›
›
›

Tài liệu môn Toán Lớp 12 - Chuẩn bị thi THPT Quốc gia - Tập II - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Lê Thánh Tông

pdf 68 trang thungat 1850
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu môn Toán Lớp 12 - Chuẩn bị thi THPT Quốc gia - Tập II - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Lê Thánh Tông", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_mon_toan_lop_12_chuan_bi_thi_thpt_quoc_gia_tap_ii_n.pdf

Nội dung text: Tài liệu môn Toán Lớp 12 - Chuẩn bị thi THPT Quốc gia - Tập II - Năm học 2017-2018 - Trường THPT chuyên Lê Thánh Tông

  1. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG CHU ẨN BỊ THI THPT QUỐC GIA TẬP II NĂM HỌC : 2017- 2018 ( LƯU HÀNH NỘI BỘ)
  2. Bí quyết của thành công là hãy bắt đầu. Bí quyết để bắt đầu là chia nhỏ các công việc nặng nề, phức tạp thành những việc nhỏ dễ quản lý hơn, rồi bắt đầu với việc thứ nhất. The secret of getting ahead is getting started. The secret of getting started is breaking your complex overwhelming tasks into small manageable tasks, and then starting on the first one. Mark Twain Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 2
  3. LỜI NGỎ Các em học sinh thân mến! Tiếp theo tập san ở học kỳ 1, các thầy cô trong Tổ Toán nhà trường tiếp tục chuyển đến các em một số chuyên đề nhằm giúp các em ôn tập tôt cho kỳ thi sắp đến. Trong các bài viết này dựa theo tư tưởng của đề minh họa 2018 của Bộ vừa phát hành. Để đạt được điểm cao, các em phải giải được các bài toán khó nên các bài viết chỉ khai thác các câu ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao. Các bài viết đều có hướng dẫn tìm lời giải và phân tích các hướng hiểu sai dễ chọn phương án nhiễu. Hy vọng tập san này có ích cho các em! Chúc các em đạt kết quả tốt trong kỳ thi THPT QG sắp đến. Ban biên tập. Đường đi khó - không khó vì ngăn sông cách núi mà khó vì lòng người ngại núi e sông. Nguyễn Bá Học Không biết đã bao nhiêu lần con người buông tay từ bỏ khi mà chỉ một chút nỗ lực, một chút kiên trì nữa thôi là anh ta sẽ đạt được thành công. How many a man has thrown up his hands at a time when a little more effort, a little more patience would have achieved success. Elbert Hubbard Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 3
  4. CHUYÊN ĐỀ 1: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Trong đề minh họa thi THPT năm 2018 của bộ GD ĐT có câu 49 về tổ hợp xác suất như sau : Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. B. . C. . D. . 630 126 105 42 Đây là bài toán không khó lắm, nhưng mỗi phương án đều có hướng giải đến kết quả đó, dĩ nhiên chỉ có một phương án đúng. Các phương án nhiễu quá hay nên bài toán trở nên khó ! Trong cấu trúc đề thi năm nay có chương trình lớp 11, trong đó toán về xác suất tổ hợp luôn là vấn đề khó. Nhằm giúp học sinh hướng đến điểm cao chúng tôi tổng hợp một số bài tập khó có hướng dẫn lời giải giúp các em tự ôn tập tốt. Câu 1. Một khối lập phương độ dài cạnh 2cm được sơn trắng 6 mặt, người ta chia đều khối đó thành 8 khối lập phương nhỏ cạnh 1 cm, sau đó sắp xếp lại thành khối lập phương cạnh 2cm. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để khối lập phương mới có bề ngoài được sơn trắng ? A. 8! B. 38 C. 3.8! D. 38.8! Hướng dẫn tìm lời giải: ta thấy có 8 khối lập phương nhỏ, mỗi khối có 3 mặt được sơn. Để lắp lại thành khối lập thỏa mãn yêu cầu bài toán ta tiến hành 2 bước: - Chọn vị trí cho 8 khối, nên có 8! cách. - Ứng với mỗi vị trí, mỗi khối nhỏ có 3 cách xoay mặt sơn trắng ra ngoài. Do đó có 38 cách sắp xếp 8 khối nhỏ Vậy có 38.8! cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu . Chọn đáp án D. Nếu hiểu không chính xác dễ dẫn đến chọn những phương án A,B,C. Câu 2. Có bao nhiêu hình thang có đỉnh là đỉnh của đa giác đều 12 cạnh? A. 135. B. 150. C. 75. D. 285. Hướng dẫn tìm lời giải: Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối song song, nên ta đi tìm số các cặp cạnh hoặc đường chéo song song. Có 2 loại: -Loại 1: Hình thang có trục đối xứng qua trung điểm 2 cạnh đối của đa giác. Có 4 đường chéo 2 cùng song song với 2 cạnh đa giác, suy ra có C6 hình thang, mà có 6 trục đối xứng loại này 2 2 2 2 nên có 6C6 hình thang, trong đó có C6 hình chữ nhật được kể 2 lần nên có 6CC6 6 75 hình thang loại này. - Loại 2: Hình thang có trục đối xứng là đường chéo qua tâm,ứng với mỗi trục có 5 đường 2 chéo song song nên có tất cả 6C5 hình thang loại này. 2 2 2 Do vậy có tất cả 6CCC6 6 6 5 135 hình thang. Nhận xét: nếu không trừ các hình chữ nhật kể 2 lần thì sẽ chọn phương án B, nếu không thấy được loại 2 thì sẽ chọn phương án C, nếu kể 12 đường chéo sẽ dẫn đến phương án D. Bài này dễ sai nên khó! * Câu 3. Cho đa giác đều A1 A 2 A 2n ,2 n nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết số tam giác có các đỉnh là 3 trong số 2n điểm AAA1, 2 , , 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong số 2n điểm đã cho. Tìm n. A. n = 6. B. n = 8. C. n = 5. D. n = 9. Hướng dẫn tìm lời giải: Ba điểm bất kỳ trong số 2n điểm đã cho luôn không thẳng hàng, do đó số tam giác nhận được 3 là C2n . Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 4
  5. Có n cặp điểm đối xứng qua O, tức là có n đường kính của (O). Dễ thấy cứ hai đường kính của 2 (O) sẽ tạo nên một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật có được là Cn . 3 2 Theo đề ta có phương trình CC2n 20 n Giải phương trình này ta được n = 8. 3 2 Nhận xét: Vấn đề quan trọng của bài toán là lập luận để dẫn đến phương trình CC2n 20 n . Đến đây ta có thể sử dụng máy tính để kiểm tra lần lượt các phương án để chọn được đáp án đúng n = 8. Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10n có tổng các chữ số bằng 3? n3 3 n 2 2 n n3 5 n A. n3 2 n 2 2 n . B. . C. . D. n3 3 n 2 2 n . 6 6 Hướng dẫn tìm lời giải: Tổng các chữ số bằng 3 có các trường hợp sau: - Chi có số 3, tổng 1+2 =3 và 1 + 1 +1 = 3. Bây giờ ta sắp dãy n chữ số 0. 1 .- Chọn 1 vị trí để thay số 0 bởi số 3, có Cn cách. 2 - Chọn 2 vị trí để thay hai số 0 bởi hai số 1 và 2 sau đó hoán vị cho nhau, có 2Cn cách. 3 - Chọn 3 vị trí để thay ba số 0 bởi ba số 1 có Cn cách n3 3 n 2 2 n Từ đó sẽ tìm được số các số nhỏ hơn 10n có tổng các chữ số bằng 3 là . 6 Nhận xét: nếu thiếu cẩn thận quên quy đồng mẫu số sẽ dẫn đến phương án A, nếu quên hoán vị hai vị trí 1 và 2 sẽ dẫn đến phương án C, thu gọn biểu thức quên ghi mẫu số sẽ đến phương án D. Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau trong đó có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ? A. 302400. B. 241560. C. 297160. D. 311420. Hướng dẫn tìm lời giải: Vì chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7 cách sắp xếp vị trí cho chữ số 0. 2 Ta có A5 cách chọn và sắp xếp hai chữ số lẻ đứng liền trước và liền sau chữ số 0. 2 Cuối cùng ta có C3 cách chọn hai số lẻ còn lại và 6! cách sắp xếp 6 số (2 lẻ 4 chẵn) vào 6 vị trí còn lại. 2 2 Vậy có7.A5C 3 .6! 302400 số. Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có5 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số hàng đơn vị bằng 1. A. 1286. B. 1015. C. 946. D. 1124. Hướng dẫn tìm lời giải: Giả sử số cần tìm là a1 a 2 a 3 a 41 a 1 0 . Ta có aaaa12341 10. aaaa 1234 1 7. aaaa 1234 3. aaaa 1234 1 nên để a1 a 2 a 3 a 41 a 1 0 chia hết cho 7 thì phải có 3.a1 a 2 a 3 a 4 1chia hết cho 7. Khi đó tồn tại số nguyên dương n sao cho Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 5
  6. 7n 1 n 1 3.a a a a 1 7 n , suy ra a a a a 2 n . 1 2 3 4 1 2 3 4 3 3 Do đó ta phải có (n-1) chia hết cho 3 hay tồn tại t nguyên dương sao cho n 1 3 t n 3 t 1, suy ra a1 a 2 a 3 a 4 7 t 2 . 998 9997 Vì 1000 a a a a 9999 1000 7 t 2 9999 t nên 1 2 3 4 7 7 t 143;144; ;1428, có 1286 giá trị t như vậy. Dễ thấy ứng với mỗi giá trị của t là duy nhất một số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy có tất cả 1286 số cần tìm. Câu 7. (Thi thử THPT trường chuyên Lê Thánh Tông 2018lần 1). Một dãy các hộp gồm 2018 hộp chứa bi đỏ và bi trắng. Biết mỗi hộp chứa đúng 1 bi đỏ và hộp thứ k thì chứa đúng k bi trắng (1 k 2018 ). Lan lần lượt bốc ra từ mỗi hộp 1 bi và bắt đầu từ hộp thứ nhất. Lan sẽ dừng lại ngay sau khi bốc được bi đỏ. Gọi P(n) là xác suất để Lan dừng lại ở lần bốc thứ n. 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của n để P(n ) . 2018 A. 44 B. 30 C. 60 D. 45 Phân tích tìm lời giải: Theo đề thì hộp thứ nhất có 2 bi, hộp thứ k có k + 1 bi. Gọi PA k là xác suất bốc được bi đỏ ở hộp thứ k, khi đó xác suất không bốc được bi đỏ ở hộp thứ k là 1 k PA . Ta có PA , nên PAPA 1 . k k k 1 k k k 1 Như vậy xác suất bốc được bi đỏ ở hộp thứ n là P n P A1 . P A 2 P An 1 . P A n 1 2n 1 1 1 1 1 Ta có P n . . . Từ đề ta có n n 1 2018 2 3n n 1 n n 1 n n 1 2018 n 45,4 . Do đó giá trị nhỏ nhất của n là 45. Chọn đáp án D. n 44,4 Câu 8. Từ các chữ số của tập M={ 0,1,3,5,7;9} người ta lần lượt ghi ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Tính xác suất để trong hai số đó có ít nhất một số là bội của 5. 36 326 163 A. P 0,36. B. P . C. P . D. P . 55 605 550 2 Phân tích tìm lời giải. Số các số có 3 chữ khác nhau được lập từ M là 5.A5 100 . Do lần lượt 1 1 ghi nên số phần tử không gian mẫu là: n  C100. C 99 9900 . Gọi A là biến cố thỏa mãn đề bài. Ta phải tìm số các số có 3 chữ khác nhau lập từ M là 2 1 bội của 5. Số các số có chữ số 0 tận cùng là A5 , số các số có chữ số 5 tận cùng là 4A4 , nên số 2 1 các số bội của 5 là AA5 4 4 36 . Từ đó sẽ tìm được số các số có 3 chữ số lập từ M không chia 1 1 1 1 hết cho 5. Dễ tìm được số phần tử của biến cố A là n A C36. C 64 C 36 . C 35 3564 Việc còn lại tìm xác suất biến cố A, đáp án đúng là PA 0,36. 2 Chú ý: học sinh dễ nhầm khi tính không gian mẫu là C100 sẽ dẫn đến sai là chọn phương án B. 2 Tính sai khi chọn 2 số là bội của 5 là C36 sẽ dẫn đến phương án C, D. Câu 9. Cho thập giác lồi có 10 cạnh được tô màu, chọn ngẫu nhiên tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của thập giác. Tính xác suất để chọn được tam giác có 3 cạnh không tô màu. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 6
  7. 1 5 7 5 A. P B. P C. P D. P 2 12 12 12 Hướng dẫn tìm lời giải: Gọi đa giác là A1A2 A10 . 3 Số phần tử không gian mẫu n  C10 120 . Số tam giác có 2 cạnh tô màu là 2 cạnh liên tiếp của đa giác nên có 10 tam giác. Tam giác có 1 cạnh tô màu giả sử cạnh A1A2 đỉnh còn lại được chọn từ 6 đỉnh {A4,; A5; .: A9} nên số tam giác có 1 cạnh tô màu là 10x6 = 60. Từ đó tìm được số tam giác có 3 cạnh không tô màu là 50. 5 Dễ dàng suy ra xác suất cần tìm là P , chọn phương án B 12 Câu 10. Có 6 học sinh lớp 10, 5 học sinh lớp 11 và 4 học sinh lớp 12. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh, tính xác suất để trong 8 học sinh đó số học sinh lớp 10 bằng số học sinh lớp 11. 1 5 95 5 A. P B. P C. P D. P 2 12 429 12 Hướng dẫn tìm lời giải: 8 Số phần tử không gian mẫu là sô cách chọn 8 hs từ 15 hs: n  C15 6435 Đây là bài toán phải phân các trường hợp. Do số học sinh lớp 12 là 4 nên số học sinh của 2 lớp 10 và 11 không thể bằng 1 được. 2 2 4 - Nếu có 2 học sinh 10 và 2 học sinh 11 và 4 học sinh 12 số cách chọn là CCC6 5 4 . 3 3 2 - Nếu có 3 học sinh 10 và 3 học sinh 11 và 2 học sinh 12 số cách chọn là CCC6 5 4 . 4 4 - Nếu có 4 học sinh 10 và 4 học sinh 11 và 0 học sinh 12 số cách chọn là CC6 5 Nên số phần tử của biến cố có số học sinh của hai khối 10 và 11 bằng nhau là 95 CCC2 2 4 +CCC3 3 2 +CC4 4 =1425. Từ đó dễ dàng tính được xác suất cần tìm P . 6 5 4 6 5 4 6 5 429 Câu 11. “Đổ tam hường” là trò chơi dân gian thưởng có trong ngày Tết xưa. Gieo đồng thời 3 con xúc sắc, người thắng cuộc nếu có xuất hiện ít nhất 2 mặt lục (6 chấm). Tính xác suất để trong 4 ván chơi thắng ít nhất 3 ván. 8 272 800 880 A. P . B. P . C. P . D. P . 19683 177147 531441 531441 Hướng dẫn tìm lời giải. Gọi Ai là biến cố lần thứ i thắng. Tung 1 con xúc sắc xác suất xuất 1 5 hiện mặt lục là , xác suất không xuất hiện mặt lục là . 6 6 Lần thứ i thắng khi cả 3 con xuất hiện mặt lục, hoặc có đúng 2 con xuất hiện mặt lục, theo 3 2 1 2 1 5 2 quy tắc cọng ta có lần thứ i thắng với xác suất là PAC i 3 . 6 6 6 27 25 Như vậy lần thứ i thua là PAPA 1 i i 27 Để chơi 4 ván thắng ít nhất 3 ván là: cả 4 ván đều thắng hoặc có 3 ván thắng 1 ván thua, do 4 3 2 3 2 25 272 đó xác suất là: PC 4 chọn phương án B. 27 27 27 177147 2 Lời bàn: Nếu tính xác suất có đúng 2 mặt lục mà không nhân với C3 sẽ dẫn đến phương án 3 C,D nếu 3 ván thắng 1 ván thua mà không nhân với C4 thì sẽ dẫn đến phương án A. Nên đây là bài toán khó! Câu 12. Một đề thi trắc nghiệm có 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Trả lời đúng 1 câu được 0,2 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng các chọn mỗi câu 1 phương án một cách tùy hứng. Tính xác suất để học sinh đó được 5 điểm. A. P 6,6839.10 19 B. P 0,1122 C. P 0,0188 D. P 8, 449.10 5 Hướng dẫn tìm lời giải. Để được 5 điểm thì học sinh đó chọn đúng được đúng 25 câu. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 7
  8. 1 3 Xác suất để trả lời đúng 1 câu là và sai là . Nên xác suất để được 5 điểm là 4 4 25 25 25 1 3 5 PC 50 8, 449.10 , chọn phương án D. 4 4 25 Chú ý: khi giải bài này thường học sinh quên nhân với C50 nên dẫn đến phương án A, quên 25 3 nhân với sẽ dẫn đến phương án C, hoặc nhân với 25 sẽ dẫn đến phương án C. Ta thấy 4 một học sinh kém để đạt 5 điểm thì xác suất quá bé phải không! Nên lo học đừng cầu may nhé! Câu 13. Đề thi có 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án, trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Một thí sinh đã làm được 40 câu trong đó đúng 32 câu. Ở 10 câu còn lại anh ta chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án. Xác suất P để thí sinh đó đạt 8 điểm trở lên. 109 215 97 137 A. P . B. P . B. P . D. P 262144 262144 262144 262144 Hướng dẫn tìm lời giải Thí sinh đó làm đúng 32 câu như vậy được 32.0,2 = 6,4 điểm. Thí sinh này muốn đạt trên 8 điểm thì phải chọn đúng 8−6,40,2=8 câu trở lên trong tổng số 10 câu còn lại. Nghĩa là thí sinh này chỉ được sai 0, 1 hoặc 2 câu. Do đó yêu cầu bài toán trở thành tính xác suất để học sinh trả lời sai không quá 2 câu trong số 10 câu còn lại. Mỗi câu có 4 phương án nên tổng số cách chọn là n(Ω)=410. Mỗi câu có 3 phương án sai nên có 3 cách chọn sai mỗi câu. 0 0 - Chọn sai 0 câu có số cách: C10.3 . 1 1 - Chọn sai 1 câu có số cách: C10.3 2 2 - Chọn sai 2 câu có số cách: C10.3 CCC0.3 0 1 .3 1 2 .3 2 109 Vậy xác suất cần tính là P 10 10 10 . Chọn A. 410 262144 Câu 14. Một đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên một đường chéo, tìm giá trị nhỏ nhất của n để xác suất chọn được đường chéo không qua tâm O lớn hơn 6 hoặc bằng 7. A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. Hướng dẫn tìm lời giải: Ta tìm xác suất chọn được đường chéo qua tâm O. Số đường chéo 2 của đa giác là C2n 2 n , có n đường chéo qua tâm O, Nên xác suất để chọn được đường chéo n qua tâm là 2 . Do đó xác suất chọn đường chéo không qua tâm O là C2n 2 n n 1 1 6 1 2 1 . Đi giải bất phương trình 1 , tìm giá trị nhỏ nhất của n = 5. C2n 2 n 2 n 3 2n 3 7 Chọn phương án B. Câu 15. Có 2 hộp, mỗi hộp chứa một số bi trắng và bi đen. Tổng số bi ở cả hai hộp là 25 và có một hộp chứa ít hơn 10 bi. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Biết rằng xác suất chọn được hai bi trắng là 0,54. Tính xác suất P của biến cố: ” chọn được hai bi đen”. A. P = 0,04. B. P = 0,08. C. P = 0,02 D. P = 0,06. Hướng dẫn tìm lời giải Giả sử hộp 1 có n1 bi, trong đó có k1 bi trắng * n1, k 1 ;1 k 1 n 1 10 ; * hộp 2 có n2 bi, trong đó có k2 bi trắng n2, k 2 ;1 k 2 n 2 25 . Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 8
  9. n n 25 1 1 2 Theo đề ta có . 2 50k k 27 n n , suy ra n n 5(3) k1 k 2 54 1 2 1 2 1 2 . 2 n1 n 2 100 Từ (1) ta suy ra n1 n 2 5; từ (3) ta có n15 và n2 5 . Kết hợp điều kiện n1 10 ta được n1 = 5 và n2 = 20. Từ (2) ta nhận được k1. k 2 54 . Kết hợp điều kiện 1 k1 n 1 5 và 1 k2 n 2 20 ta nhận được k1 3 và k2 18 . 3 2 Khi đó xác suất để dược hai bi đen là P . 0,04 . Chọn A. 5 20 Nhận xét: Vai trò các hộp đựng bi là như nhau, nhiều bạn đổi vai trò của hai hộp nên đẫn đến kết quả sai là 0,08. Câu 16. Một bà mẹ mong muốn sinh bằng được con gái (sinh được con gái thì không sinh nữa, chưa sinh được con gái thì sẽ sinh nữa). Xác suất sinh được con gái trong mỗi lần sinh là 0,486. Tìm xác suất P để người mẹ đạt được mong muốn sau nhiều nhất hai lần sinh con (làm tròn đến 3 chữ số thập phân). A. P 0,735 . B. P 0,736 . C. P 0,249. D. P 0,250. Hướng dẫn tìm lời giải Gọi Ai là biến cố lần sinh thứ i người mẹ sinh được con gái và Ai là biến cố lần sinh thứ i người mẹ sinh được con trai (i=1;2). Ta có P(Ai)= 0,486 và PAPA i 1 i 0,514 . Gọi A là biến cố người mẹ đạt được mong muốn sau nhiều nhất hai lần sinh con. Khi đó AAAA 1  1. 2 , A1 và AA1. 2 xung khắc, A1 và A2 độc lập nhau. Từ đó suy ra PPAPAPAPA ()(). 1 1 2 0, 736. Chọn B. Nhận xét: Học sinh cũng cần lưu ý đến quy tắc làm tròn số. Đây cũng là một vấn đề thường gặp trong các bài toán thực tế. Câu 17. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên 8 tấm. Tính xác suất P để chọn được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó ít nhất 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 4. 1008 3695 504 3191 A. P B. P C. P D. P 4199 4199 4199 4199 8 Hướng dẫn tìm lời giải Chọn ra 8 tấm thẻ 1 cách ngẫu nhiên có  C20 cách. Trong 20 tấm thẻ có 10 tấm mang số lẻ, có 5 tấm mang số chẵn không chia hết cho 4 và 5 tấm thẻ mang số chẵn chia hết cho 4. TH1: Lấy được 5 tấm mang số lẻ, 2 tấm mang số chẵn chia hết cho 4 và tấm mang 1 số chẵn 5 2 1 không chi hết cho 4 có: CCC10 5 5 . 5 3 TH2: Lấy được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn chia hết cho 4 có CC10. 5 cách. 5 3 5 2 1 CCCCC10 5 10 5 5 504 Vậy xác suất cần tìm là P 8 . Chọn C. C20 4199 Câu 18. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất P để được một số nhỏ hơn 4321 và hai chữ số 1 và 3 luôn đứng cạnh nhau. 17 13 23 11 A. P . B. P . C. P . D. P . 90 90 90 90 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 9
  10. Hướng dẫn tìm lời giải Đầu tiên ta đếm số phần tử của tập S, đây cũng chính là số phần tử của không gian mẫu. Chú ý rằng tập nền có chứa chứ số 0 và chữ số cuối cùng của phần tử thuộc S phải là chữ số chẵn (có thể bằng 0). Do đó ta xét hai trường hợp theo chữ số cuối cùng ( 3 2 bằng O hoặc khác O). Dễ thấy số phần tử của S là AA6 3.4. 5 360 . Tiếp theo ta đếm các số tự nhiên chẵn thuộc S gồm 4 số khác nhau, nhỏ hơn 4321 và hai chữ số 1 và 3 luôn đứng cạnh nhau. Giả sử các số này có dạng abcd . +Trường hợp 1: a và b là các chữ số 1 và 3. Ta có 2! cách chọn a và b. Khi đó d có 4 cách chọn d 0;2;4;6 và c có 4 cách chọn c 0;2;4;5;6 \ d . Trong trường hợp này có 2!.4.4 = 32 số. +Trường hợp 2: b và c là các chữ số 1 và 3. Ta có 2! Cách chọn b và c. Nếu d = 0 thì có 2 cách chọn a a 2;4 . Nếu d= 2 thì a = 4. Nếu d= 4 thì a = 2. Nếu d = 6 thì a = 2 hoặc a = 4. Trường hợp này có 2!.(2+1+1+2) = 12 số. Do đó số các số cần tìm là 32 + 12 = 44 số. Chú ý rằng đây cũng chính là số kết quả có lợi cho biến cố mà bài toán yêu cầu. 44 11 Vậy xác suất cần tìm là P . Chọn D. 360 90 Nhận xét: Học sinh cần chú ý hai điều kiện quan trọng của bài toán là chẵn, nhỏ hơn 4321, hai chữ số 1 và 3 đứng kề nhau. Việc xét từng trường hợp cho các chữ số 1 và 3 cũng như các giá trị của d có thể làm cho lời giải dài dòng nhưng khá rõ ràng. Khi chứ số cuối cùng có thể bằng 0 thì nên chia thành hai trường hợp như lời giải trên hoặc dùng quy tắc phần bù (đếm trường hợp chữ số đầu tiên có thể bằng 0 và trường hợp chứ số đầu tiên bằng 0). 7605 7056 6075 5670 A. P B. P . C. P . D. P . 25088 25088 25088 25088 Câu 19. Một hộp đựng 5 bi xanh 3 bi đỏ. Lấy liên tiếp 3 bi từ hộp theo quy tắc: nếu lấy được bi đỏ thì trả lại vào hộp còn lấy được bi xanh thì không. Tính xác suất để trong ba lần lấy có đúng 1 lần lấy đươc 1 bi xanh. 7605 7056 6075 5670 A. P B. P . C. P . D. P . 25088 25088 25088 25088 Hướng dẫn tìm lời giải Ta xét 3 trường hợp có đúng một lần được bi xanh. TH1: Xanh - đỏ - đỏ. 5 Bước 1: xác suất lấy 1 xanh từ hộp ban đầu là . 8 3 Bước 2: Sau khi lấy đi bi xanh thì hộp còn 4 xanh 3 đỏ, xác suất chọn 1 bi đỏ là . 7 Bước 3: Ở bước 2 lấy ra bi đỏ sẽ bỏ trỏ lại nên số bi trong hộp vẫn là 4 xanh 3 đỏ nên xác suất 3 lấy được 1 bi đỏ lần này là . 7 5 3 3 45 Vậy xác suất của trường hợp 1 theo qui tắc nhân là . 8 7 7 392 Thường hợp 2: Đỏ - xanh - đỏ. 3 5 3 45 Tương tự như trên ta có xác suất trong trường hợp này là . 8 8 7 448 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 10
  11. Trường hợp 3: Đỏ - đỏ - xanh, xác suất trong trường hợp này là 3 3 5 45 . 8 8 8 512 45 45 45 7605 Vậy xác suất cần tìm là P . Chọn A. 392 448 512 25088 Câu 20. Bạn Hoa có 12 quyển sách trong đó có 3 quyển sách Toán . Hoa xếp sách lên một chiếc kệ có 3 ngăn, một ngăn xếp 3 quyển sách, một ngăn xếp 4 quyển sách, một ngăn xếp 5 quyển sách. Nếu Hoa xếp sách một cách ngẫu nhiên, xác suất P để 3 quyển sách Toán được xếp vào cùng một ngăn là bao nhiêu? 3 5 9 3 A. P . B. P . C. P . D. P . 44 44 11 250 Hướng dẫn tìm lời giải Số cách sắp xếp 12 cuốn sách tùy ý là 12!. Gọi các ngăn chứa 3 cuốn, 4 cuốn, 5 cuốn lần lượt là các ngăn A, B, C. Trường hợp 1: 3 cuốn sách Toán nằm ở ngăn A. Khi đó có 3! Cách sắp xếp 3 sách Toán vào ngăn A và 9! Cách sắp xếp 9 quyển sách còn lại vào hai ngăn còn lại. Suy ra trường hợp này có m1 3!.9! cách. Trường hợp 2: 3 sách Toán ở ngăn B. Chọn thêm 1 cuốn sách khác từ 9 cuốn sách còn lại để xếp vào ngăn B, có 9 cách. Khi đó ở ngăn B có 4! cách sắp xếp. Tám cuốn sách còn lại được xếp vào hai ngăn còn lại, có 8! cách. Như vậy trong trường hợp này có m2 9.4!.8! cách. Trường hợp 3: 3 cuốn sách Toán cùng ở ngăn C. Tương tự trường hợp 2, số cách sắp xếp 2 trong trường hợp này là m3 C 9 .5!.7! cách. m m m 3 Vậy xác suất cần tính là P 1 2 3 . 12! 44 Sau đây là một số bài tập dành cho các em rèn luyện thêm. Câu 21. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có chứa các chữ số 3, 4, 5 và chữ số 4 đứng giữa chữ số 3 và chữ số 5. A. 1470. B. 750. C. 2940. D. 1500. Câu 22. Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên 8 tấm. Tính xác suất P để chọn được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó ít nhất 2 tấm thẻ mang số chia hết cho 4. 1008 3695 504 3191 A. B. C. D. 4199 4199 4199 4199 Câu 23. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 . Tính xác suất P để viết được số thỏa mãn điều kiện a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 . 4 4 3 5 A. P . B. P . C. P . D. P . 85 135 20 158 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 11
  12. Câu 24. Một thí sinh tham gia kì thi THPT Quốc gia. Trong bài thi môn Toán bạn đó làm được chắc chắn đúng 40 câu. Trong 10 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên bạn bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Hỏi xác suất bạn đó được 9 điểm là bao nhiêu? A. 0.079 . B. 0.179 . C. 0.097 . D. 0.068. Câu 25. Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút liên tiếp khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B chỉ nhớ được chi tiết 3 nút tạo thành dãy số tăng. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó biết rằng để nếu bấn sai 3 lần liên tiếp của sẽ tự động khóa lại. 631 189 1 1 A. B. C. D. 3375 1003 5 15 Đáp án: 21D, 22C, 23 B, 24B, 25A. Kết luận: Một số vấn đề quan trọng khác của chuyên để Tổ hợp – Xác suất chưa được đề cập đến trong bài viết này như Nhị thức newton Bài viết chỉ mong muốn đưa ra một số bài tập và các lưu ý cần thiết cho các em học sinh khi ôn tập về chuyên đề này. Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp đến! CHUYÊN ĐỀ II: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Trong hình thức thi trắc nghiệm môn Toán – học sinh phải nắm vững các kiến thức, khái niệm định lí, sử dụng thành thạo máy tính Casio, biết cách vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để xử lý các bài toán ở cấp độ vận dụng – vận dụng cao. Bài toán tính tích phân – thực chất là bài toán xác định nguyên hàm – Ngoài việc sử dụng định nghĩa để tính các tích phân đơn giản – ta còn có những phương pháp khác để tính tích phân : phương pháp biến đổi , phương pháp đổi biến , phương pháp tích phân từng phần, phương pháp hình học phương pháp loại suy, phương pháp thử sai. Để hạn chế việc học sinh sử dụng máy tính để tìm đến kết quả - người ta với những cách thức ra đề khác nhau đã tạo ra nhiều các bài tập đòi hỏi học sinh phải tư duy – phải giải . Các em cần giải nhiều để quen – để biết xử lí tốt hơn các bài toán không quen thuộc – để tự tin hơn và có thể đạt kết quả tốt nhất. Chúng tôi giới thiệu với các em các nhóm bài tập trong lớp các bài toán tích phân để các em tìm hiểu. Các em giải, tìm hiểu trước và sau đó đối chiếu với hướng dẫn giải ngay bên dưới từng nhóm bài. I/ CÁC CÂU TRẮC NGHIỆM 1/ Phương pháp biến đổi. Dựa vào định nghĩa tích phân, các tính chất tích phân 2 Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [1,2] và f(1) =1 , f(2) =2. Tính I= f'( x ) dx . 1 7 A. I= 1 B. I=1 C. I=3 D. I= 2 Câu 2: Cho hàm y=f(x) liên tục trên R và thỏa mãn Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 12
  13. f x 0,  x x 2 f ’ x e . f x ,  x . 1 f 0 . 2 Tính f(ln2) 3 1 2 A. B. C. D. 2 2 3 3 1 Câu 3: Cho hàm f(x) với f(0) =f(1) =1. Biết I ex .[ f ( x ) f '( x )] dx ae b . 0 Tính Q= a2017+ b2017 A. Q= 0 B. Q=2 C. Q= 1 D. Q = 2 b Câu 4: Biết tan2 xdx a b . Xác định hệ thức liên hệ giữa a và b. a A. b= a+ k ( k Z) B. b= a + k2 ( k Z) 2 C. b= a+ k ( k Z) D. b= a + k ( k Z) 7 12 12 Câu 5: Biết sin2 xdx a và cos 2 xdx b. Tính I = cos2 xdx theo a và b. 0 0 7 A. a b B. a b C. a b D. a b 7 7 7 12 2017 sin x Câu 6: Xác định số các giá trị x biết .dy 1. 2016 x A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số. 1 1 Câu 7: Biết dx aln 2 b ln 3 với a, b là các số nguyên. Khẳng định nào sau đây 2 0 x 3 x 2 đúng? A. a b 2 . B. a 2 b 0. C. a b 2 . D. a 2 b 0 . a (2x 1) ex 2 x e 1 Câu 8: Biết dx 1 ln . Tính giá trị của số thực a. x 0 e 1 2 3 1 A. a= B. a C. a=1 D. a= 1 2 2 1 1e2 3 Câu 9: Biết dx a b ln( ) . Tính giá trị biểu thức P =2a+b 2x 0 e 3 4 A. P= ½ B. P= ¼ C. P = 2/3 D. P= 1/3 2/ Phương pháp đổi biến . e ln x eln x Câu 10: Biết dx ea b . Tính giá trị P= a+2b. 1 x 3 5 A.1 B. 2 C. D. 2 2 1 m 3x ln 3 Câu 11: Biết dx 6 0 . Tính m. 2 1 x Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 13
  14. 3 1 1 A. m= B. m= C. m= D. m= 2 2 2 2 1 2 3 Câu 12: Biết 1 x2 dx với a,b Z. Tính P=a+b. 0 a b A. P=10 B. P= 20 C. P= 12 D. 16 4 2 Câu 13: Biết f( x ) dx 16 . Tính I f(2 x ) dx 0 0 A. I= 16 B. I=32 C. I= 8 D. I=4 8 5 Câu 14: Cho hàm số f() x có đạo hàm trên đoạn [-8; 8] , f (8) 3 và  f'( x ) f '( x ) dx . 0 2 Tính f ( 8) . 11 7 1 11 A. f ( 8) . B. f ( 8) . C. f ( 8) . D. f ( 8) . 2 4 2 2 2 2 Câu 15: Biết I cos x f (sin x ) dx 8. Tính K sin x f (cos x ) dx 0 0 A. K=8 B. K= 8 C. K= 4 D. K=16 1 Câu 16: f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x) +f( x) = 3x2, x R. Tính f() x dx . 1 A. 1 B. 1 C. 0 D. 2 Câu 17: Cho hàm f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x)+f( x) = 2 2cos 2x  x R. 3 2 Tính I f() x dx 3 2 A. I=3 B. I= -2 C. I=0 D. I=6 Câu 18: Biết y= f(x+ ) là hàm chẵn trên [ , ] và f(x )+ f(x+ ) = sinx+cosx. 2 2 2 2 2 Tính I f() x dx 0 1 A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 Câu 19: Cho hàm số f() x liên tục trên và các tích phân 4 f(tan x ) dx 4 và 0 2 1 x f() x 1 dx 2 , tính tích phân I f() x dx . 0 x2 1 0 A. 6 B. 2 C. 3 D. 1 3/ Phương pháp tích phân từng phần. 3 Câu 20: Biết lnxdx a ln3 b ln 2 1; a , b . Khi đó, giá trị của a b là: 2 A. 1 B. 5 C. 5 D. 6 2 Câu 21: Biết I e5 2x dx ae b ce , với a, b, c là các số nguyên. Tính P = ab + c. 2 A. P = 4. B. P = 12. C. P = 0. D. P = 6. Câu 22: f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên R , f(x) x.f’(x) =2x, x R và f(1) =2. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 14
  15. 1 Tính f() x dx 0 1 3 A. B. 1 C. D. 1 2 2 Câu 23: f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(x)+x.f’(x) =2x, x R. Tính f(1). A. 1 B. 1 C. 2 D. 0 Câu 24: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp 2 trên R. Biết f(1) f(0) = 2 và 1 x. f ''( x ) dx 5. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1. 0 A. 3 B. 7 C. 0 D. 6 Câu 25: Biết F() x là một nguyên hàm của hàm số f() x trên đoạn 0;1, FF(0) 0, (1) 2 và 1 f() x 1 F() x dx 2 . Tính I = dx . 2 0 x 1 0 (x 1) A. 3 B. 2 C. 1 D. 2 2017 Câu 26: Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(2018) = F( x 1) dx 1. 1 2018 Tính I= x.(). f x dx 0 A. I =2019 B. I= 2018 C. I= 2017 D. I=2016 1 Câu 27: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0,1] và thỏa mãn f(1)=0 , [f '( x )]2 dx 7 , 0 1 1 1 x2 f ( x ) dx . Tính I= f(). x dx 0 3 0 7 7 A. B. 1 C. D. 4 4 5 4/ Phương pháp hình học 1 Câu 28: Biết 2y y2 dy = a. +b . Tính P = 2a+ b. 0 1 2 A. P = 2 B. P = C. P =1 D. P = 2 3 1 2 3 Câu 29: Biết 1 x2 dx với a,b Z. Tính P=a+b. 0 a b A. P=10 B. P= 20 C. P= 12 D. 16 Câu 30: Gọi V là thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi đường x2 4 y 2 4 0 khi ta quay hình (H) quanh trục Ox. V gần nhất với số nào dưới đây? A. 16,75 B. 16,76 C. 16,74 D. 16,77 a Câu 31: Tìm các số thực dương a sao cho a2 x 2 dx 0 1 A. 0<a< B. 0<a<1 C. 0<a<3 D. 0<a<2 3 Câu 32: Tính thể tích khối tròn xoay có được khi ta quay hình phẳng giới hạn bởi các đường (x-2)2+y2=4 và (x-1)2+y2=1 quanh trục Ox. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 15
  16. 28 26 20 A. B. C. 9 D. 3 3 3 Câu 33: AB là đường kính mặt cầu (S). M là điểm trên đoạn AB : AM=2BM. Mặt phẳng α qua M vuông góc với AB chia khối cầu thành 2 khối nhỏ. Tính tỷ số k ( k<1) thể tích của 2 khối nhỏ này. 1 1 7 3 A. k= B. k= C. k= D. k= 8 4 20 10 II/ HƯỚNG DẪN GIẢI: 1/ Hướng dẫn các câu từ câu 1 đến câu 9: 2 Câu 1: I= f'( x ) dx f ( x ) |2 f (2) f (1) 1 1 1 f’ x 1 1 Câu 2: f’(x) = ex.f 2(x) ex []' ex ex C (*) f2 x f x f x 1 e0 CC 2 1 C 1 f 0 1 1 (*) f(x) = f(ln2) = . ex 1 3 1 1 1 Câu 3: I ex .[ f ( x ) f '( x )] dx [ f ( x )(e x )' f '( x )e x ] dx [ f ( x ).e x ]' dx f ( x ).e x |1 f (1). e f (0) 0 0 0 0 I ae b f(1). e f (0) ae b a f (1) 1, b f (0) 1 Q 0 Câu 4: b b 1 a b tan2 xdx ( 1) dx ( t anx - x) |b = tanb-tana - b+a tanb=tana b a k 2 a a a cos x 12 7 12 7 7 12 Câu 5: cos2xdx cos 2 xdx cos 2 xdx dx sin 2 xdx cos 2 xdx a b 0 0 /7 0 0 /7 7 2017sin x si n x 2017 si n x Câu 6: 1 .dy 1. dy sinx x ( x 0) (!) . Chọn phương án A. 2016x x 2016 x 11 1 1 1x 1 2 1 Câu 7: aln2 b ln3 dx ( ) dx ln( )|ln1 ln 2ln2ln3 2 0 0x 3 x 2 0 x 1 x 2 x 2 3 2 a 2, b 1 e 1a (2 x 1) ex 2 x a 2 x ( e x 1) e x a e x Câu 8: 1 ln dx dx (2 x ) dx x x x 20e 1 0 e 1 0 e 1 ea 1 [x2 ln( ex 1)] a a 2 ln( e a 1) ln 2 a 2 ln( ) a 1 0 2 e2 31 1 1 1 3 1 1 e 2x Câu 9: a bln( ) dx dx (1 ) dx 2x 2 x 2 x 40e 3 3 0 e 3 3 0 e 3 1 11 2.e2x 1 1 1 1 e 2 3 1 1 1 dx ln( e2x 3) | 1 ln( ) a ; b 2 a b 2x 0 3 60 e 3 3 6 3 6 4 3 6 2 2/ Hướng dẫn các câu từ câu 10 đến câu 19: elnx x e 1 1 1 1 1 Câu 10: ea b dx (ln x . 1) dx ( ln2 x x ) | e e 1 e a 1, b 1 1x 1 x 2 2 2 2 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 16
  17. 1 m3x ln 3 m 1 1 1 1 1 Câu 11: dx 6 0 (3x )' dx 6 0 3 x |m 6 3 m 3 6 3 m 32 m 2 1 1x 1 2 1 3 2 6 Câu 12: 1 x2 dx 1 sin 2 t .cos t dt ( x sin t ) a b 0 0 61 6 1 1 1 3 3 cos t dt (1 cos 2 t ) dt .( t sin 2 t ) |6 ( ) a 12, b 8 a b 20 0 02 0 2 2 2 6 4 12 8 21 2 1 4 Câu 13: I f(2 x ) dx f (2 x ) d 2 x f ( x ) dx 8 02 0 2 0 5 8 8 8 8 8 8 Câu 14:  f'() x f '() x dx f '() x dx f '()() x d x f '() x dx f '()() x d x f '() x dx 2 0 0 0 0 0 8 5 11 f(8) f ( 8) f ( 8) 2 2 2 2 Câu 15: K sin( x ) f ( c os( x )) dx sin( x ) f ( c os( x )) d ( x ) 02 2 0 2 2 2 0 sinx f ( c os x ) d ( x ) I 8 2 1 1 1 1 Câu 16: [f ( x ) f ( x )] dx 3 x2 dx 1 f( x ) dx f ( x ) d ( x ) x3 | 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 f( x ) dx f ( x ) dx 1 f ( x ) dx 1 0 0 1 Câu 17: f(x)+f( x) = 2 2cos 2x 2 | cos x | 3 3 3 3 3 2 2 2 Tích phân 2 vế trên [,] ta được : f( x ) dx f ( x ) dx 2 | cos x | dx 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 f( x ) dx f ( x ) d ( x ) 4 | cos x | dx 3 3 0 2 2 3 3 3 2 2 2 2 f( x ) dx f ( x ) d ( x ) 4( cos xdx cos xdx ) 2I= 4.3=12 I=6 3 3 0 2 2 2 Câu 18: y= f(x+ ) = g(x) là hàm chẵn trên [ , ] f(x+ )= f( x+ ) ;  x [ , ] 2 2 2 2 2 2 2 f(x )+ f( x+ ) = sinx+cosx 2 2 22 2 (f x f ( x ))dx (sinx c os x ) dx (f x dx f ( x ) dx 2 0 20 0 0 2 2 2 2 0 (f x dx f ( x )( d x )2( f x dx f ()()2 x d x 0 0 2 2 0 2 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 17
  18. 2 2 2 (f x dx 2 ( f x dx 1 0 0 1x2 f()() x 1 1 f x 1 Câu 19: 2 dx f ( x ) dx dx f ( x ) dx K (*) 2 2 0x 1 0 0 x 1 0 1 1 x = tant dx = dt (1 tan2 t ) dt dt = dx cos2t 1 x2 1 f() x 4 x=0 t=0 ; x= 1 t= . Ta có : K= dx = f(tan t ) dt = 4 ( ) 2 4 0 x 1 0 1 (*)( ) I f( x ) dx 6 0 3/ Hướng dẫn các câu từ câu 20 đến câu 27: 3 Câu 20: a, b ; a ln3 b ln21 ln xdx (ln x x x )3 3ln32ln21 a=3,b=2 a+b=5 2 2 1 Câu 21: t= 5 2x dt = dx . Khi x= 2 t= 3, x=2 t=1 5 2x 2 1 3 3 aeb ce e5 2 x dx e t( t ) dt te t dt te t | 3 e t dt 3 e 3 e ( e 3 e ) 2 e 3 1 2 3 1 1 a=2,b=3,c=0 P=6 11 1 1 Câu 22: []f x x. f ’ x dx 2 x dx f x dx x . f ’ x d x 1. 00 0 0 1 1 1 3 f xdx x. f ( x ) |1 f x dx 1 f x dx 0 0 0 0 2 11 1 1 Câu 23: []f x x. f ’ x dx 2 x dx f x dx x . f ’ x d x 1. 00 0 0 1 1 f xdx x. f ( x ) |1 f x dx 1 x . f ( x ) | 1 1 f (1) 1 0 0 0 0 1 1 Câu 24: 5 x . f ''( x ) dx x . f '( x ) |1 f '( x ) dx f '(1) f ( x ) | 1 f '(1) 2 f '(1) 7 0 0 0 0 1F( x ) 1 1 1 1 1 Câu 25: dx F( x )( )' dx [ F ( x )( ) |1 f ( x )( ) dx 2 0 0(x 1) 0 x 1 x 1 0 x 1 11 1 F(1) F (0) f ( x )( ) dx 1 2 3 20 x 1 2018 2018 2018 2018 Câu 26: I x. f ( x ) dx x . F '( x ) dx x . F ( x ) |2018 F ( x ) dx 2018 F (2018) F ( x ) dx 0 0 0 0 0 2017 2018 F ( x 1) dx 2018 1 2017 1 1 1 1 1 1 Câu 27: x2f ( x ) dx 1 f ( x ).3x 2 dx f ( x ). x 3 | 1 x 3 f '( x ) dx f (1) x 3 f '( x ) dx 0 3 0 0 0 0 1 x3 f'( x ) dx 1 0 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 18
  19. 1 1 1 1 [f '( x ) 7 x3 ] 2 dx [ f '( x )] 2 dx 14 x 3 f '( x ) dx 49 x 6 dx 7 14 7 0 0 0 0 0 7 7 f'( x ) 7 x3 0 (*) f ( x ) x 4 C , f(1)=0 C= 4 4 1 17 7 7 1 7 f( x ) dx ( x4 ) dx ( x 4 1) dx 0 04 4 4 0 5 4/ Hướng dẫn các câu từ câu 28 đến câu 33: Câu 28: Về phương diện hình học thì 1 1 S 2 y y2 dy 2 x x 2 dx là diện tích ¼ đường tròn tâm 0 0 1 1 I(1,0) bán kính bằng 1 S = a= ,b 0 P = 4 4 2 1 2 Câu 29: S 1 x2 dx là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các 0 1 đường y= 1 x2 ; y=0,x=0,x= ( xem hình) 2 1 2 1 3R2 3 S 1 x2 dx S S R 2 ; ( R 1) a=12, b=8 a+b=20 1 2 0 12 8 12 8 (S1 là diện tích 1/12 hình tròn bán kính bằng 1 và S2 là diện tích ½ tam giác đều cạnh bằng 1) Câu 30: Hình (H) là hình elip có 2 nửa trục là a=2 và b=1- Hình (H) này có diện tích S= ab= 2 . Vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi khi ta quay hình (H) quanh trục 4 16 Ox có thể tích là V = a2 b . Chọn B. 3 3 Nhớ: Diện tích Elip có 2 nửa trục a,b là S = ab x2 y 2 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình (E) : 1(a b ) khi quay (E) a2 b 2 4 quanh Ox là V ab2 3 (Học sinh có thể tính trực tiếp- không cần biết hình (H) hoặc vật thể sinh từ (H) là hình gì, tuy nhiên ở một khía cạnh khác – phương diện hình học có thể tìm đến kết quả như trên đây.) a Câu 31: Ta có S= a2 x 2 dx là diện tích ¼ hình tròn tâm O, bán kính 0 a, a2 a2 S= . Ta có: S 0) 0<a<2 . Chọn D. 4 4 Câu 32: Thể tích V của khối tròn xoay bằng thể tích khối cầu lớn ( bán kính bằng 2) trừ thể tích khối cầu nhỏ( bán kính bằng 1) 4 .23 4 .1 3 28 V= ( hình bên) 3 3 3 Câu 33: Đây thực chất là bài toán tính tích phân – Tính thể tích V1 của một chỏm cầu có 2R chiều cao h = BM của một khối cầu bán kính R. Khối chỏm cầu được sinh từ hình (H) 3 là tam giác cong BMN – khi quay nó quanh trục Ox chứa đoạn AB ( xem hình) Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 19
  20. RR x3 V ( R2 x 2 ) dx ( R 2 x 2 ) dx ( R 2 x ) |R 1 R R h R 3 3 3 28 4R3 7 7 RV3 . 3 3 27 27 ( V là thể tích khối cầu ) Thể tích phần còn lại của khối cầu ( trừ chỏm cầu) là 20 V2 = V 27 V 7 k= 1 . Chọn C. V2 20 III/ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 2 4 f() x Câu 34: Cho f( x ) dx 2. Tính I= dx 1 1 x 1 A. I=1 B. I=2 C. I=4 D. I= 2 1 1 f() x Câu 35: Cho f(x) là hàm chẵn , liên tục trên [ 1,1] và f( x ) dx 2 . Tính I = dx. x 1 11 e A. I=1 B. I=2 C. I=4 D. I=3 e f() x e Câu 36: Cho f(x) liên tục trên [1,e] và dx 1, f€ =1. khi đó tính I = f'( x ).ln xdx . 1 x 1 A. I=4 B. I=3 C. I=1 D. I=0 Câu 37: Cho hàm f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f( x)+2017f(x) = ex (*);  x R. 1 Tính I= f(). x dx 1 e2 1 e2 1 A. I B. I=0 C. I D. I= e2017 2018e 2018e Câu 38: Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(x)+x2.f’(x) =2x, 1 x R. Tính I= (2x 1). f x dx 0 A. 1 B. 1 C. 2 D. 0 sin2017 x 2 Câu 39 : Cho y= f(x) = . Tính I x. f '( x ) dx 2017 2017 sinx c os x 0 3 A. I= B. I= C. I= D.I=1 4 2 4 IV/. ĐỌC THÊM Với phương pháp đổi biến ta dễ chứng minh các kết quả sau: a Nếu f(x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ a, a ] thì f( x ) dx 0 a a a Nếu f(x) là hàm chẵn và liên tục trên đoạn [ a, a ] thì f( x ) dx 2 f ( x ) dx a 0 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 20
  21. f() x Nếu f(x) là hàm chẵn và liên tục trên [ α , α ] và a>0 thì dx f() x dx x a 1 0 2 2 Nếu f(x) liên tục trên R thì f(sin x ) dx f ( c os x ) dx 0 0 Nếu f(x) liên tục trên R thì x. f (sin x ) dx f (sin x ) dx 02 0 a T T Nếu f(x) liên tục trên R , tuần hoàn với chu kì T thì f()() x dx f x dx a 0 Các em cần nhớ những kết quả này để áp dụng giải những bài khó của phần tích phân. Thử nêu một vài bài tập liên quan: 2018 a 001: Gọi I = ln(x 1 x2 ) dx , K= ln(x 1 x2 ) dx . Hãy chọn phát biểu đúng. a 2018 A. K= I B. K=I C. K= a.I D. K= a.I n 00 2: Tính I lim ln( 1 x2 x ) dx n n A. I= 1 B. I=0 C. I=1 D. I= e /2 1 /2 1 003: Đặt dx . Tính I dx theo α /2 1 c os2018 x 0 1 sin 2018x A. I= α B. I = α C. I = 2 α D. I = 2 α 2018 004: Biết sinxc os x dx = a. Tính I= sin x cos x dx theo a. 2017 0 a A. I= a B. I= C. I= 2a D. I= a 2 m 0 00 5: Với m 0, đặt ln(x 1 x2 ) dx n . Tính K ln( 1 x2 x ) dx theo n. 0 m 1 1 A. K = n B. K=n C. K = D. K= n n Chúc các em sức khỏe – niềm vui – đạt kết quả tốt trong kì thi tuyển sinh. CHUYÊN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I. Tính diện tích hình phẳng: 1. Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a; x b là: b S f x dx a 2. Nếu các hàm số y f x , y g x liên tục trên đoạn a; b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x , y g x và hai đường thẳng b x a; x b là: S f x g x dx a Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 21
  22. 3. Nếu các hàm số x g y , x h y liên tục trên đoạn c; d thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x g y , x h y và hai đường thẳng d y c; y d là: S g y h y dy c Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3x 1 đồ thị hàm số y và 2 trục tọa độ. x 1 Hướng dẫn giải: - Ta tìm cận tích phân là hoành độ giao điểm của đồ thị 1 hàm số đã cho với hai trục tọa độ: x 0, x 3 - Diện tích hình phẳng cần tìm: 0 3x 1 0 4 4 S 1 dx 1 3 dx 1 4ln 3x 1 3 x 1 3 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y x2 4 x 3 và đường thẳng (d): y x 3 Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x 0 x 4 x 3 x 3 x 5 Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm: 5 5 S x 3 x2 4 x 3 dx x 3 x 2 4 x 3 dx 0 0 Xét dấu f x x2 4 x 3 để phá dấu giá trị tuyệt đối. Ta có bảng xét dấu: x -∞ 1 3 +∞ f(x) + 0 - 0 + Như vậy: 1 3 S x 3 x2 4 x 3 dx x 3 x 2 4 x 3 dx 0 1 5 109 x 3 x2 4 x 3 dx 3 6 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y2 4 x và đường thẳng d: y 2 x 4 . Hướng dẫn giải: Cách 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 2 x 1 2x 4 4 x x 4 Diện tích hình phẳng cần tìm: 1 4 S 2 2 xdx 2 x 2 x 4 dx 9 0 1 Cách 2: Tung độ giao điểm là nghiệm của phương trình Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 22
  23. y2 y 4 y 2 4 2 y 4 2 2 4y 4 y 4 y 4 y Diện tích hình phẳng cần tìm: S dy dy 9 22 4 2 2 4 Nhận xét: Trong hai cách tính trên, với cách 1 ta cần có hình vẽ để thuận lợi cho việc chia hình phẳng, còn cách 2 cho ta lời giải gọn gàng hơn. II. Tính thể tích vật thể: 1. Trong không gian Oxyz, gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a và b . Gọi S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a x b . Giả sử S S x là b hàm liên tục. Thể tích V của vật thể B là: V S x dx a 2. Cho hàm số y f x liên tục, không âm trên đoạn a; b . Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành, hai đường thẳng b x a; x b khi quay quanh trục Ox là: V f2 x dx a 3. Cho hàm số x g y liên tục, không âm trên đoạn c; d. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y , trục tung, hai đường thẳng y c, y d khi quay quanh trục Oy là: d V g2 y dy c 4. Cho hàm số y f x , y g x liên tục trên đoạn a; b . Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y g x , trục hoành, hai đường thẳng x a; x b khi quay quanh trục Ox là: b V f2 x g 2 x dx a Ví dụ 1: Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ln x , Ox và đường thẳng x 2 khi quay quanh Ox. Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y ln x và trục Ox là nghiệm của phương trình: lnx 0 x 1 2 Khi đó V ln2 xdx 2ln2 2 4ln2 2 1 Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn tâm I 2;0 , bán kính R 1 quanh trục Oy. Hướng dẫn giải: Phương trình đường tròn: Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 23
  24. x 2 2 y2 1 x 2 1 y 2 Khi đó 1 2 2 V 2 1 y2 2 1 y 2 dy 1 1 2 2 16 1 y dy 4 0 MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y 2 x x2 , x y 2 . 1 5 6 1 A. S B. S C. S D. S 6 2 5 2 Hướng dẫn giải: 2 x 1 Pt hoành độ giao điểm 2x x 2 x x 2 2 1 Khi đó S 2 x x2 2 x dx 1 6 Đáp án A Câu 2: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x3 3 x , y x và đường thẳng x 2. A. S 12 B. S 6 C. S 4 D. S 2 Hướng dẫn giải: PT hoành độ giao điểm x3 3 x x x 0 0 Khi đó S x3 4 x dx 12 . Đáp án A 2 Câu 3: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y2 ax, x 2 ay a 0 . a2 a2 a2 A. S a2 B. S C. S D. S 2 3 4 2 y ax x 0 Hướng dẫn giải : PT hoành độ giao điểm: 2 x ay x a 2 2 a x a Khi đó S ax dx Đáp án C 0 a 3 Câu 4: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y ex , y e , y 1 e x 1 e 1 e 1 e 3 e A. S B. S C. S D. S 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 24
  25. Phương trình hoành độ giao điểm: ex e x 1 ex 1 e x 1 x 0 1 e x 1 e x 1 Khi đó 0 1 e 1 V e 1 e x 1 dx e ex dx 1 0 2 Đáp án B Câu 5: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y ln x , y 1, y x 1 1 3 1 3 A. e B. e C. e D. e 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: lnx 1 x e lnx x 1 x 1 x 1 1 x 0 Khi đó 1 e 3 V 1 1 x dx 1 ln x dx e 0 1 2 Đáp án B x2 Câu 6: Parabol y chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính 2 2 thành hai phần. Tỉ 2 số diện tích của chúng thuộc khoảng nào dưới đây? A. 0,4;0,5 B. 0,5;0,6 C. 0,6;0,7 D. 0,7;0,8 Hướng dẫn giải: Phương trình đường tròn: x2 y 2 8 y 8 x 2 x2 Phương trình hoành độ giao điểm: 8 x2 x 2 2 2 2 x Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn y 8 x và parabol y 2 2 2 2 x 1 Khi đó S1 8 x dx 8 2 2 4 6 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 25
  26. 3 1 Diện tích phần còn lại của hình tròn: SS2 8 1 8 4 6 S Tỉ số diện tích 1 0.43 . Đáp án A S2 Câu 7: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 16m, chiều rộng 8m. Người ta dùng hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh dài đối diện; phần mảnh vườn (phần tô màu trong hình vẽ) nằm trong hình phẳng giới hạn bởi hai parabol được trồng hoa hồng. Biết rằng chi phí trông hoa là 45.000đồng/m2. Tính chi phí trồng hoa. A. 3.217.000 đồng B. 2.145.000 đồng C. 2.713000 đồng D. 1.786.000 đồng Hướng dẫn giải : Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. Phương trình hai parabol lần lượt là x2 x 2 y , y 8 8 8 Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x 2 8 x 4 2 8 8 2 2 4 2 x x 2 Khi đó: S 8 dx 60.3 m 4 2 8 8 Do đó chi phí trồng hoa là 2.713.000 đồng Đáp án C Câu 8: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m, độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé làm trục đối xứng (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính chi phí trồng hoa biết rằng kinh phí cho mỗi m2 là 100.000 đồng (làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng Hướng dẫn giải: Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. x2 y 2 x 2 Phương trình đường elip: 1 y 5 1 64 25 64 Diện tích đất trồng hoa: 2 4 x S 4 5 1 dx 76.53 0 64 Chi phí trồng hoa: 7.653.000 đồng .Đáp án B Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 26
  27. Câu 9: (Đề thử nghiệm 2017) Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 0, x ln 4 . Đường thẳng x k 0 k ln 4 chia (H) thành hai phần có diện tích S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S1=2S2. 2 A. k ln 4 B. k ln 2 3 8 C. k ln D. k ln3 3 Hướng dẫn giải: k ln 4 S 2 S ex dx 2 e x dx e k 1 2 4 e k k ln3 1 2 0 k Đáp án D Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục trên và hàm số y g x xf x2 có đồ thị trên đoạn [0; 2] như hình vẽ. Biết 5 4 diện tích miền tô màu là S . Tính tích phân I f x dx 2 1 5 5 A. I B. I 4 2 C. I 5 D. I 10 Hướng dẫn giải: 52 5 2 5 Ta có: S g x dx xf x2 dx (1) 2 1 2 1 2 14 5 4 Đặt t x2 dt 2 xdx . Khi đó (1) f t dt f t dt 5 Đáp án C 2 1 2 1 Câu 11: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa hình vuông cạnh 10cm bằng cách khoét bỏ đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết rằng AB=5cm, OH=4cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó. 140 160 A. cm2 B. cm2 3 3 40 2 2 C. cm D. 50cm 3 Hướng dẫn giải: Chọn hệ tọa độ Hxy sao cho A thuộc tia Hx, O thuộc tia Hy. 16 Phương trình parabol AOB: y x2 4 25 5 162 20 Diện tích tam giác cong OHA: S 2 x 4 dx 0 25 3 20 140 Diện tích bề mặt hoa văn: 102 8S 100 8. . Đáp án A 3 3 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 27
  28. Câu 12: Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 và các đường thẳng y 3 x , y 1 x 0, y 1 . Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh Ox. 26 56 26 56 A. B. C. D. 45 45 45 45 Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x2 1 x 1 do x 0 1 3x 1 x 3 x2 3 x x 0 do y 1 1 40 2 4 26 Khi đó V 3 1 x dx 1 9 x x dx .Đáp án A 1 3 45 Câu 13: Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2 x x2 và đường thẳng y 0 . Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh Ox. 15 16 15 8 A. B. C. D. 16 15 8 15 Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x 0 2x x 0 x 2 2 2 16 Khi đó V 2 x x2 dx 0 15 Đáp án B Câu 14: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x, y 2 x , y 0 quanh Oy. 23 25 32 21 A. B. C. D. 15 13 15 35 Hướng dẫn giải: x y2 Ta có: y x x 0 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 28
  29. Phương trình tung độ giao điểm: y2 2 y y 1 y2 0 y 0 1 2 32 Khi đó: V 2 y y4 dy Đáp án C 0 15 Câu 15: Người ta thiết kế đầu đạn của một quả bom là một khối tròn xoay đặc có chiều cao bằng 4cm, được khoét vào trong. Biết rằng thiết diện qua trục đối xứng của đầu đạn là hai parabol với các kích thước như hình vẽ bên. Tính thể tích V của đầu đạn. A. 20 B. 12 C. 10 D. 24 Hướng dẫn giải: Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. Phương trình hai parabol lần lượt là: x2 y x2 x y, y x 2 y 4 Khi đó thể tích đầu đạn là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong x y, x 2 y và đường thẳng y 4 quanh Oy 4 V 3 ydy 24 0 Đáp án D Câu 16: Trong mặt phẳng (P) cho elip (E) có độ dài trục lớn AA' 8, độ dài trục nhỏ BB' 6; đường tròn tâm O đường kính BB' như hình vẽ. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền phẳng giới hạn bởi đường elip (E) và đường tròn (phần tô đậm trên hình vẽ) quay quanh trục AA' . A. V 36 B. V 12 64 C. V 16 D. V 3 Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục Oxy sao cho A’ thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy 2 2 2 x y2 x Phương trình đường elip: 1 y 9 1 16 9 16 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 29
  30. Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình elip quanh trục AA’, V2 là thể tích khối cầu tạo thành khi quay hình tròn quanh trục AA’. Ta có: 2 4 x 4 3 V1 9 1 dx 48 ; V 2 .3 36 4 16 3 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm: VVV 1 2 12 Đáp án B Câu 17: Cho hai đường tròn O1;5 và O2;3 cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn (O2). Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (Ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay (D) quanh trục O1O2 ta được khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay đó. 14 68 A. V B. V 3 3 40 C. V D. V 36 3 Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O2 O,, O 2 C  Ox O 2 A  Oy 2 2 Ta có: OOOAOA1 2 1 2 4. Suy ra phương trình 2 2 đường tròn O1 : x 4 y 25 Gọi (H1) là hình phẳng giới hạn bởi (O1), trục Oy và miền x 0 , (H2) là hình phẳng giới hạn bởi (O2), trục Oy, miền x 0 . Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay các hình phẳng (H1), (H2) quanh Ox. Ta có 3 12 1 2 14 1 4 .3 V1 y dx 25 x 4 dx V2 . 18 0 0 3 2 3 40 VVV . Đáp án C 2 1 3 Câu 18: Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều cạnh 3m. Chiều cao SO=6m (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi dây c1, c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , c 6 nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO là một lục giác đều và khi (P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh bằng 1m. Tính thể tích phần không gian bên trong cái lều (H) đó. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 30
  31. 135 3 A. m3 5 96 3 B. m3 5 135 3 C. m3 4 135 3 D. m3 8 Hướng dẫn giải: Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A(0;6), B(1;3), C(3;0). 1 7 Phương trình của parabol: y x2 x 6 2 2 Ta có cạnh của “thiết diện lục giác” là BM. Đặt t OM Xét phương trình: 2 12 7 7 1 7 1 x x6 t x 2 t x 2 t 2 2 2 4 2 4 7 1 Suy ra: BM 2 t 2 4 Khi đó diện tích của “thiết diện lục giác” bằng: 2 BM 2 3 3 3 7 1 S t 6. 2 t với t 0;6 4 2 2 4 6 135 3 Vậy thể tích phần không gian bên trong lều (H) là: V S t dt .Đáp án D 0 8 Câu 19: Bạn An có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Bạn An nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc. A. 60 cm3 B. 15 cm3 C. 70 cm3 D. 60 cm3 Hướng dẫn giải: Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 31
  32. Khi cốc thủy tinh nằm nghiêng, xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vuông góc với đường kính tại vị trí bất kì, ta có: 1 1 S x R2 x 2. R 2 x 2 .tan R 2 x 2 .tan 2 2 Thể tích khối nước khi nghiêng cốc tạo thành hình cái nêm: 1R 2 2 h V tan . R2 x 2 dx R 3 tan R 3 . 60 cm 3 2 R 3 3 R Câu 20: Tính thể tích khối nón đỉnh S, chiều cao h , đáy là miền D giới hạn bởi viên phân parabol có đáy bằng chiều cao của viên phân và bằng 2a. Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho viên phân parabol nằm trong mặt phẳng Oyz nhận Oz làm trục đối xứng và đáy của viên phân thuộc trục Oy. Khi đó phương trình của parabol đáy 2 (ABC) được cho bởi z my 2 a . 2 Mà z a 0 m . a 2 Do đó, phương trình parabol: z y2 2 a a 2 a 22 8a Diện tích đáy: B y 2 a dy a a 3 2 2 S x h x 8 a 2 Diện tích thiết diện: S x h x B h 3h2 2 2 h8a h 2 8 a h Thể tích vật thể:V S x dx h x dx . 03h2 0 9 CHUYÊN ĐỀ IV: TỪ ĐỒ THỊ HÀM SỐ F’(X) SUY RA TÍNH CHẤT HÀM SỐ F(X) Trong đề thi THPT quốc gia 2017 môn Toán có một câu hỏi liên quan đến đồ thị hàm số f’(x). Đây là câu hỏi mới, lạ, thú vị, tuy nhiên gây khó khăn cho học sinh khi mới lần đầu tiếp xúc. Bài viết này nhằm giới thiệu với bạn đọc một số các bài toán từ đồ thị hàm số f’(x) suy ra tính chất của hàm f(x) nhằm giúp các em làm quen và rèn luyện kĩ năng giải các bài toán dạng này. Câu 1. Cho hàm số y f() x . Đồ thị của hàm số y f () x như hình bên. Đặt g( x ) 2 f ( x ) x2 . Biết g(0) + g(3) = g(1) + g(-3). Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. g(3) g ( 3) g (1) . B. g(1) g (3) g ( 3) . C. g(1) g ( 3) g (3) . D. g( 3) g (3) g (1) . Phân tích và lời giải: Ta có g'() x 2'() f x 2 x 2 f '() x x . Từ đồ thị hàm số y f () x , dễ dàng nhận thấy x = -3; x = 1; x = 3 là các nghiệm của phương trình g’(x) = 0. Nếu ta xét dấu g’(x) được trên đoạn [-3; 3], ta có thể lập được bảng biến thiên của hàm số g(x) trên đoạn này để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Điều đó dẫn tới việc so sánh f’(x) và –x trên đoạn [-3;3]. Do đó ta có thể giải bài toán như sau: Ta có gx'() 2'()2 fxx 2 fxx '() 2['()( fx x )] Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 32
  33. Vẽ đường thẳng y = -x trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y f () x , ta thấy chúng cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là -3; 1; 3 ( tức là x = -3; x = 1; x = 3 là các nghiệm của phương trình g’(x) = 0 như đã nói ở trên). Ngoài ra, từ đồ thị hai hàm số y f () x và y = -x, ta thấy trên đoạn [-3; 1], f () x x , suy ra g'( x ) 0 . Trên đoạn [1;3], f () x x , suy ra g'( x ) 0 . Từ đó lập được bảng biến thiên của hàm g(x) trên đoạn [-3; 3]: x 3 1 3 g'( x ) 0 – 0 0 g( 3) g(3) g() x g(1) Từ bảng biến thiên thấy ngay g(1) là giá trị nhỏ nhất trong 3 giá trị g(1); g(3); g(-3). Ta chỉ cần so sánh g(-3) và g(3). Trên khoảng (-3; 1) hàm số y = g(x) nghịch biến nên g(0) > g(1). Theo giả thiết g(0) + g(3) = g(1) + g(-3), suy ra g(3) S2. Suy ra 1 3 2S 2 S 2 x f '( x ) dx 2 f '( x ) x dx 1 2 3 1 1 3 g'( x ) dx g '( x ) dx g ( 3) g (1) g (3) g (1) g ( 3) g (3) 3 1 3 3 Lại có 2S 2 f '( x ) x dx g '( x ) dx g (3) g (1) 0 g (3) g (1) . 2 1 1 Vậy g(-3) > g(3) > g(1). Chọn phương án B. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 33
  34. Câu 3 (THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên). Cho hàm số y f() x có đạo hàm f () x trên  và đồ thị của hàm số y f () x cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ a, b, c, d như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng. A. f()()()() a f b f c f d . B. f()()()() a f c f d f b . C. f()()()() c f a f d f b . D. f()()()() c f a f b f d . Phân tích và lời giải: Từ đồ thị hàm số y f () x , ta lập được bảng biên thiên của hàm số y f() x như sau x a b c d y' + 0 - 0 + 0 - 0 + y f(a) f(c) f(b) f(d) Rõ ràng f(a), f(c) phải lớn hơn f(b) và f(d). Ta chỉ cần so sánh f(a) và f(c); f(b) và f(d). Đặt S1 là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y f () x , x = a, x = b, trục Ox; S2 là phần hình phẳng được giới hạn bới các đường y f () x , x = b, x = c, trục Ox; S3 là phần hình phẳng được giới hạn bới các đường y f () x , x = c, x = d, trục Ox. So sánh f(a) và f(c): b c S S f'() x dx f '() x dx f () a f () b f () c f () b f () a f () c 1 2 a b So sánh f(b) và f(d): c d S S f'() x dx f '() x dx f () c f () b f () c f () d f () d f () b 2 3 b c Vậy f()()()() c f a f b f d . Chọn phương án D. Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị f’(x) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ a f(b) > f(c). B. f(c) > f(b) > f(a). C. f(a) + f(c) – 2f(b) > 0. D. [f(b) – f(a)][f(b) – f(c)] 0. Ta loại được phương án D. Vậy chọn đáp án là C. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 34
  35. Nếu tiếp tục so sánh f(a) và f(c), gọi S1 là diện tích phần hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = f’(x), x = a, x = b, trục Ox; S2 là diện tích phần hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = f’(x), x = b, x = c, trục Ox. Ta có b c S S f'() x dx f '() x dx f () a f () b f () c f () b f () a f () c 1 2 a b Vậy f(b) 0. Suy ra b c f'() x dx f '() x dx 0 f () a f () b f () c f ()0 b f () a f ()2()0 c f b a b Đáp án: C Câu 5. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên  , có đồ thị f’(x) như hình vẽ. Xác định điểm cực tiểu x0 của hàm số g(x) = f(x) + x. A. g(x) không có điểm cực tiểu. B. x0 = 1. C. x0 = -1. D. x0 = 2. Phân tích và lời giải: Ta có g’(x) = f’(x) + 1 = f’(x) – (-1). Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = f’(x) cắt đồ thị hàm số y = -1 tại 3 điểm có hoành độ là -1 ; 1 ; 2. Ta lập được bảng biến thiên của hàm số g(x) : x -1 1 2 y’ - 0 - 0 + 0 - y=g(x) g(2) g(-1) g(1) Vậy điểm cực tiểu của hàm số g(x) là x0 = 1. Chọn đáp án B. Câu 6 (THPT Quang Trung, Đống Đa). Cho hàm số y = f(x) 3 có đạo hàm là hàm số liên tục trên  . Đồ thị hàm số f’(x) cắt trục hoành tại đúng 3 điểm có hoành độ a 0. Vì f(b) > f(a) nên suy ra f(b) >0. Nếu f(c) 0 đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Trường hợp 2: f(a) = 0. Lúc đó f(b) > 0. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 35
  36. Nếu f(c) 0 đồ thị hàm số không cắt trục hoành tại 1 điểm. Vậy đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại nhiều 3 điểm. Chọn đáp án A. Câu 7. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên  , có các đạo hàm f’(x), f''( x ) trên  . Đồ thị hàm số y f''( x ) như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số y = f(x) có nhiều nhất 4 cực trị. B. Nếu max{f’(-3), f’(-1), f’(1)} 0 thì hàm số y = f(x) không có cực trị. D. Nếu f’(-1) > 0 thì f(1) > f(-1). Phân tích và lời giải: Từ đồ thị hàm số y f''( x ) , ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) như sau x 3 1 1 f " 0 0 0 f '( 3) f '(1) f ' f '( 1) Xét mệnh đề A: Từ bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y = f’(x) cắt trục hoành tại nhiều nhất 4 điểm, do đó hàm số y = f(x) có nhiều nhất 4 cực trị. Do đó mệnh đề A đúng. Xét mệnh đề B: Nếu max{f’(-3), f’(-1), f’(1)} 0 thì do f’(1) > f’(-1) nên f’(1) > 0. Suy ra trên đoạn [-1; 1], hàm số y = f’(x) > 0. Suy ra hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [-1; 1], tức là f(1) > f(-1). Do đó mệnh đề D đúng. Xét mệnh đề C: Nếu max{f’(-3), f’(-1), f’(1)} > 0 thì đồ thị hàm số y = f’(x) luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm có hoành độ là x0 và f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0. Suy ra hàm số y = f(x) luôn có cực trị. Vậy mệnh đề C sai.Chọn đáp án C. Câu 8 (THPT Chu Văn An, Hà Nội). Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm cấp hai trên  . Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = f’(x) và y f''( x ) lần lượt là các đường cong nào trong hình vẽ sau đây? A. (C3), (C1), (C2). B. (C1), (C2), (C3). C. (C3), (C2), (C1). D. (C1), (C3), (C2). Phân tích và lời giải: Ta để ý rằng với các hàm liên tục, có đạo hàm cấp hai, nếu M là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) thì hình chiếu của điểm M lên trục hoành trùng với giao điểm của đồ thị hàm số y =f’(x) với trục hoành. Xét (C1): Hai điểm cực trị của (C1) có hình chiếu trên trục Ox tương ứng trùng với hai giao điểm của (C2) với trục Ox. Suy ra (C1) có đạo hàm là (C2). Xét (C3): Ba điểm cực trị của (C3) có hình chiếu trên trục Ox tương ứng trùng với hai giao điểm của (C1) với trục Ox. Suy ra (C3) có đạo hàm là (C1). Vậy đồ thị hàm y = f(x) là (C3), đồ thị hàm y = f’(x) là (C1), đồ thị hàm y f''( x ) là (C2). Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 36
  37. Chọn đáp án A. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 9 (THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ). Cho hàm số y f() x . Đồ thị của hàm số y f () x như hình bên. Đặt 1 3 3 g( x ) f ( x ) x3 x 2 x 2018 . 3 4 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. ming ( x ) g ( 1) B. ming ( x ) g (1) [-3;1] [-3;1] g( 3) g (1) C. ming ( x ) g ( 3) D. ming ( x ) [-3;1] [-3;1] 2 Đáp án: A Câu 10 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa). Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn 0 <a <b < c < d và hàm số y = f(x). Biết rằng đồ thị hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [0; d]. Chọn mệnh đề đúng. A. M + m = f(0) + f(c) B. M + m = f(d) + f(c) C. M + m = f(b) + f(a) D. M + m = f(0) + f(a) Đáp án : A Câu 11 (THPT Chuyên Thái Bình). Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f’(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f()()() c f a f b B. f()()() c f b f a C. f()()() a f b f c D. f()()() b f a f c Đáp án : A Câu 12 (THPT chuyên ĐH Vinh, Nghệ An). Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên  và đồ thị hàm số f’(x) trên đoạn [-2; 6] như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng. A. m axf ( x ) f ( 2) [-2;6] B. m axf ( x ) f (2) [-2;6] C. m axf ( x ) f (6) [-2;6] D. m axf ( x ) f ( 1) [-2;6] Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 37
  38. Đáp án: C Câu 13. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; e] và có đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Biết rằng f(a) + f(c) = f(b) + f(d). Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [a; e]. Tìm M, N. A. M f( c ), N f ( a ) . B. M f( a ), N f ( b ) . C. M f( e ), N f ( b ) . D. M f( d ), N f ( b ) . Đáp án: C Câu 14 (THPT chuyên ĐH Vinh, Nghệ An). Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Biết f(0) + f(3) = f(2) + f(5). Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; 5] lần lượt là: A. f(0), f (5) . B. f(2), f (0) . C. f(1), f (5) . D. f(2), f (5) . Đáp án: D Câu 15. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f’(x) trên đoạn [0; 4], với f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [0; 4], có đạo hàm trên khoảng (0; 4). Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng? A. f(4) f (2) f (0) . B. f(0) f (4) f (2) . C. f(0) f (4) f (2) . D. f(4) f (0) f (2) . Đáp án: C Câu 16. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên  và có đạo hàm f’(x) cũng liên tục trên  . Hình bên là đồ thị của hàm số f’(x) trên [- 5; 4]. Chọn mệnh đề đúng. A. minf ( x ) f ( 5) . B. minf ( x ) f ( 4) . [-5;4] [-5;4] C. minf ( x ) f (1) . D. minf ( x ) f (4) . [-5;4] [-5;4] Đáp án: B Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 38
  39. Câu 17. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên  . Đồ thị của hàm y = f’(x) như hình vẽ. Xác định điểm cực đại x0 của hàm số g(x) = f(x) – 2x. A. x0 = -1. B. x0 = 0. C. x0 = 1. D. Không có điểm cực đại. Đáp án: B Câu 18. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) trên  . Đồ thị hàm f’(x) như hình vẽ. Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 điểm. B. 1 điểm. C. 2 điểm. D. 4 điểm. Đáp án: B Câu 19 (Sở GD&ĐT Long An). Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) trên  . Đồ thị hàm f’(x) như hình vẽ. Phương trình f(x) = m ( m  ) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên  ? A. 5 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. 4 nghiệm. D. 3 nghiệm. Đáp án: B Câu 20. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên  , đồ thị hàm số f’(x) như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng. A. Hàm số y= f(x) đồng biến trên (-2; -1). B. Hàm số y= f(x) đồng biến trên (-1; ). C. Hàm số y= f(x) nghịch biến trên (-1; 0). D. Hàm số y= f(x) đồng biến trên (- ; 0). Đáp án: A Câu 21. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên  , đồ thị hàm số f’(x) như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số y= f(x) chỉ có hai điểm cực trị. B. Hàm số y= f(x) đồng biến trên (1; 3). C. Hàm số y= f(x) nghịch biến trên (- ; 2). D. Hàm số y= f(x) đạt cực tiểu tại x = 4. Đáp án: B Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 39
  40. Câu 22. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là hàm số liên tục 3 trên  . Đồ thị hàm số f’(x) cắt trục hoành tại đúng 3 điểm có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Biết f(b) < 0. Hỏi đồ thị hàm 2 số y = f(x) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 3 điểm. D. 4 điểm. 1 Đáp án: B 2 a b O c 2 Câu 23. Cho hàm số y =f(x) liên tục và có đạo hàm cấp hai 1 trên  . Đồ thị các hàm số y = f(x), y = f’(x), y = f”(x) lần lượt là các đường cong nào trong hình vẽ? A. (C2), (C1), (C3). B. (C1), (C2), (C3). C. (C3), (C2), (C1). D. (C1), (C3), (C2). Đáp án: B Câu 24. Cho ba hàm số y = f(x), y = f’(x), y f''( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị các hàm số y = f(x), y = f’(x), y f''( x ) lần lượt tương ứng với đường cong nào? A. (C3), (C2), (C1). B. (C2), (C1), (C3). C. (C2), (C3), (C1). D. (C1), (C3), (C2). Đáp án: D Câu 25 (THPT Tử Đà – Phú Thọ). Cho đồ thị của ba hàm số số y = f(x), y = f’(x) được mô tả ở hình bên. Hỏi các đồ thị số y = f(x), y = f’(x) theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào? A. C,C,C.3 2 1 B. C,C,C.2 1 3 C. C,C,C.2 3 1 D. C,C,C.1 3 2 Đáp án: B x Câu 26. Cho đồ thị hàm sô y = f(x), y = f’(x), y f() t dt như trong hình vẽ. Hãy xác định 0 (C1), (C2), (C3) lần lượt tương ứng là đồ thị các hàm số nào? x A. y f'( x ), y f ( x ), y f ( t ) dt . 0 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 40
  41. x B. y f( x ), y f '( x ), y f ( t ) dt . 0 x C. y f( x ), y f ( t ) dt , y f '( x ) . 0 x D. y f( t ) dt , y f '( x ), y f ( x ) . 0 Đáp án : D Câu 27. Cho hàm số y = f(x) có f’(x) > 0 với mọi x > 0. Biết f(1) =2, đẳng thức hay bất đẳng thức nào sau đây có thể xảy ra? A. f(2) + f(3) = 4. B. f(-1) = 2. C. f(2) = 1. D. f(2016) > f(2017). Đáp án: B Câu 28 (Sở GD&ĐT Hà Nội). Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d ( a , b , c , d  , a 0) có đồ thị (C). Biết rằng (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số y = f’(x) cho bởi hình vẽ. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. A. S = 9. B. S = . C. S = D. S = Đáp án: B Câu 29. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên , đồ thị hàm số y = f’(x) có dạng như hình vẽ. Số nào lớn nhất trong các số f(0) ; f(1) ; f(2) ; f(3)? A. f(1) . B. f(2) . C. f(3). D. f(0). Đáp án : A CHUYÊN ĐỀ V: BÀI TOÁN MIN – MAX TRÊN TẬP SỐ PHỨC 1.MỞ ĐẦU Các em học sinh thân mến Trong đề minh họa của Bộ Giáo Dục và Đào tạo hai năm qua đều có bài toán MIM-MAX trên tập số phức và nó ở cấp độ vận dụng cao Bài viết này nhằm giúp các em tìm hiểu thêm nhằm nâng cao điểm số trong kỳ thi sắp tới 2. KIẾN THỨC CƠ BẢN 2.1 Bài toán tìm min –max của hàm số trên một khoảng , đoạn 2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopki, Bất đẳng thức Côsi 2 3 Tính chất bị chặn của hàm số lượng giác 2.4 Các bất đẳng thức trong hình học phẳng 2.5 Ta thường dùng kiến thức sau Gọi M(a;b) N(c;d) lần lượt là biểu diễn các số phức z=a+ib và w=c+id lên mặt phẳng phức Ta luôn có z w ( a c ) ( b d ) i ( a c )2 (b d) 2 MN Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 41
  42. 2.6 C húng ta có ba cách xử lý - Một là : Dùng phương pháp Đại số - Hai là : Dùng phương pháp Lượng giác - Ba là : Dùng phương pháp Hình học 3 . BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1 Cho S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z 2 3 i 2 (1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P= z 3 i Lời giải 1. Chúng ta giải bài toán này bằng phương pháp hình học Gọi A(-3;1) và Q(2;-3) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức -3+i và 2- 3i lên mặt phẳng phức và cũng có AQ= 41 Gọi M(a;b) là biểu diễn số phức z=a+bi Từ (1) ta thấy khoảng cách từ M tới Q luôn bằng 2 ; nghĩa là tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (Q;2) Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AM khi M thay đổi trên (Q;2) Giả sử đường thẳng QA cắt đường tròn (Q;2) tại B;C trong đó B gần A hơn C Ta dễ thấy AM đạt giá trị nhỏ nhất khi M ở vị trí B AM đạt giá trị lớn nhất khi M ở vị trí C Vậy giá trị nhỏ nhất của P là AB=AQ-QB= 41 2 và giá trị lớn nhất của AM là AC=AQ+QB= 41 2 Lời giải 2: Ta dùng phương pháp lượng giác Gọi M(a;b) là biểu diễn số phức z=a+bi lên mặt phẳng phức 2 2 2 2 a 2 b 3 (1) a 2 b 3 4 1 2 2 a 2 cos 2 a 2cos 2 Đặt với 0;2  b 3 b 2sin 3 sin 2 Thay vào biểu thức P ta có P ( a 3)2 ( b 1) 2 (2cos 5) 2 (2sin 4) 2 45 4(5cos 4sin ) 5 4 45 4 41[cos(  )] với cos ; sin  41 41 Khi đó ta có 45 4 41 PP 45 4 41 41 2 41 2 Ta cũng có được kết quả như trên Lời giải 3 Ta giải bằng phương pháp đại số Ta gọi M(a;b) là biểu diễn của số phúc z=a+bi lên mặt phẳng phức Từ giả thiết (1) ta có (a 2)2 ( b 3) 2 4 a 2 b 2 4 a 6 b 9 (2) Còn biểu thức P= (a 3)2 ( b 1) 2 a 2 b 2 6 a 2 b 10 Thay (2) vào P ta được P= 10a 8 b 1 = 10(a 2) 8( 3 b ) 45 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 42
  43. Suy ra P2 45 10( a 2) 8( b 3) 22 2 2 Dùng bất đẳng thức Bunhiacopki ta được P 45 (100 64) ( a 2) ( b 3) 2 PPP245 164.4 45 4 41 2 45 4 41 41 2 41 2 Từ đó ta cũng có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P Bình luận Trong ba lời giải trên ta nhận thấy lời giải hình học là ấn tượng hơn cả vì tính đơn giản ; tính hình ảnh dể nhận biết của nó. 4. CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI Mong các em hãy tự giải những bài tập sau Nếu chưa được thì hãy xem lời giải bên dưới Bài 1 . Cho các số phức z ; w thỏa mãn w 2 3i w 3 2 i (1) và z 3 2 i 1 (2) Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức P= z w 5 2 3 2 5 3 3 3 A. m= 1 B. m= 1 C . m= 1 D. m= 1 2 2 2 2 Hướng dẫn Đặt A(-2;-3) B(3;2) là biểu diễn các số phức -2-3i và 3+2i lên mặt phẳng phức Tâp những số phức w thỏa (1) khi biểu diễn lên mặt phẳng phức là nữa mặt phẳng Oxy chứa điểm A bờ là đường trung trực đoạn AB (kể cả đường trung trực đó) Tập những số phức z thỏa (2) khi biểu diễn lên mặt phẳng phức là những điểm nằm trên hình tròn có biên là đường tròn tâm B bán kính 1 (kể cả đường tròn này) 1 1 5 2 Ta thấy I(;) là trung điểm đoạn AB và IB= 2 2 2 5 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là m=IB-1= 1 . Ta chọn đáp án A 2 Bài 2 . Cho số phức z thỏa mãn z 3 4 i 5 Gọi m ; M là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P= z 2 2 z i 2 Tính mô đun của số phức w=M+mi A. w 1258 B. w 3 137 C. w 2 314 D. w 2 309 Hướng dẫn: Gọi z=x+yi Từ giả thiết ta có (x 3) ( y 4) i 5 ( x 3)2 ( y 4) 2 5 2 P= (x 2)2 yi x ( y 1) i2 4 x 2 y 3 4( x 3) 2( y 4) 23 Suy ra (P 23)2 4 2 2 2 . ( x 3) 2 ( y 4) 2 100 13 P 33 Chọn đấp án A Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 43
  44. Bài 3 . Cho số phức z thỏa mãn |z|=1 Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức P= z2 z z2 z 1 13 A. M= 3 B. M=3 C. M=5 D. M= 4 Hướng dẫn Đặt z=a+bi và ta có a2 b 2 1 Lại có P= (1)a 2 b 2 ( a 2 b 2 a 1)(2 2 ab b ) 2 2221() a a f a 13 Khảo sát hàm số trên đoạn[-1;1] ta có M= . Chọn đáp án D 4 Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn z 5 z 5 6 Tìm giá trị lớn nhất M của P= z z A. M=6 B. M= 4 C. M=8 D. M=2 5 Hướng dẫn : Gọi M (x;y) là biểu diễn số phức z=x+yi lên mặt phẳng phức Tập những điểm M là Elip có độ dài trục lớn bằng 6 và độ dàitrục nhỏ bằng 4 P= MM1 với M1 là điểm biểu diễn số phức z nên đối xứng với M qua trục Ox Giá trị lớn nhất của P là 4. Chọn B Bài 5. Cho số phức z thỏa |z1 z z 2 | r . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z z3 | . Tìm M và m Giải: Ta có z2 z 2 z 2 r |zzzrzz1 2 | | 1 ( ) | rzz | 1 || | rz | | z1 z 1 z 1| z 1 | z z z z z z |z 2 || 2 z || z z ||( z 2 )( 2 z )|| z 2 || 2 z | z z3 3 z z 3 z z 3 1 1 1 1 1 1 rz2 r z 2 | z3 | | z z 3 | | z 3 | |z1 | z 1 | z 1 | z 1 r z2 r z2 M | z3 | ; m | z3 | |z1 | z 1 |z1 | z 1 ÁP DỤNG BÀI 5 3 3 2i 1/ Cho số phức z thỏa z 1 2 i 3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá 1 2 2i trị nhỏ nhất của P | z 3 3 i | . Tính Mm A. Mm 25 B. Mm 20 C. Mm 24 D. Mm 30 Đáp án: 24 2/ Cho số phức z thỏa |z 2 2 i | 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P | z | . Tính Mm Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 44
  45. A. Mm 7 B. Mm 5 C. Mm 2 D. Mm 4 Đáp án: 4 1 2i 3/ Cho số phức z thỏa |z 2 | 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 1 i nhất của P | z i | . Tính Mm 1 1 1 1 A. Mm B. Mm C. Mm D. Mm 5 3 10 4 1 Đáp án: 5 1 4/ Cho số phức z thỏa |z i4n 1 | i 4 n với n N . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất i 2 và giá trị nhỏ nhất của P | z 3 i | . Tính Mm A. Mm 20 B. Mm 15 C. Mm 24 D. Mm 30 Đáp án: 20 Bài 6. Cho số phức z thỏa |z1 z z 2 | | z 1 z z 2 | k ; z 1 , z 2 C . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z | . Khi đó M và m bằng Giải: Ta có: k k |zzz | | z zz | | z zzzzz | 2 | zz || | | z | 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 |z | k 1 M= 2 |z1 | Mặt khác, đặt z1 a bi;; z 2 c di z x yi k (ax-by+c)2 ( bx ay d ) 2 ( ax by c ) 2 ( bx ay d ) 2 k(1 1)2((a222222 bxycdkabxycd )( ) ( ) 2 4( 2222 )( ) 4( 22 ) k2 4( c 2 d 2 ) ()x2 y 2 4(a2 b 2 ) 2 2 2 2 2 k 4 | z2 | k 4 | z2 | |z | 2 | z | 4 |z1 | 2 | z 1 | k2 4 | z | 2 m 2 2 |z1 | ÁP DỤNG BÀI 6 1/ Cho số phức z thỏa |z 1| | z 1| 4 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z | . Khi đó Mm bằng 2 3 A. Mm 2 B. Mm 2 3 C. Mm D. Mm 3 3 Đáp án: Mm 2 3 2 2 2/ Cho số phức z thỏa | iz | | i z | 4 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị 1 i 1 i nhỏ nhất của |z | . Khi đó Mm bằng : A. Mm 2 B. Mm 2 3 C. Mm 2 2 D. Mm 1 Đáp án: Mm 2 2 1 3 Bài 7. Cho số phức z,, z z thỏa z z z i . Tính giá trị nhỏ nhất P | z |2 | z | 2 | z | 2 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 1 A. P 1 B. P 3 C. P D. P 2 min min min 3 min Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 45
  46. 3 2 2 2 Giải: P 3 | z1 | | z 2 | | z 3 | 3 Đáp án: 3 Bài 8. Cho số phức z thỏa |z | 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P | z 1| | z2 z 1| . Tính giá trị Mm 13 3 39 13 A. Mm B. Mm C. Mm 3 3 D. Mm 4 4 4 Giải: |z | 1 | z |2 1 z . z 1 Đặt t | z 1| ; z a bi ||1|z z 1||z|1 0 t 2 t [0;2] t 2 2 t2 | z 1| 2 ( z 1)( z 1) zz z z 1 2 2 a a 2 |zz2 1| | zzzzzz 2 | | || 1 za | | 2 1| | t 2 3 | 13 f( t ) t | t2 3|, t [0;2] M ;m 3 4 13 3 Đáp án: 4 Bài 9. Cho số phức z thỏa |z | 1 .Tìm giá trị lớn nhất P | z 1| 2 | z 1| . A. Pmax 2 5 B. Pmax 2 10 C. Pmax 3 5 D. Pmax 3 2 Giải: P (12 2 2 )(| z 1| 2 | z 1| 2 ) P 5((a 1) 2 b 2 ( a 1) 2 b 2 P 10(| z | 2 1) 2 5 Đáp án : 2 5 Bài 10. Cho số phức z x yi(,) x y R thỏa |z 2 4 i | | z 2 i | và m min | z | . Tính module của w m ( x yi ) A. | w | 2 3 B. | w | 3 2 C. | w | 5 D. | w | 2 6 Giải: z x yi(,) x y R |z 2 4 i | | z 2 i | x y 4 ()x y 2 |z | x2 y 2 2 2 2 m 2 2 | w | 2 6 Bài 11. Cho số phức z x yi(,) x y R thỏa |z i 1| | z 2 i | . Tìm module nhỏ nhất của z 1 A. min | z | 10 B. min | z | 1 C. min | z | 0 D. min | z | 10 Giải:|z i 1| | z 2 i | x 3 y 1(z x yi) 1 (x2 y 2 )(1 2 3 2 ) ( x 3 y ) 2 | z | 2 10 1 Đáp án : 10 Bài 12. Cho số phức z thỏa |z | 1 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P | z3 3 z z | | z z | . Tính M m 13 25 A. M m 4 B. M m C. M m 6 D. M m 4 4 Giải:|z |2 1 zz 1 Đặt t | z z | [0;2] 2 2 |zz |2 ( zzzz )( ) ( zzzzzz )( ) 2 2 zzzz 2 2 Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 46
  47. 2 Suy ra t2 z 2 z 2 2 |z3 3 z z | | z || z 2 3 z | | t 2 1| t 2 1 P t t2 1, t [0;2] Pmin 1; P max 3 M m 4 Bài 13. Cho số phức z thỏa |z | 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P |1 z | |1 z2 | |1 z 3 | A. Pmin 1 B. Pmin 3 C. Pmin 4 D. Pmin 2 Giải:|z | | z | 1 P |1 z ||1 z2 ||1 z 3 ||1z||z||1z||1 2 z 3 ||1 z || z z 3 ||1 z 3 |2 Đáp án : 2 6z i Bài 14. Cho số phức z thỏa 1 . Tìm giá trị lớn nhất của |z | 2 3iz 1 1 3 A. |z | B. |z | C. |z | D. |z | 1 max 2 max 3 max 4 max 6z i Giải: 1 |6z i ||23| iz (6 z i )(6 z i ) (23)(23) iz iz 2 3iz 1 (6z i )(6 z i ) (2 3 iz )(2 3 iz ) 27 zz 3 | z | 3 1 Đáp án: 3 Bài 15. Cho số phức z thỏa |z 2 3 i | 1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z 1 i | . Tính M2 m 2 A. M2 m 2 28 B. M2 m 2 24 C. M2 m 2 26 D. M2 m 2 20 Giải: z x yi(,) x y R |z 2 3 i | 1 ( x 2)2 ( y 3) 2 1(1) Đặt P | z 1 i | ( x 1)2 (1 y ) 2 P 2 (2) P2 10 6 x Lấy (1) trừ (2) suy ra y thay vào (1). Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 4 thì 14 2 3 P 14 2 3 Đáp án: 28 2 Bài 16. Cho 3 số phức z;; z z thỏa |z | | z | | z | và z z z 0 . Tính giá trị lớn 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 nhất của P | z1 z 2 | 2 | z 2 z 3 | 2 | z 3 z 1 | 7 2 3 6 4 5 10 2 A. P B. P C. P D. P max 3 max 2 max 5 max 3 Giải: Pzzzzzz |1223313 |2| |2| ||z||2| z 1 |2| zzzz 2312 |||2||2|| 3 6 P (1 22 2 2 )(| z | 2 | z | 2 | z | 2 ) P 1 2 3 2 3 6 Đáp án: 2 Bài 17. Trong số các số phức z thỏa |z (2 4 i ) | 2 . Gọi z1 và z2 là số phức có module lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của 2 số phức z1 và z2 là A. 8i B. 8i C. 8 D. 8 Giải: 2| z (2 4)||| i z | |2 4|| i 2|| z |25| 2|z|25 2 252||252 z Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 47
  48. 1 |z | 2 5 2 khi z k(24) i 252 k (24) i k 1 max 5 1 Suy ra z ( 1)(2 4 i ) 1 5 1 1 |z | 2 5 2 khi z k(24) i 252 k (24) i k 1 . Suy ra z (1 )(2 4 i ) min 5 2 5 Đáp án: 8 Bài 18( Đề thi thử Chuyên Thái Nguyên 2017). Cho số phức z thỏa |z2 4 | 2 | z |. M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z | . Tìm module của số phức w M mi A. | w | 2 3 B. | w | 3 C. | w | 2 5 D. | w | 5 Giải: |z2 4|||4 z 2 2||||4||1 z z 2 z 5 M 1 5 2||4||z z2 ||51 z m 51 w (1 5) (51) i |w|23 Bài 19.( THPT Yên Lạc- Vĩnh Phúc) Trong các số phức z thỏa | 2z z | | z i | . Tìm số phức có phần thực không âm sao cho |z 1 | đạt giá trị lớn nhất 6 1 1 3 1 6 1 z i B. z i C. z i D. z i 4 2 2 4 8 8 8 Giải: Đặt z x yi 1 | 2z z | | z i | y 4 x2 2 1 |z 1 | lớn nhất khi |z| nhỏ nhất |z | 1 3 7 7 |z |2 x 2 y 2 x 2 ( 4 x 2 ) 2 (4 x 2 ) 2 2 8 64 64 7 3 6 1 Suy ra |z | . Vậy |z | nhỏ nhất khi x2 x ; y 8 32 8 8 6 1 Đáp án : z i 8 8 Bài 20. Cho số phức z thỏa |z 3 4 i | 1 . Module lớn nhất của số phức z là A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 Giải: Tập hợp các điểm M biễu diễn số phức z thỏa |z 3 4 i | 1 là đường tròn tâm I (3;4);R 1 Khi đó |z | OM với O(0;0) . Max| z | OI R 5 1 6 Đáp án: 6 Bài 21. Trong các số phức z thỏa |z 2 4 i | | z 2 i | . Tìm số phức có module nhỏ nhất A. z 2 2 i B. z 1 i C. z 2 2 i D. z 1 i Giải: Đặt z x yi Tập hợp các điểm M biễu diễn số phức z thỏa|z 2 4 i | | z 2 i | là đường thẳng (d): x y 4 0 |z | nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O(0;0) lên d H (2;2) Đáp án: z 2 2 i Bài 22. Cho số phức z thỏa |z 3 | | z 3 | 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của |z | A. 3 B. 6 C. 5 D. 4 Giải: Đặt A( 3;0); B (3;0); AB 6 |z 3|| z 3|10 MA MB 10;(;) M x y biễu diễn số phức z Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 48
  49. MA2 MB 2 AB 2() MA MB 2 AB 2 |z |2 MO 16 2 4 4 4 |z | 4 Đáp án: 4 Bài 23. Cho số phức z, w thỏa |z 1 2 i | | z 5 i | ; w iz 20 . Giá trị nhỏ nhất m của | w | 3 10 10 là : A. m B. m 7 10 C. m D. m 2 10 2 2 Giải: Đặt z x yi ; M(;) x y là điểm biễu diễn số phức z x yi |z 12|| i z 5| i x3y100 |w|| iz 20|| i ||iz 20||z 20i| CM với C(0;20) | w | đạt giấ trị nhỏ nhất khi CM nhỏ nhất . Khi đó CM d( C ; d ) 7 10 Đáp án: 7 10 5 3 Bài 24. Cho số phức z thỏa |z 2 i | | z 2 i | . Biết Q | z 2 4 i | | z 4 6 i | đạt giá 2 2 trị nhỏ nhất tại z a bi(,) a b R . Tính P a 4 b 1333 691 A. 2 B. C. 1 D. 272 272 Giải: 5 3 Tập hợp các điểm M( x ; y) thỏa |z 2 i | | z 2 i | là đường thẳng (d ) : x 4 y 2 0 2 2 Xét AB(2;4); (4;6) . Q MA MB . Bài toán đưa về tìm M d sao cho MA MB nhỏ nhất 62 24 Đáp án M (;) , chọn A 17 17 Bài 25. Cho z là số phức thay đổi thỏa |z 2 | | z 2 | 4 2 . Trong mặt phẳng tọa độ, gọi MN, là điểm biểu diễn số phức z; z . Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN A. 1 B. 2 C. 4 2 D. 2 2 x2 y 2 Giải: |z 2 | | z 2 | 4 2 1 8 4 Do MN, là điểm biểu diễn số phức z; z nên MN, đối xứng qua Ox . SOMN | xy | x2 y 2 x 2 y 2 | xy | Mà 1 2 1 |xy | 2 2 8 4 8.4 2 2 Đáp án: 2 2 CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Các thầy cô tuyển chọn , biên tập , sáng tác một số bài tập trắc nghiệm hay từ mức thông hiểu đến mức vận dụng trong phần Phương pháp tọa độ trong không gian ( ta quen gọi là hình học Oxyz) để các em tham khảo- luyện tập. Vì thời gian không có nhiều nên có thể bài viết chưa thật đầy đủ. Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2,1,3),B(3,1,-1) C(1,1,-2) D(4,1,4). Hãy chọn phát biểu đúng. A. ABCD là hình bình hành. B. ACBD là hình bình hành. C. ADCB là hình bình hành. D. ABDC là hình bình hành. Hướng dẫn: Từ bài toán ta có A,B,C.D là 4 đỉnh của hình bình hành.   Ta có: AB (1,0, 4), CD (3,0,6) không cùng phương suy ra AB,CD là 2 đường chéo. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 49
  50.   Khi đó AD (2,0,1), BC (2,0,1)   AD BC ADCB là hình bình hành.Chọn C. Chú ý : Các điểm A,B,C,D đều có tung độ bằng 1- mặt phẳng (ABCD) có phương trinh là y =1. Do vậy các điểm A,B,C,D có tọa độ “thu gọn ”A(2,3),B(3,-1) C(1,-2) D(4,4). Chỉ việc đánh dấu các điểm lên mp tọa độ ,bạn đọc ngay tên hình bình hành là gì.   Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho tứ giác ABCD biết AB (2;1;3), CD (4; 1; 5) .  Gọi M,N là trung điểm của AD,BC. Tính tọa độ véc tơ MN A. (3,0,-1) B. (-3,0, 1) C. (1,-1, -4)  D. (-1,  1, 4)   Hướng dẫn: Từ đẳng thức quen thuộc: 2MN AB DC suy ra tọa độ véc tơ MN .Chọn A. Chú ý : + Nếu M,N là trung điểm của các đường chéo AC và BD thì mối liên hệ giữa các véc tơ    là: 2MN AB CD . + Bài toán có thể phát biểu với A,B,C,D là 4 điểm của một tứ diện. Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các đỉnh A’(3,0,0),B(0,-6;0), D(0,0,-3). Điểm I(1,2,3) là tâm hình hộp . Tìm tọa độ đỉnh A. A. A(1;-10;-9) B. A(1;-10; 9) C. A(1; 10;-9) D. A(-1; 10;-9). Hướng dẫn: ABCD.A’B’C’D’  là hình hộp nên đường thẳng AI đi qua trọng tâm G của tam giác A’BD và IA 3 IG ; từ đẳng thức này suy ra tọa độ điểm A. Chọn A. Chú ý : Trong học giải toán bạn cần phải nắm một số tính chất các loại hình quen thuộc, một số kết quả đơn giản thường sử dụng Điều tưởng chừng như đơn giản ấy nhiều khi là điểm mấu chốt để giải quyết tốt một bài toán. Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1,0;0), B(0,2,0), C(0,0,-1). Gọi H là trực tâm ABC. Viết phương trình đường thẳng qua H và vuông góc với mp(ABC). x 1 2 t x 1 2 t x 2 t x 1 2 t A. y 2 t . B. y 2 t . C. y t . D. y t . z 2 t z 1 2 t z 2 t z 2 t Hướng dẫn: Xét tứ diện vuông OABC , H là trực tâm ABC Ta có OH  (ABC) cần tìm qua O có véc tơ chỉ phương n()ABC = (2,1,-2) . Chọn C. Chú ý: + Nhờ khai thác tính chất tứ diện vuông ta có lời giải đẹp. Bạn không phải tìm tọa độ trực tâm H, véc tơ chỉ phương của ( là véc tơ pháp tuyến của mp (ABC) ) . + Tiếp tục khai thác tính chất tứ diện vuông OABC , ta đề xuất bài toán : Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1,0;0), B(0,2,0), C(0,0,-1). Tìm tọa độ trực tâm H của ABC. A. B. C. D Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh là A(1,4,-1), B (2,4;-1), C(2,4,3), D(2,2,-1). Tính chiều cao ngắn nhất trong các chiều cao của tứ diện ABCD 21 5 21 4 A. B. C. D. 4 21 5 21 Hướng dẫn: Nếu phải tính từng chiều cao phát xuất từ một đỉnh thì không có thời gian. Thử xem đây có là tứ diện đặc biệt không? Thấy ra các đoạn thẳng BA,BC,BD đôi một vuông góc khi đó chiều cao h ngắn nhất của tứ diện phát xuất từ đỉnh B của hình hộp. Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 50
  51. Ta có: BA=1, BC=4, BD = 2 1 1 1 1 1 1 21 4 1 h = . Chọn D h2 BA 2 BC 2 BD 2 16 4 16 21 Chú ý: Một lần nữa ta khai thác tính chất của tứ diện vuông : + chiều cao phát xuất từ đỉnh tam diện vuông là bé nhất – các chiều cao còn lại là độ dài các cạnh phát xuất từ đỉnh này. + tính chiều cao từ đỉnh tam diện vuông tựa như tính chiều cao phát xuất từ đỉnh góc vuông của một tam giác vuông. Bài 6: Trong không gian Oxyz,, cho điểm M 1; 2 ; 3 . P là mặt phẳng thay đổi đi qua điểm M và cắt các tia Ox,, Oy Oz lần lượt tại ABC,, . Trong trường hợp tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất thì điểm M là điểm nào trong các điểm dưới đây? A. M là trực tâm của ABC B. M là trọng tâm của ABC C. M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC D. M là tâm đường tròn nội tiếp ABC x y z Hướng dẫn: Phương trình mp(ABC) là 1 a b c 1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 . . V abc a b c a b c 6 27 1 2 3 1 V nhỏ nhất khi a 3, b 6, c 9 a b c 3 Khi đó M(1,2,3) là trọng tâm tam giác ABC Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho ABCD là tứ diện đều ,A(3,0;0), B(0,3,0), C(0,0,-3) , D(a,b,c) với a <0. Tính m =a+b+c . A. m =-1 B. m=1 C. m =3 D. m= -3 Hướng dẫn: Cách 1: Mp(ABC) có véc tơ pháp tuyến (1,1,-1) Đường thẳng là trục tam giác ABC qua O ( do ABC cách đều O) . x t Pt : y t . D D(t,t,-t) z t ABCD là tứ diện đều DA =AB = 3 2 t= -1 , t = 3 suy ra tọa độ điểm D(-1,-1,1) thỏa ycbt a+b+c = -1 Cách 2 : Chú ý : Tứ diện đều DABC có tính chất sau: H là tâm tam giác ABC và I là trung điểm đoạn DH thì I.ABC là tứ diện vuông đỉnh I. Ta có : OABC là tứ diện vuông, H(1,1,-1). D là một điểm cần tìm O là trung điểm DH D (-1,-1,1), khi đó m = -1 Một điểm D* khác là điểm đối xứng với D qua H D*(3,3, -3) không thỏa ràng buộc a <0. Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ .Biết mp(A’BD): x-2y+z -4 =0 và mp(B’D’C): x-2y +z +2=0. Tính thể tích hình lập phương. A. 54 2 B. 18 3 C. 27 2 D. 27 3 Hướng dẫn: Gọi a là cạnh của hình lập phương. Khoảng cách giữa 2 mp đã cho bằng 6 và bằng 1/3 độ dài đường chéo – suy ra : a 3 = 3 6 a= 3 2 V= a3 = 54 2 . Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 51
  52. Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A (1,2,3), mp(A’BD) có x 1 t phương trình : x+y+z -5=0. Tìm tọa độ điểm C’ biết C’ nằm trên đường thẳng y 1 t z 2 t A. C’(-2,4,1) B. C’(-1,3,0) C. C’(2,0,-3) D. C’(-7,9,6) Hướng dẫn: Chú ý : Khoảng cách từ C’ đến mp(A’BD) bằng 3 lần khoảng cách từ A đến mp(A’BD). 1 3 d(A,(A’BD)) = d(C’,(A’BD)) = 14 14 |t 5 | 3 |t 5 | 3 (C’(1-t;1+t;-2+t) ) t = 2 hoặc t= 8 14 14 C’(-1 ;3 ;0) hoặc C’(-7 ;9 ;6) Vì A,C’ nằm khác phía đối với mp(A’BD) nên chọn C’(-1 ;3 ;0) Bài 10: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0,0,0) B(a,0,0), a D(0,a,0) và A’(0,0,b) với a>0,b>0.Gọi M là trung điểm CC’ . Xác định tỷ số để 2 b mp(A’BD) và (MBD) vuông góc. 2 A. 1 B. 1/2 C. 2 D.  2 Hướng dẫn: I(a/2,a/2,0) A' I ( a / 2, a / 2, b )  M(a,a,b/2) IM ( a / 2, a / 2, b / 2)   Thấy góc giữa 2 mp(A’BD) và(MBD) là góc A' IM . Ta có: A' IM = 1v A' I . IM 0 a2 a 2 b 2 a 0 b a =1. Chọn C 4 4 2 b Chú ý: Bạn có thể sử dụng đến điều kiện “2 mp vuông góc 2 véc tơ pháp tuyến vuông góc” . Bài 11: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp  ABCD.A’B’C’D’ biết AA' (1,2,3);   AC' (2,3,1) ;AM ' (3,1,2) với M là trung điểm BB’. Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’. A. V=18 B. V=9 C. V=12 D.V=24 1    Hướng dẫn: Ta có VA’ACM = |[AAACAM ' , ' ]. ' | A' 6 B' 1 để ý VA’ACM = VA’ACB ( vì BM // (A’AC)) = VABCD.'''' A B C D D' C'    6 M suy ra VABCD.'''' A B C D =|[ABACAM ' , ' ]. ' | = 2 2 2 A Bài 12: Cho mặt cầu (S): (x-1) +(y-1) +(z+2) =4 và B D điểm A (1;1;-1).Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A đôi một C vuông góc với nhau ,cắt mặt cầu theo ba đường tròn .Tổng diện tích của ba hình tròn tương ứng là z A.π B.10 π C.4 π D. 11 π Hướng dẫn: h 3 I Mặt cầu có tâm I(1,1,-2) và bán kính R =2. A(1,1,-1) nằm h x trong mặt cầu (S). 2 h Xét tam diện vuông Axyz bất kì. Gọi h ,h ,h là khoảng 1 1 2 3 A cách từ I đến các mặt phẳng Axy,Ayz, y Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 52
  53. 2 2 2 2 Azx ta có: h1 h 2 h 3 IA 1 . Gọi r1,r2,r3 là bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với các mặt phẳng Axy,Ayz, 2 2 2 2 2 2 2 Azx ta có: h1 r 1 h 2 r 2 h 3 r 3 R 4 Suy ra: h2 h 2 h 2 r 2 r 2 r 2 12 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 2 r1 r 2 r 3 11 ( r 1 r 2 r 3 ) 11 Chọn D. I Cách 2: z y Có thể chọn tam diện vuông đặc biệt Axyz sao cho mp Axy là mặt x phẳng vuông góc với AI (AI trùng Αz) – khi đó 3 mặt phẳng Axy , A Azx, Ayz cắt mặt cầu (S) theo các đường tròn có bán kính lần lượt là 3 ,2,2 . tổng diện tích 3 hình tròn này là 3 +4 + 4 = 11 . Bài 13 : Trong không gian Oxyz, cho M(1,9,4) . Có bao nhiêu mặt phẳng qua M và cắt các trục tọa độ lần lượt tại các điểm A,B,C ( khác gốc tọa độ ) sao cho OA = OB = OC? A.3 B. 4 C. 8 D.6 Hướng dẫn:Gọi A a;0;0 , B 0; b ;0 , C 0;0; c x y z Phương trình mp (ABC ) : 1. a b c 1 9 4 M(1,9,4) (ABC) 1 (*) a b c Mặt khác |a|=|b|=|c| b > 0 ( nếu b 0 , a>0, c>0; b>0 , a>0, c 0 , a 0 , a 0 Vậy có 4 mặt phẳng qua M thỏa ycbt. Chú ý : Nếu M(1,5,4) chẳng hạn thì chỉ có 3 mp qua M thỏa ycbt vì không xảy ra trường hợp 1 5 4 b>0 , a 0 – không thỏa. Vậy có 1 mp α thỏa ycbt. Chú ý : nếu M,N,P,Q không đồng phẳng thì có 2 mp α cần tìm - α qua MN và cắt PQ tại I sao cho I chia trong, chia ngoài đoạn PQ theo tỉ lệ 1:2. Bài 15: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 1; 1), B(2; 1; 0), C(2; -1; 2), D(2; 0; 1). Có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 4 điểm A , B, C, D ? A. Vô số mặt phẳng. B. 4. C. 7 D. 1 Hướng dẫn: Xét xem 4 điểm ABCD có đồng phẳng? ABCD là 1 tứ diện. Gọi α là mp cần tìm. Vì không xảy ra trường hợp 4 điểm ABCD cùng nằm về một phía đối với mp α nên chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau : + 1 đỉnh và bộ 3 đỉnh còn lại nằm khác phía đối với mp α – khi đó mp α qua 3 trung điểm 3 cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh (có 4 mp α như vậy) Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 53
  54. + 2 đỉnh nào đó và 2 đỉnh còn lại nằm khác phía đối với mp α – khi đó mp α qua 2 trung điểm 2 cạnh đối diện và song song với 2 cạnh còn lại ( có 3 mp α như vậy) Vậy có cả thảy 7 mặt phẳng. Chú ý: Nếu A,B,C,D đồng phẳng thì có vô số mp α // mp (ABCD) thỏa ycbt. Bài 16: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và mặt phẳng ( ) :x y z 1 0. Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên () và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA? A.1 B.4 C.3 D. vô số Hướng dẫn: 3 điểm tiếp xúc của mặt cầu với ba đường thẳng AB, BC, CA có thể là 3 điểm trên đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp. Tâm mặt cầu là giao điểm của trục đường tròn (nội tiếp hoặc bàng tiếp) và mp α. Trong mỗi trường hợp như vậy có đúng một mặt cầu có tâm nằm trên () và có bán kính xác định.Vậy có 4 mặt cầu thỏa yêu cầu bài toán. Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng d1,d2,d3,d4 có phương 1 3 y z x 1 y 2 z x 1 trình:d1: ;d2: 2 2 1 2 2 2 1 1 x 2 y 2 z x 4 y 2 z d3: ; d4: 2 4 4 2 2 1 Có bao nhiêu đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng đã cho? A.0 B.1 C.2 D. vô số Hướng dẫn: Để ý d1// d3. Gọi α là mp chứa d1, d3 α : y+ z -2 =0 3 Kiểm tra thấy d2, d4 cắt α tại A( 1, ½, ) 2 B(4,2,0) và AB không song song với d1 có một và chỉ một đường thẳng qua A,B cắt cả 4 đường thẳng. Bài 18: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1,1,0) B(0,1,1) C(1,2,-1).Viết phương trình đường thẳng d chứa đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. x 4 5 t x 4 5 t x 1 5 t x 1 5 t A. y 3 2 t B. y 3 2 t C. y 1 2 t D y 1 2 t . z 1 t z 1 t z t z t Hướng dẫn:   AB ( 1,0,1); BC (0,1, 2)   [AB , BC ] ( 1, 2, 1) d có véc tơ chỉ phương là véc tơ u       u  [,]AB BC và u  BC , suy ra u =[[AB , BC ], BC ] =(5;-2;-1) Kết hợp d qua A(1;1;0)- chọn A. x 1 y 1 z 1 x y 1 z 3 Bài 19: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng 1 1 2 2 2 1 2 2 cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng P . Lập phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi 1 , 2 và nằm trong mặt phẳng P . x 1 t x 1 x 1 x 1 t A. y 1 2 t t . B. y 1 t C. y 1 t . D. y 1 2 t t . z 1 t z 1 2 t z 1 t z 1 Hướng dẫn:Có thể thấy ngay giao điểm của 2 đường thẳng là I(1;1;1). Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 54
  55. Lấy A(1+a;1+2a;1+2a) 1 và B( b;-1+2b;3-2b) 2 sao cho IA = IB và A, B khác I a2 +4a2 +4a2 = (b-1)2 +(2b-2)2+ (2-2b)2 9a2 = 9(b-1)2 a= b-1 hoặc a= 1-b   Chọn a =1, b=2 khi đó IA (1,2, 2); IB (1,2, 2)     IA. IB 0 ; IA IB (2,4,0) 2(1,2,0) suy ra góc AIB là góc nhọn và đường phân giác góc này có véc tơ chỉ phương là (1,2,0). Chọn D. Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho mp(P): x 2 y 2 z 3 0 và A(1;0;1),B(-1;2;-3) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp (P) sao cho mọi điểm thuộc đều có khoảng cách đến A và B bằng nhau . x 4 2 t x 1 2 t x 4 2 t x 2 t A. y 4 t . B. y 1 4 t . C. y 4 t D. y 8 4 t . 1 z 3 t 1 13 z 3 t z 3 t z 3 t 2 2 2 Hướng dẫn: cần tìm là giao tuyến của mp (P) và mp(Q) với (Q) là mp trung trực đoạn AB + xác định véc tơ chỉ phương của  AB ( 2;2; 4) 2(1; 1;2) n()P (1;2; 2)  u [ AB , n()P ] 2(2; 4; 3) + xác định một điểm M thuộc . M M (P)(Q) I là trung điểm AB I(0;1;-2) (Q): 1(x-0)-(y-1)+2(z+2) = 0 x-y+2z+5=0 1 13 M(-4 ;0 ; ) hoặc M(0 ;-8 ; ) 2 2 + Viết pt : Bài 21:Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x+4y+2z-3=0 x 3 2 t và d: y 2 t . z 1 t Viết phương trình mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r nhỏ nhất. A. (P): y - z - 1 = 0. B. (P): x+ y + 1 = 0. C. (P): y - z + 3 = 0. D. (P): y + z + 1 = 0. Hướng dẫn: (S) có tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3. Bán kính r = 9 d2 (I,(P)) . Để r nhỏ nhất thì d(I,(P)) lớn nhất Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (d). K là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Ta có: d(I,(P))= IK IH d(I,(P)) max AK = AH K H  Mp(P) cần tìm đi qua H (1; 1;0) và nhận IH =(0;1;1) làm VTPT (P): y + z + 1 = 0 Bài 22: Trong không gian Oxyz,cho điểm A(1;1,1),B( -3,1,1), C(3,1,-1). M(a,b,c) là điểm trong mp Oxz và cách đều 3 điểm A,B,C. Tính a-b-c. A. a-b-c = 3 B. a-b-c =-2 C. a-b-c = -3 D. a-b-c =2 Hướng dẫn: Tổ Toán Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông 55