3 Dạng toán về Góc trong Hình học không gian môn Toán Lớp 11 (Có đáp án)

Nội dung text: 3 Dạng toán về Góc trong Hình học không gian môn Toán Lớp 11 (Có đáp án)

1. CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHỦCHỦ ĐỀĐỀ 8:8: GÓCGÓC GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
2. MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 8. GÓC TRONG KHÔNG GIAN 3 DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 3 DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 9 DẠNG 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 16
3. CHỦ ĐỀ 8. GÓC TRONG KHÔNG GIAN DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA AB a , AD 3a . Gọi M là trung điểm BC. Tính cosin góc tạ bởi hai mặt phẳng ABCD và SDM 5 6 3 1 A. B. C. D. 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Kẻ SH  MD, H MD , mà SA  MD SAH  MD AH  MD Do đó SMD , ABCD SH, AH SHA 1 3a2 a 13 Ta lại có: S .3a.a , MD CD2 CM 2 AMD 2 2 2 2S 6a 13 7a 13 AH AMD SH DM 13 13 AH 6 6 cos . Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng SMD và ABCD bằng SH 7 7 Vậy chọn đáp án B. Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB 2a và góc BAD 120 . Hình chiếu vuông a góc của S xuống mặt phẳng đáy ABCD trùng với giao điểm I của hai đường chéo và SI . Tính góc tạo 2 bởi mặt phẳng SAB và mặt phẳng ABCD A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° Hướng dẫn giải Ta có BAD 120 BAI 60 BI sin 60 AB BI a 3 Suy ra: AI AI a cos60 AB Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Ta có: AB  SHI AB  SH Do đó: SH, IH SHI 1 1 1 3 Xét tam giác vuông AIB có: IH a IH 2 IA2 IB2 2 SI 1 tan SHI SHI 30 hay 30 . HI 3
4. Vậy chọn đáp án A. Câu 3*. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, SA SB và ACB 30 , 3a SA  SB . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng 4 SAC và SBC 5 3 65 2 5 A. B. C. D. 33 13 13 11 Hướng dẫn giải Gọi D là trung điểm của BC, suy ra tam giác ABD đều cạnh a. Gọi I, E là trung điểm của BD và AB, H là giao của AI và DE. Khi đó dễ thấy H là trọng tâm tam giác ABD. Ta có AI  BC, DE  AB Vì SA SB SE  AB , suy ra AB  SDE AB  SH Khi đó ta có SH  ABC Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên SA, khi đó IK là đoạn vuông góc chung của SA và BC. 3a Do đó IK d SA; BC 4 a 3 a 3 a2 Đặt SH h, AI , AH SA h2 2 3 3 a 3 3a a2 Lại có AI.SH IK.SA 2S h h2 h a SAI 2 4 3 Gọi M là hình chiếu của A lên SI, khi đó AM  SBC . Gọi N là hình chiếu của M lên SC, khi đó SC  AMN SAC , SBC ANM a 3 a 39 AI.SH 3a Ta có: HI ;SI AM 6 6 SI 13 a 39 5a a 30 Mặt khác IM AI 2 AM 2 SI SM SI IM ;SC 26 39 3 MN SM SM.CI 3a 130 Ta lại có SMN ~ SCI MN CI SC SC 52 AM 2 10 65 tan hay cos . MN 5 13 65 Vậy góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAC là với cos . 13 Vậy chọn đáp án C.
5. a 10 Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có AB 2a, AC a, AA' , BAC 120 . Hình chiếu vuông góc 2 của C ' lên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng ABC và ACC ' A' A. 75°B. 30°C. 45°D. 15° Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C ' H  ABC . Trong đó ABC ta có: BC 2 AC 2 AB2 2AC.AB.cos120 7a2 a 7 BC a 7 CH 2 a 3 C ' H C 'C 2 CH 2 2 Hạ HK  AC . Vì C ' H  ABC đường xiên C ' K  AC ABC , ACC ' A' C ' KH (1) ( C ' HK vuông tại H nên C ' KH 90 ) 2S S a 3 Trong HAC ta có HK HAC ABC AC AC 2 C ' H tan C ' KH 1 C ' KH 45 (2) HK Từ (1) và (2) suy ra ABC , ACC ' A' 45 . Vậy chọn đáp án C. 7 Câu 5. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A' A A' B A'C a . Tính góc 12 giữa hai mặt phẳng ABB ' A' và ABC A. 75°B. 30°C. 45°D. 60° Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu của A trên ABC Vì A' A A' B A'C nên HA HB HC , suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB. 7a2 a2 a A' J AA'2 AJ 2 12 4 3 1 1 a 3 a 3 HJ CJ . 3 3 2 6 a A' H A' J 2 HJ 2 2
6. A' J  AB Vì A' JC  AB A' JC chính là góc giữa hai mặt phẳng ABB ' A' và ABC . CJ  AB a A' H Khi đó tan A' JC 2 3 A' JC 60 JH a 3 Vậy chọn đáp án D. Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có AB BC 4 . Gọi H là trung điểm của AB, SH  ABC . Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60°. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng SAC và ABC là: 5 5 10 1 A. B. C. D. 5 4 5 7 Hướng dẫn giải HP Kẻ HP  AC SAC , ABC SPH cos SAC , ABC cos SPH SP Ta có ngay SBC , ABC SBH SBH 60 SH tan 60 3 SH HB 3 2 3 HB AH 2 APH vuông cân P HP 2 2 2 SP2 SH 2 HP2 12 2 14 SP 14 HP 2 1 cos SAC , ABC SP 14 7 Vậy chọn đáp án D. Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a. Biết SO  ABCD , AC a và thể tích khối a3 3 chóp là . Cosin góc giữa 2 mặt phẳng SAB và ABC là: 2 6 3 1 2 A. B. C. D. 7 7 7 7 Hướng dẫn giải Kẻ OP  AB SAB , ABC SPO OP cos SAB , ABC cos SPO SP Cạnh AB BC a và AC a AB BC CA a ABC đều OP 3 3 3 a a 3 sin 60 OP OA . OA 2 2 2 2 4
7. 1 1 Ta có: V SO.S SO.2S S.ABCD 3 ABCD 3 ABC 1 1 a2 3 a3 3 SO.2. .a.a.sin 60 SO. 3 2 6 2 3a2 147a2 SO 3a SP2 SO2 OP2 9a2 16 16 a 3 7a 3 OP 1 SP cos SAB , ABC 4 4 SP 7a 3 7 4 Vậy chọn đáp án C. Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và SA  ABCD . Để góc giữa SBC và SCD bằng 60° thì độ dài của SA A. a B. C. D. a 2 a 3 2a Hướng dẫn giải BD  AC Ta có BD  SAC BD  SC BD  SA SC  SI Kẻ BI  SC ta có SC  BID SC  BD SBC , SCD BI, ID 60 Trường hợp 1: BID 60 BIO 30 BO a 6 a 2 Ta có tan BIO OI OC (vô lý) IO 2 2 Trường hợp 2: BID 120 BIO 60 BO a 6 Ta có tan BIO OI IO 6 OI 3 1 Ta có sin ICO tan ICO SA AC.tan ICO a OC 3 2 Vậy chọn đáp án A. Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a, SB 3 và SAB vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN là: 2 2 1 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 Hướng dẫn giải a Kẻ ME song song với DN với E AD suy ra AE 2
8. Đặt là góc giữa hai đường thẳng SM , DN nên SM , ME Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Ta có SH  ABCD Suy ra SH  AD AD  SAB AD  SA 5a2 a 5 a 5 Do đó SE 2 SA2 AE 2 SE và ME 4 2 2 5 Tam giác SME cân tại E, có cos cos SME 5 Vậy chọn đáp án D. Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB 2a, SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC là: 2 2 2 2 A. B. C. D. 2 3 4 5 Hướng dẫn giải Gọi I là giao điểm của AD và BC BD  AD Ta có BD  SAD BD  SI BD  SA SI  BD Kẻ DE  SI ta có SI  BDE SI  DE SAD , SBC DE, BE SA 3 DE Ta có sin AIS mà sin AIS SI 7 DI a 3 DE DI.sin AIS 7 BD 2 tan DEB 7 cos DEB . ED 4 Vậy chọn đáp án C.
9. Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AB 2a, AD DC ,a SA a và SA  ABCD . Tan của góc giữa 2 mặt phẳng SBC và ABCD là: 1 1 A. B. C. D. 3 2 3 2 Hướng dẫn giải Ta có SBC , ABCD ACS Ta có AC AD2 DC 2 a 2 SA 1 tan ACS . AC 2 Vậy chọn đáp án D. Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  ABC , SA a 3 . Cosin của góc giữa 2 mặt phẳng SAB và SBC là: 2 2 1 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm AB CM  AB Ta có CM  SAB CM  SB CM  SA SB  MN Kẻ MN  SB ta có SB  CMN SB  CM SAB , SBC MN, NC MNC SA Ta có tan SBA 3 SBA 60 AB MN a 3 1 Ta có sin SBA MN cos MNC . MB 4 5 Vậy chọn đáp án D. DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai mặt đường thẳng AD và BC A. 30°B. 60°C. 90°D. 45° Hướng dẫn giải Gọi M, N, E lần lượt là các trung điểm của các cạnh CD, AB, BD
10. AB  BN Ta có: AB  BCN AB  MN AB  CN Do ACD cân tại A AM  CD AM  BCD AM  BM AMB vuông tại M AB a MN 2 2 3a3 a2 a 2 DM ND2 NM 2 4 4 2 MNE là tam giác đều MEN 60 NE / / AD Do AD, BC NE, EM 60 EM / /BC Vậy chọn đáp án B. Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a, SB a 3 và mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN 7 5 2 5 5 3 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH  ABCD Do đó SH là đường cao của hình chóp S.BMDN Ta có: SA2 SB2 a2 3a2 AB2 SAB vuông tại S AB a SM a . Kẻ ME || DN E AD AE 2 2 Đặt là góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Ta có: SM , ME Theo định lý ba đường vuông góc, ta có: SA  AE a 5 a 5 Suy ra SE SA2 AE 2 , ME AM 2 AE 2 2 2 a 5 SME cân tại E nên SME và cos 2 a 5 5 2 Vậy chọn đáp án B. Câu 3. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B 'C '
11. 3 1 1 3 A. B. C. D. 4 4 2 2 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của BC A' H  A BC và 1 1 AH BC a2 3a2 a 2 2 Do đó: A' H 2 A' A2 AH 2 3a2 A' H a 3 1 a3 Vậy V A' H.S (đvtt) A'.ABC 3 ABC 3 Trong tam giác vuông A' B ' H có H ' B A' B '2 A' H 2 2a nên tam giác B ' BH là cân tại B ' . Đặt là góc giữa hai đường thẳng AA' và B 'C ' thì B ' BH a 1 Vậy cos . 2.2a 4 Vậy chọn đáp án B. Câu 4. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân AB AC a, BAC 120 và AB ' vuông góc với đáy A' B 'C ' . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CC 'và A' B ,' mặt phẳng AA'C ' tạo với mặt phẳng ABC một góc 30°. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và C ' N 7 5 3 7 A. B. C. D.2 2 2 19 39 29 29 Hướng dẫn giải Ta có: BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC cos A 3a2 BC a 3 Gọi K là hình chiếu của B ' lên A'C ' , suy ra A'C '  AB ' K Do đó: AKB ' A' B 'C ' , AA'C ' 30 . Trong tam giác A' KB ' có KA' B ' 60, A' B ' a nên a 3 B ' K A' B 'sin 60 2 a Suy ra AB ' B ' K.tan 30 2 Gọi E là trung điểm của AB ,' suy ra ME || C ' N nên C ' N, AM EM , AM Vì AB '  C ' N AE  EM C ' N, AM AME 2 2 2 1 a 2 C ' B ' C ' A' A' B ' a 7 AE AB ' ; EM 2 C ' N 2 EM 2 4 4 2
12. 29a2 a 29 AM 2 AE 2 EM 2 AM 16 4 ME 7 Vậy cos AME 2 . MA 29 Vậy chọn đáp án D. Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a 2, AC 2a . Mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên SA hợp với mặt đáy một góc α thỏa mãn 21 cos . Góc giữa hai đường thẳng AC và SB bằng 6 A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của AC khi đó SH  AC Mặt khác SAC  ABC SH  ABC Mặt khác BC AC 2 AB2 a 2 AB nên tam giác ABC vuông cân tại B do đó BH  AC . Lại có SH  AC AC  SBH do đó SB  AC . Vậy chọn đáp án D. Câu 6. Cho hình lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' có cạnh đáy bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khoảng a 3 cách từ điểm C đến mặt phẳng BGC ' bằng . Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau B 'G và BC gần bằng 2 A. 61,28°B. 64,28°C. 68,24°D. 52,28° Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm của AC ta có: BM  AC Dựng CE  CC ' CE  C 'MB a 3 Do đó d C, BC 'M d C, BC 'G GE 2 1 1 1 Khi đó CC ' a 3 CE 2 CM 2 CC '2 2a 3 a 39 Lại có BM a 3 BG B 'G BG2 BB '2 3 3 a 39 Tương tự ta có C 'G 3 C ' B '2 GB '2 GC '2 3 Do vậy cosC ' B 'G C ' B 'G 61,29 2C ' B '.GB ' 39 Mặt khác B 'C '/ /BC BC, B 'G B 'C ', B 'G C ' B 'G 61,29
13. Vậy chọn đáp án A. Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA SB SC a . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB A. 30°B. 60°C. 90°D. 120° Hướng dẫn giải Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM Và cắt đường thẳng SA tại N Do đó SM , BC BN, BC NBC Ta có SM || BN và M là trung điểm của AB Nên SN SA SC a NC a 2 NV 2SM a 2 Mà BC SB2 SC 2 a 2 NBC là tam giác đều Vậy NBC 60 SM , BC 60 . Vậy chọn đáp án B. Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng CI và AC, với I là trung điểm của AB. A. 10°B. 30°C. 150°D. 170° Hướng dẫn giải Ta có I là trung điểm của AB nên CI,CA ICA AB AC AI 1 Xét tam giác AIC vuông tại I, có AI 2 2 AC 2 IA 1 Suy ra sin ICA ICA 30 CI,CA 30 CA 2 Vậy chọn đáp án B. Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD biết SA 3, AB a, AD 3a . 1 3 4 8 A. B. C. D. 2 2 130 130 Hướng dẫn giải Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Nên SA  AB, SA  AD SA  ABCD Gọi O AC  BD . Và M là trung điểm của SA. Do đó OM || SC Hay SC || MBD nên SC, BD OM , BD MOB
14. SA2 a 7 SC a 13 Có BM AM 2 AB2 AB2 , MO 4 2 2 2 BD a 10 BO . Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB. 2 2 Ta được BM 2 OM 2 OB2 2OM.OB.cos MOB OM 2 OB2 BM 2 8 cos MOB . 2OM.OB 130 Vậy chọn đáp án D. Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA vuông góc với mặt phẳng 2a 3 đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết AD DC a, AB 2a , SA 3 1 2 3 4 A. B. C. D. 42 42 42 42 Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM AD DC a Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh A. Do đó DM song song với BC. Suy ra SD, BC SD, DM SDM a 21 Lại có SM SA2 AM 2 3 a 21 Và DM a 2, SD SA2 AD2 3 Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được SD2 DM 2 SM 2 3 cos SDM . 2SD.SM 42 Vậy chọn đáp án C. Câu 11. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung điểm của AD. 3 3 3 1 A. B. C. D. 2 4 6 2 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của BD. Ta có IH || AB AB || HIC a a 3 Nên AB,CI IH, IC HIC . Mà IH ,CH CI 2 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIC, ta được
15. 2 a 2 2 2 HI CI HC 2 3 3 cos HIC cos AB,CI 2HI.CI a a 3 6 6 2. . 2 2 Vậy chọn đáp án C. Câu 12. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có tất cả các cạnh đáy bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60° và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng A' B 'C ' , H trùng với trung điểm của cạnh B 'C .' Góc giữa BC và AC ' là α. Giá trị của tan là: 1 1 A. 3B. C. D. 3 3 3 Hướng dẫn giải Ta có A' H là hình chiếu của AA' lên mặt phẳng đáy Do đó AA', ABC AA', A' H AA' H 60 a a a 3 a 6 Lại có A' H AH.tan 60. B ' H nên AB ' 2 2 2 2 A' H Và AA' a AC ' a cos60 Mặt khác BC, AC ' AC ', B 'C ' AC ' B ' AC '2 B 'C '2 AB '2 1 Do đó cos 2.AC '.B 'C ' 4 1 Suy ra tan 1 3 . cos2 Vậy chọn đáp án A. Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại AD, với AB 3a, AD 2a, DC .a Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABCD là H thuộc AB với AH 2HB . Biết SH 2a , cosin của góc giữa SB và AC là: 2 2 1 1 A. B. C. D. 2 6 5 5 Hướng dẫn giải Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC và cắt CH tại K Ta có SB, AC SB, BK SBK CH AH Xét hai tam giác đồng dạng ACH và BKH có 2 HK BH SB SH 2 HB2 a 5 CH a 5 Nên HK BK a 21 2 2 SK SH 2 HK 2 2
16. SB2 BK 2 SK 2 1 Do đó cos SBK cos . 2.SB.BK 5 Vậy chọn đáp án C. Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA a ; AB a ; BC a 2 . Gọi I là trung điểm của BC. Cosin của góc giữa 2 đường thẳng AI và SC là: 2 2 2 2 A. B. C. D. 3 3 3 8 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của SB IH song song với SC. Do đó SC || AHI AI, SC AI, HI AIH a 6 SC SA2 AC 2 Ta có AI AB2 BI 2 và IH a 2 2 2 AB2 AS 2 BS 2 a 2 AH . 2 4 2 Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHI, có AI 2 HI 2 AH 2 6 2 cos AIH . 2AI.AH 3 3 Vậy chọn đáp án A. DẠNG 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Câu 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC a, AA' a 2 và 5 cos BA'C . Tính góc giữa đường thẳng A' B và mặt phẳng AA'C 'C 6 A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° Hướng dẫn giải Đặt AB x thì A' B2 A'C 2 x2 2a2 Áp dụng định lý hàm số cosin trong A' BC , ta có: A' B2 A'C 2 BC 2 2x2 4a2 a2 5 cos BA'C x a 2A' B.A'C 2 x2 2a2 6 Kẻ BH  AC , khi đó BH  AA'C 'C Suy ra góc giữa đường thẳng A' B và mặt phẳng AA'C 'C là góc BA' H . Trong tam giác vuông A' BH có a 3 BH 1 sin BA' H 2 BA' H 30 A' B a 3 2 Vậy chọn đáp án A.
17. Câu 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết AB 3cm, BC ' 3 2cm . Tính góc hợp bởi đường thẳng BC ' và mặt phẳng ACC ' A' A. 90° B. 60° C. 45°D. 30° Hướng dẫn giải Tính góc hợp bởi đường thẳng BC, và mặt phẳng ACC ' A' Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra HC 'là hình chiếu của BC 'lên mặt phẳng ACC ' A' Do đó BC ', ACC ' A' BC ', HC ' 3 2 Ta có tam giác BHC ' vuông tại H, cạnh BH cm 2 BH 1 Ta có sin HC ' B HC ' B 30 . Vậy BC ', ACC ' A' 30 BC ' 2 Vậy góc giữa hai mặt phẳng ABB ' A' và ABC bằng 60°. Vậy chọn đáp án B. Câu 3. Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A = 60°. Chân đường vuông góc hạ từ B ' xuống mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy ABCD. Cho BB ' a . Tính góc giữa cạnh bên và đáy A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° Hướng dẫn giải Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. Gọi O AC  BD . Theo giả thiết ta có B 'O  ABCD B ' B  ABCD B B 'O  ABCD ,O ABCD Hình chiếu B ' B trên ABCD là OB B ' B, ABCD B ' B, BO B ' BO . Tam giác ABD có a AB AD a, BAD 60 ABD là tam giác đều OB 2 a OB 1 Trong tam giác vuông B 'OB : cos B 'OB 2 B 'OB 60 . BB ' a 2 Vậy chọn đáp án C. Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt phẳng SAB và SAD 8a2 6 cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng . Côsin của góc tạo bởi đường thẳng SD và 3 mặt phẳng SBC bằng:
18. 19 6 6 19 A. B. C. D. 5 5 25 25 Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng SBC SH SD, SBC HSD cos SD, SBC cos HSD SD 1 1 8a2 6 4a 6 S SA.AB SA.4a SA ABC 2 2 3 3 1 V DH.S và D.SBC 3 SBC 1 1 4a 6 1 32a3 6 V V .SA.S . . .4a.4a D.SBC S.BCD 3 BCD 3 3 2 9 1 32a3 6 32a3 6 DH.SSBC DH 3 9 3SSBC BC  AB 1 1 Từ BC  SAB BC  SB SSBC BC.SB .4a.SB 2a.SB BC  SA 2 2 2 4a 6 80a2 80 80 SB2 SA2 AB2 16a2 SB a S 2a2 SBC 3 3 3 3 32a3 6 4a 10 Thế vào (1) DH 80 5 3.2a2 3 2 2 2 2 2 4a 6 2 80a 80 SD SA AD 16a SD a 3 3 3 2 2 2 2 2 2 80a 4a 10 304a SH SD HD 3 5 15 304 a 304 SH 19 SA a cos SD, SBC 15 15 SD 80 5 a 3 Chọn A. Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, CD 2a, AD AB a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng a 2 SCD bằng . Tan của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SCD bằng: 3 2 2 A. 2 B. C. D. 2 2 4 2
19. Hướng dẫn giải Gọi P là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng SCD BP BC, SCD BCP tan BC, SCD tan BCP PC a 2 AB / /CD AB / / SCD d H, SCD d B, SCD BP BP 3 Ta có BC 2 AD2 CD AB 2 a2 2a a 2 2a2 2 2 2 2 2 2 a 2 16a PC BC BP 2a 3 9 a 2 4a BP 2 PC tan BC, SCD 3 . 3 PC 4a 4 3 Vậy chọn đáp án B. Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB 2a; AD 2a 3 và SA  ABCD . Gọi M là trung điểm của CD, biết SC tạo với đáy góc 45°. Cosin góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt phẳng ABCD là: 3 13 377 277 A. B. C. D. 13 29 29 29 Hướng dẫn giải AM Từ SA  ABCD SM , ABCD SMA cos SM , ABCD cos SMA SM Từ SA  ABCD SC, ABCD SCA SCA 45 SAC vuông cân tại A SA AC AB2 BC 2 4a2 12a2 4a SM 2 SA2 AM 2 16a2 13a2 29a2 SM a 29 AM a 13 377 cos SM , ABCD . Vậy chọn đáp án C SM a 29 29
20. Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB BC a;SA  ABC . Biết mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60° .Cosin góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABC là: 10 10 10 10 A. B. C. D. 15 10 20 5 Hướng dẫn giải AC Từ SA  ABC SC, ABC SCA cos SC, ABC cos SCA SC ABC vuông cân B AC AB 2 a 2 + Ta có ngay SA SB, ABC SBA SBA 60 tan 60 3 SA a 3 AB SC 2 SA2 AC 2 3a2 2a2 5a2 SC a 5 AC a 2 a 10 cos SC, ABC SC a 5 5 Vậy chọn đáp án D. Câu 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông tại B có AB a 3, BC a . Biết A'C 3a . Cosin góc tạo bởi đường thẳng A' B và mặt đáy ABC là: 10 10 6 15 A. B. C. D. 4 6 4 5 Hướng dẫn giải Lăng trụ đứng A' B 'C '.ABC A' A  ABC AB A' B, ABC A' BA cos A' B, ABC cos A' BA A' B ABC vuông tại B AC 2 AB2 BC 2 3a2 a2 4a2 AC 2a A' A2 A'C 2 AC 2 9a2 4a2 5a2 A' B2 A' A2 AB2 5a2 3a2 8a2 A' B 2a 2 AB a 3 6 cos A' B, ABC cos A' BA . Vậy chọn đáp án C. A' B 2a 2 4 Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Cosin của góc giữa SC và mặt phẳng SHD là 3 5 2 5 A. B. C. D. 5 3 5 2 Hướng dẫn giải Ta có SB2 BC 2 SC 2 2a2 SB  BC mà BC  AB
21. BC  SAB BC  SH mà SH  AB SH  ABCD Kẻ CE  HD CE  SHD SC, SHD SC, SE CSE 1 1 2a 5 Ta có CE.HD S CE 2 2 ABCD 5 a 30 SE 3 SE SC 2 CE 2 cosCSE . 5 SC 5 Vậy chọn đáp án A. Câu 10. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có AB AC 4a , góc BAC 120 . Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AB, SAM là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA a 2 . Góc giữa SN và mặt phẳng ABC là: A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° Hướng dẫn giải Ta có SN, ABC SN, NH SNH Ta có MAC 60 AM 2a, MC 2a 3 1 AH AM a SH SA2 AH 2 a 2 1 Ta có NH BM a 3 2 SH 1 tan SNH SNH 30 SN, ABC 30 NH 3 Vậy chọn đáp án A. Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên ABCD là trọng tâm G của ABD . Biết SG 2a , cosin của góc giữa SD và ABCD là: 5 5 5 5 A. B. C. D. 21 21 41 41 Hướng dẫn giải Ta có SD, ABCD SD,GD SDG 2 2 a 5 Ta có DG DM AM 2 AD2 3 3 3 SG 6 5 tan SDG GD 5 5 5 cos SDG cos SD, ABCD 41 41 Vậy chọn đáp án C.
22. Câu 12. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB 4a, AD a 3 . Điểm H nằm trên 1 cạnh AB thỏa mãn AH HB . Hai mặt phẳng SHC và SHD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết 3 SA a 5 . Cosin của góc giữa SD và SBC là: 5 5 4 1 A. B. C. D. 12 13 13 3 Hướng dẫn giải Kẻ HE  SB HK  SBC . Gọi E DH  BC , kẻ DF / /HK F EK DF  SBC SD, SBC SD, SF DSF 1 1 1 13 6a Ta có SH SA2 AH 2 2a . Xét SHB có HK HK 2 SH 2 HB2 36a2 13 EH HB 3 HK EH 3 8a Ta có DF . Ta có SD SH 2 DH 2 2a 2 ED CD 4 CF ED 4 13 2a 10 SF 5 SF SD2 DF 2 cos DSF 13 SD 13 Vậy chọn đáp án B. Câu 13. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SC tạo với đáy một góc 60° , gọi M là trung điểm của BC. Cosin góc tạo với SM và mặt đáy là: 6 1 3 3 A. cos B. co C.s D. cos cos 3 10 3 10 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH  AB Mặt khác SAB  ABC suy ra SH  ABC a 3 3a Khi đó CH SH CH tan 60 2 2 BC a Do M là trung điểm của BC nên HM 2 2
23. HM 1 cos SMH . HM 2 SH 2 10 Vậy chọn đáp án B.