Tiểu luận Một số bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton

Nội dung text: Tiểu luận Một số bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN KHOA KHTN & CN  TIỂU LUẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON Sinh viên: Vũ Nhật Anh Mai Thị Thanh Nhàn Hồ Thị Chung Chuyên ngành: Sư phạm Toán học Khóa học: 2011 – 2015 1 Đắk Lắk, 04/2015
2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN KHOA KHTN &CN  TIỂU LUẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON Sinh viên: Vũ Nhật Anh Mai Thị Thanh Nhàn Hồ Thị Chung Chuyên ngành: Sư phạm Toán học Khóa học: 2011 – 2015 Người hướng dẫn Ts. Trần Thanh Tùng 2 Đắk Lắk, 04/2015
3. MỤC LỤC I.ĐẶT VẤN ĐỀ. 4 II. NHỊ THỨC NEWTON 5 1. Công thức nhị thức 5 2. Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton 7 III. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON. 7 1.Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Newton. 7 a.Phương pháp 7 b. Ví dụ minh họa 8 c. Bài tập đề nghị 10 2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Nhị thức Newton 10 a. Các dạng toán cơ bản 10 b. Ví dụ minh họa 12 c. Các bài Toán chon lọc 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 3
4. I. ĐẶT VẤN ĐỀ. Trong chương trình Toán học phổ thông, phần Đại số tổ hợp là chương trình mới lạ và khó đối với các em học sinh. Các bài Toán Tổ hợp mang tính tổng hợp và khái quát hóa cao. Vì vậy học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng tạo giảm. Nếu chưa học đạo hàm, tích phân, số phức mà các em chỉ vận dụng các công thức trong sách giáo khoa thì các em giải các bài toán về chứng minh đẳng thức tổ hợp rất khó khăn. Các em không biết nên xuất phát từ đâu? Nên dùng công thức nào để chứng minh? Để giúp học sinh khắc phục tình trạng trên, giúp cho các em có sự say mê, tư duy sáng tạo trong việc học phần đại số tổ hợp. Tôi đã đọc tài liệu,nghiên cứu,phân tích,cải tiến cách dạy, tìm tòi thêm các công thức khác, hướng dẫn các em tự tìm tòi, tự phát triển ra các công thức mới dựa trên các công thức đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức để các em vận dụng làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn, tạo ra sự hứng thú trong học tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập không những loại bài tập này mà còn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác. Trong khuôn khổ Tiểu luận “Một số bài Toán liên quan đến công thức Nhị thức Newton” tôi chỉ nêu một số phương pháp thường dùng để các em giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp một cách khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn. Từ đó để các em củng cố kiến thức,rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp và kỳ thi đại học,cao đẳng. - Đối với học sinh THPT đa số học sinh khi gặp loại toán này thường không giải được hoặc giải được nhưng tốn rất nhiều thời gian .Các em thường không biết nên giải thế nào? Công thức trong sách giáo khoa lại ít,nếu dùng định lý về số các tổ hợp để làm bài tập thì rất phức tạp mà có khi không thể giải ra được. - Một số em khi gặp các bài toán mà các em chưa tìm ra hướng giải các em sẽ bỏ cuộc ngay, không có tính kiên trì tìm tòi, ỷ lại, chờ thầy giáo,cô giáo chữa . - Số tiết bài tập dành cho loại bài tập này ít nhưng nó lại có trong các đề thi thử Đại học của một số trường THPT, và đặc biệt cũng có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi tỉnh. 4
5. II. NHỊ THỨC NEWTON 1. Công thức nhị thức Newton Ở các lớp dưới, ta đã biết các hằng đẳng thức cho ta khai triển của ()ab 2 và ()ab 3 2 a b a22 2 ab b 3 a b a3 3 a 2 b 3 ab 2 b 3 . Một cách tổng quát, khai triển của ()ab n được cho bởi công thức sau n 0n 1 n 1 n 1 n 1 n n ab Can Cab n Cab n Cb n . Định lí 1. Với ab, là các số thực và n là số nguyên dương, ta có n n 0n 1 n 1 n 1 n 1 n n k n k k ab CaCabn n Cab n Cb n  Cab n . k 0 (quy ước ab00 1) Công thức này được gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) Chứng minh. Ta sẽ chứng minh khẳng định P(n) sau: Với mọi số thực x và mỗi số nguyên dương n, ta có n n kk 1 x  Cn . x . k 0 Chứng minh bằng quy nạp theo n. Rõ ràng P(1) hiển nhiên đúng. Giả sử khẳng định P(n) đúng, ta có n n1 n 1 n 1 n 1 n (a b ) a Cnn a b C ab b nnbk an C k C k a n k b k . nnk kk 00a Lại có n n n n k k k k k k 1 k 1 k n 1 Cn. x 1  C n . x ,  C n . x  C n . x x . k 0 k 1 k 0 k 1 Thay vào đẳng thức trên và áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta được 5
6. n n 1 k k 1 k n 1 (1 x ) 1  ( Cnn C ) x x k 0 nn 1 0 0k k n 1 k k k Cn 1 x  C n 1 . x C n 1 x C n 1 . x . kk 10 Vậy P(n + 1) đúng. Theo nguyên lí quy nạp, khẳng định P(n) đúng với mọi số nguyên dương n. Tóm lại, ta đã chứng minh được công thức n n kk 1. x  Cn x k 0 n a abn k 1 C k . , Với x , ta có  n k b bak 0 n abnnk (a b )n a n 1 a n C k C k a n k b k . do đó nnk bakk 00 Công thức nhị thức Newton được chứng minh. Chú ý. Công thức trên là khai triển của ()ab n theo lũy thừa giảm của a và lũy thừa tăng của b . Ta cũng có thể viết khai triển của ()ab n ctheo lũy thừa tăng của và lũy thừa giảm của n n k k n k ().a b Cn a b k 0 Hệ quả 1. n n k k n k k (a b )  ( 1) Cn a b . k 0 Vậy, nếu n chẵn ta có n n1 n 1 n 1 n 1 n (a b ) a Cnn a b C ab b . Nếu n lẻ ta có n n1 n 1 n 1 n 1 n (a b ) a Cnn a b C ab b . Chứng minh. Thật vậy, ta có nnk nkn k n k k n k k a b a b  Cnn a b 1. C a b kk 00 6
7. 2. Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton n i Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có Cn với i là số tự nhiên i 1 liên tiếp. n i Trong biểu thức có i i 1 Cn thì ta dùng đạo hàm iN . i 1 n i k Trong biểu thức có  i k Cn thì ta nhân 2 vế với x rồi lấy đạo hàm. i 1 n ki Trong biểu thức có aCn thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp. i 1 n 1 i Trong biểu thức có  Cn thì ta lấy tích phân xác định trên ab;  thích hợp. i 1 i 1 nni a bn i a n i b i a n i ib Nếu bài toán cho khai triển x x  Cnn x x C x ii 11 m i thì hệ số của x là C n sao cho phương trình a n i bi m có nghiệm iN n 1 n 1 n C i đạt MAX khi i hay i với n lẽ, i với n chẵn. n 2 2 2 III.MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 1. Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Newton a. Phương pháp Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển Newton, ta cần lưu ý 1. Ta có n n i n i i a b  Cn a b , i 0 i i n i i do đó hệ số của số hạng thứ i là Cn , và số hạng thứ i là Cn a b . 2. Ta có n n i n i  i x x  Cn ( x ) .( x ) i 0 n i  n i i Cxn , i 0 do đó k i Hệ số của x trong khai triển trên là Cn với i là nghiệm của phương trình 7
8.  n i i k . Đặc biệt, khi k=0 đó chính là số hạng không phu thuộc x. b. Ví dụ minh họa 15 Ví dụ 1. Tìm 2 hạng tử chính giữa của khai triển x3 xy . Giải. Trong khai triển trên có n=15, do đó có 16 hạng tử nên hai hạng tử chính giữa là 7 3 8 7 31 7 C15( x ) .( xy ) 6435 x . y 8 3 7 8 29 8 C15( x ) .( xy ) 6435 x y 100 2 100 Ví dụ 2. Đặt x 2 a0 a 1 x a 2 x a 100 x . a. Tính hệ số a97. b. Tính tổng S1 a 0 a 1 a 100 . c. Tính tổng S2 a 1 2 a 2 100 a 100 . Giải. Ta có 97 100i 100 i i f( x ) ( x 2)  C100 x ( 2) . i 0 a. Từ đó hệ số a97 được cho bởi 97 97 aC97 100 ( 2) b. Ta có 100 S1 a 0 a 1 a 100 f (1) (1 2) 1. c. Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1), ta được 99 99 100(x 2) a1 2 a 2 x 100 a 100 x . Suy ra 99 S2=a1+2a2+ +100a100=f’(1)=100(1-2) = -100. Ví dụ 3. (ĐHTL - 2000): Cho đa thức:P(x)=(1+x)9+(1+x)10+ +(1+x)14. 2 14 Có khai triển P(x)= a0+ a1x+ a2x + + a14x . Tính hệ số a9. Giải. Ta có 9 10 14 9 10 14 i i i i i i P(x)=(1+x) +(1+x) + +(1+x) = C9 x + C10 x + + C14 x . i 0 i 0 i 0 Do đó hệ số a9 được cho bởi 9 9 9 a9 C 9 C 10 C 14 3003. 8
9. 2 3 5 2 15 Ví dụ 4. Đặt (1+x+x +x ) = a0+a1x+a2x + +a15x . a. Tính hệ số a10. b. Tổng S1= a0+a1+a2+ +a15. c. Tổng S2 =a0- a1+ a2- - a15. Giải. Ta có f(x) = (1+x+x2+x3)5 =[(1+x)(1+x2)]5 =(1+x)5(1+x2)5 5 5 i i i 2 i = C5 x . C5 (x ) . i 0 i 0 a. Từ đó hệ số a10 được cho bởi 0 5 2 4 4 3 a10 C 5. C 5 C 5 . C 5 C 5 . C 5 101. b. Ta có 5 S1= a0+ a1+a2+ +a15=f(1)=4 = 1024. c. Ta có S2= a0- a1+a2- -a15=f(-1)=0. 10 3 2 Ví dụ 5. (CĐSPKT 2000). Trong khai triển nhị thức 2x 2 với x 0, hãy tìm số x hạng không phụ thuộc x . Giải. Ta có 10 10 i 3322 i 10 i 2x 22  C10 2 x . xx i 0 10 10ii 30 5 2 Cx10 . i 0 Từ đó, số hạng i+1 không phụ thuộc x thỏa mãn 30 5ii 0 6 10 6 Suy ra, số hạng không phụ thuộc x có giá trị bằng 2 C10 . n 3 2 x Ví dụ 6. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của khai triển nhị thức xx bằng 36. x Tìm số hạng thứ 7. Giải. Ta có 9
10. n 5 2 n 3 2 x x x x2 x 3 x 5 2 n i2 n i3 i Cn ( x ) .( x ) . i 0 Từ đó, hệ số của số hạng thứ 3 của khai triển nhị thức là n! C2 36 36 n 2! n 2 ! nn( 1) 72 n n2 n 72 0 n 9 . Vậy, số hạng thứ 7 được cho bởi 572 622 33 6 C9 ( x ) ( x ) 84 x . c. Bài tập đề nghị Bài tập 1. (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của 1 xx2 1 8 . Bài tập 2. ( Khối D-2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển x 1 2 x 5 x2 1 3 x 10 . Bài tập 3. ( Đề 4 “TH&TT” -2003) Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức x y z t 20 . 2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Nhị thức Newton a. Các dạng toán cơ bản Dạng toán 1. Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị 0 1 n Cn , Cn , , Cn . *) Phương pháp chung Ta biết rằng với k, n nguyên, không âm và k n, ta có n! n! C k &Ck 1 n k!! n k n (k 1)! n k 1 ! C k C k 1 Thực hiện so sánh n & n , bằng cách xét 10
11. n! C k k!! n k n k 1 n! Cn (k 1)! n k 1 ! nk 1 k n 1 1. k Từ (1), suy ra k kk 1 Cn nn 11 Cnn C k 1 1 1 1 k . Ckn 2 k kk 1 Cn nn 11 Cnn C k 1 1 1 1 k . Ckn 2 Tức là n 1 C k tăng khi k tăng và k . n 2 n 1 giảm khi k tăng và k . 2 Vậy n 1 Với n lẻ, thì đạt giá trị lớn nhất tại k . 2 n Với n chẵn, thì đạt giá trị lớn nhất tại k . 2 Dạng toán 2. Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển (p+q)n, biết rằng p>0, q>0, p+q= 1. *) Phương pháp chung n Gọi tk là số hạng thứ k+1 trong khai triển (p+q) , ta có k n k k Cn p q . Để tìm số hạng có giá trị lớn nhất khi k chạy từ 0 đến n, thực hiện so sánh tk& tk-1, bằng cách xét 11
12. k n k k tkn C p q (n k 1) q ( n 1) q k k 1 n k 1 k 1 1. (1) tkn 1 C p q kp kp Từ (1), suy ra tk ( n 1) q k tkk 1 t 1 1 1 k ( n 1) q . tk 1 kp tk (n 1) q k tkk 1 t 1 1 1 k ( n 1) q . tk 1 kp Tức là, khi k chạy từ 0 đến n thì tk tăng khi k tăng và k ( n 1) q. tk giảm khi k tăng và k ( n 1) q . Vậy tk đạt giá trị lớn nhất bằng một số nguyên thỏa mãn (n 1) q 1 m ( n 1) q . Nếu (n+1)q là một số nguyên m, thì tm= tm-1, tức là có hai số hạng có giá trị lớn nhất là tm& tm-1. b. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a+b)n biết rằng tổng các hệ số bằng 4096. Giải. Tổng các hệ số trong khai triển (a+b)n bằng: 0 1 2 nn Cn C n C n C n 2 4096 n 12. 6 Do đó, hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển là C12 924 . Ví dụ 2. Xác định số n sao cho trong khai triển nhị thức (x+)n hạng tử thứ 11 là số hạng tử có hệ số lớn nhất. Giải. Ta có nn n i n i i i i n i x 2  Cnn x .2 C 2 . x . ii 00 9 9 10 10 11 11 Từ đó , hạng tử thứ 10, 11, 12 có hệ số bằng CCCn2 , n 2 , n 2 . Để hạng tử thứ 11 là số hạng tử có hệ số lớn nhất điều kiện là 12
13. 2.nn ! ! 10 10 9 9 CCnn22 10! nn 10 ! 9! 9 ! CC1022 10 11 11 nn! 2. ! nn 10! nn 10 ! 11! 11 ! 21 10n 9 31 n 14 nn 15. 12 2 n 10 11 Vậy, với n=15 thỏa mãn điều kiện đề bài. 8 12 Ví dụ 3. Tìm số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển 33 Giải. Gọi tk là số hạng thứ k+1 trong khai triển , ta có 8 kk k 12 C8 33 Để tìm số hạng có giá trị lớn nhất khi k chạy từ 0 đến 8, thực hiệ so sánh sánh tk& tk-1, bằng cách xét 8 kk k 12 C8 tk 33 2(9 k ) 91 kk . (1) tkk 1 k 1 12 C8 33 Từ (1), suy ra tkk 2(9 ) tkk 1 t 1 1 k 6 . tkk 1 tk 2(9 k ) tkk 1 t 1 1 k 6. tkk 1 Tức là, khi k chạy từ 0 đến 8 thì: tk tăng khi k tăng và k 6 . tk giảm khi k tăng và k 6 . Vậy, tk đạt giá trị lớn nhất k=6 và có giá trị bằng 26 6 1 2 1792 C8 3 3 2187 13
14. c. Các bài tập đề nghị. Bài tập 1. Khai triển đa thức P(x)=(1+2x)12 thành dạng 2 20 P(x) = a0+ a1x+ a2x + +a20x Tìm max(a1, a2, ,a12). Bài tập 2. Tìm số hạng thứ lớn nhất trong khai triển 23 x 25 Bài tập 3. 21 a. Tìm số hạng lớn nhất trong các khai triển sau x3 xy . 20 1 b. Tìm số hạng lớn nhất trong các khai triển sau xx4 . 3 2 xy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Huy Đoan(2001), Giải Toán và Ôn tập Giải tích.Nhà xuất bản Giáo dục. [2] Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – Lê Hữu Trí(2005), Phương pháp giải Toán Tổ hợp.Nhà xuất bản Hà Nội. [3] Lê Quang Hoàng Nhân(2008), Giáo trình Toán cao cấp .Nhà xuất bản Thống kê. [4] Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan(2008), Đại số và Giải tích (Sách Giáo viên). Nhà xuất bản Giáo dục. 14