Đề thi tham khảo THPT Quốc gia năm 2018 môn Toán - Đề 01 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tham khảo THPT Quốc gia năm 2018 môn Toán - Đề 01 (Có đáp án)

1. SỞ GIA1O DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI THAM KHẢO THPTQG NĂM 2018 MÔN: TOÁN ĐỀ 01 Thời gian làm bài 90 phút Câu 1: Số phức liên hợp z của số phức z 2 5i là A. z 2 5i B. z 5 2i C. z 2 5i D. z 2 5i 2n 5 Câu 2: lbằngim n 3 5 A. . B. . 1 C. . 2 D. . 3 3 Câu 3: Cho tập hợp M 1,2,3,4,5 . Số tập con gồm 3 phần tử của M là A. .1 0 B. . 60 C. . 120 D. . 52 Câu 4: Thể tích của khối cầu có bán kính bằng R là 1 4 A. .V R3 B. . VC. . 4 R3 D. . V R3 V 4 R2 3 3 Câu 5: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng. A. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1) và (1; ) . B. Hàm số nghịch biến trên ¡ . C. Hàm số đồng biến trên ¡ . D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1) và (1; ) . Câu 6: Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên R,giới hạn bởi trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b với a < b. b b b b A. S f x dx. B. S f x dx. C. S f x dx. D. S f x dx. a a a a Câu 7: Hàm số y f x liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên dưới đây x 1 0 1 y ' 0 + 0 + 0 2 y 2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có ba điểm cực trị. B. Hàm số đạt cực đại tại x 0. C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1. D. Hàm số đạt cực đại tại x 2. Câu 8: Với các số thực a,b bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? eb A. .e a b ea B.eb . C. . ea b ea D. e .b ea b ea b ea .eb ea Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 3x2 ex . ex 1 A. . f (x)dx x3 CB. . f (x)dx x3 ex C x 1 C. . f (x)dx x2 ex C D. . f (x)dx x3 ex C Câu 10: Mặt phẳng có phương trình 2x – 5y – z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến nào sau đây? A. (-4; 10; 2) B. (2; 5; 1) C. (-2; 5; -1) D. (-2; -5; 1) Câu 11: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương 1
2. án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? Câu 12: Phương trìnhtham số của đường thẳng d đi quađiểm A(x0; y0; z0 ) và có vecto chỉ phương u (a;b;c) là x x0 bt x x0 ct x x0 at x x0 bt A. y y0 ct B. y y0 bt C. y y0 bt D. y y0 ct z z0 at z z0 at z z0 ct z z0 at Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình33x 32x 2 là A. 2; B. ; 2 C. ; 2  2; D. R \ 2 Câu 14: Cho hình trụ có bán kính đáy 3 cm, đường cao 4cm. Diện tích xung quanh là A. 24 (cm2 ) B. 22 (cm2 ) C. 26 (cm2 ) D. 20 (cm2 ) Câu 15: Mặt phẳng nào sau đây đi qua gốc tọa độ? A. x 5 0 B. 2y z 5 0 C. 3z y z 1 0 D. x 2y 5z 0 x 2 3x 2 Câu 16: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là x 2 2x 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 17: Số giao điểm của đồ thị ( C): y x3 x 2 và đường thẳng y x 1 là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Câu 18: Giá trị lớn nhất của hàm số f x 2x3 3x2 12x 2 trên đoạn  1;2 là: A. 6 B. 10 C. 15 D. 11 2 Câu 19: Tích phân I sinxdx bằng 0 A. -1 B. 1 C. 2 D. 0 2 2 2 Câu 20: Gọi z1 ;z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 7 0 . Tính z1 z2 . A. 21 B. 7 C. 14 D. 10 Câu 21: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C 'D' , biết AC ' a 3 : 3 6a3 1 A. V a3 B. V C. V 3 3a3 D. V a3 4 3 Câu 22: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng với thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng ( cả vốn lẩn lãi) từ số vốn ban đầu ? ( giả sử lãi suất không thay đổi) A. 4năm 1 quý B. năm3 quý3 C. năm4 quý2 D. năm 4 Câu 23: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả cầu màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng 5 6 5 8 A. . B. . C. . D. . 22 11 11 11 Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm A(1,0,2) và song song với mặt phẳng  : 2x 3y z 3 0 có phương trình là A. 2x 3y z 0 B. x y z 0 C. x 2y z 2 0 D. x y z 4 0 2
3. Câu 25: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc300 . Tính thể tích Vcủa khối chóp S.ABCD . a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A.V = B. V = C. V = D. V = 2 4 12 3 12 4 x 3 Câu 26: Tìm số hạng chứa x trong khai triển 3 x 55 55 1 1 A. x4 B. x4 C. x4 D. 9 9 81 81 1 Câu 27: Phương trình log2 x + log (5x) - 2 = 0 có hai nghiệm x ,x . Khi đó tích hai 5 2 5 1 2 nghiệm bằng 5 5 5 A. B. 5 C. D. 25 5 5 Câu 28: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. .90 B. .30 C. .60 D. .45 x 1 y 1 z 2 Câu 29: Hình chiếu vuông góc của đưởng thẳng d : trên mặt phẳng (Oxy) có 2 1 1 phương trình là : x 1 2t x 1 5t x 1 2t x 2 t A. y 1 t B. y 2 3t C. y 1 t D. y 1 t z 0 z 0 z 0 z 0 Câu 30: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x m có 6 nghiệm thực phân biệt A. m 4 B. 0 m 4 C. 0 m 3 D. 3 m 4 Câu 31: Cho hình H giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc Parabol đó tại điểm A 2;4 , như hình vẽ bên dưới. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình H quay quanh trục Ox bằng: 16 32 A. B. 15 5 2 22 C. D. 3 5 Câu 32: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 2f x 3f 1 x 1 x2 . 3
4. 1 Tính I f x dx. 0 A. . B. . C. . D. . 4 6 20 16 Câu 33: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. a2h a2h a2h A. V B. V C. V 3 a2h D. .V 9 3 9 2 Câu 34: Tìm m để phương trình log3 x m 2 log3 x 3m 1 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1x2 27 28 A. .m 4 2 B.2 . mC. 1 . D. m 3 . m 3 3 Câu 35: Số nghiệm thực của phương trình sin 2x 1 0 trên đoạn ;10 là 2 A. 12. B. 11. C. 20. D. 21. Câu 36: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x m trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S là A. .1 B. . 2 C. . 0 D. . 6 3 Câu 37: Nếu f(0) 1 , f (x) liên tục và f (x)dx 9 thì giá trị của f(3) là 0 A. 3. B. 9. C. 10. D. 6. Câu 38: Cho số phức z a bi (a,b ¡ ) thoả mãn z 2 i | z | (1 i) 0 và | z | 1 . Tính P a b . A. .P 1 B. . P 5C. . PD. .3 P 7 Câu 39: Cho hàm số y f (x) . Hàm số y f (x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y f (2 x ) đồng biến trên khoảng A. .(1;3) B. .(2; ) C. .( 2;1) D. .( ; 2) Câu 40: Cho hàm số y x 3 mx 5 , m là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị A. .3 B. . 1C. . D.2 . 4 Câu 41:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho x t 6 điểm A(2;3;0), B(0; 2;0), M ; 2;2 và đường thẳngd : y 0 . Điểm C thuộc d sao 5 z 2 t cho chu vi tam giácABC là nhỏ nhấ thì độ dài CM bằng 2 6 A.2 3. B.4. C.2. D. . 5 Câu 42: Cho dãy số (un ) thỏa mãn logu1 2 logu1 2logu10 2logu10 và un 1 2un với mọi 100 n 1. Giá trị nhỏ nhất của n để un 5 bằng A. .2 47 B. . 248 C. . 229 D. . 290 4
5. x3 3 Câu 43:Cho hàm số y x2 4x 2017 . Định m để phương trình y ' m2 m có đúng hai 3 2 ngiệm thuộc đoạn [0;m] 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 A. ;2 . B. ;2 . C. ;2 . D. ;2 . 3 3 2 2 Câu 44:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A 1;1;1 , B 0;1;2 , C 2;0;1 P : x y z 1 0 . Tìm điểm sao cho S 2NA2 NB2 NC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.Khi đó M=a+b+c là : A B C. D Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD. Gọi S’ là giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S’.BCDM và S.ABCD. 1 2 3 1 A. B. C. D. 2 3 4 4 Câu 46: Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 z2 8 6i và z1 z2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của P z1 z2 A. .P 5 3 5 B. . C. P. 2 26 D. . P 4 6 P 34 3 2 Câu 47: Cho lăng trụ đứng ABCA B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa mặt phẳng ( AB C) và mặt phẳng (BB C) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCA B C . A. a3 2 B.2a3 C.a3 6 D.3a3 1 3 M ; ;0 2 2 2 Câu 48: Trong không gian O xyz , cho điểm và mặt cầu S : x y z 8. Đường 2 2 thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB. . S 7. B. S 4 . C. S 2 7 . D. S 2 2. Câu 49: Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 hoc sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 630 126 105 42 1 1 1 Câu 50: Rút gọn biểu thức: T C 0 C 1 C 2 C n ,n ¥ * . n 2 n 3 n n 1 n 2n 2n 1 2n 1 1 A. T B. T 2 n C.1 D. T T n 1 n 1 n 1 5
6. ĐÁP ÁN 1C 2C 3A 4A 5D 6A 7C 8D 9B 10A 11B 12C 13A 14A 15D 16B 17A 18C 19B 20C 21A 22C 23C 24A 25D 26B 27D 28C 29A 30D 31A 32C 33B 34B 35A 36B 37C 38D 39C 40B 41C 42B 43D 44A 45A 46B 47A 48A 49A 50D 6
7. SỞ GDĐT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THAM KHẢO THPTQG NĂM 2018 (Hướng dẫn chấm có trang) MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: .phút HƯỚNG DẪN GIÁI Câu 31:Cho hình H giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc Parabol đó tại điểm A 2;4 , như hình vẽ bên dưới. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình H quay quanh trục Ox bằng: 16 32 2 22 A. B. C. D. 15 5 3 5 Parabol có phương trình là y x2. Thể tích vật thể tròn xoay quanh tạo bởi hình H quay quanh trục Ox bằng: 2 1 2 16 16 V f 2 x dx .1.42 x4dx 0 3 0 3 15 Câu 36. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y x3 3x m trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S là A. .1 B. 2 . C. .0 D. . 6 Lời giải Xét hàm số f x x3 3x m trên 0;2 ta có : f x 3x2 3 0 x 1 BBT : TH1 : 2 m 0 m 2 max y 2 m 2 m 2 m 3 m 1 ktm 0;2 m 2 0 TH2 : 2 m 0 max y 2 m 3 m 1 tm m 0 0;2 m 0 TH3 : 0 m 2 max y 2 m 3 m 1 tm 2 m 0 0;2 TH4 : 2 m 0 m 2 max y 2 m 3 m 1 ktm 0;2 1 2 Câu 37. Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \{ } thỏa mãn f (x) , f (0) 1 và f (1) 2 . Giá trị 2 2x 1 của biểu thức f ( 1) f (3) bằng A. .4 ln15 B. . 2 lnC.1 5 3 ln15. D. .ln15 Lời giải 1 2 Ta có : f x f x dx 2 dx ln 2x 1 C ln 2x 1 C 2x 1 2 7
8. f 0 C 1 f x ln 2x 1 1 f 1 ln 3 1; f 3 ln 5 1 f 1 f 3 ln 3 ln 5 2 ln15 2 Câu 38. Cho số phức z a bi (a,b ¡ ) thoả mãn z 2 i | z | (1 i) 0 và | z | 1 . Tính P a b . A. .P 1 B. . P 5C. . PD. 3 P 7 . Lời giải z 2 i z 1 i 0 a bi 2 i a2 b2 1 i 0 a 2 a2 b2 b 1 a2 b2 i 0 2 2 a 2 a b 0 a b 1 0 b a 1 2 2 b 1 a b 0 a 2 a2 a 1 2 0 a 2 2a2 2a 1 a 2 2 2 a 4a 4 2a 2a 1 a 3 a 2 a 2 b 4 a 3 tm 2 a 2a 3 0 a 1 a 1 tm b 0 . a 3 Vì z 1 z 3 4i P a b 3 4 7 b 4 Câu 39. Cho hàm số y f (x) . Hàm số y f (x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y f (2 x) đồng biến trên khoảng A. .( 1;3) B. . (2; ) C. ( 2;1) . D. .( ; 2) Lời giải Hàm số y f (2 x) đồng biến y f (2 x) 0 f (2 x) 0 . Nhìn đồ thị 2 x 1 hoặc 1 2 x 4 x 3 hoặc 2 x 1 Câu 40. Cho hàm số y x 3 mx 5 , m là tham số. Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị A. .3 B. . 1 C. . 2 D. . 4 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: y x6 mx 5 3 3x5 3x5 m x Suy ra: y m và hàm số không có đạo hàm tại x 0 . x 3 x 3 8
9. 5x5 TH1:m 0 . Ta có: y 0 vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại x 0 . x 3 x 0 y y Do đó hàm số có đúng một cực trị. 3 x 0 m y 0 3x5 m x x TH2:m 0 . Ta có: 5 3 3x mx 3 Bảng biến thiên x m 0 3 y 0 y Do đó hàm số có đúng một cực trị. 3 x 0 m y 0 3x5 m x x TH3:m 0 . Ta có: 5 3 3x mx 3 x m 0 3 y 0 y Do đó hàm số có đúng một cực trị. Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m Chú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m 0 , ta có thể chọn m là một số dương (như m 3 ) để làm. Tương tự ở trường hợp 3 , ta chọn m 3 để làm sẽ cho lời giải nhanh hơn. 6 Câu 41. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;3;0), B(0; 2;0), M ; 2;2 và 5 x t đường thẳngd : y 0 . Điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giácABC là nhỏ nhấ thì độ dài CM bằng z 2 t 2 6 A.2 3. B.4. C.2. D. . 5 Hướng dẫn giải Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC CB nhỏ nhất. 2 2 VìC d C t;0;2 t AC 2t 2 2 9, BC 2t 2 4 2 2 AC CB 2t 2 2 9 2t 2 4. Đặtu 2t 2 2;3 , v 2t 2;2 ápdụngbấtđẳngthức u v u v 2 2 2 2t 2 2 9 2t 2 4 2 2 2 25.Dấubằngxảyrakhivàchỉ 2 2 2t 2 2 3 7 7 3 6 7 3 khi t C ;0; CM 2 2 2. 2t 2 2 5 5 5 5 5 5 Chọn C. Câu 42. Cho dãy số (un ) thỏa mãn logu1 2 logu1 2logu10 2logu10 và un 1 2un với mọi n 1 . 100 Giá trị nhỏ nhất của n để un 5 bằng 9
10. A. .2 47 B. 248 . C. .2 29 D. . 290 Lời giải 2 Đặt t 2 logu1 2logu10 0 logu1 2logu10 t 2, khi đó giả thiết trở thành: 2 2 logu1 2logu10 1 logu1 1 2logu10 log 10u1 log u10 10u1 u10 1 . 9 Mà là cấp số nhân với công bội q 2 u10 2 u1 2 . n 2 9 18 2 10 n 1 10 2 .10 Từ 1 , 2 suy ra 10u1 2 u1 2 u1 10u1 u1 18 un 2 . 18 19 . 2 2 2 n 100 19 100 2 .10 100 5 .2 Do đó un 5 19 5 n log2 log2 10 100log2 5 19 247,87. 2 10 Vậy giá trị n nhỏ nhất thỏa mãn là n 248. x3 3 Câu 43. Cho hàm số y x2 4x 2017 . Định m để phương trình y ' m2 m có đúng hai 3 2 ngiệm thuộc đoạn [0;m] 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 A. ;2 . B. ;2 . C. ;2 . D. ;2 . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: y ' m2 m x2 3x 4 m2 m Đặt f x x2 3x 4 P 2 Yêu cầu bài toán : y m m 3 3 4 m m 2 2 7 7 7 2 2 2 m m m 3m 4 m m 4 4 4 2 2 m2 m 4 m m m 3m 4 33 2 m m 4 22 3 m 2 1 2 2 m 2 1 2 2 m ;2 1 2 2 2 m 2 m 2 0 m 2 Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A 1;1;1 , B 0;1;2 , C 2;0;1 P : x y z 1 0 . Tìm điểm sao cho S 2NA2 NB2 NC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.Khi đó M=a+b+c là : A B C. D Hướng dẫn giải Chọn A. 1 3 3 5 Gọi I là trung điểm BC và J là trung điểm AI . Do đó I 1; ; và J 0; ; . 2 2 4 4 10
11. 1 1 Khi đó S 2NA2 2NI 2 BC 2 4NJ 2 IJ 2 BC 2 . 2 2 Do đó S nhỏ nhất khi NJ nhỏ nhất. Suy ra N là hình chiếu của J trên P . x t 3 Phương trình đường thẳng NJ : y t . 4 5 z t 4 x y z 1 0 1 x x t 2 3 5 Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ: y t y 4 4 5 3 z t z 4 4 Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD. Gọi S’ là giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S’.BCDM và S.ABCD. 1 2 3 1 A. B. C. D. 2 3 4 4 Hướng dẫn giải: Trong ABCD , gọi I AC  BM , trong SAC , kẻ đường thẳng qua I, / / SA , cắt SC tại S’ S’ là giao điểm của SC với mp chứa BM, //SA. Do M là trung điểm của AD nên S 3 3 dt BCDM dt ABCD V V 4 S '.BCDM 4 S '.ABCD S' Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu của S, S’ trên ABCD S ' H ' CS ' CI 2 SH CS CA 3 A M 3 3 2 1 D V V  V V I S '.BCDM 4 S '.ABCD 4 3 S.ABCD 2 S.ABCD Chọn đáp án A. B C RCâu 46. Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 z2 8 6i và z1 z2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của P z1 z2 A. .P 5 3 5 B. . C. P. 2 26 D. . P 4 6 P 34 3 2 Hướng dẫn giải: Đặt OA z1 ,OB z2 ( với O là gốc tọa độ, A, B là điểm biểu diễn của z1, z2 ). 11
12. Dựng hình bình hành OACB , khi đó ta có AB z1 z2 2,OC z2 z1 10,OM 5 2 2 2 2 OA OB AB 2 2 Theo định lý đường trung tuyến ta có OM 2 OA2 OB2 52 z z 52 4 1 2 Ta có z z 2 z 2 z 2 2 26 P 2 26 1 2 1 2 max Chọn đáp án B. 47.R Cho lăng trụ đứng ABCA B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa mặt phẳng ( AB C) và mặt phẳng (BB C) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCA B C . A. a3 2 B.2a3 C.a3 6 D.3a3 Hướng dẫn giải: Từ A kẻ AI BC I là trung điểm BC AI(BC)AICC B (1) B A' C' Từ I kẻ IM  B C (2) Từ (1), (2) C (IAMB ) B' Vậy góc giữa (AB C) và (CBB ) là ·AM =I 60 0 B' 1 AI a H Ta có AI=BC a ; IM= 2 tan 600 3 M 2a M BH 2IM ; B C 600 3 I A C 1 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 . B ' B BH BC 4a 4a 2a I Suy ra BB =a 2 ; B 1 1 S AI.BC a.2a a2 ABC 2 2 2 3 VABC A B C a 2.a a 2 Chọn đáp án A. 1 3 M ; ;0 2 2 2 Câu 48. Trong không gian O xyz , cho điểm và mặt cầu S : x y z 8. Đường 2 2 thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu S tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB. A. S 7. B. S 4 . C. S 2 7 . D. S 2 2. Hướng dẫn giải: A Mặt cầu S có tâm O 0;0;0 và bán kính R 2 2 . Vì OM 1 R nên Mthuộc miền trong của mặt cầu S . Gọi A , B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu. Gọi H là chân H đường cao hạ từ O của tam giác OAB . Đặt x OH , ta có 0 x OM 1 , đồng thời 2 2 2 HA R OH 8 x . Vậy diện tích tam giác OAB là O M 1 S OH .AB OH .HA x 8 x 2 . B OAB 2 Khảo sát hàm số f (x) x 8 x2 trên 0;1 , ta được max f x f 1 7 . 0;1 Vậy giá trị lớn nhất của S OAB 7 , đạt được khi x 1 hay H  M , nói cách khác là d  OM . 12
13. Chọn đáp án A. âu 49. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 hoc sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 630 126 105 42 Lời giải Kí hiệu học sinh lớp 12A, 12B, 12C lần lượt là A, B, C. Số cách xếp 10 học sinh thành 1 hành ngang là 10! (cách)  10! Ta xếp 5 học sinh lớp 12C trước. TH1: C C C C C (quy ước vị trí của – là vị trí trống), đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có 5! Cách xếp. Xếp 5 học sinh còn lại vào 5 vị trí trống ta có 5! cách xếp. Vậy trường hợp này có 5!.5! cách. TH2: C C C C C , tương tự như trường hợp 1 ta có 5!.5! cách. TH3: C C C C C , đổi chỗ 5 học sinh đó cho nhau ta có 5! Cách xếp. Ta có 2 vị trí trống liền nhau, chọn 1 học sinh lớp 12A và 1 học sinh lớp 12B để xếp vào 2 vị trí trống đó, 1 1 2 học sinh này có thể đổi chỗ cho nhau nên có C2.C3.2! 2.3.2 12 cách. Xếp 3 học sinh còn lại vào 3 chỗ trống có 3! Cách. Vậy trường hợp này có 5!.12.3! cách. TH4: C C C C C TH5: C C C C C TH6: C C C C Ba trường hợp 4, 5, 6 có cách xếp giống trường hợp 3. Vậy có tất cả 5!.5!.2 + 4.5!.12.3! = 63360 (cách) Gọi T là biến cố “Xếp 10 học sinh thành hàng ngang sao cho không có học sinh nào cùng lớp đứng cạnh nhau” A 63360 63360 11 Vậy xác suất của biến cố T là P T 10! 630 1 1 1 Câu 50. Rút gọn biểu thức: T C 0 C 1 C 2 C n ,n ¥ * . n 2 n 3 n n 1 n 2n 2n 1 2n 1 1 A. T B. T 2 n C.1 D. T T n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn giải: Ta có 1 1 1 1 1 1 T C 0 C 1 C n . Nhận thấy các số ; ; ; ; thay đổi ta nghĩ ngay đến biểu thức n 2 n n 1 n 1 2 3 n 1 1 x n dx x n 1 c . n 1 n 0 1 2 2 3 3 n n Ở đây ta sẽ có lời giải như sau: 1 x Cn xCn x Cn x Cn x Cn . 1 1 n Khi đó ta suy ra 0 1 2 2 3 3 n n 1 x dx Cn xCn x Cn x Cn x Cn dx 0 0 2 3 n 1 n 1 n 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 x 1 x 3 x n 0 1 2 n . x 1 Cnx Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn n 1 0 2 3 n 1 0 n 1 2 3 n 1 Chọn đáp án D. 13