+ b + c 5+ 25 + 85    35+ 3 85 10 − 8 85  I   hay  ; . 5+ 25 + 855 + 25 + 85   5 2 2 2 Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức F= x + y + z . 1,0 2 2 2 2   x++ y x xyz ++  25 2 2 2 25 Ta có ≥  = nên F= x + y + z ≥ . Đẳng th ức 3 3  9 3 0,5 5 25 xảy ra khi x= y = z = . Vậy minF = . 3 3 Vì 1≤x ≤ 3 nên (x− 1)( x − 3) ≤ 0 hay x2 ≤4 x − 3. Tươ ng t ự y2 ≤4 y − 3 và z2 ≤4 z − 3. Ta có Fxyz=2 + 2 + 2 ≤4( xyz ++−= ) 9 11. Đẳng th ức x ảy ra  0,5 x, y , z ∈ { 1;3 } khi  , t ức là trong ba s ố x, y , z có m ột s ố bằng 3 và có hai s ố b ằng 1. x+ y + z = 5  Vậy maxF = 11. Chú ý: 1. Hướng d ẫn ch ấm này ch ỉ trình bày s ơ l ược m ột cách gi ải. Bài làm c ủa h ọc sinh ph ải chi ti ết, l ập lu ận ch ặt ch ẽ, tính toán chính xác m ới được tính điểm t ối đa. 2. Với các cách gi ải đúng nh ưng khác đáp án, t ổ ch ấm trao đổ i và th ống nh ất điểm chi ti ết nh ưng không được v ượt quá s ố điểm dành cho bài ho ặc ph ần đó. M ọi v ấn đề phát sinh trong quá trình ch ấm ph ải được trao đổ i trong t ổ ch ấm và ch ỉ cho điểm theo s ự th ống nh ất c ủa c ả t ổ. 3. Điểm toàn bài là t ổng s ố điểm c ủa các ph ần đã ch ấm, không làm tròn điểm.