Tài liệu ôn tập chuẩn bị kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 môn Toán - Chủ đề 5: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Nội dung text: Tài liệu ôn tập chuẩn bị kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 môn Toán - Chủ đề 5: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

1. Oân tập chuẩn bị kỳ thi thpt quốc gia – Năm 2017 Trang 1 CHỦ ĐỀ 5 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A, LÝ THUYẾT CẦN NẮM I, BẢNG NGUYÊN HÀM TT Nguyên hàm của các hàm số đơn giản thường gặp 1 1a. dx= 1.dx=x+C 1b. k.dx=kx + C với k là số thực. 1 1 x 1 ax+b 2 2a. x dx= + C. 1 2b. ax+b dx= + C. 1 1 a 1 1 1 1 1 1 3a. dx= +C. 3b. dx= . + C. x2 x ax+b 2 a ax+b 3 1 1 1 1 3c. dx= +C. 3d. dx= + C. x3 2x2 xn n 1 .xn 1 1 1 1 4 4a. dx= ln x +C. 4b. dx= ln ax+b + C. x ax+b a 1 5 5a. exdx= ex + C. 5b. eax+bdx= eax+b + C. a 1 6 6a. sinxdx = cosx + C. 6b. sin ax+b dx= cos ax+b + C. a 1 7 7a. cosxdx= sinx + C. 7b. cos ax+b dx= sin ax+b + C. a 1 1 1 8b. dx= tan ax+b + C. 8 8a. dx= tanx + C. 2 cos2x cos ax+b a 1 1 1 9b. dx= cot ax+b + C. 9 9a. dx= cotx + C. 2 sin2 x sin ax+b a ax 1 amx+n 10 10a. axdx= + C. 10b. amx+ndx= . + C. ln a m ln a 1. Đạo hàm của hàm lũy thừa. / / x .x 1 u .u 1.u ' 2. Đạo hàm của hàm lượng giác. sinx / cosx sinu / u '.cosu cosx / sinx cosu / u '.sinu 1 u ' t anx / t anu / cos2 x cos2u 1 u ' cotx / cotu / sin2 x sin2u / / sin2 x sin 2x cos2 x sin 2x 3. Đạo hàm của hàm mũ. / / ex ex eu u '.eu / / Tổng quát: ax ax .ln a au au .ln a.u ' 4. Đạo hàm của hàm lơgarít. 1 u ' lnx / lnu / x u / 1 / u ' Tổng quát: log x log u a x.ln a a u.ln a II, TÍCH PHÂN Trang 1
2. Oân tập chuẩn bị kỳ thi thpt quốc gia – Năm 2017 Trang 2 b b 1. Định nghĩa. I f x dx F x F b F a . a a 2. Tính chất của tích phân. b b a. I k. f x dx k. f x dx . a a b b b b. I f x g x dx f x dx g x dx . a a a b a c. I f x dx f x dx . a b a d. I= f x dx 0 . a b x0 b e. I f x dx f x dx f x dx, a<x0 <b . a a x 0 f. Tính phân khơng phụ thuộc vào biến. a a g. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [- a; a] thì I= f x dx 2 f x dx a 0 a h. Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [- a; a] thì I= f x dx 0 a III, ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình phẳng y f x y 0 Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x a x b b b i. S f x dx f x dx . a a b c b ii. S f x dx f x dx f x dx , với c là nghiệm thuộc [a;b]. a a c y f x y g x Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x a x b b b i. S f x g x dx f x g x dx . a a b c b ii. S f x g x dx f x g x dx f x g x dx a a c với c là nghiệm thuộc [a;b]. 2, Tính thể khối trịn xoay (C) : y f (x) ox : y 0 b Dạng 1: (H) : quay quanh trục ox thì: V(H)= . f 2 (x).dx a x a x b (C1 ) : y f (x) b (C2 ) : y g(x) 2 2 Dạng 2: (H) : quay quanh trục ox thì V(H) = . f (x) g (x).dx a x a x b B, BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I, NGUYÊN HÀM Trang 2
3. Oân tập chuẩn bị kỳ thi thpt quốc gia – Năm 2017 Trang 3 1 ln x Câu 1: Tìm dx ? x 1 2 1 2 1 A. 1 ln2 x C B. 1 ln x C C. 1 ln x C D. ln2 x C 2 2 2 Câu 2: Tìm x4 x3 x2 x 1 dx ? x5 x4 x3 x2 x5 x4 x3 x2 A. x C B. x C. 5 4 3 2 5 4 3 2 x5 x4 x3 x2 x C D. 4x3 3x2 2x 1 Câu 3: Tìm ecos x .sin xdx ? A. esin x C B. ecos x C C. esin x C D. ecos x C x3 2x2 3x 4 Câu 4: Tìm dx ? 2 x 1 4 3 2 A. x2 2x 3ln x C B. 1 C C. 2 x x2 x 1 1 1 4 x2 2x 3ln x C D. x2 2x 3ln x C 2 4x 2 x 1 1 1 1 1 Câu 5: Tìm 2 3 4 5 dx ? x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 A. ln x C B. ln x C x 2x2 3x3 4x4 x 2x2 3x3 4x4 1 1 1 1 1 1 1 1 C. 1 C D. 1 C 2x 3x2 4x3 5x4 x 2x2 3x3 4x4 4 1 Câu 6: Tìm 2 2 dx ? cos 2x sin 3x 1 1 1 A. 2 tan 2x cot 3x C B. 4 tan 2x cot 3x C C. 2 tan 2x cot 3x C D. 3 3 3 8 tan 2x 3cot 3x C 1 Câu 7: Tìm dx ? 3x2 2x 5 1 3x 5 1 x 1 1 3x 5 A. ln C B. ln C C. ln C D. 8 x 1 8 3x 5 8 x 1 1 x 1 ln C 8 3x 5 Câu 8: Tìm 7x 4 5 dx ? 6 6 6 6 7x 4 1 7x 4 A. . 7x 4 C B. C C. . C D. 7 6 7 6 1 6 . 7x 4 C 7 Câu 9: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x sin x và F 1 . Tìm F . 2 A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 x Câu 10: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x cos và F 0 . Tìm F(x). 2 Trang 3
4. Oân tập chuẩn bị kỳ thi thpt quốc gia – Năm 2017 Trang 4 x 1 x 1 x A. F x 2sin 2 B. F x sin C. F x 2sin 2 D. 2 2 2 2 2 1 x 1 F x sin 2 2 2 Câu 11: Tìm x 1 exdx ? 2 x x x x x x A. x 1 e xe C B. x 1 e e C C. x e C D. 2 x 1 ex ex C Câu 12: Tìm sin 5x cos 2x dx ? 1 1 1 1 A. cos5x sin 2x C B. cos5x sin 2x C C. 5 2 5 2 1 1 1 1 cos5x sin 2x C D. cos5x sin 2x C 5 2 5 2 1 Câu 13: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x và F 3 3 . Tìm F(x). x 1 A. F x x 1 1 B. F x x 1 1 C. F x 2 x 1 1 D. F x 2 x 1 1 1 Câu 14: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x và F 0 2 . Tìm 2 cos 3x 4 F . 4 3 5 A. B. 3 C. 5 D. 5 3 4 Câu 15: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x và F 0 2 . Tìm F 2 . 1 2x A. 2 ln 5 4 B. 5 1 ln 2 C. 2 1 ln 5 D. 4 ln 5 2 Câu 16: Tìm x x2 1 dx ? 1 1 A. x3 x C B. x4 x2 C C. 2x C D. 4 2 1 2 1 3 x x x C 2 3 Câu 17: Tìm x.sin 3xdx ? 1 1 1 1 A. x.cos3x sin 3x C B. x.sin 3x sin 3x C 3 9 3 9 1 1 1 1 C. x.cos3x sin 3x C D. x.cos3x sin 3x C 3 3 3 9 1 ln x Câu 18: Tìm dx ? x2 1 1 1 A. 2 ln x C B. 2 ln x C C. 1 ln x C D. x x x 1 1 ln x C x Câu 19: Tìm x x3 3 x 3 x4 dx ? Trang 4
5. Oân tập chuẩn bị kỳ thi thpt quốc gia – Năm 2017 Trang 5 2 2 3 3 2 2 3 3 A. x3 x5 3 x4 3 x7 C B. x3 x5 3 x4 3 x7 3 5 4 7 3 5 4 7 1 3 1 4 3 5 4 7 C. x 3 x C D. x3 x5 3 x4 3 x7 C 2 x 2 3 3 x2 3 2 2 3 3 Câu 20: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x 1 x 2 và F 2 10 . Tìm F 1 . A. 0 B. 2 C. -1 D. 1 x Câu 21: Tìm dx ? cos2 x 1 A. xcot x ln cos x C B. x tan x ln sin x C C. x tan x ln cos x C D. x2 tan x C 2 Câu 22: Tìm e x e3x 2 5x 42 7 x dx ? 1 5x 1 42 7x 1 5x 1 42 7x A. e x e3x 2 . C B. e x e3x 2 . C 3 ln 5 4 ln 7 3 ln 5 2 ln 4 1 5x 1 42 7x 1 5x 1 42 7x C. e x e3x 2 . C D. e x e3x 2 . C 3 ln 5 7 ln 4 3 ln 5 7 ln 4 1 Câu 23: Tìm dx ? 2 5 3x 1 1 1 1 1 1 A. . C B. . C C. . C D. 3 5 3x 5 5 3x 5 5 3x 1 1 . C 3 5 3x x Câu 24: Tìm dx ? 1 x A. x ln 1 x C B. 1 ln 1 x C C. 1 ln 1 x C D. x ln 1 x C 2x 1 1 Câu 25: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x e và F 1 . Tìm F(x). 2 1 2x 1 1 1 2x 1 1 2x 1 A. F x e B. F x e e C. F x e 1 D. 2 2 2 2 1 F x e2x 1 1 2 x Câu 26: Tìm dx ? 1 x2 x2 A. C B. ln 1 x2 C C. 2ln 1 x2 C D. 1 x x3 3 1 ln 1 x2 C 2 5 1 1 1 3 Câu 27: Tìm dx ? x 4x 3x 8 1 2x 6 x 1 1 1 A. 5ln x ln 4x ln 3x 8 ln 1 2x ln 6 x C 4 3 2 1 1 1 B. 5ln x ln x ln 3x 8 ln 1 2x 3ln 6 x C 4 3 2 1 1 1 1 C. 5ln x ln 4x ln 3x 8 ln 1 2x ln 6 x C 4 3 2 2 Trang 5
6. Oân tập chuẩn bị kỳ thi thpt quốc gia – Năm 2017 Trang 6 1 1 1 D. ln 5x ln 4x ln 3x 8 ln 1 2x 3ln 6 x C 4 3 2 Câu 28: Tìm sin 2 x.cos xdx ? 1 1 1 1 A. sin3 x B. sin3 x C C. cos3 x C D. sin3 x C 3 3 3 3 II, TÍCH PHÂN 1 Câu 1: Biết x.e xdx a.eb . Tính S a b . 1 A. S 2 B. S 3 C. S 3 D. S 2 Câu 2: Cho hàm số f(x) cĩ đạo hàm trên đoạn [-1;2], f(-1) = -2 và f(2) = 1. Tính 2 I f ' x dx . 1 A. -3 B. 3 C. -1 D. 1 2 cos x Câu 3: Biết dx a 2 b . Tính S a b . 2 sin x 4 A. S 1 B. S 2 C. S 0 D. S 2 2 Câu 4: Tính: L 1 cos x n sin xdx 0 1 1 1 A. L B. L C. L D. L n 1 2n 1 n 1 n 3 Câu 5: Cho hàm số f(x) cĩ đạo hàm trên đoạn [0;3], f(0) = 2 và f(3) = -7 . Tính I f ' x dx . 0 A. 3 B. -9 C. -5 D. 9 3 1 Câu 6: Biết dx a ln 2 bln 3 . Tính S a b . 2 2 x x A. S 1 B. S 0 C. S 2 D. S 2 6 Câu 7: Tính: I tanxdx 0 3 3 2 3 3 A. ln B. ln . C. ln D. ln 2 2 3 2 a Câu 8: Cho hàm số f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên ¡ . Khi đĩ f x dx a 0 bằng: a A. 1 B. a C. 0 D. 2a 5 1 Câu 9: Biết dx a ln 3 bln 5 . Tính S a2 ab 3b2 . 1 x 3x 1 Trang 6
7. Oân tập chuẩn bị kỳ thi thpt quốc gia – Năm 2017 Trang 7 A. S 0 B. S 2 C. S 5 D. S 4 1 dx Câu 10: Tính: I 2 0 x 4x 3 1 3 3 1 3 1 3 A. I ln B. I ln C. I ln D. I ln 2 2 2 2 2 3 2 2 Câu 11: Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ . Biết f x dx 10 . Khi đĩ 2 0 f x dx ? 2 A. 10 B. 20 C. 15 D. 5 9 7 Câu 12: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;9] thỏa mãn f x dx 8, f x dx 3 . Khi đĩ 0 4 4 9 giá trị của P f x dx f x dx là: 0 7 A. P 5 B. P 9 C. P 11 D. P 20 2 ea 1 Câu 13: Biết e3xdx . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 0 b A. a b B. a b C. a b 10 D. a 2b 3 1 Câu 14: Biết f x dx 12 . Tính I f 3x dx . 0 0 A. 3 B. 6 C. 4 D. 36 2 Câu 15: Tính: K (2x 1)ln xdx 1 1 1 A. K B. K 2ln 2 C. K = 2ln2 D. 2 2 1 K 2ln 2 2 a x 1 Câu 16: Biết dx e . Giá trị của a là ? 0 x A. a e2 B. a ln 2 C. a e D. a ln 5 2 3 dx Câu 17: . Tính: I 2 2 x x 3 A. I B. I C. I = D. I 6 3 6 2 dx a a Câu 18: Biết ln , (với là phân số tối giản). Tìm khẳng định sai trong các khẳng 1 x 3 b b định sau? A. 3a b 12 B. a2 b2 9 C. a b 2 D. a 2b 13 Trang 7
8. Oân tập chuẩn bị kỳ thi thpt quốc gia – Năm 2017 Trang 8 2 4 x Câu 19: Biết f x dx 8 . Tính I f dx . 1 2 2 A. 12 B. 4 C. 2 D. 16 a 1 Câu 20: Nếu đặt x a tant thì tích phân dx , a 0 trở thành tích phân nào dưới 2 2 2 0 a x đây? 1 4 1 4 1 4 A. 1 cost dt B. 1 cos 2t dt C. 1 cos 2t dt D. 3 3 3 2a 0 2a 0 2a 0 1 4 1 cos 2t dt 3 a 0 Câu 21: Tính: L xsin xdx 0 A. L = B. L = C. L = 0 D. L = 2 Câu 22: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn y ' y.x2 , f 1 1 . Tính f(2) . A. f 2 e2 B. f 2 4 C. f 2 20 D. f 2 e3 b Câu 23: Biết f x dx 10 , F(x) là một nguyên hàm của f(x) và F(a) = -3. Tính F b . a A. F b 13 B. F b 16 C. F b 10 D. F b 7 a 1 Câu 24: Nếu đặt x a sin t thì tích phân dx , a 0 trở thành tích phân nào dưới 2 2 0 a x đây? 2 2 1 2 a 4 A. dt B. dt C. dt D. dt 0 0 a 0 t 0 III, ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Câu 1: Tính thể tích V của khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x y sin , y 0, x 0, x quay xung quanh trục Ox. 2 4 2 2 A. V B. V C. V D. V 2 3 2 3 Câu 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y 2 . A. S 4 B. S 8 C. S 6 D. S 2 Câu 3: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường congy ex , tiếp tuyến với đường này tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1 và trục Oy . e e e A. S 1 B. S 1 C. S e 1 D. S 1 3 2 2 Câu 4: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 1, y 0, x 2, x 3 . Trang 8
9. Oân tập chuẩn bị kỳ thi thpt quốc gia – Năm 2017 Trang 9 12 28 20 30 A. S B. S C. S D. S 3 3 3 3 Câu 5: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường congy x2 , tiếp tuyến với đường này tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1 và đường thẳng x = 2 . 1 1 2 3 A. S B. S C. S D. S 3 2 3 2 Câu 6: Coi hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm y’ = 0, với mọi x và cĩ đồ thị (C) qua điểm A(1 ; 2) Diện tích S giới hạn bởi (C), 2 trục toạ độ và đường thẳng x = 3 bằng bao nhiêu? A. S 6 B. S 5 C. S 3 D. S 4 Câu 7: Tính thể tích V của khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x2 , y 1 quay xung quanh trục Ox. 16 56 4 56 A. V B. V C. V D. V 15 15 3 15 Câu 8: Gọi V là thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 15 y 1, y 0, x 1, x k k 1 quay xung quanh trục Ox. Tìm k để V ln16 . x 4 A. k e2 B. k 2e C. k 4 D. k 8 Câu 9: Tính thể tích V của khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x, y 0, x e quay xung quanh trục Ox. A. V e 2 B. V e C. V e 1 D. V e 2 Câu 10: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường congy 1 ,x tiếp2 tuyến với đường này tại điểm cĩ hồnh độ bằng 2 và trục Oy . 31 43 44 29 A. S B. S C. S D. S 2 3 3 2 x2 y2 Câu 11: Gọi S 1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi elip 1 và S 2 là diện tích của 9 1 hình thoi cĩ các đỉnh là đỉnh của elip đĩ. Tính tỉ số giữa S1 và S2. S S 2 S 3 S A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 S2 3 S2 S2 S2 2 Câu 12: Gọi V là thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các x 3 đường yquay e ,xungy k quanh k 1 trục, x Ox0 . Tìm k để . V ln16 2 A. k 4 B. k e2 C. k e D. k 2 Câu 13: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y 1 3x2 , y 0, x 1, x 2.Đường thẳng x = k (-1 < k < 2) chia (H) thành hai phần cĩ diện tích S 1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để S2 2S1 . 1 2 A. k B. k = 0 C. k = 1 D. k 2 3 Câu 14: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y e2x , y 0, x 0, x k k 0 . Tìm k để S = 4. A. k 3 B. k ln 3 C. k ln 4 D. k 4 Trang 9
10. Oân tập chuẩn bị kỳ thi thpt quốc gia – Năm 2017 Trang 10 Câu 15: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x, y 0, x e2 . A. S e2 1 B. S e 1 C. S 1 D. S e2 1 Trang 10