Tài liệu luyện tập môn Toán Lớp 12 - Thể tích khối đa diện. Bài toán cực trị - Võ Nhật Tuân

Nội dung text: Tài liệu luyện tập môn Toán Lớp 12 - Thể tích khối đa diện. Bài toán cực trị - Võ Nhật Tuân

1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN * BÀI TỐN CỰC TRỊ Câu 1. Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SB b và tam giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy một điểm M với AM x 0 x a . Mặt phẳng qua M song song với AC và SB cắt BC, SB, SA lần lượt tại N, P, Q. Xác định x để SMNPQ lớn nhất. A. a a a a B. C. D. 4 2 3 Câu 2. Cho hình chĩp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA a và SBD cân tại S. AM AN Trên AB, AD lần lượt lấy M, N sao cho k 0 k 1 . Mặt phẳng qua MN song song AB AD với SA cắt SD, SC, SB tại P, Q, R. Tính k để SMNPQR lớn nhất. 1 5 1 2 A. k B. k C. k D. k 2 3 3 3 Câu 3. Trên nửa đường trịn đường kính AB 2R , lấy điểm C tùy ý. Kẻ CH  AB (H thuộc AB). Gọi I là điểm thuộc đoạn CH. Trên một nửa đường thẳng It vuơng gĩc tại I với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho · gĩc ASB 90 . Đặt AH x . Với giá trị nào của x thì VSABC đạt giá trị lớn nhất. R R C. x 2R D. x R A. x B. x 2 2 Câu 4. Cho hình chĩp đều cĩ cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Cho điểm M SA sao cho diện tích MBD nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất MBD . 3a a 2a a A. B. C. D. 4 2 4 4 Câu 5. Cho tứ diện ABCD cĩ cạnh AB x , các cạnh cịn lại bằng a. a) Tính diện tích tồn phần của tứ diện theo a, x. 2 2 2 2 2 2 A. a 3 x 4a x B. a 3 4a x 2 2 2 2 2 2 C. a 3 2x 4a x D. a 3 x 4a x b) Với giá trị nào của x thì thể tích VABCD đạt giá trị lớn nhất. 3a a 6 5a 3a A. B. C. D. 4 2 4 4 Câu 6. Cho tứ diện ABCD cĩ AB CD 2x và bốn cạnh cịn lại cĩ độ dài bằng 1. a) Tính diện tích tồn phần của tứ diện. 2 2 2 2 A. 2x. 1 x B. 2x. 1 x C. 2x. x 1 D. x. 1 x b) Xác định x để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn nhất. 1 6 5 3 A. B. C. D. 2 2 4 4 2 Câu 7. Cho tứ diện ABCD cĩ AB CD 2x 0 x và AC AD BC BD 1 . Gọi I, J lần 2 lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Tìm x để thể tích tứ diện ABCD lớn nhất 2 3 5 3 A. B. C. D. 3 3 2 4 Câu 8. Trên cạnh AD của hình vuơng ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM x 0 x a , và trên nửa đường thẳng Ax vuơng gĩc tại A với mặt phẳng của hình vuơng, người ta lấy điểm S với 2 2 2 SA y y 0 . Với giả thiết x y a , tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình chĩp S.ABCM. 3a2 3a2 2a2 3a2 A. B. C. D. 42 12 2 8 Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 1
2. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN * BÀI TỐN CỰC TRỊ Câu 10. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuơng ABCD với AB 2a . Trên mặt phẳng chứa BC và vuơng gĩc với (P) lấy điểm E sao cho EBC là tam giác đều; điểm I nằm trên đoạn BC, đặt: BI x . O là trung điểm của AE. a) Tính độ dài OI theo a và x. 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x ax 2a B. x ax 2a C. x ax 2a D. x ax 2a b) Tìm x để độ dài OI lớn nhất. a B. 2a C. a a A. D. 2 5 c) Tìm x để độ dài OI bé nhất. a B. 2a C. a a A. D. 2 5 Câu 11. Cho tứ diện ABCD cĩ AB CD 2x và 4 cạnh cịn lại đều cĩ độ dài bằng 1. Xác định x để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn nhất. 1 2 C. 2 2 A. B. D. 2 2 5 Câu 12. Cho tứ diện ABCD sao cho AB 2x, CD 2y và 4 cạnh cịn lại đều cĩ độ dài bằng 1. Xác định x và y để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn nhất. 1 2 C. x y 1 1 A. x y B. x y D. x y 2 2 3 · Câu 13. Cho tứ diện SABC cĩ cạnh SA vuơng gĩc với mặt phẳng. Biết SB BC a 2; ASB , gĩc · · BSC , gĩc ASB 0 . Tam giác ABC vuơng tại B. Với giá trị nào của thì VSABC lớn 4 2 nhất. A. B. C. D. 3 6 2 4 Câu 14. Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm ở ngồi mặt phẳng (ABCD) sao cho SB SD . Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM x . Mặt phẳng qua M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q. Cho SA a . Tính x để diện tích MNPQ lớn nhất. a 2 a 2 a 2 a 2 A. B. C. D. 2 4 3 5 · · · Câu 15. Cho tứ diện OABC cĩ các gĩc AOB BOC COA , OA OB OC x . Tính để diện tích xung quanh lớn nhất. A. B. C. D. 2 4 3 4 Câu 16. Hình chĩp tứ giác SABCD cĩ cạnh SA x,x 0, 3 , tất cả các cạnh cịn lại cĩ độ dài 1. Xác định x để hình chĩp cĩ thể tích lớn nhất. 3 3 3 3 A. B. C. D. 3 4 2 5 Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 2
3. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Câu 1. Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SB b và tam giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy một điểm M với AM x 0 x a . Mặt phẳng qua M song song với AC và SB cắt BC, SB, SA lần lượt tại N, P, Q. Xác định x để SMNPQ lớn nhất. A. a a a a B. C. D. 4 2 3 Phân tích: Trước hết ta phải xác định được MNPQ là hình chữ nhật Vì mp / /SB và mp / /AC nên MNPQ là hình bình hành. AC  SO ( ACS cân)   AC  mp SBD AC  BD (đường chéo hình vuông) AC  SB , mà MQ / /SB MN  MQ Vậy MNPQ là hình chữ nhật. Hướng dẫn giải Ta cĩ: MN // AC BM a x S MN .AC .a 2 a x 2 BA a SAB cĩ: MQ // SB Q AM bx MQ .SB b P AB a A b 2 D S MN.MQ a x x (đvdt) MNPQ a M O a Ta cĩ: B N C a x x a2 a x x a x x 2 4 a S lớn nhất khi và chỉ khi a x x x . MNPQ 2 Vậy chọn đáp án C. Câu 2. Cho hình chĩp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA a và SBD cân tại S. AM AN Trên AB, AD lần lượt lấy M, N sao cho k 0 k 1 . Mặt phẳng qua MN song song AB AD với SA cắt SD, SC, SB tại P, Q, R. Tính k để SMNPQR lớn nhất. 1 5 1 2 A. k B. k C. k D. k 2 3 3 3 Hướng dẫn giải Ta cĩ: MNPQR là hợp hai hình thang vuơng bằng nhau MIQR và NIQP, trong đĩ: MR // IQ // NP (cùng song song với SA), và MN // BD. Ta cĩ: S IQ CI OI OC OI OA 1 OI 1 BM 1 1 SMAI CA CAka 2 2OA 2 OA 2 BA Q P k MI BO1 AB AM 2 1 R 2 k a 1 2 k MQ (1 k)a O' 2 BA 2 2ka A D IQ ; MR 1 k a; MI N 2 2 I M O SMNPQR 2SMIQR IQ MR .MI 2k 4 3k a2 B C (đvdt) 4 Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 3
4. 2 S max k . MNPQR 3 Vậy chọn đáp án D. Câu 3. Trên nửa đường trịn đường kính AB 2R , lấy điểm C tùy ý. Kẻ CH  AB (H thuộc AB). Gọi I là điểm thuộc đoạn CH. Trên một nửa đường thẳng It vuơng gĩc tại I với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho · gĩc ASB 90 . Đặt AH x . Với giá trị nào của x thì VSABC đạt giá trị lớn nhất. R R C. x 2R D. x R A. x B. x 2 2 Hướng dẫn giải 1 S Ta cĩ: V S .SI , trong đĩ: 3 ABC CH AH.BH x 2R x HI = CI nên SH = SC; SH2 = HA.HB; CH2 = HA.HB nên SH = CH Vì vậy tam giác SHC đều. H 1 1 B A S ABC AB.CH 2R AH.BH R x 2R x 2 2 I 3 3 SI CH x 2R x . C 2 2 1 3x 2R x R 3 Vậy: V R x 2R x . x 2R x 3 2 6 V lớn nhất khi x 2R x lớn nhất. 2 x 2R x 2 Biết x 2R x R . Dấu “=” xảy ra x 2R x x R 2 R3 3 Vậy, thể tích tứ diện SABC lớn nhất khi x R và V (đvtt) max 6 Vậy chọn đáp án D. Câu 4. Cho hình chĩp đều cĩ cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Cho điểm M SA sao cho diện tích MBD nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất MBD . 3a a 2a a A. B. C. D. 4 2 4 4 Hướng dẫn giải Gọi S là diện tích MBD . 1 1 S S BD.MO a 2.MO 1 2 2 min S xảy ra min MO xảy ra M Nhưng min MO d O,SA OH a H Vì tứ diện đều nên O AB  CD thì SO là đường cao. A SOA vuơng tại O (2) D a 2 a OA O 2 Trong đĩ: C B 2a2 2a2 a 2 SO SA2 OA2 a2 4 4 2 2 2 a 2 2 a SOA vuơng cân tại O OH OA. . 2 2 2 2 Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 4
5. 1 1 a 2a min S .a 2. xảy ra khi H là trung điểm SA (ycbt) 2 2 4 Vậy chọn đáp án C. Câu 5. Cho tứ diện ABCD cĩ cạnh AB x , các cạnh cịn lại bằng a. a) Tính diện tích tồn phần của tứ diện theo a, x. 2 2 2 2 2 2 A. a 3 x 4a x B. a 3 4a x 2 2 2 2 2 2 C. a 3 2x 4a x D. a 3 x 4a x Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm AB theo tính chất tam giác cân D CH  AB DH  AB a I Ta cĩ: AB x; DA DB DC AC BC a a ADC BCD (do hai tam giác đều cạnh a) Nên: a a DAB CAB A C 2 a 3 x O S S 1 H a ADC BCD 4 Ta cĩ: B x2 1 1 1 CH AC2 AH2 a2 4a2 x2 S D CH.AB x 4a2 x2 2 4 2 DAB CAB 2 4 1 2 2 2 Từ (1) và (2) S a 3 x 4a x tp 2 Vậy chọn đáp án A. b) Với giá trị nào của x thì thể tích VABCD đạt giá trị lớn nhất. 3a a 6 5a 3a A. B. C. D. 4 2 4 4 Hướng dẫn giải Gọi O là hình chiếu của D xuống mặt phẳng (ABC) Do AD DB DC a OA OB OC DO là trục đường trịn ngoại tiếp ABC . DO hiển nhiên là đường cao tứ diện DABC.Gọi I là trung điểm DC. Ta cĩ: DH HC DHC cân HI  DC 2 2 2 2 2 x a 1 2 2 Khi đĩ: HI HC IC a 3a x 4 4 2 1 2 2 3a x .a 2 2 1 1 HI.DC 2 a 3a x Từ: SDHC DO.HC HI.DC DO DO 2 2 HC 1 2 2 4a2 x2 4a x 2 1 1 a 3a2 x2 x 4a2 x2 Vậy VABCD SO.SABC . . 3 3 4a2 x2 4 1 2 2 V ax 3a x (ycbt); 0 x a 3 ABCD 12 Áp dụng BĐT Cauchy ta cĩ: 2 2 2 2 2 2 2 2 x 3a x 2 4 3 2 a x 2 2 a a 9a a V 3a x . . 3 ABCD 144 144 2 144 4 8 Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 5
6. a3 V 4 ABCD 8 2 2 2 a 6 Dấu đẳng thức trong (3) và (4) xảy ra x 3a x x 2 a3 a 6 Vậy max V tương ứng x (ycbt). ABCD 8 2 Vậy chọn đáp án B. Câu 6. Cho tứ diện ABCD cĩ AB CD 2x và bốn cạnh cịn lại cĩ độ dài bằng 1. a) Tính diện tích tồn phần của tứ diện. 2 2 2 2 A. 2x. 1 x B. 2x. 1 x C. 2x. x 1 D. x. 1 x Hướng dẫn giải Nhận thấy bốn mặt của tứ diện là bốn tam giác bằng nhau. A STP 4SACD 2AI.CD , với I là trung điểm của CD ID x 2 2 2 2 AI AD ID 1 x 2x 1 1 2 AI 1 x (do 0 x 1) 1 D 2 B Vậy STP 2x. 1 x 2x Vậy chọn đáp án B. 1 I b) Xác định x để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn nhất. C 1 6 5 3 A. B. C. D. 2 2 4 4 Hướng dẫn giải 2 2 2 2 Vì STP 0 nên STP đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi STP đạt giá trị lớn nhất, mà STP 4x 1 x x2 0 Nhưng 0 x 1 2 1 x 0 2 2 2 2 2 x 1 x 1 2 Bất đẳng thức Cauchy x 1 x S 1 1 TP 2 4 2 2 1 Đẳng thức xảy ra x 1 x x (vì x 0 ) 2 1 Vậy max STP S 1 (ycbt) 0 x 1 2 Vậy chọn đáp án A. 2 Câu 7. Cho tứ diện ABCD cĩ AB CD 2x 0 x và AC AD BC BD 1 . Gọi I, J lần 2 lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Tìm x để thể tích tứ diện ABCD lớn nhất 2 3 5 3 A. B. C. D. 3 3 2 4 Hướng dẫn giải Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 6
7. DI  AB Nhận xét: Ta cĩ: AB  ICD AB  IJ . Tương tự: CI  AB CD  IJ . Vậy IJ là đoạn vuơng gĩc chung của AB và CD (đpcm) A 2 2 2 Ta cĩ: IJ ID DJ 1 2x 1 2 I Diện tích ICD : SICD IJ.CD x 1 2x 1 1 2 2x 1 Khi đĩ: V V V S . AI IB ABCD AICD IBCD 3 ICD 1 B D 2 2 2 V x V x 1 2x (ycbt) ABCD 3 2x 1 J Áp dụng BĐT Cauchy: 3 4 4 x2 x2 1 2x2 V2 x .x2.x2 1 2x2 C 9 9 3 2 3 V 1 ABCD 27 Dấu đẳng thức xảy ra trong (1) khi và chỉ khi: 3 x2 x2 1 2x2 x 3 2 3 3 Vậy max V xảy ra khi và chỉ khi x (ycbt) ABCD 27 3 Câu 8. Trên cạnh AD của hình vuơng ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM x 0 x a , và trên nửa đường thẳng Ax vuơng gĩc tại A với mặt phẳng của hình vuơng, người ta lấy điểm S với 2 2 2 SA y y 0 . Với giả thiết x y a , tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình chĩp S.ABCM. 3a2 3a2 2a2 3a2 A. B. C. D. 42 12 2 8 Hướng dẫn giải 2 2 2 2 2 Xét x y a y a x a V V x a a2 x2 SABCM 6 x 2 Ta cĩ max V xảy ra max 3V xảy ra. S 2 2 a Mà 3V x a x a x a 3a 3x 1 36 Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số khơng âm, ta cĩ: y 1 4 a2 x a x a x a 3a 3x x M 3V2 A D 36 4 2 4 6 6 O 2 a 3 81a 3a 3 2 V . a V a 2 B a C 36.3 2 36.3.16 64 8 a Dấu đẳng thức trong (2) xảy ra a x 3a 3x x 2 3a2 Do đĩ khi M là trung điểm AD thì thể tích V cực đại và max V SABCM 8 Vậy chọn đáp án D. Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 7
8. Câu 10. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuơng ABCD với AB 2a . Trên mặt phẳng chứa BC và vuơng gĩc với (P) lấy điểm E sao cho EBC là tam giác đều; điểm I nằm trên đoạn BC, đặt: BI x . O là trung điểm của AE. a) Tính độ dài OI theo a và x. 2 2 2 2 2 2 2 2 A. x ax 2a B. x ax 2a C. x ax 2a D. x ax 2a Hướng dẫn giải Định lý đường trung tuyến cho: 2AI2 2EI2 AE2 OI2 4 EF2 3a2 2 2 2 2 Với AF 5a OI x ax 2a AE2 AF2 EF2 8a2 , AI2 4a2 x2 Vậy chọn đáp án B. b) Tìm x để độ dài OI lớn nhất. a B. 2a C. a a A. D. 2 5 c) Tìm x để độ dài OI bé nhất. a B. 2a C. a a A. D. 2 5 Hướng dẫn giải 2 2 2 Ta viết: OI f x x ax 2a ;x 0; 2a a f ' x 2x a 0 x Dựa vào bảng biến thiên, ta cĩ: 2 E O a x -∞ 0 2 2a +∞ B x A f'(x) - 0 + (a 2)2 (2a)2 F I f(x) a 7 2 2 C 2a D 2 max f x f 2a 2a max OI S 2a 2a 0 x 2a 0 x 2a 2 a a 7 a a 7 min f x f min OI S 0 x 2a 2 2 0 x 2a 2 2 Câu 11. Cho tứ diện ABCD cĩ AB CD 2x và 4 cạnh cịn lại đều cĩ độ dài bằng 1. Xác định x để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn nhất. 1 2 C. 2 2 A. B. D. 2 2 5 Hướng dẫn giải Nhận thấy các mặt của tứ diện là các tam giác bằng nhau. Suy ra, diện tích tồn phần của tứ diện là: Stp 4SACD 2AI.CD 1 Với AI là đường cao của CAD cân tại A, ta cĩ: Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 8
9. 1 2 2 2 AI 1 x ; 0 x 1 Stp 2.2x 1 x 4x 1 x ; 0 x 1 Nhận thấy: 2 2 A max Stp max x 1 x 1 2 2 2x max 16x 1 x 1 Áp dụng BĐT Cauchy: B 1 2 D x2 1 x2 S2 16x2 1 x2 16. 4 2 1 I tp 2x 2 C 2 2 2 Dấu đẳng thức trong (2) xảy ra x 1 x x 2 2 Vậy với x thì diện tích tồn phần của tứ diện đạt giá trị lớn nhất là maxS 2 2 tp Vậy chọn đáp án B. Câu 12. Cho tứ diện ABCD sao cho AB 2x, CD 2y và 4 cạnh cịn lại đều cĩ độ dài bằng 1. Xác định x và y để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn nhất. 1 2 C. x y 1 1 A. x y B. x y D. x y 2 2 3 Hướng dẫn giải Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta cĩ: ABD cân tại D. DM AD2 AM2 1 x2 2 Tương tự: AN 1 y . Lúc đĩ: 1 S S AB.DM x 1 x2 ABC ABD 2 2 Hồn tồn tương tự: SBCD SACD y 1 y Vậy diện tích tồn phần Stp của tứ diện là: S S S S S 2 x 1 x2 y 1 y2 tp ABC ABD BCD ACD Áp dụng BĐT Schwart, ta cĩ: S 2 x 1 x2 y 1 y2 x2 1 x2 y2 1 y2 S 2 1 tp tp 2 x 1 x 2 Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra x y 2 2 A y 1 y 1 2 2x Vậy maxS 2 x y tp 2 Vậy chọn đáp án B. B 1 D 1 1 N 2y C Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 9
10. · Câu 13. Cho tứ diện SABC cĩ cạnh SA vuơng gĩc với mặt phẳng. Biết SB BC a 2; ASB , gĩc · · BSC , gĩc ASB 0 . Tam giác ABC vuơng tại B. Với giá trị nào của thì VSABC lớn 4 2 nhất. A. B. C. D. 3 6 2 4 Hướng dẫn giải Thể tích tứ diện SABC là: S 1 V BC.S SABC SAB α 45° 3 1 V a 2SA.AB SABC 6 a 2 C AB A sin AB a 2 sin SB Với chú ý: SA cos SA a 2 cos B SB 1 a3 2 Khi đĩ: V a 2.a 2 sin .a 2 cos sin 2 SABC 6 6 Vậy: max V sin 2 1 . SABC 4 Vậy chọn đáp án D. Câu 14. Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm ở ngồi mặt phẳng (ABCD) sao cho SB SD . Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM x . Mặt phẳng qua M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q. Cho SA a . Tính x để diện tích MNPQ lớn nhất. a 2 a 2 a 2 a 2 A. B. C. D. 2 4 3 5 Hướng dẫn giải Nhận xét: Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Thật vậy Vì SB SD Hai tam giác SBC và SDC bằng nhau. Gọi I là trung điểm của SC, ta cĩ: IB ID BID cân tại I IO  BD Mà IO∥ SA SA  BD Mp ∥ BD cắt hai mặt phẳng (ABO) và (SBO) theo hai giao tuyến: MQ∥ NP∥ OB . Mp ∥ SA cắt hai mặt phẳng (SAO) và (SAB) theo hai giao tuyến: MN∥ PQ∥ SA . Vậy MNPQ là hình bình hành. A Biết rằng SA  OB MNPQ là hình chữ nhật. Ta cĩ: SMNPQ MQ.MN Biết tam giác AMQ vuơng cân tại M MQ MA x N a 2 P I x NM OM NM a 2 2x A D Và 2 NM SA OA a a 2 2 Q M O a 2 a 2 B C Vậy S x a x 2 (với 0 x ) MNPQ 2 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số x 2 và a x 2 Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 10
11. 2 x 2 a x 2 a2 Ta cĩ: x 2 a x 2 2 4 x a x 2 a2 a2 2 a2 2 Vậy SMNPQ 2 4 2 8 8 a a 2 Dấu “=” xảy ra khi x 2 a x 2 x M là trung điểm của AO. 2 2 4 Vậy chọn đáp án B. · · · Câu 15. Cho tứ diện OABC cĩ các gĩc AOB BOC COA , OA OB OC x . Tính để diện tích xung quanh lớn nhất. A. B. C. D. 2 4 3 4 Hướng dẫn giải OAB OBC OAC O AB BC CA Gọi H là tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC α x OH là trục của tam giác ABC. x 2 3 2 Ta cĩ: S 3S x sin xq OBC 2 x A C 3 2 maxS x khi sin 1 . xq 2 2 H M Vậy chọn đáp án A. B Câu 16. Hình chĩp tứ giác SABCD cĩ cạnh SA x,x 0, 3 , tất cả các cạnh cịn lại cĩ độ dài 1. Xác định x để hình chĩp cĩ thể tích lớn nhất. 3 3 3 3 A. B. C. D. 3 4 2 5 Hướng dẫn giải Dễ thấy hai tam giác SBD và CBD bằng nhau (c.c.c) OS OC OS OC OA S ASC vuơng tại S. 1 S AC.BD x ABCD 2 2 ASC vuơng cho AC x 1 A COD vuơng tại O cho: D x2 1 3 x2 OD CD2 OC2 1 O 4 2 H B 1 2 2 Vậy S 3 x . x 1 C ABCD 2 Vì SB SC SD 1 SH là trục của tam giác BCD SH  AC 1 1 1 1 1 x2 1 x Tam giác ASC vuơng cho: SH 2 2 2 2 2 SH SC SA 1 x x x2 1 2 2 x 3 x2 x 3 x Ta cĩ: V 6 6 Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 11
12. 2 2 2 2 x 3 x 3 Áp dụng BĐT Cauchy: x 3 x 6 2 1 2 2 3 Vậy V khi x 3 x x . Vậy chọn đáp án C. max 4 2 Luyện tập Tốn 12 * GV Võ Nhật Tuân 12