›
›
›

Đề thi vào Lớp 10 môn Toán

pdf 50 trang thungat 3400
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề thi vào Lớp 10 môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_thi_vao_lop_10_mon_toan.pdf

Nội dung text: Đề thi vào Lớp 10 môn Toán

  1. ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi* N¨m häc :1988-1989 ( thi 10/8/1988 , tg =150’) Bài 1 2 x 2 x 4 x2 x 3 Cho A= 2 : 2 2 x 2 x x 4 2 x x a/ Rút gọn A. b/ Tính giá trị của A khi |x | = 1 Bài 2 Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến B với vận tốc 40km/h Sau đó 1giờ 30 phút, một chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A để đi đến tỉnh B với vận tốc 60km/h. Hai xe gặp nhau khi chúng đã đi được một nửa quãng đường AB. Tính quãng đường AB. Bài 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là trung điểm của cung AB không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I: các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: a/ Góc CID bằng góc CKD. b/ Tứ giác CDFE nội tiếp được. c/ IK // AB. d/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A. Bài 4: Tìm giá trị của x để biểu thức : M = ( 2x - 1)2 – 3 |2x-1| + 2 Đạt giá trị nhỏ nhất và tìm GTNN đó. GỢI Ý GIẢI đề thi vào THPT 1988-1989 Bài I: 1/ Đk: x 0 ; x 2 & x 3 2 x 2 x 4 x2 x 3 2 x 2 x 4 x2 x 3 A = 2 : 2 = : 2 x 2 x x 4 2 x x 2 x 2 x (2 x )(2 x ) x (2 x ) (2 x )2 (2 x ) 2 4 x 2 x (2 x ) x2 4 x 4 x 2 4 x 4 4 x 2 x (2 x ) ` = . = . (2 x )(2 x ) x 3 (2 x )(2 x ) x 3 4x2 8 x x (2 x ) 4x ( x 2) x (2 x ) 4x2 = . = . = (2 x )(2 x ) x 3 (2 x )(2 x ) x 3 x 3 1
  2. 4 A 2 C B K E P O F A 1 3 D 2/ |x| = 1=> 4 A 1 1 3 Bài II: Gọi độ dài quãng đường AB là x (km ; x > 0) Ta có phương trình: I x x 3 : 40 : 60 2 2 2 Bài III: a/ CID = CKD vì là các góc chắn các cung bàng nhau.(=> CDIK nội tiếp) b/ Tứ giác CDEF nội tiếp được vì góc ngoài bằng góc trong không kề với nó. c/ IK//AB vì tứ giác CDIK nội tiếp =>  IKD =  ICD &  ICD =  PFB ( tứ giác CDEF nội tiếp) => K luận . d/ AF là tt đt(AFD) vì  EAF =  ADF (nt chắn các cung bằng nhau). - Bài IV: 9 1 M = ( 2x - 1)2 – 3 |2x-1| + 2 = (| 2x – 1|)2 – 3 |2x-1| + - 4 4 3 1 1 = ( |2x – 1| – )2 - - 2 4 4 3 3 Dấu “ = ” xảy ra khi ( |2x – 1| – )2 = 0  | 2x - 1| = 2 2 3 5 2x 1 x 3 2 1 4  2x – 1 =   2 3 1 2x 1 x 2 2 4 ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi* N¨m häc :1989-1990 2
  3. Bài 1 Cho biểu thức 2 5x 1 x 1 A = 1- ( ) : 1 2x 4 x2 1 1 2 x 4x2 4 x 1 a/ Rút gọn A và nêu các điều kiện phải có của x. 1 b/ Tìm giá trị của x để A = 2 Bài 2 Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50km/h. Sau khi đi được 2/3 quãng đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10km trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B chậm hơn 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB. Bài 3 Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AE cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K.Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G. a/ Chứng minh AE = AF. b/Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi. c/ Chứng minh tam giác AKF và CAF đồng dạng và AF2 = KF.CF d/Giả sử E chuyển động trên cạnh BC, chứng minh rằng FK = BE + DK và chu vi tam giác ECK không đổi. Bài 4 x2 2 x 1989 Tìm giá trị của x để biểu thức y= (Đk x ≠ 0) đạt giá trị nhỏ nhất và tìm GTNN x2 đó. GỢI Ý GIẢI đề 1989-1990 Bài I: 2 5x 1 x 1 A = 1- ( ) : 1 2x 4 x2 1 1 2 x 4x2 4 x 1 1/Đk x ½ & x 1 2 5x 1 x 1 A = 1- ( ) : 12 x (2 x 1)(2 x 1) 2 x 1 (2x 1)2 3
  4. 2(2x 1) 5 x 2 x 1 (2x 1)2 4x 2 5 x 2 x 1 (2x 1)2 = 1- . = 1- . (2x 1)(2 x 1) x 1 (2x 1)(2 x 1) x 1 x 1 (2x 1)2 2x 1 2 = 1- . = 1- = (2x 1)(2 x 1) x 1 2x 1 2x 1 1 2 1 2/ A = -  = -  2x - 1 = 4  x = 2,5 2 2x 1 2 Bài II: Gọi quãng đường AB là x (km & x >0 ) Ta có phương trình 2 1x 1 2x x x 1 x:50 x : 40  3 3 50 2 150 120 50 2 A B G E I Bài III: F D K C a/ AE = AF. Vì  FAD =  EAB (cùng phụ với  DAE) => ADB = ABE (cạnh gv- gn ) => k luận. b/ Các tam giác vuông IGE & IKF bằng nhau (GE // KT IE = IF) => GF = GE =KF = KE (vì AK là trung trực). c/ tam giác AKF và CAF đồng dạng và AF2 = KF.CF Vì ABCD là hình vuông => goc ACF = 450 Vì tam giác AEF vuông cân &AI là trung trực  goc FAK = 450 => 2 tam giác đồng dạng (gg).  Tỉ số => k luận d/ FD = BE (Vì 2 tam giác bằng nhau) => FK = BE+DK  CECK = FK + KC + EC & CD – DK = CK = BE ;  CE = DK  CECK = 2BC (không đổi). x2 2 x 1989 1 Bài IV: y = (Đk x ≠ 0 => y 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất  đạt giá trị lớn nhất x2 y x2 1 2 1989  max  max  1 min 2 2 1989 2 x 2 x 1989 1 x x x x2 2 1989 1989 2 1989.(1988 1) 1 1 1 1 1988 Mà 1 = = 1989 ( 2. . ) + x x2 x2 x 1989 2 x2 x 1989 1989 2 1989 4
  5. 1 1 1988 1988 1989 = 1989. ( )2 + => Min y = khi x = 1989. x 1989 1989 1989 1988 ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi N¨m häc :1990-1991 Bài 1: Xét biểu thức x 1 1 5 x 3x 2 P = ( ) : (1- ) 3x 1 3 x 1 9x 1 3x 1 a/ Rút gọn P. 6 b/ Tìm các giá trị của x để P = 5 Bài 2 Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được ¾ quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB, biết rằng xe con đến tỉnh B sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút. Bài 3: Cho đường tròn (O), một dây AB và một điểm C ở ngoài tròn nằm trên tia AB. Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn , cắt dây AB tại D.Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I.Các dây AB và QI cắt nhau tại K. a/ Cm tứ giác PDKI nội tiếp được. b/ Cm CI.CP = CK.CD c/ Cm IC là tia phân giác của góc ở ngoài đỉnh I của tam giác AIB d/ Giả sử A,B,C cố định. Cmr khi đường tròn (O)thay đổi nhưng vẫn đi qua B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4 Tìm giá trị của x để biểu thức y = x - x 1991 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm GTNN đó. GỢI Ý GIẢI đề 1990-1991 Bài I: 5
  6. x 1 1 5 x 3x 2 1/ Đk: x 1/9 => P = ( ) : ( 1- ) 3x 1 3 x 1 9x 1 3x 1 (x 1)(3 x 1) (3 x 1) 5 x 3x 1 3 x 2 = : (3x 1)(3 x 1) 3x 1 3x x 3 x 1 3 x 1 5 x 3x 1 3x 3x 1 x = . = . = (3x 1)(3 x 1) 3 (3x 1)(3 x 1) 3 3x 1 6 x 6 2/ P =  = => 5x – 6 (3x 1) = 0  5x - 18 x +6 = 0 5 3x 1 5 = => x = Bài II: Gọi quãng đường AB là x(km, x > 0) x3 x 1 x 1 Ta có phương trình: . . 2 P I O A D K B C 30 4 45Q 4 50 3 Bài III a/ tứ giác PDKI nội tiếp được vì  PDK =  PIK = 900 b/ CI.CP = CK.CD vì ICK ~ DCP c/ IC là tia pg vì IQ là pg  AIB và IC  IQ d/ K là điểm cố định vì IC, IK là các phân giác trong và ngoài tại I của tam giác AIB ( chia điều hòa) KB IB CB mà A,B,C cố định. KA IA CA Bài IV: Tìm giá trị của x để biểu thức y = x - x 1991 đạt giá trị nhỏ nhất 1 1 y = x - x 1991 = [( x – 1991)- x 1991 + ] - + 1991 4 4 1 3 1 3 = ( x 1991 - )2 + 1990 + 1990 = 1991 => Min y = 1991 khi x = 1991 2 4 4 4 ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi* N¨m häc :1991-1992 6
  7. Bài 1 Cho biểu thức x 3 x 9 x x 3 x 2 Q= ( 1) : ( ) x 9 (x 3)( x 2) x 2 x 3 a/ Rút gọn Q. b/ Tìm giá trị của x để Q Q = ( 1) : ( ) x 9 (x 3)( x 2) x 2 x 3 x 3 x x 9 9 x ( x 3)( x 3) ( x 2)( x 2) = : (x 3)( x 3) (x 3)( x 2) 7
  8. 3(x 3) 9 x x 9 x 4 3 (x 3)( x 2) 3 = : = . = (x 3)( x 3) (x 3)( x 2) (x 3) (x 2)( x 2) x 2 3 b/ Tìm giá trị của x để Q 3  x > 1  x >1 (x 4 & x 9) x 2 Bài II: Gọi số xe dự định điều là x ( x (~ N* ) Ta có phương trình 40 40 14 1 x x 2 2 I P K Bài III: O A C B a/ tứ giác CPKB nội tiếp được vì  CPK =  CBK = 900 b/ AI.BK= AC.CB vì AIC ~ BCK (gg) c/ APB vuông vì  APB =  APC +  BPC mà  APC =  AIC =  KGB,  BPC =  BKC => KL d/ SABKI = ½ AB.(AI + BK) - Bài IV: y= (m-1)x + 6m - 1991 = mx – x + 6m - 1991 = m (x + 6) – 1991 => Nếu x = - 6 thì y = - 1991 + 6 = - 1985 Vậy ta có A (-6 ; - 1985) cố định. ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi* N¨m häc :1992-1993 Bài 1: Cho biểu thức 2x x 1 x 2 B = ( ) : (1- ) x x 1 x 1 x x 1 a/ Rút gọn B. b/ Tìm B khi x = 5+ 2 3 Bài 2: 8
  9. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ 2 làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được ¾ công việc. Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó thì mấy giờ xong. Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB. K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung KB lấy M (M ≠ K,B ). Trên tia AM lấy N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP//KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP, BM. a/ So sánh các tam giác AKN và BKM. b/ Cm tam giác KMN vuông cân. c/ Tứ giác ANKP là hình gì? Tại sao? d/ Gọi R,S lần lượt là giao điểm thứ 2 của QA và QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP, chứng minh khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên đường tròn cố định. Bài 4 Giải phương trình 1 2 2 x 1 x1 x 2 x GỢI Ý GIẢI ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi N¨m häc :1992-1993 Bài I: 2x x 1 x 2 Đk: x 0 & x 1 => B = ( ) : (1- ) x x 1 x 1 x x 1 2x x x x 1 x x 1 x 2 = : (x 1)( x x 1) x x 1 x 1 x x 1 1 = . = (x 1)( x x 1) x 1 x 1 b/ Tìm B khi x = 5+ 2 3 1 1 2 3 2 3 3 1 B = = = => B = = 5 2 3 1 2(2 3) 2 2 2 Bài II: 9
  10. 1 Gọi thời gian làm một mình xong công việc của thứ nhất là x(giờ, x > 7 ) 5 1 Thời gain người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ, y > 7 ) 5 1 1 Thì trong 1 giờ, người thứ nhất làm được (cv); người thứ hai làm được (cv) & cả hai làm được Q x y I R K S P M N A E O F B 5 (cv). => ta có hệ phương trình: 36 1 1 5 x y 36 5 6 3 x y 4 Bài III: a/tam giác AKN = BKM. (cgc) b/ tam giác KMN vuông cân vì KN = KM (2 tgbn) &  AKN +  NKB =  NKB +  MKB c/ Tứ giác ANKP là hình bh vì  PAN =  KMN =  KNM = 450 &  RPK =  APK (tgnt) =  PAN = 450 d/  ABM =  RPM (ABMP nt)  RPM =  QSR (RPMS nt) => RS//AB BP//KM => cung KP = cung MB =>  POM = 900 => OMP nội tiếp đường tròn đường kính PM (k đổi) =>  Q = 450 (k đổi) Kẻ IE // AQ , IF // BQ =>  EIF = 450 không đổi, RS = OM = OB = OA k đổi =>E, F là trung điểm của OA và OB => E, F cố định => E(~ cung 450 vẽ trên đoạn EF Bài IV: Giải phương trình 1 2 2 x 1 x1 x 2 x 10
  11. ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi N¨m häc :1993-1994 Bài 1: Cho biểu thức x 1 2 x x x 1 2 x x M = ( 1) : (1 ) 2x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 a/ Rút gọn M 1 b/ Tính M khi x = (3+2 2 ) 2 Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 4 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 1 giờ.Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu? Bài 3: Cho 2 đường tròn (O 1 ) và ( O 2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại A và tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O 1 ) , ( O 2 ) lần lượt tại các điểm B,C và cắt Ax tại M.Kẻ các đường kính B O 1 D, C O 2 E. a/ Cmr M là trung điểm của BC. b/ Cmr tam giác O1MO2 vuông. c/ Cmr B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng. d/ Gọi I là trung điểm của DE. Cmr đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng BC. Bài 4:Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm x2- (2m-3)x + 6 = 0 2 x2 +x + (m-5) =0 HƯỚNG DẪN GIẢI ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi N¨m häc :1993-1994 Bài 1: a/ Rút gọn; Đk x 0 & x ½ 11
  12. x 1 2 x x x 1 2 x x M = ( 1) : (1 ) 2x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 (xx 1)( 2 1) ( 2 xxxxxxx )( 2 1) (2 1) 2 1 ( 1)( 2 1) ( 2 xxx )( 2 1) = : ( 2x 1)( 2 x 1) ( 2 x 1)( 2 x 1) x2 xx 2122 xxxxxxx 221212 xxxxx 2122 2 x = : ( 2x 1)( 2 x 1) ( 2 x 1)( 2 x 1) 2x 2 2 2 x 2 x 2 2 2x ( x 1) ( 2 x 1)( 2 x 1) = : = . = - 2x ( 2x 1)( 2 x 1) ( 2 x 1)( 2 x 1) ( 2x 1)( 2 x 1) 2( x 1) 1 1 b/ Tính M khi x = (3+2 2 ) = ( 2 + 1)2 2 2  M = - ( 2 1)2 = - ( 2 + 1) Bài 2: 4 Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x (h, x > 4 ) 5 4 Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là y (h, y > 4 ) 5 1 1 4 Thì trong 1h vòi I chảy được (bể), vòi II chảy được (bể) & cả hai vòi chảy được 1 : 4 (bể) x y 5 Ta có hệ phương trình 1 1 5 D I 1 E A C M B x y 24 x y – 1 2 Bài 3: a/ Cm M là trung điểm của BC. O1 O2 MA MB  => MB = MC (t/c 2 tt cắt nhau) => Kl MB MC b/ Cm O1MO2 vuông. Vì MA = MB = MC (cmt) => ABC vuông tại A Mà ABMAOM 1 (gnt, góc ở tâm) 0 Và ACM AO2 M = > AO1 M AO 2 M = 90 => KL c/ Cm B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng. 12
  13. Vì ABC vuông tại A(cmt) => BAC = 900 & EAC = 900 (gnt chắn nửa đường tròn) => KL Tương tự với C , A, D. d/ Cm BC là tt đt(IO1O2) ADE vuông tại A(do đđ) = >ID = IA = IE (t/c) => O1I là trung trực của AD => O1I // O2M, tương tự 0 ta có O2I // O1M mà OMO1 2 = 90 => tứ giác O1MO2I là hình chữ nhật => tâm Đt ngoại tiếp IO1O2 0 là giao điểm 2 đ chéo IM và O1O2. Tứ giác BCED là hình thang vuông ( B = 90 ) => IM là đường trung bình => IM  BC => BC là tt đt(IO1O2). 0 (Có thể dùng t/c đường trung bình của tam giác để cm tứ giác O1MO2I là hình bình hành & OMO1 2 =90 => tứ giác O1MO2I là hình chữ nhật ). ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi* N¨m häc :1994-1995 2a 1 a 1 a3 Bµi 1: Cho biÓu thøc P = . a 3 a 1 a a 1 1 a a) Rót gän P b) XÐt dÊu cña biÓu thøc P. 1 a Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh Mét ca n« xu«i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 30km/h, sau ®ã l¹i ng­îc tõ B vÒ A. Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ng­îc 1h20 phót. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng n­íc lµ 5km/h vµ vËn tèc riªng cña ca n« khi xu«i vµ ng­îc lµ b»ng nhau. Bµi 3: Cho tam gÝac ABC c©n t¹i A, A < 900, mét cung trßn BC n»m trong tam gi¸c ABC vµ tiÕp xóc víi AB,AC t¹i B vµ C. Trªn cung BC lÊy mét ®iÓm M råi h¹ ®­êng vu«ng gãc MI,MH,MK xuèng c¸c c¹nh t­¬ng øng BC ,CA, BA. Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB,IK vµ Q lµ giao ®iÓm cña MC,IH. a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BIMK,CIMH néi tiÕp ®­îc b) Chøng minh tia ®èi cña tia MI lµ ph©n gi¸c cña gãc HMK c) Chøng minh tø gi¸c MPIQ néi tiÕp ®­îc. Suy ra PQ//BC d) Gäi (O1) lµ ®­êng trßn ®i qua M,P,K,(O2) lµ ®­êng trßn ®i qua M,Q,H; N lµ giao ®iÓm thø hai cña (O1) vµ (O2) vµ D lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh M,N,D th¼ng hµng. 13
  14. Bµi 4: T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè (x;y) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh sau: 5x- 2 x(2 y) y 2 1 0 HDG ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi* N¨m häc :1994-1995 Bµi 1: a/Rg biÓu thøc (Đk : x 0 & x 1 ) 2a 1 a 1 a3 2a 1 a ( a 1) P = . a = a a 1 a 3 a 1 a a 1 1 a (a 1)( a a 1) 2a 1 a a 2 a a 1 2 = a 1 = a 1 = a 1 (a 1)( a a 1) (a 1)( a a 1) c) XÐt dÊu cña biÓu thøc P. 1 a P. 1 a = ( a 1). 1 a Với a 0 và a a 1 P. 1 a 0) x x Thì thời gian xuôi là (h). Thời gian ngược là (h) A K x H M 30 20 P Q B C I x x 4 Ta có phương trình - = 20 30 3 Bµi 3: a/Chøng minh c¸c tø gi¸c BIMK,CIMH néi tiÕp ®­îc MK  AB (gt) => MKB = 900 & MI  BC (gt) => MIB = 900 BIMK nội tiếp được Tương tự với tứ giác CIMH b/ C/m tia ®èi cña tia MI lµ ph©n gi¸c cña HMK Gọi tia đối của MI là Mx, ta có: Vì tứ giác BIMK nội tiếp (cmt) => xMK = IBK (cùng bù KMI ) Vì tứ giác CIMH nội tiếp (cmt) => xMH = ICH Mà IBK = ICH (cùng chắn cung BC) => xMK = xMH => KL c/Chøng minh tø gi¸c MPIQ néi tiÕp ®­îc. Suy ra PQ//BC PMQ = ½ sđ cung lớn BC PIM = KBM (nt chắn cung KM) = ½ sđ cung BM 14
  15. QIM = HCM (nt chắn cung HM) = ½ sđ cung MC PMQ + PIM + QIM = 1800 => tứ giác MPIQ nội tiếp được => PQM = PIM , PIM = KBM & KBM = ICM PQM = ICM => PQ//BC ®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi* N¨m häc :1995-1996 A/ lý thuyết : Học sinh chọn 1 trong 2 đề Đề 1: Phát biểu định nghĩa và nêu các tính chất của hàm số bậc nhất. Trong 2 hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số bậ nhất ? Vì sao? 1 y = 1 – 2x ; y = x + x Đề 2 : Phát biểu dấu hiệu nhận biết hình bình hành. B/ Bài tập 1/ Xét biểu thức a 1 a 1 8 a a a 3 1 B =( - - ) : ( - ) a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a) Rút gọn B. b) So sánh B với 1. 2/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể , thì sau 6 giờ đầy. Nếu vòi 1 chảy 20 phút và vòi 2 chảy 1 30 phút thì được bể. 6 Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể ? Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính AB và 2 điểm C,D thuộc nửa dường tròn sao cho cung AC < 900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn, sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây AM và BM cắt OC, OD lần lượt tại E, F. a/ Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao? 15
  16. b/ Chứng minh D là điểm chính giữa cung MB. c/ Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lượt tại I và K. Chứng minh rằng tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp được. GỢI Ý GIẢI Đề tn 1995-1996 Bài I: 4 a a/ B = a 4 4 a (a 2)2 b/ Xét bt B -1 = - 1= 0 => B = 1 khi a = 4. a 4 a 4 Bài II: 1 1 1 x y 6 x 10 Hệ pt: 1 1 1 y 15 3x 2 y 15 Tg vòi 1 chảy = 10h, tg vòi 2 chảy = 15h. Bài III: a/ MEOF là hcn vì có 3 góc vuông. b/ OD  MB => c/ KM & KB là tiếp tuyến nên góc OMK = góc OBK = 900 ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi N¨m häc :1995-1996 1 1 a 1 a 2 Bµi1: Cho biÓu thøc A = : a 1 a a 2 a 1 a) Rót gän A b) T×m GT cña a ®Ó A>1/6 Bµi2: Cho ph­¬ng tr×nh x2-2(m+2)x+m+1=0 (Èn x) 16
  17. 3 a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - 2 b) T×m c¸c GT cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸I dÊu c) Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .T×m GT cña m ®Ó 2 x1(1-2x2)+ x2(1-2x1) =m Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC(AB>AC ; BAC >900). I,K thø tù lµ c¸c trung ®iÓm cña AB,AC. C¸c ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB,AC c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai D; tia BA c¾t ®­êng trßn (K) t¹i ®iÓm thø hai E, tia CA c¾t ®­êng trßn (I) t¹i ®iÓm thø hai F. a) Chøng minh bai ®iÓm B,C,D th¼ng hµng b) Chøng minh tø gi¸c BFEC néi tiÕp. c) Chøng minh ba ®­êng th¼ng AD,BF,CE ®ång quy d) Gäi H lµ giao ®iÓm thø hai cña tia DF víi ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF. H·y so s¸nh ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng DH,DE. Bµi4: XÐt hai ph­¬ng tr×nh bËc hai : ax2+bx+c = 0; cx2 +bx+a = 0. T×m hÖ thøc gi÷a a,b,c lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hai ph­¬ng trinh trªn cã mét nghiÖm chung duy nhÊt. Gîi ý gi¶i ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi N¨m häc :1995-1996 Bµi1: a/ Rg biÓu thøc (§k a > 0 & a 1) 1 1 a 1 a 2 A= : a 1 a a 2 a 1 a a 1 ( a 1)( a 1) ( a 2)( a 2) 1a 1 a 4 = : = : a( a 1) ( a 2)( a 1) a( a 1) ( a 2)( a 1) 1 (a 2)( a 1) a 2 = . = a( a 1) 3 3 a b/T×m GT cña a ®Ó A>1/6 1 a 2 1 a 2 1 2(a 2) a 2a 4 a A  >  - > 0  > 0  > 0 6 3 a 6 3 a 6 6 a 6 a  a 4 > 0 (v× 6 a > 0 )  a > 4  a > 16 (tm®k) Bµi2: Cho ph­¬ng tr×nh x2-2(m+2)x+m+1=0 (Èn x) 3 a/Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - 2 17
  18. 3 3 1 Ta cã x2 - 2(- +2)x - +1= 0  x2 - x - = 0  2x2 – 2x – 1 = 0 2 2 2 1 3 x1 2 ’= 1 + 2 = 3 => 1 3 x 2 2 b/T×m c¸c GT cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu ' 0 (m 2)2 ( m 1) 0 m2 4 m 4 m 1 0 m2 3 m 3 0     x1. x 2 0 m 1 0 m 1 m 1 2 2 3 9 3 32 3 m 3 m 3 0 m 2 m 0 (m ) 0 32 3   2 4 4  2 4  m nt (®l) c/Chøng minh ba ®­êng th¼ng AD,BF,CE ®ång quy V× AD , BF, CE lµ c¸c ®­êng cao cña ABC => ®ång quy ®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi* N¨m häc :1996-1997 Khãa thi ngµy 28-29-30/V/1997 A/ Lý thuyÕt (2®). Häc sinh chän 1 trong 2 ®Ò: 18
  19. §Ò I: H·y chøng minh c«ng thøc a a Víi a ≥ 0 và b>0 b b 18 16 Áp dụng để tính: 25 50 Đề II: Định nghiã đường tròn. Chứng minh rằng đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn. B. Bài toán bắt buộc. I. Đại số (4 điểm) 1)(2đ) Cho biểu thức: 2a 4 a 2 2 P= a a 1 a a 1 a 1 a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P khi a = 3- 2 2 2) (2đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một người dự định sản xuất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do tăng năng suất 4 sản phẩm mỗi giờ, nên đã hoàn thành sớm hơn dự định 1 giờ. Hãy tính năng suất dự kiến của người đó. II. Hình học (4 đ) Cho đường tròn (O;r) và dây cung AB (AB AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tại P,K. Gọi I là trung điểm AB. a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh 2 tam giác ACP và PCB là đồng dạng. Từ đó suy ra: CP2 = CB.CA c) Gọi H là trực tâm của tam giác CPK. Hãy tính PH theo r. d) Giả sử PA// CK, chứng minh rằng tia đối của tia BK là tia phân giác của góc CBP GỢI Ý GIẢI Đề tn 1996-1997 Bài I: a 1/ P = a a 1 2 2 1 2/ a = 3 2 2 ( 2 1)2 => P = 7 Bài II: 19
  20. Gọi năng suất dự kiến là x (sp/h & x nguyên dương) 120 120 Pt: 1  x1  = 20 (tmđk) & x2 = -24 (loại) x x 4 Bài III: 1/Góc OIC = 900 (I là trung điểm của AB) Góc CPO = góc CKO (tc tiếp tuyến) => CPIK nt CP CA 2/ ACP ~ PCB => => CP2 = CA.CB CB CP 3/ H (~ OC (H là trực tâm) => tứ giác OPHK là hình thoi => OP = r. 4/  BKC =  BPK (cùng chắn cung BK )  KBC =  BKP (cung AK = cung PK) =>  KBC =  PKB => Kết luận. ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi* N¨m häc :1996-1997( thi 21/7/1996 – tg 150’) Bµi 1: Cho biÓu thøc 1 2 x 2 1 2 A = : x 1 x x x x 1 x 1 x 1 1) Rót gän A 2) Víi GT nµo cña x th× A ®¹t GTNN vµ t×m GTNN ®ã Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh Mét ng­êi ®i xe m¸y từ A ®Õn B c¸ch nhau 120km víi vËn tèc dù ®Þnh tr­íc .Sau khi ®i ®­îc 1/3 qu¸ng ®­êng AB ng­êi ®ã t¨ng vËn tèc lªn 10km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i. T×m vËn tèc dù ®Þnh vµ thêi gian l¨n b¸nh trªn ®­êng,biÕt r»ng ng­êi ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 24phót. Bµi3: Cho ®­êng trßn (O) b¸n kÝnh R vµ mét d©y BC cè ®Þnh. Gäi A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá BC. LÊy ®iÓm M trªn cung nhá AC,kÎ tia Bx vu«ng gãc víi tia MA ë I vµ c¾t tia CM t¹i D. 1) Chøng minh góc AMD= góc ABC vµ MA lµ tia ph©n giac cña gãc BMD. 2) Chøng minh A lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD vµ gãc BDC cã ®é lín kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm M. 20
  21. 3) Tia DA c¾t tia BC t¹i E vµ c¾t ®­êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai F, chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngoai tiÕp tam gi¸c BEF. 4) Chøng minh tÝch P=AE.AF kh«ng ®æi khi M di ®éng. TÝnh P theo b¸n kÝnh R vµ ABC = Bµi4: Cho hai bÊt ph­¬ng tr×nh : 3mx -2m>x+1 (1) m-2x 6 2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 48km/h. Sau khi đi một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hỏa 10 phút. Do đó , để đến tỉnh B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính quãng đường AB. 3/. Cho đường tròn (O;R ), một dây CD có trung điểm là H. Trên tia đối của tia DC lấy một điểm S và qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt các đường thẳng SO; OH lần lượt tại E và F. a/ Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp. b/Chứng minh OE.OS = R2 c/ OH.OF = OE.OS. d/ Khi S di động trên tia đối của tia DC hãy chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. 21
  22. GỢI Ý GIẢI đề 1997- 1998 Bài I: a 2 1/ A = 3 a 1 a 2 1 2/ A >  >  a > 16 6 3 a 6 Bài II: Gọi quãng đường AB là x (km, x > 0). Ta có pt: x 1 x 48 = 1 + +  120 (tmđk) 48 6 48 6 Bài III: a/Tứ giác SEHF nội tiếp vì  SEF =  SHF = 900 b/ AOS vuông tại A => hệ thức. c/ HOS ~ EOF => R2 d/ OH cố định & OF = => F cố định. OH ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi* N¨m häc :1997-1998 (26/7/1997- tg= 150’) Bài 1 Cho biểu thức x 1 1 x 2 A = x :() x x 1 1 x x x 1 a/Rút gọn A. b/ Tìm x để A = 7 Bài 2: 22
  23. Một công nhân dự tính làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định.Nhưng trong thực tế xí nghiệp lại giao làm 80 sản phẩm. Vì vậy, mặc dù người đó đã làm mỗi giờ thêm 1 sản phẩm song thời gian hoàn thành công việc vẫn tăng so với dự định 12 phút. Tính năng suất dự kiến, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm. Bài 3: Cho đường tròn O bán kính R, một dây AB cố định (AB< 2R) và một điểm M tùy ý trên cung lớn AB (M khác A,B). Gọi I là trung điểm của dây AB và (O’) là đường tròn qua M và tiếp xúc với AB tại A. Đường thẳng MI cắt (O), (O’)lần lượt tại các giao điểm thứ hai là N,P. 1/ Cm IA2 = IP.IM 2/ Cm tứ giác ANBP là hình bình hành. 2/ Cm IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP. 4/ Cm khi M di chuyển thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên 1 cung tròn cố định. Bài 4: Trong hệ tọa độ vuông góc xOy, cho Parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = x + m (d) Tìm m để (d) cắt hai nhánh của (P) tại A và B sao cho tam giác AOB vuông tại O? GỢI Ý GIẢI đề 1997- 1998 Bài I: 1/ 2/ 3/ Bài II: 1/ 2/ 3/ Bài III: - - Bài IV: 1/ 2/ 3/ 23
  24. 4/ Bài V: ®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi * N¨m häc :1998-1999 (C¬ së ®Ó chän vµo líp 10) A. LÝ thuyÕt (2 ®iÓm): Häc sinh chän mét trong hai ®Ò sau: §Ò 1: Ph¸t biÓu tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè. C¸c ®¼ng thøc sau ®óng hay sai,v× sao? 3 x 2 1 5m 25 m 5 3; x 2 1 15 5m m 3 §Ò 2: CMR: nÕu c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng nµy tØ lÖ víi c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã ®ång d¹ng. B. B¾t buéc(8 ®iÓm): 2x 1 1 x 4 Bµi1(2,5 ®iÓm): Cho biÓu thøc P= : 1 3 x 1 x 1 x x 1 a) Rót gän P b) T×m GT nguyªn cña x ®Ó P nhËn GT nguyªn d­¬ng. Bai 2(2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh Mét ng­êi dù ®Þnh ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 36km trong thêi gian nhÊt ®Þnh.Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng ng­êi ®ã dõng l¹i nghØ 18 phót.Do ®ã ®Ó ®Õn B ®óng hÑn ng­êi ®ã ®· t¨ng vËn tèc thªm 2km/h trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i. TÝnh vËn tèc ban ®Çu vµ thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®­êng. Bai3(3,5 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A,®­êng cao AH. §­êng trßn ®­êng kÝnh AH c¾t c¸c c¹nh AB,AC lÇn l­ît t¹i E vµ F. 1) Chøng minh tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt 2) Chøng minh: AE.AB = AF.AC 24
  25. 3) §­êng th¼ng qua A vu«ng gãc víi EF c¾t c¹nh BC t¹i I. Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC. 4) Chøng minh rằng: nÕu diÖn tÝch tam giac ABC gÊp ®«i diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt AEHF th× tam gi¸c ABC vu«ng c©n. GỢI Ý GIẢI Đề 1998 - 1999 Bài I: x 1/ P = x 3 3 2/ P = 1 + => P (~ N khi x 3 là ước dương của 3 => x = 16 và x = 36 x 3 Bài II: Gọi x là vận tốc ban đầu ( x>0 và km/h) Ta có phương trình : 18 18 3 36  x1 = 10 (tmđk); x2 = -12 (loại) x x 2 10 x Bài III: 1/  AEH =  AFH =  A = 900 ` 2/ AE.AB = AF.AC = R2 3/  AEF =  C =  KAF => IAC cân =>IA = IC Tương tự, IA = IB => kl 4/ GT => SABC = 4SAFE => tỉ số đồng dạng k = 2 => EF = ½ CB = AH => AH = AI => H  I => kl ®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi * N¨m häc :1999-2000 A.LÝ thuÕt (2 ®iÓm): Häc sinh chän mét trong hai ®Ò sau: §Ò1: Ph¸t biÓu hai quy t¾c ®æi dÊu cña ph©n thøc. ViÕt c«ng thøc minh ho¹ cho tong quy t¾c. 25
  26. 2a 2 a 2 b 2 ¸p dông: Thùc hiÖn phÐp tÝnh : . a b b a §Ò 2: Ph¸t biÓu ®Þnh lÝ vÒ gãc néi tiÕp cña ®­êng trßn . Chøng minh ®Þnh lÝ trong tr­ßng hîp t©m O n»m trªn mét c¹nh cña gãc. B.Bµi to¸n b¾t buéc(8 ®iÓm): x 1 1 2 Bµi1(2,5 ®iÓm): Cho biÓu thøc P = : x 1 x x x 1 x 1 a) Rót gän P b) T×m c¸c GT cña x ®Ó P>0 c) T×m c¸c sè m ®Ó cã c¸c GT cña x tho¶ m·n P. x m x . Bµi 2(2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh Mét xe t¶i vµ mét xe con cïng khëi hµnh tõ A ®i ®Õn B.Xe t¶i ®i víi vËn tèc 40km/h, xe con ®i víi vËn tèc 60km/h. Saukhi mçi xe ®i ®­îc nöa ®­êng th× xe con nghØ 40 phót råi ch¹y tÕp ®Õn B; xe t¶i trªn qu·ng ®­êng cßn l¹i ®· t¨ng v©n tèc thªm 10km/h nh­ng vÉn ®Õn B chËm h¬n xe con nöa giê. H·y tÝnh qu·ng ®­êng AB. Bµi 3(3,5 ®iÓm): Cho ®­êng trßn (O) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi ®­êng trßn. Tõ A kÎ hai tiÕp tuyÕn AB,AC vµ c¸t tuyÕn AMN víi ®­êng trßn( B,C,M,N thuéc ®­êng trßn; AM 1 3/ P. x m x  x + x - 1- m = 0 Đk: m > - 1 & m 1 Bài II: Gọi quãng đường AB là x (km & x > 0) 26
  27. Phương trình x x x 2 1  x = 200 (tmđk) 80 100 60 3 2 Bài III: 1/OE  MN và OC  AC 2/ chứng minh  BOA =  AOC và  AOC =  BIC 3/ chứng minh  AEC =  AOC &  AEC =  BIC 4/SAIN lớn nhất khi SABN lớn nhất SABN lớn nhất khi B,O,N thẳng hàng. ®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi* N¨m häc :2000-2001 A.LÝ thuÕt (2 ®iÓm): Häc sinh chän mét trong hai ®Ò sau: §Ò 1: ThÕ nµo lµ phÐp khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n. ViÕt c«ng thøc tæng qu¸t. 2 3 1 3 Ap dông tÝnh : . 2 2 §Ò 2: Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ gãc cã ®Ønh bªn trong ®­êng trßn. B.Bµi to¸n b¾t buéc( 8®iÓm): Bµi 1(2,5 ®iÓm): Cho biÓu thøc x 4 3 x 2 x P = : . x x 2 x 2 x x 2 a) Rót gän P b) TÝnh GT cña P biÕt x= 6-2 5 c) T×m c¸c GT cña n ®Ó cã x tho¶ m·n P.( x 1) x n . Bµi 2(2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh Mét ca n« ch¹y trªn s«ng trong 8h, xu«i dßng 81 km vµ ng­îc dßng 105km. Mét lÇn kh¸c còng ch¹y trªn khóc s«ng ®ã ,ca n« nµy chay trong 4h, xu«i dßng 54km vµ ng­îc dßng 42km. H·y tÝnh vËn tèc khi xu«i dßng vµ ng­îc dßng cña ca n«, biÕt v©n tèc dßng n­íc vµ vËn tèc riªng cña ca n« kh«ng ®æi. 27
  28. Bai3(3,5 ®iÓm): Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB=2R, d©y MN vu«ng gãc víi d©y AB t¹i I sao cho IA P = 2 - 5 3/ P.( x 1) x n  (1 x )( x 1) > x n 1 1 5 1- x > x n  x + x - 1 0 & x 4) 4 4 4 2 1 1 5  x n 4 2 4 => n y > 0). Ta có hệ phương trình 81 105 8 x y x 27  (tmđk) 54 42 y 21 4 x y Bài III: 1/  EIB =  EKB = 900 => nội tiếp 2/  MAE =  KAM  AME =  AKM => MAE ~ AKM (gg) => KL 3/ AE.AK = AM2 ` BI.BA = BM2 ( hệ thức) => AM2 + BM2 = AB2 = 4R2 4/CMIO lớn nhất  MI + IO lớn nhất 28
  29. Ta có : (MI + IO)2 2(MI2 + IO2) = 2R2 R 2 ==> chu vi MIO lớn nhất khi IO = MI = 2 ®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi* N¨m häc :2001-2002 A.LÝ thuÕt (2 ®iÓm): Häc sinh chän mét trong hai ®Ò sau: §Ò 1: Ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa vµ nªu tÝnh chÊt cña hµm sè bËc nhÊt. Ap dông: Cho hai hµm sè bËc nhÊt y = 0,2x-7 vµ y = 5-6x Hái hµm sè nµo ®ång biÕn , hµm sè nµo nghÞch biÕn ,v× sao? §Ò 2: Nªu c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp ®­êng trßn. B.Bµi tËp b¾t buéc(8 ®iÓm): x 2 x x 4 Bµi 1(2,5 ®iÓm): Cho biÓu thøc P = x : x 1 x 1 1 x a) Rót gän P b) T×m c¸c GT cña x ®Ó P<0 c) T×m GTNN cña P Bai2(2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh Mét c«ng nh©n dù ®Þnh lµm 150 s¶n phÈm trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh.Sau khi lµm ®­îc 2h víi n¨ng xuÊt dù kiÕn ,ng­êi ®ã ®· c¶I tiÕn c¸cthao t¸c nªn ®· t¨ng n¨ng xuÊt ®­îc 2 s¶n phÈm mçi giê vµ v× vËy ®· hoµn thµnh 150 s¶n phÈm sím h¬n dù kiÕn 30 phót. H·y tÝnh n¨ng xuÊt dù kiÕn ban ®Çu. Bµi3(3,5 ®iÓm): Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB cè ®Þnh vµ mét ®­êng kÝnh EF bÊt k× (E kh¸c A,B). TiÕp tuyÕn t¹i B víi ®­êng trßn c¾t c¸c tia AE,AF lÇn l­ît t¹i H,K . Tõ A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi EF c¾t HK t¹i M. a) Chøng minh tø gi¸c AEBF lµ h×nh ch÷ nh©t b) Chøng minh tø gi¸c EFKH néi tiÕp ®­êng trßn c) Chøng minh AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c AHK d) Gäi P,Q lµ trung ®iÓm t­¬ng øng cña HB,BK,x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®­êng kÝnh EF ®Ó tø gi¸c EFQP cã chu vi nhá nhÊt. 29
  30. GỢI Ý GIẢI Đề Bài I: 1/ 2/ 3/ Bài II: 1/ 2/ 3/ Bài III: - - Bài IV: 1/ 2/ 3/ 4/ Bài V: * ®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi* N¨m häc :2002-2003 (30/5/2003) A- Lý thuyết (2đ) thí sinh chọn một trong 2 đề sau Đề 1, Phát biểu và viết dạng tổng quát của qui tắc khai phương một tích. 50 8 Áp dụng tính: P = . 2 Đề 2. Định nghĩa đường tròn. Chứng minh rằng đường kính là dây lờn nhất của đường tròn. B- Bài tập bắt buộc (8 điểm) Bài 1 (2,5 đ) 30
  31. 4x 8 x x 1 2 Cho biểu thức P = ():() 2 x4 x x 2 x x a/ Rút gọn P. b/ Tìm giá trị của x để P = -1. c/ Tìm m để với mọi giá trị của x>9 ta có: m( x -3)P >x+1 Bài 2 (2đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18%, tổ II vượt mức 21% , vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch? Bài 3 (3,5đ). Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giã A và O sao cho AI = 2 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN, sao cho 3 C không trùng với M,N và B. Nối AC cắt MN tại E. a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong đường tròn. b/ Chứng minh AME đồng dạng với ACM và AM2 = AE.AC c/ Chứng minh AE.AC – AI.IB = AI2 d/ Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. GỢI Ý GIẢI Đề Bài I: 1/ 2/ 3/ Bài II: 1/ 2/ 3/ Bài III: - 31
  32. - Bài IV: 1/ 2/ 3/ 4/ Bài V: * ®Ò thi tèt nghiÖp thcs thµnh phè hµ néi* N¨m häc :2003-2004 A-Lý thuyết(2 điểm). Thí sinh chọn một trong hai đề sau: Đề 1. Định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số và nghiệm của nó. Hãy tìm nghiệm chung của 2 phương trình : x+ 4y = 3 và x – 3y = -4. Đề 2. Phát biểu định lý góc có đỉnh ở bên ngoaì đường tròn. Chứng minh định lý trong trường hợp hai cạnh của góc cắt đường tròn. B- Bài tập bắt buộc (8 điểm) 1 x 1 1 x Bµi 1: Cho biÓu thøc P = x : x x x x a) Rót gän P 2 b) TÝnh GT cña P khi x = 2 3 c) T×m c¸c GT cña x tho¶ m·n P. x 6 x 3 x 4 Bµi 2: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh §Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc , hai tæ ph¶i lµm chung trong 6h. Sau 2h lµm chung th× tæ hai bÞ ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c , tæ mét ®· hoµn thµnh nèt c«ng viÖc cßn l¹i trong 10h. Hái nÕu mçi tæ lµm riªng th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc. Bµi3: 32
  33. Cho ®­êng trßn (O;R) , ®­êng th¼ng d kh«ng qua O c¾t ®­êng trßn t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A,B. Tõ mét ®iÓm C trªn d(C n»m ngoµi ®­êng trßn), kÎ hai tiÕp tuyÕn CM, CN tíi ®­êng trßn(M,N thuéc O) . Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB, ®­êng th¼ng OH c¾t tia CN t¹i K. 1) C/m 4 ®iÓm C,O,H,N thuéc mét ®­êng trßn 2) C/m : KN.KC=KH.KO 3) §o¹n th¼ng CO c¾t (O) t¹i I, chøng minh I c¸ch ®Òu CM,CN,MN. 4) Mét ®­êng th¼ng ®i qua O vµ song song víi MN c¾t c¸c tia CM,CN lÇn l­ît t¹i E vµ F.X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn d sao cho diÖn tÝch tam gi¸c CEF nhá nhÊt. GỢI Ý GIẢI Đề Bài I: 1/ 2/ 3/ Bài II: 1/ 2/ 3/ Bài III: - - Bài IV: 1/ 2/ 3/ 4/ Bài V: * ®Ò thi vµo TNTHCS +TS líp 10 thµnh phè hµ néi* 33
  34. N¨m häc 2004- 2005 Ngày thi 26/5/2005 A/ Lý thuyết (2đ): Học sinh chọn 1 trong 2 đề Đề 1: Nêu điều kiện để A có nghĩa. Áp dụng : Với giá trị nào của x thì 2x 1 có nghĩa. Đề 2:Phát biểu và chứng minh định lý góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. B. Bài tập bắt buộc (8đ) 1 5x 4 2 x x Bài 1 (2,5đ) Cho biểu thức P = ():() x 2 2 x x x x 2 a/ Rút gon P. 3 5 b/ Tính giá trị của P khi x = 2 c/ Tìm m để có x thỏa mãn P = mx x - 2mx + 1 Bài 2 (2đ) giải bài toán bằng cách lập phương trình Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong một thời gian nhất đinh. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó đã làm thêm 2 sản phẩm . Vì vậy , chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 30 phút mà còn vượt mức 3 sản phẩm.Hỏi theo kế hoạch , mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu snr phẩm? Bài 3 (3,5 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M tùy ý giữa A và B. Đường tròn đường kính BM cắt đường thẳng BC tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng CM, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điêmt thứ 2 là H và K. a/ Cm tứ giác AMEC là tứ giác nội tiếp. b/ cm góc ACM bằng góc KHM. c/ cm các đường thẳng BH, EM và AC đồng quy. d/Giả sử AC 0 , x 1 & x 4 34
  35. 1 5x 4 2 x x P = ():() x 2 2 x x x x 2 1 5x 4 (2 x ).( x 2) x = []:[] x 2 x ( x 2) x ( x 2) x ( x 2) x 5 x 4 x ( x 2) 4(x 1). x ( x 2) = . = x 1 x( x 2) 4 4.x ( x 2) 3 5 6 2 5 ( 5 1)2 5 1 2/ x = = x 2 4 4 2 5 1 5 3 => P = 1 2 2 3/ P = mx x - 2mx + 1  x - 1 = mx x - 2mx + 1 Bài II: 1/ 2/ 3/ Bài III: - - Bài IV: 1/ 2/ 3/ 4/ Bài V: * ®Ò thi vµo líp 10 thµnh phè hµ néi* N¨m häc :2006- 2007 (thi ngay 16/6/2006 – 120’) 35
  36. Bµi 1 (2,5 ®iÓm) a 3 a 2 a a 1 1 Cho biÓu thøc P = : ( a 2)( a 1)a 1 a 1 a 1 1/ Rót gän biÓu thøc P 1 a 1 2/ T×m a ®Ó 1 P 8 Bµi 2 (2,5 ®iÓm) Mét ca n« xu«i dßng trªn mét khóc s«ng tõ bÕn A ®Õn bÕn B dµi 80 km, sau ®ã l¹i ng­îc dßng ®Õn ®Þa ®iÓm C c¸ch bÕn B 72 km. Thêi gian ca n« xu«i dßng Ýt h¬n thêi gian ng­îc dßng lµ 15 phót. TÝnh vËn tèc riªng cña ca n« biÕt vËn tèc cña dßng n­íc lµ 4km/h. Bµi 3 ( 1 ®iÓm ) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A vµ B cña ®å thÞ hai hµm sè y = 2x + 3 vµ y = x2. Gäi D vµ C lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A vµ B trªn trôc hoµnh. TÝnh SABCD. Bµi 4 (3 ®iÓm) Cho (O) ®­êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iÓm cña OA vµ d©y MN vu«ng gãc víi OA t¹i C. Gäi K lµ ®iÓm tuú ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MN. a) CMR: BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) TÝnh AH . AK theo R. c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm K ®Ó (KM + KN + KB) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. Bµi 5 (1 ®iÓm) Cho hai sè d­¬ng x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x + y = 2. Chøng minh: x2y2(x2+y2) 2. GỢI Ý GIẢI Đề Bài I: 1/Đk a 1 & a 0. a 3 a 2 a a 1 1 => P = : ( a 2)( a 1)a 1 a 1 a 1 ( a 2)( a 1) a( a 1) a 1 a 1 = : ( a 2)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1) a 2 a = : ( a 1) ( a 1) ( a 1)( a 1) 36
  37. 1 (a 1)( a 1) a 1 = . a 1 2 a 2 a 1 a 1 2a a 1 2/ 1  1 P 8 a 1 8 Bài II: Gọi vận tôc riêng của ca nô là x (km/h, x >4) Ta có phương trình 80 72 1 x 4 x 4 4 Bài III: 2 2 Giải pt: x = 2x + 3  x – 2x – 3 = 0  x1 = -1 & x2 = 3 (theo Vi et) => y1 = 1& y2 = 9 => A (-1 ; 1) & B (3 : 9) M K H A C O B N SABCD = (AD + BC ) (|OD| + |OC| ) : 2 (vì tứ giác ABCD là hình thang vuông) Bài IV: 1/ Tứ giác BCHK có  C =  K = 900 => nt AC AH 2/ ACH ~ AKB (gg) => => AH.AK = AB.AC = R2 AK AB 3/ Cm BMN đều => KM + KN + KB = 2KN => max khi KN max = 2R => K,O,N thẳng hàng (K là điểm chính giữa cung BM) => Max(KM + KN + KB) = 4R (Bài tập 20 /trang 76 /sách BTT9 tập II) Bài V: 37
  38. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 x 2 xy y 1 ()x y x y (x +y ) = xy. [2xy.(x + y )] xy. = xy. = 2xy 2 2 2 2 2 2 x y 2 = 2 (Áp dung Cô si cho 2 số dương và x + y = 2 ). 2 ®Ò thi vµo líp 10 thµnh phè hµ néi* N¨m häc :2007-2008 (20/6/2007 – 120’) Bµi 1 ( 2,5 ®iÓm ) x 3 6 x 4 Cho biÓu thøc : P = Với x 0 & x 1 x 1 x 1 x 1 1/ Rót gän biÓu thøc P. 1 2/ T×m x ®Ó P < . 2 Bµi 2 ( 2,5 ®iÓm ) Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh: Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 24 km. Khi tõ B trë vÒ A ng­êi ®ã t¨ng vËn tèc lªn 4 km/h so víi lóc ®i, v× vËy thêi gian vÒ Ýt h¬n thêi gian ®i 30 phót. TÝnh vËn tèc cña xe ®¹p khi ®i tõ A ®Õn B. Bµi 3 ( 1 ®iÓm ) Cho ph­¬ng tr×nh x2 + bx + c = 0 1/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi b = - 3 vµ c = 2. 2/ T×m b, c ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ tÝch cña chóng b»ng 1. Bµi 4 ( 3,5 ®iÓm ) Cho ®­êng trßn (O; R) tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d t¹i A. Trªn d lÊy ®iÓm H kh«ng trïng víi ®iÓm A vµ AH < R. Qua H kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi d, ®­êng th¼ng nµy c¾t ®­êng trßn t¹i hai ®iÓm E vµ B ( E n»m gi÷a B vµ H ). 1/ Chøng minh ABE EAH vµ ∆ABH ∆EAH. 2/ LÊy ®iÓm C trªn d sao cho H lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AC, ®­êng th¼ng CE c¾t AB t¹i K. Chøng minh AHEK lµ tø gi¸c néi tiÕp. 3/ X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm H ®Ó AB = R 3 . Bµi 5 ( 0,5 ®iÓm ) 38
  39. Cho ®­êng th¼ng y = ( m - 1 ) x + 2 T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é ®Õn ®­êng th¼ng ®ã lµ lín nhÊt. GỢI Ý GIẢI Đề 2007-2008 Bài I: x 1 1/ P = x 1 1 x 1 1 x 1 1 2/ P 0) Ta có phương trình 24 24 1  x = 12 x x 4 2 Bài III: 0 b2 4 c 0 2/ Đ k: giải hpt: x1. x 2 1 c 1 Bài IV: 1/ Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp gg 2/ HAE = HCE (cgc) =>  C =  HAF , mà  HAF =  B (do 2 tam giác đ dạng) Mặt khác,  B +  HAB = 900 =>  C +  HAB = 900 =>  AKE = 900 =>  AKE +  AHE = 1800 => nt R 3 3 3/ Hạ OI  AB => AI = ½ AB = => cos (  OAI) = =>  OAI = 300 =>  BAH=600 2 2 R 3 => AH = . 2 Bài V: Đồ thị luôn đi qua A (0;2) cố định khi a = m – 1 =0  m =1 Gọi B là điểm cắt truc hoành. Kẻ OH  AB. Trong tam giác vuông OAB ta có: OH OA. Dấu “=” xảy ra khi H  A  m – 1 = 0  m = 1 39
  40. ®Ò thi vµo líp 10 thµnh phè hµ néi* N¨m häc :2008-2009 (18/6/2008 – 120’) Bµi 1 ( 2,5 ®iÓm ) 1 x x Cho biÓu thøc: P = : x x 1 x x 1/ Rót gän P. 2/ T×m gi¸ trÞ cña P khi x = 4. 13 3/ T×m x ®Ó P = . 3 Bµi 2 ( 2,5 ®iÓm ) Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph­êng tr×nh. Th¸ng thø nhÊt hai tæ s¶n xuÊt ®­îc 900 chi tiÕt m¸y. Th¸ng thø hai tæ I v­ît møc 15% vµ tæ II v­ît møc 10% so víi th¸ng thø nhÊt, v× vËy hai tæ ®· s¶n xuÊt ®­îc 1010 chi tiÕt m¸y. Hái th¸ng thø nhÊt mçi tæ s¶n xuÊt ®­îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y. Bµi 3 ( 3,5 ®iÓm ) 1 Cho parabol (P): y = x 2 vµ ®­êng th¼ng (d): y = mx + 1 4 1/ Chøng minh víi mäi gi¸ trÞ cña m ®­êng th¼ng (d) lu«n c¾t parabol (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 2/ Gäi A, B lµ hai giao ®iÓm cña (d) vµ (P). TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB theo m ( O lµ gèc to¹ ®é ). Bµi 4 ( 3,5 ®iªm ) Cho ®­êng trßn (O) cã ®­êng kÝnh AB = 2R vµ E lµ ®iÓm bÊt k× trªn ®­êng trßn ®ã ( E kh¸c A vµ B ). §­êng ph©n gi¸c gãc AEB c¾t ®o¹n th¼ng AB t¹i F vµ c¾t ®­êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ K. 1/ Chøng minh tam gi¸c KAF ®ång d¹ng víi tam gi¸c KEA. 2/ Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®­êng trung trùc ®o¹n EF víi OE, chøng minh ®­êng trßn (I) b¸n kÝnh IE tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O) t¹i E vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng AB t¹i F. 3/ Chøng minh MN // AB, trong ®ã M vµ N lÇn l­ît lµ giao ®iÓm thø hai cña AE, BE víi ®­êng trßn (I). 4/ TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña chu vi tam gi¸c KPQ theo R khi E chuyÓn ®éng trªn ®­êng trßn (O), víi P lµ giao ®iÓm cña NF vµ AK; Q lµ giao ®iÓm cña MF vµ BK. Bµi 5 ( 0,5 ®iÓm ) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A, biÕt: A = ( x - 1 )4 + ( x - 3 )4 + 6 ( x - 1 )2 ( x - 3 )2 40
  41. GỢI Ý GIẢI Đề 2008-2009 Bài I: x x 1 1/P = x 2/ P = 7/2 3/ Đk x>0 => 3x - 10 x + 3= 0 => x = 9 hoặc x = 1/9 Bài II: Tổ I = 400sp; Tổ II = 500sp Bài III: 1 1 1/ => x 2 = mx + 1  x 2 - mx – 1 = 0 => > 0 => cắt tại 2 điểm 4 4 2 2/ SAOB = ½(| x1| + | x2|) = 2 m 1 Bài IV: 3/ MN là đường kính của (I) . góc INE = góc OBE (= góc IEN) => MN // AB. 4/ Chu vi tam giác KPQ = KP +PQ + KQ = QB + QK + FK = BK + FK BK + FO = R( 2 1) . Dấu “=” xảy ra khi E là điểm chính giữa cung AB. Bài V: Đặt a = x -2 => A = 8a4 + 8 8 Dấu “=” xảy ra khi x – 2 =0  x =2 k× thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt* N¨m häc: 2009-2010 (TG=120’) Bµi 1 ( 2,5 ®iÓm ) x 1 1 Cho biÓu thøc : A = , víi x 0; x 4 x 4 x 2 x 2 1/ Rót gän biÓu thøc A. 2/ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 25. 1 3/ T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - . 3 Bµi 2 ( 2,5 ®iÓm ) 41
  42. Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph­¬ng tr×nh; Hai tæ s¶n xuÊt cïng may mét lo¹i ¸o. NÕu tæ thø nhÊt may trong 3 ngµy, tæ thø hai may trong 5 ngµy th× c¶ hai tæ may ®­îc 1310 chiÕc ¸o. BiÕt r»ng trong mçi ngµy tæ thø nhÊt may ®­îc nhiÒu h¬n tæ thø hai 10 chiÕc ¸o. Hái mçi tæ may trong mét ngµy ®­îc bao nhiªu chiÕc ¸o ? Bµi 3 ( 1 ®iÓm ) Cho ph­¬ng tr×nh (Èn x): x2 - 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0 1/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®· cho víi m = 1. 2 2 2/ T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n hÖ thøc: x1 + x2 = 10. Bµi 4 ( 3,5 ®iÓm ) Cho ®­êng trßn (O; R) vµ A lµ mét ®iÓm n»m bªn ngoµi ®­êng trßn. KÎ c¸c tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®­êng trßn ( B, C lµ c¸c tiÕp ®iÓm ). 1/ Chøng minh ABOC lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2/ Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC vµ OA. Chøng minh BE vu«ng gãc víi OA vµ OE.OA=R2. 3/ Trªn cung nhá BC cña ®­êng trßn (O; R) lÊy ®iÓm K bÊt k× ( K kh¸c B vµ C ). TiÕp tuyÕn t¹i K cña ®­êng trßn (O; R) c¾t AB, AC theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm P vµ Q. Chøng minh tam gi¸c APQ cã chu vi kh«ng ®æi khi K chuyÓn ®éng trªn cung nhá BC. 4/ §­êng th¼ng qua O, vu«ng gãc víi OA c¾t c¸c ®­êng th¼ng AB, AC theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm M, N. Chøng minh PM + QN MN. Bµi 5 ( 0,5 ®iÓm ) Gi¶i ph­¬ng tr×nh. 1 1 1 x2 x 2 x (2x 3 x 2 2x 1) 4 4 2 GỢI Ý GIẢI Đề 2009-2010 Bài I x 5 1 1/ A = 2/ A= 3/x = x 2 3 4 Bài II Tổ I = 170; Tổ II = 160 Bài III 1/ m=1 => x1 =1: x2 =3 42
  43. 2/ >0 m > ½ 2 x1 + x2 = 10 m +4m – 5 = 0 m1 =1, m2 = -5 => Kết luận m = 1. Bài IV 4/ PMO ~ OQN => PM.QN = OM.ON = MN2 /4 (PM + QN)2 4PM.QN = MN2 => PM + QN MN Bài V 1 1 1 1 1 1 x2 x 2 x (2x3 + x2 2x + 1 )  x2 x (2x + 1)(x2 + 1) ĐK: x -1/2 4 4 2 4 2 2 1 1 2 2  x + = (2x + 1)(x + 1)  (2x + 1)x = 0  x1 = 0: x2 = -1/2 (Tmđk) 2 2 k× thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt* N¨m häc: 2010-2011 M«n To¸n (thi ngµy 22/6/2010) Bµi 1(2,5 ®iÓm): x 2 x 3x 9 Cho P = , x 0 & x 9 . x 3 x 3 x 9 1) Rót gän P. 1 2) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = . 3 3) T×m GTLN cña P. Bµi 2(2,5 ®iÓm): gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh Mét m¶nh ®Êt h×nh ch÷ nhËt cã ®é dµi ®­êng chÐo lµ 13m vµ chiÒu dµi lín h¬n chiÒu réng lµ 7m. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña m¶nh ®Êt ®ã? Bµi 3(1,0 ®iÓm): Cho Parabol (P): y =-x2 vµ ®­êng th¼ng (d) y =mx-1 43
  44. 1) CMR víi mäi m th× (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. 2) Gäi x1,x2 lµ c¸c hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P). T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó 2 2 x1 x2+x2 x1- x1x2 =3. Bµi 4(3,5 ®iÓm): Cho (O;R) ®­êng kÝnh AB =2R vµ ®iÓm C thuéc ®­êng trßn ®ã( C kh¸c A,B). D thuéc d©y BC (D kh¸c B,C). Tia AD c¾t cung nhá BC t¹i E,tia AC c¾t BE t¹i F. 1) Chøng minh tø gi¸c FCDE néi tiÕp 2) Chøngminh DA.DE = DB.DC 3) Chøng minh CFD = OCB . Gäi I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c FCDE , chøng minh IC lµ tiÕp tuyÕn cña (O). 4) Cho biÕt DF =R, chøng minh tanAFB = 2. Bµi 5 (0,5 ®iÓm): Gi¶i ph­¬ng tr×nh x2 +4x +7 =(x+4) x 2 7 GỢI Ý GIẢI Đề 2010-2011 Bài I: 3 1/ A = x 3 2/ x = 36 (tmđk) 3/ MaxA = 1 khi x = 0 (tmđk) Bài II: Gọi chiều rộng là x, ta có pt: x2 + (x + 7) 2 = 132 => x = 5 => chiều dài = 12m. Bài III: 1/ Xét phương trình: -x2 = mx – 1  x2 +mx -1 = 0 , có >0 nên có 2 nghiệm phân biệt => cắt tại 2 điểm phân biệt. 2/ Theo định lý Vi et ta có x1 + x2 = -m & x1x2 = - 1 => m = 3. Bài IV: 1/ Tứ giác FCDE nội tiếp vì có 2 góc đối bằng nhau(=900) 2/ ADC ~ BDE (gg) 44
  45. 3/ BC AB2 R 4/ Tan  AFB = 2 (tam giác CBA ~ tam giác CFD ) FC DF R Bài 5 x2 +4x +7 =(x+4) x 2 7 x2 + 7 - x x2 7 4 x 2 7 4 x 0  x2 7( x 2 7 x ) 4 x 2 7 x 0 (x2 7 x )( x 2 7 4) 0 x2 7 x 0 x 2 7 x 2 x 0 2 2 x 7 4 0 x 9 x 3 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI* Năm học: 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) x 10 x 5 Cho A , Với x ≥ 0 và x 25 ta có. x 5x 25 x 5 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm giá trị của A khi x = 9. 3) Tìm x để A < . Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Bài III (1,0 điểm) Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x – m2 + 9. 1) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không 45
  46. trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh góc ENI = góc EBI và góc MIN = 900 . 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI. 4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. Bài V (0,5 điểm) 1 Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 4x2 3x 2011 4x BÀI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học: 2011 – 2012 Bài I: (2,5 điểm) Với x ≥ 0 và x 25 ta có : x 10 x 5 x( x 5) 10 x 5( x 5) 1) A = x 5x 25 x 5 x 25 x 25 x 25 x 5 x 10 x 5 x 25 x 10 x 25 (x 5)2 = = = x 25 x 25 x 25 x 25 (x 5)( x 5) x 5 = x 5 9 5 1 2) x = 9 A = 9 5 4 1 x 5 1 3) A < < 3x 15 x 5 3 x 5 3 2x 20 x 10 0 x 100 Bài II: (2,5 điểm) Cách 1: Gọi x (ngày) (x N*) là số ngày theo kế hoạch đội xe chở hết hàng 140 Theo đề bài ta có: 5 (x 1) 140 10 x 46
  47. 140 140x + 5x2 – - 5 = 150 5x2 – 15x – 140 = 0 x = 7 hay x = -4 (loại) x Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày. Cách 2: Gọi a (tấn) (a 0): số tấn hàng mỗi ngày, b (ngày) (b N*) : số ngày a. b 140 a. b 140 Theo đề bài ta có : 5b2 – 15b = 140 (a 5)( b 1) 140 10 5b a 15 b = 7 hay b = -4 (loại). Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày. Bài III: (1,0 điểm) 1) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1 là: x2 = 2x + 8 x2 – 2x + 8 = 0 (x + 2) (x – 4) = 0 x = -2 hay x = 4 y(-2) = 4, y(4) = 16 Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 2 là : (-2; 4) và (4; 16). 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 = 2x – m2 + 9 x2 – 2x + m2 – 9 = 0 (1) Ycbt (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu a.c = m2 – 9 < 0 m2 < 9 m < 3 -3 < m < 3. Bài IV: (3,5 điểm) N 1) Xét từ giác MAIE có 2 góc vuông là góc A, và góc E (đối nhau) G E nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kính MI. M 2) Tương tự ta có tứ giác ENBI nội tiếp đường tròn đường A kính IN. Vậy góc ENI = góc EBI (vì cùng chắn cung EI) I O B Tương tự góc EMI = góc EAI (vì cùng chắn cung EI) Mà góc EAI + góc EBI = 900 ( EAD vuông tại E) F góc MIN = 1800 – (góc EMI + góc ENI) = 1800 – 900 = 900 3) Xét 2 tam giác vuông MAI và IBN Ta có góc NIB = góc IMA (góc có cạnh thẳng góc) chúng đồng dạng AM AI AM.BN AI.BI (1) IB BN 47
  48. 4) Gọi G là điểm đối xứng của F qua AB. Ta có AM + BN = 2OG (2) (Vì tứ giác AMNB là hình thang và cạnh OG là cạnh trung bình của AM và BN) R 3R Ta có : AI = , BI = 2 2 3R 2 Từ (1) và (2) AM + BN = 2R và AM.BN = 4 3R 2 Vậy AM, BN là nghiệm của phương trình X2 – 2RX + = 0 4 R 3R AM = hay BN = . Vậy ta có 2 tam giác vuông cân là MAI cân tại A và NBI cân tại B 2 2 R 2 R 3R 2 3R MI = và NI = 2 2 2 2 1 R 3R 3R 2 S(MIN) = 22 2 4 Bài V: (0,5 điểm) 1 1 1 M = 4(x )2 x 2010 2x . 2010 2011 2 4x 4x 1 khi x = ta có M = 2011. Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2011. 2 48
  49. ĐỀ THI VÀO 10 THPT MÔN TOÁN Hà Nội 2012-2013 Ngày 21/6/2012 - Thời gian 120’ Bài I (2,5đ) x 4 1/ Cho biểu thức A = . Tính giá trị của biểu thức khi x = 36 x 2 x4 x 16 2/ Rút gọn biểu thức B = : (với x 0 , x 16 ) x 4 x 4 x 2 3/ Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B.(A-1) là số nguyên. Bài II (2,0 đ) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : 12 Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong . Nếu mỗi người làm một mình 5 thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc? Bài III (1,5đ) 2 1 2 x y 1/ Giải hệ phương trình : 6 2 1 x y 2/ Cho phương trình x2 – ( 4m – 1 )x + 3m2 – 2m = 0 ( ẩn x ). Tìm m để phương trình có hai 2 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 = 7. Bài IV (3,5đ). Cho đường tròn (O;R)đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A và C ), BM cắt AC tại H . Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1)Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh ACM = ACK . 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C. 4) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho AP. MB hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và R . Chứng minh đường thẳng PB MA đi đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK. Bài V (0,5đ). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 49
  50. x2 y 2 M = . xy 50