Đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT ĐIỆN BIÊN ĐỀ THI THỬ THPTQG LẦN 3 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn: TOÁN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 3 2 y 1 2 z 2 2 8. Khi đó tâm I và bán kính R của mặt cầu là A. I 3; 1; 2 ,R 4 B. I 3; 1; 2 ,R 2 2 C. D.I 3;1;2 ,R 2 2 I 3;1;2 ,R 4 Câu 2: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: x 1 0 1 y' 0 + 0 0 + y 5 1 1 2 2 Số nghiệm của phương trình f x 6 0 là A. 3B. 2C. 1D. 0 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;2; 1 ,B 3;4; 2 ,C 0;1; 1 . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC là A. n 1; 1;1 B. C. D. n 1;1; 1 n 1;1;0 n 1;1; 1 Câu 4: Ba số 1, 2, a theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Giá trị của a bằng bao nhiêu? A. 4B. C. 2D. 2 4 2 dx 3 5 3 Câu 5: Tính tích phân A. B.lo g C. D. ln ln 6 1 x 1 2 2 2 Câu 6: Số cách chọn ra 3 học sinh từ 10 học sinh là 3 7 3 A. A10 B. C. D. A10 P3 C10 Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên: x 2 4 y' + 0 0 + y 3 5 2 Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x 2 B. Hàm số đạt cực đại tại x 4 C. Hàm số đạt cực đại tại x 3. D. Hàm số đạt cực đại tại x 2. Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số f x sin 2x 1
2. cos 2x A. sin 2xdx C B. sin 2xdx cos 2x C 2 cos 2x C. D.s in 2xdx C sin 2xdx 2cos 2x C 2 Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i 13i 1. Tính môđun của số phức z 5 34 34 A. z 34 B. C.z D. z z 34 3 3 Câu 10: Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng b A. loga 3 loga b 3 B. log b loga b a a logb c C. a b D. loga b logb c.logc a ax b d là các Câu 11: Đường cong của hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y với a, b, c, số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng cx d A. y' 0,x 1 B. y' 0,x 2 C. D.y' 0,x 1 y' 0,x 2 Câu 12: Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên đoạn a;b. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x a, x b a b .Diện tích S của hình phẳng D được tính theo công thức b b A. S f x g x dx B. S g x f x dx a a b b C. D.S f x g x dx S f x g x dx a a x2 2x 1 1 Câu 13: Tìm số các nghiệm nguyên dương của bất phương trình 5 125 A. 6B. 3C. 5D. 4 Câu 14: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên x 1 0 1 y' 0 + 0 0 + y 5 4 4 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng A. Hàm số đồng biến trong các khoảng ; 1 và 0;1 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; C. Hàm số đồng biến trong các khoảng 1;0 và 1; D. Hàm số nghịch biến trong khoảng 0;1 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;1; 3). Điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng Oyz có tọa độ là A. A ' 2;1;3 B. C. D. A ' 2; 1; 3 A ' 2;1; 3 A ' 2;1; 3 2
3. Câu 16: Cho hình nón có bán kính đáy r 2 và độ dài đường sinh l 3. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đã cho. A. Sxq 2 B. C. D. Sxq 3 2 Sxq 6 Sxq 6 2 Câu 17: Khối đa diện sau có bao nhiêu mặt? A. 9B. 8C. 7D. 10 Câu 18: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau x 1 0 1 y' 0 + 0 0 + y 0 1 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x 2m có nhiều nhất 2 nghiệm. 1 A. m ;  0; B. m 0;  1 2 1  C. D.m ; 1 0; m 0;   2 Câu 19: Trong mặt phẳng P , cho hình bình hành ABCD. Vẽ các tia Bx, Cy, Dz song song với nhau, nằm cùng phía với mặt phẳng ABCD , đồng thời không nằm trong mặt phẳng ABCD . Một mặt phẳng đi qua A, cắt Bx, Cy, Dz tương ứng tại B’, C’, D’. Biết BB' 2, DD' 4. Tính CC . A. 2B. 8C. 6D. 3 Câu 20: Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D'. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây? A. A 'BD B. C. A 'CD' D. A 'DC' A 'B'CD Câu 21: Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy. Một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của cốc nước. Người ta thả từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó 3
4. (hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh). 5 1 A. B. 9 2 4 2 C. D. 9 3 Câu 22: Trong khai triển 1 3x 20 với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng chính giữa là 11 11 12 12 10 10 9 9 A. 3 C20 B. C. D. 3 C20 3 C20 3 C20 Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : x y z 2 0 và đường thẳng x 1 y 1 z 2 d : . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc 2 1 1 với mặt phẳng . A. B.x y z 2 0 2x 3y z 7 0 C. D.x y 2z 4 0 2x 3y z 7 0 Câu 24: Số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 2 z và z 1 z i là số thực. Giá trị của biểu thức S a 2b bằng bao nhiêu? A. S 1 B. C. S D. 1 S 0 S 3 1 dx 2 Câu 25: Biết a b với a, b là các số nguyên dương. Tính T a b 0 x 1 x 3 A. B.T 7 C. D. T 10 T 6 T 8 3 2 Câu 26: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x 3x 12x 2 trên đoạn [ 1;2] đạt tại x x0. Giá trị x0 bằng bao nhiêu? A. 2B. 1C. D. 2 1 a 3 Câu 27: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, đường cao SH Tính góc giữa cạnh bên 3 và mặt đáy của hình chóp A. 45 B. C. D. 30 75 60 Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P :3x y z 5 0 và Q : x 2y z 4 0. Khi đó, giao tuyến của P và Q có phương trình là x t x t x 3t x t A. d : y 1 2t B. C. D.d : y 1 2t d : y 1 t d : y 1 2t z 6 t z 6 5t z 6 t z 6 5t Câu 29: Lớp 11B có 20 học sinh gồm 12 nữ và 8 nam. Cần chọn ra 2 học sinh của lớp đi lao động. Tính xác suất để chọn được 2 học sinh trong đó có cả nam và nữ. 14 48 33 47 A. B. C. D. 95 95 95 95 x Câu 30: Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log4 3.2 1 x 1 A. 6 B. 5C. 12D. 2 Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4; 2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz. A. S : x 3 2 y 4 2 z 2 2 25 B. S : x 3 2 y 4 2 z 2 2 4 4
5. C. D. S : x 3 2 y 4 2 z 2 2 20 S : x 3 2 y 4 2 z 2 2 5 Câu 32: Cho hàm số y x4 4x2 3 có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm trên trục tung từ đó có thể vẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị C . A. 3B. 2C. 1D. 0 x2 x 6 khi x 2 Câu 33: Cho hàm số f x x 2 . Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x 2 2ax 1 khi x 2 1 A. a B. C. a D. 1 a 1 a 2 2 Câu 34: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx2 m đồng biến trên khoảng 1;2 3 3 A. B. C.;3 D. ; 3; ;3 2 2 Câu 35: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết z1 w 2i và z2 2w 3 là hai nghiệm phức của phương trình 2 z az b 0 . Tìm giá trị T z1 z2 2 97 2 85 A. T B. C. T D. T 2 13 T 4 13 3 3 2 Câu 36: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 log2 x log 1 x m 0 có nghiệm thuộc 2 khoảng 0;1 1 1 1 A. m 0; B. m C.; D. m ; m ;0 4 4 4 Câu 37: Lãi suất gửi tiền tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác Mạnh gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% / tháng. Sau 6 tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên 0,9% / tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm xuống 0,6% / tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác Mạnh không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (ta gọi đó là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số tiền là bao nhiêu ? (biết trong khoảng thời gian này bác Mạnh không rút tiền ra). A. 5436566,169 đồngB. 5436521,164 đồng C. 5452733,453 đồngD. 5452771,729 đồng. 1 Câu 38: Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 1;1 và thỏa mãn f ' x . Biết f 3 f 3 0 và x2 1 1 1 f f 2. Tính T f 2 f 0 f 5 2 2 1 1 A. ln 2 1 B. C. ln D.2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 2 Câu 39: Cho hình phẳng H giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một parabol và một đường thẳng tiếp xúc parabol đó tại điểm A(2;4), như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng H khi quay xung quanh trục Ox. 32 16 A. B. 5 15 22 2 C. D. 5 3 5
6. 8 4 8 Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M 2;2;1 , N ; ; ,E 2;1; 1 . Đường thẳng 3 3 3 đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OMN và vuông góc với mặt phẳng OMN . Khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng là 2 17 3 17 3 17 5 17 A. B. C. D. 3 5 2 3 Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB / /CD, AB=2CD. Gọi M N, tương ứng là trung điểm của SA và SD. Tính tỉ số V S.BCNM VS.BCDA 5 3 A. B. 12 8 1 1 C. D. 3 4 c Câu 42: Biết M 2;5 , N 0;13 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax b . Tính giá trị của hàm số x 1 tại x 2 13 16 16 47 A. B. C. D. 3 9 3 3 Câu 43: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x3 mx 1 đồng biến trên 1; A. m 0 B. C. m D.3 m 3 m 0 1 Câu 44: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m [ 5;5] để hàm số y x4 x3 x2 m có 5 điểm cực trị? 2 A. 7B. 5C. 4D. 6 Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1 2 z 1 A. max T 2 5 B. C. D. max T 3 5 max T 2 10 max T 3 2 Câu 46: Tứ diện ABCD có AB CD 4,AC BD 5,AD BC 6. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD . 42 3 42 3 42 42 A. B. C. D. 7 14 7 14 Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1;2;1 , B 3; 1;1 , C 1; 1;1 . Gọi S1 là mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2;S2 và S3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Trong các mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt cầu S1 , S2 , S3 có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Oyz ? A. 3B. 1C. 4D. 2 Câu 48: Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình cos2 x m cos x m có nghiệm thực? A. 2B. 5C. 3D. 4 Câu 49: Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 bì thư đã được ghi sẵn địa chỉ cần gửi. Tính xác suất để có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng phong bì của nó. 5 1 3 7 A. B. C. D. 8 8 8 8 6
7. Câu 50: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; thỏa mãn 2 2 2 2 2 f 0 0, f ' x dx , sin x.f x dx . Tính tích phân f x dx 0 4 0 4 0 A. 1B. C. 2D. 2 4 Đáp án 1. B 2. B 3. C 4. A 5. C 6. D 7. D 8. A 9. D 10. A 11. D 12. D 13. B 14. C 15. D 16. B 17. A 18. A 19. C 20. A 21. A 22. A 23. B 24. D 25. B 26. B 27. A 28. D 29. B 30. D 31. A 32. C 33. B 34. A 35. A 36. C 37. C 38. C 39. D 40. A 41. C 42. D 43. B 44. D 45. A 46. C 47. A 48. C 49. A 50. A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B Phương pháp giải: 2 2 2 2 Mặt cầu S : x x0 y y0 z z0 R có tâm I x0 ; y0 ;z0 , bán kính R Lời giải: Ta có S : x 3 2 y 1 2 z 2 2 8 có tâm I 3; 1; 2 , bán kính R 2 2 Câu 2: Đáp án B Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên, xác định giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y m Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f x 6 5 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Câu 3: Đáp án C Phương pháp giải: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là tọa độ vectơ tích có hướng Lời giải:     Ta có AB 2;2; 1 ; AC 1; 1;0 suy ra AB;AC 1;1;0 Câu 4: Đáp án A Phương pháp giải: Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi ac b2 Lời giải: Vì ba số 1, 2, a theo thứ tự lập thành cấp số nhân 1.a 2 2 a 4 7
8. Câu 5: Đáp án C Phương pháp giải:Nguyên hàm cơ bản của hàm phân thức hoặc bấm máy tính 2 dx 2 3 Lời giải: Ta có ln x 1 ln 3 ln 2 ln 1 1 x 1 2 Câu 6: Đáp án D Phương pháp giải: Chọn ngẫu nhiên k phần tử trong n phần tử là tổ hợp chập k của n Lời giải: 3 Chọn 3 học sinh từ 10 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử có C10 cách. Câu 7: Đáp án D Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa điểm cực trị của hàm số và bảng biến thiên Lời giải: Vì y đổi dấu từ  khi đi qua x 2 Hàm số đạt cực đại tại x 2 Câu 8: Đáp án A Phương pháp giải: Dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản của hàm số lượng giác 1 cos 2x Lời giải: Ta có sin 2xdx sin 2xd 2x C 2 2 Câu 9: Đáp án D Phương pháp giải: Tìm số phức z bằng phép chia số phức, sau đó tính môđun hoặc bấm máy tính 1 13i Lời giải: Ta có z 2 i 1 13i z 3 5i z 34 2 i Câu 10: Đáp án A Phương pháp giải: Áp dụng các công thức cơ bản của biểu thức chứa lôgarit Lời giải: b 3 1 Ta có: loga 3 loga b loga a loga b 3 và log b loga b a a Câu 11: Đáp án D Phương pháp giải: Dựa vào hình dáng, đường tiệm cận đồ thị hàm số Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 2 và đi xuống Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ;2 và 2; y' 0,x 2 Câu 12: Đáp án D Phương pháp giải: Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số Lời giải: b Diện tích S của hình phẳng D được tính theo công thức là S f x g x dx a Câu 13: Đáp án B Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản Lời giải: x2 2x x2 2x 3 1 1 1 1 2 2 Ta có 2 x 2x 3 x 2x 3 0 1 x 3 5 125 5 5 Suy ra số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là 1;2;3 Câu 14: Đáp án C Phương pháp giải: Dựa vào bảng biến thiên, xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số Lời giải: 8
9. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy Hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0 và 1; Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 0;1 Câu 15: Đáp án D Phương pháp giải: Xác định tọa độ hình chiếu trên mặt phẳng và lấy trung điểm ra tọa độ điểm đối xứng Lời giải: Hình chiếu của A(2;1; 3) trên mặt phẳng Oyz là H(0;1; 3) Mà H là trung điểm của AA suy ra tọa độ điểm A ' 2;1; 3 Câu 16: Đáp án B Phương pháp giải: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón là Sxq rl Lời giải: Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq rl 3 2 Câu 17: Đáp án A Phương pháp giải: Đếm các mặt của khối đa diện Lời giải: Khối đa diện trên hình vẽ có tất cả 9 mặt Câu 18: Đáp án A Phương pháp giải: Phương trình có nhiều nhất n nghiệm thì xảy ra các trường hợp có n nghiệm, có n – 1 nghiệm, , vô nghiệm, dựa vào bảng biến thiên để biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số Lời giải: m 0 2m 0 TH1. Phương trình f x 2m có 2 nghiệm phân biệt 1 2m 1 m 2 TH2. Phương trình f x 2m có nghiệm duy nhất m  1 TH3. Phương trình f x 2m vô nghiệm 2m 1 m 2 1 Vậy phương trình f x 2m có nhiều nhất 2 nghiệm khi và chỉ khi m ;  0; 2 Câu 19: Đáp án C Phương pháp giải: Gọi điểm, dựa vào các yếu tố song song, đưa về bài toán trong hình thang và tam giác Lời giải: Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Và M là trung điểm của B’D’. Hình thang BB'D'D có đường trung bình là OM BB' DD' OM 3 2 OM AO 1 Tam giác ACC có OM là đường trung bình CC' 6 CC' AC 2 Câu 20: Đáp án A Phương pháp giải: Dựng hình, xét các mặt phẳng vuông góc Lời giải: A 'D  AD' Ta có A 'D  ABC'D' A 'D  AC' A 'D  C'D' 9
10. Và BD  ACC'A ' BD  AC'. Suy ra AC'  A 'BD Câu 21: Đáp án A Phương pháp giải: Tính tổng thể tích khối nón và khối cầu chính là thể tích nước tràn ra ngoài Lời giải: Gọi R, h, lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của hình trụ h 3.2.R 6R Thể tích của khối trụ là V R 2h R 2.6R 6 R3 4 Thể tích của viên bi trong hình trụ là V R3 c 3 1 R 2 4 Thể tích của khối nón trong hình trụ là V R 2h h 2R R3 N 3 N 3 3 4 8 Khi đó, thể tích nước bị tràn ra ngoài là V V V 2. R3 R3 1 c N 3 3 V V1 3 8 3 3 5 Vậy tỉ số cần tính là T 6 R R : 6 R V 3 9 Câu 22: Đáp án A Phương pháp giải: 1 n Khai triển với số mũ n là số chẵn thì số hạng chính giữa là 2 20 20 20 k 20 k k k k k Lời giải: Xét khai triển 1 3x C 20.1 . 3x C 20.3 .x k 0 k 0 1 21 Số hạng đứng chính giữa của khai triển ứng với k 11 2 11 11 Vậy hệ số của số hạng cần tìm là 3 C20 Câu 23: Đáp án B Phương pháp giải: Ứng dụng của tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng đi qua M x0 ; y0 và có VTPT n a;b;c : a x x0 b y y0 c z z0 0   Lời giải: Có n 1;1; 1 ;nd 2;1;1 d  P ud  n P Vì n P ud ;n 2; 3; 1  P n  n P Mà d đi qua M( 1;1;2) suy ra M P . Vậy phương trình mặt phẳng P : 2x 3y z 7 0 Câu 24: Đáp án D Phương pháp giải: Đặt z a bi, thực hiện yêu cầu bài toán, chú ý số phức là số thực khi phần ảo bằng 0 Lời giải: Ta có z 2 z a bi 2 a bi a 2 2 b2 a 2 b2 a 1 2 Khi đó z 1 bi z 1 bi z 1 z i 2 bi 1 b 1 i b b 2 b 2 i là số thực. Khi và chỉ khi b 2 0 b 2 10
11. Vậy S a 2b 3 Câu 25: Đáp án B Phương pháp giải: Nhân liên hợp, bỏ mẫu số đưa về tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức cơ bản Lời giải: Ta có 1 1 1 1 dx x 1 x 2 3 4 dx x 1 x dx x 1 x3 2 1 mặt khác 2 2 x 1 x 3 3 0 0 x 1 x 0 0 2 4 2 a 8 a b 2 1 8 2 3 3 3 b 2 Vậy T a b 8 2 10 Câu 26: Đáp án B Phương pháp giải: Khảo sát hàm số trên đoạn để tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất Lời giải: Xét hàm số f x 2x3 3x2 12x 2 trên [ 1;2] có f ' x 6x2 6x 12 x 1  1;2 Phương trình f ' x 0 6x2 6x 12 0 x 2  1;2 Tính f 1 15;f 1 15;f 2 6 Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 5. Xảy ra khi x 1 Câu 27: Đáp án A Phương pháp giải: Dựng hình, xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy, đưa vào tam giác vuông tính góc Lời giải: Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Suy ra CH là hình chiếu của SC trên ABC SC; ABC = SC;CH SHC. Tam giác SCH vuông tại H ta có: SH a 3 a 3 tanSCH : 1 SCH 45 CH 3 3 Vậy góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng đáy bằng 45 Câu 28: Đáp án D Phương pháp giải: 11
12. Ứng dụng tích có hướng để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm của hai mặt phẳng   Lời giải: Ta có: n P 3;1;1 ,n Q 1; 2;1 Gọi d là giao tuyến của P và Q .   u  n    d P Ta có   ud n P ;n Q 1; 2;5 u  n d Q 3x y z 5 0 y z 5 0 y 1 Xét hệ , chọn x 0 M 0; 1;6 d x 2y z 4 0 2y z 4 0 z 6 x t Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d : y 1 2t z 6 5t Câu 29: Đáp án B Phương pháp giải: Áp dụng các quy tắc đếm cơ bản Lời giải: 2 Chọn 2 học sinh trong 20 học sinh có C20 190 n  190. Gọi X là biến cố 2 học sinh được chọn trong đó có cả nam và nữ Chọn 1 học sinh nam trong 8 nam có 8 cách, chọn 1 học sinh nữ trong 12 nữ có 12 cách. Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n X 8.12 96. n X 48 Vậy P N  95 Câu 30: Đáp án D Phương pháp giải: Mũ hóa, đặt ẩn phụ đưa về giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm x Lời giải: Điều kiện: 3.2 1 0 x log2 3 x x x 1 Ta có log4 3.2 1 x 1 3.2 1 4 x x log 6 4 2 2 2 6 4 2 2 12.2x 4 4x 2x 12.2x 4 0 2x 6 4 2 x log 6 4 2 2 Khi đó ta có: x x log 6 4 2 log 6 4 2 log 6 4 2 6 4 2 1 2 2 2 2 2 log 62 4 2 log 4 2 2 2 Câu 31: Đáp án A Phương pháp giải: Khoảng cách từ tâm đến trục Oz chính bằng bán kính R Phương trình mặt cầu tâm I a,b,c và bán kính S : x a 2 y b 2 z c 2 R 2 Lời giải: x : 0  Phương trình trục Oz: y 0,uOz 0;1;1 z t    Ta có OI 3;4; 2 OI;u 4; 3;0 Oz 12
13.   OI;uOz 2 2 Khoảng cách từ tâm I  Oz là d I;Oz  3 4 5 R uOz Vì S tiếp xúc với trục Oz Phương trình cần tìm là S : x 3 2 y 4 2 z 2 2 25 Câu 32: Đáp án C Phương pháp giải: Lập phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k và đi qua điểm thuộc Oy, sử dụng điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc tìm tham số m Lời giải: Gọi M 0;m Oy Phương trình tiếp tuyến của C có dạng d : y kx m x4 4x2 3 k Vì C tiếp xúc với (d) x4 4x2 3 4x3 8x x m 4 2 x 4x 3 kx m 4 2 m 3x 4x  3. Yêu cầu bài toán m f x có 3 nghiệm phân biệt. f x x 0 4 2 3 Xét hàm số f x 3x 4x 3 trên¡ , có f ' x 12x 8x;f ' x 0 6 x 3 Ta có BBT x 6 0 6 3 3 y' + 0 0 + 0 y 13 13 3 3 3 Dựa vào bảng biến thiên, để m f x có 3 nghiệm phân biệt m 3 Vậy có duy nhất 1 điểm M Oy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 33: Đáp án B Phương pháp giải: Áp dụng điều kiện để hàm số liên tục tại điểm Lời giải: x2 x 6 Ta có lim f x lim lim x 3 5; lim f x lim 1 2ax 1 4a x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Và f 2 1 2ax 1 4a x 2 Do đó, để hàm số liên tục tại điểm x 2 khi: lim f x lim f x f 2 5 1 4a a 1 x 2 x 2 Câu 34: Đáp án A Phương pháp giải: Tính đạo hàm, áp dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng Lời giải: Ta có y x3 mx2 m y' 3x2 2mx,x ¡ Yêu cầu bài toán y' 0,x ¡ 3x2 2mx 0,x 1;2 3x2 2mx 0 2m 3x,x 1;2 2m 3.2 m 3 Câu 35: Đáp án A Phương pháp giải: 13
14. Đặt số phức w, biến đổi về z và sử dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai Lời giải: z1 w 2i m n 2 i Đặt w m ni m,n ¡ suy ra z2 2w 3 2m 3 2ni 3n 2 0 2 Ta có z1 z2 3m 3 3n 2 i a là số thực n 3m 3 0 3 4 z m i 1 3 4 z 2m 3 i 2 3 4 4 2 16 4 4 Lại có z1.z2 m i 2m 3 i 2m 3m m 4 b là số thực m 4 0 m 3 3 3 3 3 3 4 z 3 i 1 3 2 97 Vậy  T z1 z2 4 3 z 3 i 2 3 Câu 36: Đáp án C Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, cô lập tham số m, đưa về bài toán tương giao Lời giải: Ta có 2 2 1 2 4 log x log x m 0 4 log x log x m 0 log x log x m 0 2 1 2 2 1 2 2 2 2 Đặt t log2 x với x 0;1 t 0 Khi đó t2 t m 0 m t2 t f t 1 Xét hàm số f t t2 t trên ;0 , có f ' t 2t 1 0 t 2 x 0 1 1 2 f ' t 0 0 + 0 f t 0 1 4 1 1 Tính f 0 0;f ; lim f t  Bảng biến thiên. 2 4 t 1 1 Do đó, để m f t có nghiệm thuộc khoảng ;0 m m 4 4 Câu 37: Đáp án C Phương pháp giải: Áp dụng công thức lãi kép T A 1 m% n cho từng giai đoạn Lời giải: 6 Số tiền bác Mạnh có được sau 6 tháng gửi ngân hàng là T1 5 1+ 0,7% triệu đồng. 14
15. 3 Số tiền bác Mạnh có được sau 3 tháng tiếp theo là T2 T1 1+0,9% triệu đồng. 3 Số tiền bác Mạnh có được sau 3 tháng tiếp theo là T3 T2 1+0,6% triệu đồng. Vậy sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số tiền là T3 5452733,453 đồng Câu 38: Đáp án C Phương pháp giải: Tìm hàm số thông qua nguyên hàm, chia nhỏ trường hợp để xét các giá trị Lời giải: 1 x 1 ln C khi x 1 2 x 1 1 dx 1 x 1 1 1 x Ta có f x f ' x ln C ln C khi 1 x 1 2 2 x 1 2 x 1 2 x 1 1 x 1 ln C3 khi x 1 2 x 1 1 1 1 Suy ra f 3 f 3 0 ln 2 C ln C 0 C C 0 2 1 2 2 3 1 3 1 1 1 1 1 Và f f 2 ln 3 C2 ln C2 0 C2 1 2 2 2 2 3 1 1 1 1 Vậy T f 2 f 0 f 5 ln 3 C C ln C C ln 2 1 2 3 2 2 3 2 1 2 Câu 39: Đáp án D Phương pháp giải: Chia làm các khối tròn xoay và lấy hiệu Lời giải: Vì P đi qua ba điểm O 0;0 , A 2;4 Phương trình parabol là P : y x2 Tiếp tuyến của P tại điểm A(2;4) có phương trình là d : y 4x 4 Hoành độ giao điểm của P và d là nghiệm phương trình: x2 4x 4 x 2 Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng H1 giới hạn bởi P , y 0, x 0, x 2 là 2 2 2 x5 32 V f 2 x dx x4dx 1 0 0 5 0 5 Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng H2 giới hạn bởi d , y 0, x 1, x 2 là 2 2 2 3 2 16 x 1 16 V g2 x dx 16 x 1 dx 2 0 0 3 3 1 32 16 16 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V V V 1 2 5 3 15 Câu 40: Đáp án A 15
16. Phương pháp giải: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng tính chất đường phân giác Lời giải:    Ta có OM;ON =k 1; 2;2 Vectơ chỉ phương của OM 2;2;1 OM 3  8 4 8 ON ; ; ON 4 3 3 3 Kẻ phân giác OF F MN ta có: OM MF 3  3  12 12 MF FN F 0; ; ON NF 4 4 7 7   Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp OMN I OF OI kOF, với k 0 Tam giác OMN vuông tại O, có bán kính đường tròn nội tiếp r=1 IO 2. 15 3 12 2  12  Mà ME= ;OM=3;cosOMN=  OF suy ra OF OI I 0;1;1 7 5 7 7 x 1 y 3 z 1 Phương trình đường thẳng là : , có u 1; 2;2 , đi qua I 0;1;1 1 2 2  EI;u 2 17 Khoảng cách từ E đến đường thẳng là d u 3 Câu 41: Đáp án C Phương pháp giải: Sử dụng định lí Simson xét tỉ lệ thể tích các khối đa diện Lời giải: h 3 Chuẩn hóa CD 1 AB 2 và h d D; AB SABCD AB CD h 2 2 1 h Diện tích tam giác DAB là SABD d D; AB .AB h SACD 2 2 VS.BMN SM SN 1 1 1 1 1 2 VS.ABCD Ta có . . VS.BMN VS.BAD . VS.ABCD 1 VS.BAD SA SD 2 2 4 4 4 3 6 VS.BCN SN 1 1 1 1 VS.ABCD Lại có VS.BCN VS.BCD . VS.ABCD 2 VS.BCD SD 2 2 2 3 6 1 VS.BCNM 1 Lấy 1 2 , ta được VS.BMN VS.BCN 2. VS.ABCD 6 VS.ABCD 3 Câu 42: Đáp án D Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện để một điểm là điểm cực trị của đồ thị hàm số Lời giải: 16
17. c c Ta có y ax b  y' ax ;x 1 x 1 x 1 2 y' 2 0 a c 0 Vì M 2;5 , N 0;13 là các điểm cực trị a c y' 0 0 a c 0 y 2 5 2a b c 5 a c 2 2 Và mà a c y x 2x 11 y 0 13 b c 13 b 11 x 1 2 47 Vậy y 2 2.2 11 3 3 Câu 43: Đáp án B Phương pháp giải: Tính đạo hàm, áp dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng Lời giải: Ta có y x3 mx 1 y' 3x2 m;x ¡ Yêu cầu bài toán y' 0;x 1; 3x2 m 0 m 3x2 ;x 1; m min 3x2 mà 3x2 3;x 1 nên suy ra m 3 là giá trị cần tìm. 1;  Câu 44: Đáp án D Phương pháp giải: Tính đạo hàm của hàm trị tuyệt đối, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để biện luận số điểm cực trị Lời giải: 3 2 4 3 1 2 4x 3x x x x x m 1 2 Ta có y x4 x3 x2 m y' ;x D 2 1 x4 x3 x2 m 2 3 2 1  4x 3x x 0 x 1;0;  4 Phương trình y' 0 1 x4 x3 x2 m 0 1 2 m f x x4 x3 x2 2 1  Để hàm số có 5 điểm cực trị m f x có 2 nghiệm phân biệt khác 1;0;  * 4 4 3 1 2 3 2 1  Xét hàm số f x x x x , có f ' x 4x 3x x;f ' x 0 x 1;0;  2 4 1 1 3 Tính f 1 ;f 0 0;f 2 4 256 m 0 m 0 Khi đó * 1 3 3 1 m ; m ; 2 256 256 2 Kết hợp với m ¢ và m [ 5;5] ta được m { 5; 4; 3; 2; 1;0}. Vậy có 6 giá trị nguyên m cần tìm. Câu 45: Đáp án A Phương pháp giải: Gọi số phức, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị lớn nhất Lời giải: 17
18. Cách 1. Gọi z x yi x, y ¡ M x; y Và A( 1;0), B 1;0 . Ta có z 1 x yi 1 x2 y2 1 M thuộc đường tròn đường kính AB MA2 MB2 AB2 4. Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có T MA 2MB 12 22 MA2 MB2 AB2 5.4 2 5 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức max T 2 5 2 2 Cách 2. Đặt z x yi x, y ¡ z 1 x 1 y2 và z 1 x 1 y2 Mặt khác z 1 x2 y2 1 x2 y2 1, khi đó T x 1 2 y2 2 x 1 2 y2 T 12 22 x 1 2 y2 x 1 2 y2 10 x2 y2 1 2 5 max T 2 5 Câu 46: Đáp án C Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính nhanh thể tích của tứ diện gần đều, đưa bài toán tính khoảng cách về bài toán tìm thể tích chia cho diện tích đáy (tính theo công thức Hê – rông) Lời giải: 15 7 Tam giác BCD có CD 4;BD 5;BC 6 S p p a p b p c BCD 4 Công thức tính nhanh: Tứ diện gần đều ABCD có AB CD a, BC AD b, AC BD c 2 Suy ra thể tích tứ diện ABCD là V a 2 b2 c2 b2 c2 a 2 a 2 c2 b2 12 15 6 Áp dụng với AB=CD=4,AC BD 5, AD=BC=6  V ABCD 4 1 3V 3 42 Mặt khác VABCD d A, BCD .SBCD d A, BCD 3 SBCD 7 Câu 47: Đáp án A Phương pháp giải: Xét vị trí tương đối của mặt phẳng, gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính toán dựa vào điều kiện tiếp xúc Lời giải: Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là P : ax+by cz d 0 Vì d B; P d C; P 1 suy ra mp P / / BC hoặc đi qua trung điểm của BC. Mà BC ( 4;0;0) và mp P vuông góc với mp Oyz mp P / /BC 2b c d Với m p P / /BC a 0 suy ra P : by cz d 0 d A; P 2 b2 c2 4b c d b c d 2b c d 2 b c d Và d B; P 1 c d 0 2 2 2 2 b c b c d b c 2 2 b c d b c 18
19. 2 2 2 3 b b c 8b c c 2 2b suy ra có ba mặt phẳng thỏa mãn 2 2 c 0 d 0 b b c Câu 48: Đáp án C Phương pháp giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản, biện luận tìm tham số m Lời giải: Ta có 2 cos2 x m cos x m cos2 x cos x cos x m cos x m 0 cos x cos x m cos x cos x m cos x cos x m 0 cos x m cos x 1 cos x cos x m 1 cos x cos x m 0 * cos x m cos x t m t 1 1 Đặt t cos x  1;1, khi đó * t m t 2 3 Giải 1 ta có m t2 t 1 có nghiệm t  1;1 m 3 4 1 Giải 2 ta có m t2 t có nghiệm t  1;1 m 2 4 Kết hợp với m ¢ , ta được m {1; 2; 3} là các giá trị cần tìm Câu 49: Đáp án A Phương pháp giải: Áp dụng nguyên lý bù trừ trong bài toán xác suất Lời giải: Ta tính xác suất để xảy ra không một lá thư nào đúng địa chỉ. Mỗi phong bì có 4 cách bỏ thư vào nên có tất cả 4! cách bỏ thư. Gọi U là tập hợp các cách bò thư và Am là tính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa chỉ. 4 Khi đó, theo công thức về nguyên lý bù trừ, ta có N 4! N1 N2 1 N4 Trong đó Nm 1 m 4 là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có m lá thư đúng địa chỉ. Nhận xét rằng, Nm là tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ 4 lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có 4 m ! cách bỏ m lá m 4! 1 1 n 1 thư này đúng địa chỉ, ta nhận được: Nm C4 . 4 m ! và N 4! 1 1 . k! 1! 2! 4! 1 1 4 1 Suy ra xác suất cần tìm cho việc không lá thư nào đúng địa chỉ là P 1 1 . 1! 2! 4! 5 Vậy xác suất để có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng phong bì của nó là P 1 P 8 Câu 50: Đáp án A Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức Holder trong tích phân để tìm hàm số f ' x Lời giải: u f x du f ' x dx Đặt , khi đó dv sin xdx v cos x 19
20. 2 2 sin x.f x dx cos x.f ' x 2 cos x.f ' x dx 0 0 0 2 cos .f ' cos0.f 0 cos x.f ' x dx 4 2 2 0 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Xét f ' x k.cos x dx 0 f ' x dx sin x.f x dx 2k cos x.f ' x dx k cos xdx 0 0 0 0 0 0 2k. k2. 0 k 1. 4 4 4 2 2 Khi đó f ' x cos x dx 0 f ' x cos x 0 Suy ra f x f ' x cos xdx sin x C mà f 0 0 C 0 2 Vậy f x sin x  sin xdx 1 0 20