Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 - Từ năm 2010 đến 2016

Nội dung text: Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 - Từ năm 2010 đến 2016

1. Phần thứ nhất TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 TỪ NĂM 2010 – 2016 A- PHẦN ĐỀ ĐỀ SỐ 01 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (4 điểm) x y m 2 1. Cho hệ phương trình 2 2 2 x y 2x 2y m 4 (trong đó m là tham số x và y là ẩn) a) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm. b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A xy 2 x y 2011 . 2. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt đều lớn hơn 3. x4 3m 1 x2 6m 2 0 . Câu 2 (1,5 điểm) x y xy 1 Giải hệ phương trình 2 2 x 3 y 3 4 Câu 3 (1 điểm) 1 1 1 Chứng minh rằng nếu x, y là các số thực dương thì . 1 x 2 1 y 2 1 xy Câu 4 (3,5 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 và B 4;3 . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho ·AMB 450 . 2. Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C). Hãy viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết rằng 6 17 D 2;1 , E 3;4 , F ; . 5 5 3. Cho tam giác ABC, có a BC , b CA , c AB . Gọi I, p lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC. Chứng minh rằng IA2 IB2 IC 2 2 . c p a a p b b p c
2. ĐỀ SỐ 02 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ THPT chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (4,0 điểm) xy2 y3 3x 6y 0 1. Giải hệ phương trình 2 . x xy 3 0 2. Giải phương trình 18x 16 4 2x2 5x 3 7 4x2 2x 2 7 2x2 8x 6 . Câu 2 (1,0 điểm) 1 1 Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương m;n; p sao cho mỗi một trong các số m ; n ; np pm 1 p là một số nguyên. mn Câu 3 (2,0 điểm) a2012 b2012 c2012 1. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 201 . 1Chứng minh rằng b2010 c2010 a2010 luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho an 3 bn 3 cn 3 2011 an 2 bn 2 cn 2 . bn 1 cn 1 an 1 2010 bn cn an 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m ta có bất đẳng thức: am 3 bm 3 cm 3 am 2 bm 2 cm 2 . bm 1 cm 1 am 1 bm cm am Câu 4 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF cắt nhau tại điểm S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC. 1. Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các DEF và XTY . 2. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Câu 5 (1,0 điểm) Kí hiệu ¥ chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử f : ¥ ¥ là hàm số thỏa mãn các điều kiện f 1 0 và f m2 2n2 f 2 m 2 f 2 n với mọi m,n ¥ . Tính các giá trị của f 2 và f 2011 .
3. ĐỀ SỐ 03 (Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. 1. Giải phương trình: 2 x 6 3 x 5 x 3 . 2. Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a 2b 5c 0 . Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 có nghiệm. Câu 2. x2 4xy x 2y 0 Giải hệ phương trình: 4 2 2 2 . x 8x y 3x 4y 0 Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A 1;3 , B 5; 3 . Xác định tọa độ điểm M   trên đường thẳng d: x 2y 1 0 sao cho 2MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4. Tam giác ABC có các góc thỏa mãn hệ thức: cot A cot C cot B . 1 1. Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA và CC của tam giác ABC khi . 1 1 2 2. Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi 2 . Câu 5. 1 1 1 Ba số dương a, b, c thỏa mãn: 1 . a2 b2 c2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P . 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2
4. ĐỀ SỐ 04 (Đề thi HSG lớp 10, TP. Đà Nẵng, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (1,5 điểm) x x 1. Xác định tính chẵn – lẻ của hàm số y . 10 x 10 x 2. Cho các nửa khoảng A a;a 1 , B b;b 2 . Đặt C A B . Với điều kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dại của đoạn C khi đó. Câu 2 (2,0 điểm) 1. Tìm m để phương trình x2 1 m4 m2 1 có bốn nghiệm phân biệt. m 1 x 2 2. Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: m 1. x 2 Câu 3 (2,5 điểm) 1. Giải phương trình x2 7x 8 2 x . 7x y 2x y 5 2. Giải hệ phương trình . x y 2x y 1 Câu 4 (3,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC có AB c , AC b và B· AC 600 . Các điểm M, N được xác định bởi     MC 2MB và NB 2NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. 2. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B' và C'. Gọi Sa , Sb , Sc và S tương ứng diện tích của các tam giác AB'C', BC'A', CA'B' và ABC. 3 Chứng minh bất đẳng thức S S S S . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? a b c 2 Câu 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R 0 , R không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.
5. ĐỀ SỐ 05 (Đề thi HSG lớp 10, Bạc Liêu, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (4 điểm) Hãy tìm tất cả các số để khi thêm vào tích sau ta được một số chia hết cho 2011. 2010 A 20112 1 .20102011 Câu 2 (4 điểm) x 1 Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên ¡ thỏa mãn f x f x ,1 với mọi x 0 , x x 1. Câu 3 (4 điểm) Giải phương trình: 3x2 8x 67 8 4 4x 4 0. Câu 4 (4 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a3 b3 c3 1. a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S a b c . Câu 5 (4 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (C) có tâm O và bán kính R. Chứng minh: M C MA2 MB2 MC 2 2BC 2.
6. ĐỀ SỐ 06 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (4,0 điểm) 1. Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 1 2 x ¡ . 2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): x2 2 m 1 x m3 m 1 2 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 sau: P x1 x2 x1x2 3x1 3x2 8 . Câu 2. x2 x3 y xy2 xy y 1 Giải hệ phương trình: 4 2 . x, y ¡ x y xy 2x 1 1 Câu 3. Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện: x 1 x2 y 1 y2 2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y. Câu 4. 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC , CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng OA OB OC OH và ba điểm O, H, L thẳng hàng. 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho M· AB M· AC M· CD M· DA . Chứng minh đẳng thức sau: AB2 BC 2 CD2 DA2 cot , trong đó là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD. 2AC.BD.sin 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm 7 5 13 5 M 1; 5 , N ; , P ; (M, N, P không trùng với các đỉnh của ABC ). Tìm tọa độ các 2 2 2 2 đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q 1;1 và điểm A có hoành độ dương.
7. ĐỀ SỐ 07 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ chuyên, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (6,0 điểm) a) Giải phương trình sau trên ¡ : 4x2 12x x 1 27 x 1 ; 9 b) Giải bất phương trình sau: x 2 . x 5 3 Câu 2 (3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số n 26 và n 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó. Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB 2KC , L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rẳng K· AB 2K· AC . Chứng minh rằng FL vuông góc với AC. Câu 4 (4,0 điểm) Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử, tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử. Câu 5 (4,0 điểm) Cho các số dương x, y, z. Chứng minh bất đẳng thức: x 1 y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 x 1 2 x y z 3. 33 z2 x2 1 33 x2 y2 1 33 y2 z2 1
8. ĐỀ SỐ 08 (Đề thi HSG lớp 10, Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (4,0 điểm) x3 y3 3y2 9 Giải hệ phương trình sau: 2 2 . x y x 4y Câu 2 (4,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx 3 . Chứng minh bất đẳng thức: x2 y2 z2 1. x3 8 y3 8 z3 8 Câu 3 (4,0 điểm) Trên các cạnh BC, CA, AB và về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Kí hiệu A1 là giao điểm của AG và FQ; B1 là giao điểm của BG và NE; C 1 là giao điểm của CG và MP. Ta xác định các điểm A 2, B2, C2 sao cho AGC2F, BGA2N, CGB2P là các hình bình hành. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A2, B2, C2 tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng quy. Câu 4 (4,0 điểm) Giả sử m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m3 m 12n3 n . Chứng minh rằng m n là lập phương của một số nguyên. Câu 5 (4,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tập hợp M các điểm có tọa độ x; y với x, y ¡ và* x 1 ;2 y 12 . Mỗi điểm trong M được tô bởi một trong ba màu: màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ nhạt có các cạnh song song với các trục tọa độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc M và được tô màu.
9. ĐỀ SỐ 09 (Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a) Giải bất phương trình: x2 6x 2 2 2 x 2x 1. 5 4 10 6 x xy y y b) Giải hệ phương trình: . 2 4x 5 y 8 6 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: x2 m y x my 2 . x y xy Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I 2;4 và các đường thẳng d1 : 2x y 2 , 0 d2 : 2x y 2 0 . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I sao cho (C) cắt d1 tại A, B và cắt d2 tại C, D thỏa mãn AB2 CD2 16 5AB.CD . Câu 4. 1. Cho tam giác ABC có AB c , BC a , CA b . Trung tuyến CM vuông góc với phân giác CM 3 b trong AL và 5 2 5 . Tính và cos A. AL 2 c 9 2. Cho a,b ¡ thỏa mãn: 2 a 1 b . 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16 a4 4 1 b4 . Câu 5. Cho f x x2 ax b với a,b ¢ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên m, n, p đôi một phân biệt và 1 m,n, p 9 sao cho: f m f n f p 7 . Tìm tất cả các bộ số a,b .
10. ĐỀ SỐ 10 (Đề thi HSG lớp 10, Bắc Giang, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số y f (x) x2 2 m 1 x m. 1. Tìm m để bất phương trình f x 0 nhận mọi x thuộc ¡ là nghiệm. 2. Tìm m để phương trìn f x 0 có hai nghiệm x1 , x2 lớn hơn 1. Câu 2 (4 điểm) 1. Giải phương trình: 2 x 1 3 x 3 x2 4x 3 6 , x ¡ . 3 2 2 2 x 2x y 2y x y 2xy 2x 2. Giải hệ phương trình: x, y ¡ . 2x 1 2y 1 x 2y 1 Câu 3 (4 điểm) 1. Giải bất phương trình: 3x 2 x 3 x3 3x 1 , x ¡ . 2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x A cos4 x sin4 x 2sin2 x 3 sin4 x cos4 x 2 sin6 x cos6 x . Câu 4 (6 điểm) 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có       1 GA.GB GB.GC GC.GA AB2 BC 2 CA2 . 6 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A 1;2 . Đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình: x y 1 0 . Tìm tọa độ B và C, biết AB 2AC. 2 2 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C1 : x 1 y 3 9 và 2 2 C2 : x 2 y 2 5. Lập phương trình đường thẳng đi qua A 1;0 , đồng thời cắt các đường tròn C1 và C2 lần lượt tại M, N (M, N không trùng A) sao cho AM 2AN. Câu 5 (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh rằng a b c 1. a3 b2 c b3 c2 a c3 a2 b