›
›
›

Chuyên đề Đạo hàm - Giải tích Lớp 11

pdf 65 trang thungat 8680
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Đạo hàm - Giải tích Lớp 11", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfchuyen_de_dao_ham_giai_tich_lop_11.pdf

Nội dung text: Chuyên đề Đạo hàm - Giải tích Lớp 11

  1. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm. Cho hàm số yfx xác định trên ab; và xa0 b ; . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) f x f x0 lim thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số yfx tại điểm x0 . xx 0 xx 0 f x f x0 Kí hiệu: fx 0 hoặc yx 0 . Vậy fx 0 lim . xx 0 xx 0 NOTE: y Nếu xxx 0 và y f x f x000 f x x f x thì fx 0 lim . x 0 x  x gọi là số gia của đối số tại điểm x0 .  y gọi là số gia của hàm số tương ứng. 2. Đạo hàm bên trái, bên phải. a) Đạo hàm bên trái. f x f x0 y fx 0 limlim trong đó xx 0 được hiểu là xx 0 và xx 0 . x xx 0 0 x xx0 b) Đạo hàm bên phải. f x f x0 y fx 0 limlim trong đó xx 0 được hiểu là và xx 0 . x xx 0 0 x xx0 Nhận xét: Hàm số fx có đạo hàm tại điểm x0 fx 0 và fx 0 tồn tại và bằng nhau. Khi đó f x0 f x 0 f x 0 . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn. a) Hàm số được gọi là có đạo hàm trên khoảng nếu có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó. b) Hàm số được gọi là có đạo hàm trên đoạn ab;  nếu có đạo hàm trên khoảng và có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b . 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liện tục của hàm số. - Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm đó. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 1 of 65
  2. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 NOTE Hàm số liên tục tại điểm x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó. Hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại điểm đó. B. CÁC DẠNG TOÁN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: 1. Tính đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 bằng định nghĩa. Cách 1: f xf x - Tính lim 0 (1). xx 0 xx 0 - Nếu tồn tại giới hạn (1) thì hàm số có đạo hàm tại x0 và ngược lại thì hàm số không có đạo hàm tại x0 . Cách 2: Tính theo số gia. - Cho một số gia x : x x x0 y f x 0 x f x 0 . y - Lập tỉ số . x y - Tính giới hạn lim . x 0 x 2. Mối quan hệ giữa tính liên tục vào đạo hàm. - Hàm số y f x liên tục tại điểm x0 limlimf x 0 f x0 . x xx0 0 - Hàm số có đạo hàm tại điểm liên tục tại điểm . - Hàm số liên tục tại điểm chưa chắc có đạo hàm tại điểm . Ví dụ 1. Cho hàm số f x x 1 . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 1. 2 2 2 A. . B. . C. 22. D. . 4 2 3 Lời giải Đáp án. A. f x f 1 x 12 Cách 1: Xét limlim xx 11xx 11 x 1 112 lim lim . x 1 xx 1 1 2 x 1 x 1 2 2 2 4 Cách 2: y f x 1 f 1 x 2 2 . yx 22 . xx y x 2 2 x 1 2 lim lim lim lim . x 0 xx x 0 x 0 xx 22 x 0 22 x 4 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 2 of 65
  3. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 CHÚ Ý ab ab 2 Nhân lượng liên hợp: ab và ab . ab ab Giải theo cách 1 tỏ ra đơn giản và nhanh hơn cách 2. 2 Ví dụ 2. Khi tính đạo hàm của hàm số f x x 53 x tại điểm x0 2 , một học sinh đã tính theo các bước sau: Bước 1: f x ff 211 x . f x fx 22 xxx2 75 3 11 Bước 2: x 7 . xxx 222 f x f 2 Bước 3: limlim 7 9 x . Vậy f 29 . xx 22x 2 Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào. A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Tính toán đúng. Lời giải Học sinh tính đạo hàm bằng định nghĩa theo cách 1 các bước đều đúng. CHÚ Ý 2 Phương trình bậc hai axbx c 0 có hai nghiệm xx12, a x x 12 x x 0 . 2 Ví dụ 3. Số gia của hàm số f xx ứng với số gia x của đối số x tại x0 1 là: 2 A. xx 2 21 . B. xx 2 22 . C. xx 2 . D. xx 2 2 . Lời giải Đáp án. D. Với số gia của đối số x tại điểm , ta có: y 1 x 22 1 x 2 x . 2 Ví dụ 4. Cho hàm số f x x x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số tại x0 là: 2 A. lim x 2 x0 . x x . B. lim xx 20 1 . x 0 x 0 2 C. lim xx 20 1 . D. lim x 2 x0 . x x . x 0 x 0 Lời giải Đáp án. B. 222 Ta có: yxxxxxx 0 0 0 0 x 2. xxx 0 y f x00 lim lim x 2 x 1 . xx 00 x Ví dụ 5. Cho hàm số y f x có đao hàm tại điểm x0 là fx 0 . Khẳng định nào sau đây là sai. f x f x0 f x00 x f x A. fx 0 lim . B. fx 0 lim . xx x 0 0 xx 0 x f x h f x0 f x x00 f x C. fx 0 lim . D. fx 0 lim . h 0 xx h 0 xx 0 Lời giải Đáp án. D. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 3 of 65
  4. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 - A đúng theo định nghĩa. - B đúng vì xxx 0 nên xxx 0 0 . - C đúng. Đặt h x x x00 x h x , h 0 khi xx 0 . f x f x0 f x h f x0 f x00 h f x fx 0 lim lim lim xx h 0 h 0 . 0 xx 0 h x00 x h - Vậy D sai. Ví dụ 6. Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số fx có đạo hàm tại điểm xx 0 thì fx liên tục tại điểm đó. (2) Nếu hàm số liên tục tại điểm thì có đạo hàm tại điểm đó. (3) Nếu hàm số gián đoạn tại điểm thì chắc chắn không có đạo hàm tại điểm đó. Trong ba mệnh trên: A. (1) và (3) đúng. B. (2) đúng. C. (1) và (2) đúng. D. (2) và (3) đúng. Lời giải Đáp án. A. Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số f xx có tập xác định D nên hàm số liên tục trên , f x f 0 f x f 0 nhưng ta có: lim1 và lim1 nên hàm số không có đạo hàm tại x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 . CHÚ Ý - Khi xx 00 nên xx . - Khi xx 00 nên xx . xx2 1 Ví dụ 7. Cho hàm số y f x . Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x 1. x 0 A. 2 . B. 1. C. 0 . D. Không tồn tại. Lời giải Đáp án. D. Hàm số liên tục tại x0 1. f x f 1 xx2 21 Ta có limlim 0 (1). xx 11 xx 11 x f x f 1 x2 1 lim lim 2 (2). xx 11 x 11 x x Từ (1) và (2) hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 1. CHÚ Ý Hàm số fx có đạo hàm tại x0 f x 0 f x 0 f x 0 3 4 x khi x 0 Ví dụ 8. Cho hàm số fx . Khi đó f 0 là kết quả nào sau đây? 10khi x Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 4 of 65
  5. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 1 1 1 A. . B. . C. . D. 2 . 4 16 2 Lời giải Đáp án. A. f x f 0 2 41x 1 Ta có: limlimlim . xxx 000 xx 0424 x x khi x 1 Ví dụ 9. Cho hàm số fx . Khi đó f 1 là kết quả nào sau đây. 2 xkhi x 1 1 A. . B. 1. C. 2 . D. f 1 không tồn tại. 2 Lời giải Đáp án. D. Ta có: f 111 2 . x 11 1 x2 1 f 1 limlim và fx 1 limlim 1 2 . xx 11x 12x 1 xx 11 x 1 Vì ff' 1' 1 nên hàm số fx không tồn tại đạo hàm tại x0 1. Ví dụ 10. Cho đồ thị hàm số yfx như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai. A. Hàm số có đạo hàm tại x 0 . B. Hàm số có đạo hàm tại x 1. C. Hàm số có đạo hàm tại x 2 . D. Hàm số có đạo hàm tại x 3. Lời giải Đáp án. B. Tại x 1 đồ thị hàm số bị ngắt nên hàm số không liên tục. Vậy hàm số không có đạo hàm tại x 1. x2 1 khi x 1 Ví dụ 11. Tìm a để hàm số fx x 1 có đạo hàm tại điểm x 1. a khi x 1 1 A. a 2 . B. a 2. C. a 1. D. a . 2 Lời giải Đáp án. B. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 5 of 65
  6. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Để hàm số có đạo hàm tại x 1 thì trước hết fx phải liên tục tại x 1. x2 1 2 x2 1 f x f 1 lim21 fa . Khi đó f 1 limlim1 x 1 . x 1 x 1 xx 11xx 11 Vậy a 2 . CHÚ Ý Hàm số fx liên tục tại xf00 xlim f x . xx 0 x2 1 khi x 0 Ví dụ 12. Tìm ab, để hàm số fx x 1 có đạo hàm tại điểm x 0 . ax b khi x 0 a 11 a 10 a 12 a 1 A. . B. . C. . D. . b 11 b 10 b 12 b 1 Lời giải Đáp án. D. Trước tiên hàm số phải liên tục tại x 0 limf ( x ) 1 ff (0), x lim b ( b )1 xx 00 f( x ) f (0) x 1 Xét limlim 1 xx 00 xx 1 f( x ) f (0) limlim aa xx 00 x Hàm số có đạo hàm tại xa 01 CHÚ Ý Hàm số fx() liên tục tại x lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x ) 00 x x00 x x ax2 bx 1 khi x 0 Ví dụ 13. Tìm ab, để hàm số fx() có đạo hàm tại điểm x0 0 asin x b cos x khi x 0 A. ab 1; 1. B. ab 1; 1. C. ab 1; 1. D. ab 0; 1. Lời giải Đáp án A Ta có: f (0) 1 limf ( x ) lim( ax2 bx 1) 1 xx 00 limf ( x ) lim( a sin x b cos x ) b xx 00 Để hàm số liên tục thì b 1 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 6 of 65
  7. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 ax2 x 11 f (0 ) lim1 x 0 x x x x 2a sin cos 2sin2 asinx b cos x 1 f (0 ) limlim 2 2 2 xx 00 xx xx sinsin xx lim22 . limaa cos lim . lim sin x 0xx xx 00 22 x 0 22 Để tồn tại fffa (0) (0 ) (0 )1 CHÚ Ý sinxsinf(x) Giới hạn lượng giác lim1 lim1 xf x0( )xf 0 x () Ví dụ 14. Cho hàm số f( x ) x ( x 1)( xx 2) ( 1000) . Tính f (0) . A. 10000!. B. 1000!. C. 1100!. D. 1110!. Lời giải Đáp án. B. f( x ) f (0) x ( x 1)( x 2) ( x 1000) 0 f ( xx ) lim x x limlim( 1)( 2) ( 1000) xxx 000 xx 0 ( 1)( 2) ( 1000) 1000! CHÚ Ý Hoán vị n phần tử: P nn! 1.2 ( n 1) n CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM A. LÝ THUYẾT 1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Cho các hàm số u u x ; v v x có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: 1. u v u v 2. u -v = u - v u u v v uv 1 3. u. v u v v u 4. 22 v v v v CHÚ Ý Mở rộng: 1. u1 u 2 unn u 1 u 2 u 2. u. v .w u . v .w u . v .w u . v .w Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 7 of 65
  8. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y f u x f u với u u x . Khi đó: yyxux u . 3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp c 0 , c là hằng số x 1 1 u 2 11 uu 2 u xx u 1 2 u x 2 x uu u 1 xx . 1 sin.cosu u u sinxx cos cos.sinu u u u cosxx sin 2 tan.uux 1 tan 2 1 cos u tan1xx tan 2 2 1 cos x 2 cot.uuu 1 cot 2 sin u 1 2 cot1xx cot 2 sin x CHÚ Ý Với các hàm số đã cho trong bảng được xác định với điều kiện đầy đủ. B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm Đạo hàm của hàm đa thức - hữu tỉ - căn thức và hàm hợp Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết. - Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức. - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. Ví dụ 15. Đạo hàm của hàm số y 2x5 4 x bằng biểu thức nào dưới đây? 1 4 2 1 A. 10x 4 . B. 10x 4 . C. 10x 4 . D. 10x 4 x x x x Lời giải Đáp án. C. 2 yx 104 . x 21x a Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó a nhận giá trị x 2 x 2 2 nào sau đây: Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 8 of 65
  9. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 A. a 3. B. a 5 . C. a 3. D. a 5. Lời giải Đáp án. C. 2x 1 x 2 2 x 1 x 2 3 ya 3. xx 22 22 CHÚ Ý ax bad bc 2 với c 0và adbc 0 cx d cx d xx2 1 axbx2 Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức có dạng . Khi đó ab. bằng: x 1 x 1 2 A. ab.2 . B. ab.1 . C. ab.3 . D. ab.4 . Lời giải Đáp án. A. 2 2x 1 x 1 x x 1 xx2 2 Cách 1: y a. b 2. xx 11 22 112 xx2 Cách 2: y xy 1 x 1 xx 11 22 CHÚ Ý ax22 bx c aa x 2 ab x bb ac Với aa.0 ta có 2 a x b a x b xx2 3 ax b Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số y 2 bằng biểu thức có dạng 2 . Khi đó ab xx 1 xx2 1 bằng: A. ab 4 . B. ab 5. C. ab 10 . D. ab 12 . Lời giải Đáp án. D. x2 xx 1 4 48 4 4 2x 1 Cách 1: yy 22 1 22 x x 11 x x x22 x 11 x x u u v uv Cách 2: Áp dụng 2 vv 22 2x 1 x x 1 x x 3 2 x 1 84x ya b 22 12 x22 x 11 x x CHÚ Ý a b a c b c xx2 2 2 ax bx c a1 b 1 a 1 c 1 b 1 c 1 a x2 b x c 2 2 1 1 1 a1 x b 1 x c 1 Ví dụ 5. Đạo hàm của hàm số y ax2 a 1 x a 3 a 2 (với a là hằng số) tại mọi x là: Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 9 of 65
  10. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 A. 21xa . B. 21axa . C. 232ax aa12 . D. 21axa . Lời giải Đáp án. D. yax 21 a CHÚ Ý Với c là hằng số thì c 0 c uc u xnxnn n 1*, ax b Ví dụ 6. Đạo hàm của hàm số yxx 2 1 bằng biểu thức có dạng . Khi đó ab 21xx2 bằng: A. ab 2. B. ab 1. C. ab 1. D. ab 2 . Lời giải 2 xx 1 21x Đáp án. C. y a b 1 2x22 x 1 2 x x 1 5 Ví dụ 7. Đạo hàm của hàm số yxx 2 1 là: 4 4 A. 41 x2 2 xx 1 . B. 51 xx2 . 4 4 C. 51 x2 2 x 1 x . D. x2 xx 1 2 1 . Lời giải 44 Đáp án. C. y 5 x2 x 1 x 2 x 1 5 x 2 x 1 2 x 1 CHÚ Ý unn n., u u 1* n Với u u x : u u 2 u 2 x x 11 khi x Ví dụ 8. Đạo hàm của hàm số fx là: x 1 3 khi x 1 21x khi x 2x 1 khi x 1 A. fx 1 . B. fx 1 . khi x 1 khi x 1 21x x 1 2x 1 khi x 1 2x 1 khi x 1 C. fx 1 . D. fx 1 . khi x 1 khi x 1 21x 21x Lời giải Đáp án. D. Với x 1: f x 2 x 1 1 Với x 1: f x 21x Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 10 of 65
  11. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 f x f 1 x 1 Với x 1, ta có limlim nên không có đạo hàm tại x 1. xx 11 xx 11 2xkhi 11 x Vậy fx 1 khi x 1 21x CHÚ Ý Loại bài toán kết hợp giữa tính đạo hàm bằng công thức và tính đạo hàm bằng định nghĩa tại 1 điểm x0. 3 x2 khi x 1 2 Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số fx . 1 khi x 1 x x khi x 1 x khi x 1 A. fx 1 . B. f x 11 khi x . khi x 1 x2 1 khi x 1 x2 x khi x 1 x khi x 1 C. fx 1 . D. f x 11 khi x . khi x 1 x2 1 khi x 1 x2 Lời giải Đáp án. B. Với x 1: f x x 1 Với x 1: f x x2 1 limfx lim 1 xx 11 x Với ta có limf x lim f x 1 f 1 3 x2 xx 11 limfx lim 1 xx 11 2 Hàm số liên tục tại 1 1 f x f 1 x lim lim 1 xx 11 xx 11 Xét f 11 3 x2 1 f x f 1 lim lim2 1 xx 11 xx 11 Vậy Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 11 of 65
  12. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 CHÚ Ý - Trên các khoảng xác định ta tính đạo hàm bằng quy tắc. Tại điểm xx 0 ta xét đạo hàm bằng định nghĩa. DẠNG 2. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp chung: - Vận dụng các công thức đạo hàm bốn hàm số yx sin , yx cos , yx tan , yx cot và hàm hợp của nó. - Vận dụng phối hợp các quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số hợp - Vận dụng các phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất với sinx và cosx, phương trình tích số để giải phương trình y '0 Chú ý: Biến đổi lượng giác để thu gọn các hàm số, biểu thức lượng giác CHÚ Ý (sinnnu )' nu sin 1 u .(sin )' (cosnnu )' nu cos 1 u .(cos )' (tannnu )' nu tan 1 u .(tan )' (cotnnu )' nu cot 1 u .(cot )' Ví dụ 16. Đạo hàm của hàm số yx 2sin3 x .cos5 có biểu thức nào sau đây? A. 30cos3xx .sin5 . B. 8cos8xx 2cos2 . C. 8cos8xx 2cos2 . D. 30cos3xx 30sin5 . Đáp án C Lời giải Cách 1: Ta có y sin8 x sin 2 x y ' 8cos8 x 2cos2 x Cách 2: y' 6cos3 x .cos5 x 10sin3 x .sin5 x 3cos8x 3cos2 x 5cos2 x 5cos8 x 8cos8xx 2cos2 Nhận xét: Nếu dùng cách 1 sử dụng công thức biến đổi từ tích sang tổng rút gọn rồi sau đó việc tính đạo hàm y ' sẽ đơn giản hơn. CHÚ Ý 1 sina cos b [sin( a b ) sin( a b )] 2 1 cosa cos b [cos( a b ) cos( a b )] 2 sinxx cos a Ví dụ 17. Đạo hàm của hàm số y có biểu thức dạng . Vậy giá trị a sinxx cos (sinxx cos )2 là: A. a 1. B. a 2 . C. a 3. D. a 2 . Đáp án B Lời giải (cosx sin x )(sin x cos x ) (sin x cos x )(cos x sin x ) 2 y ' . (sinx cos x )22 (sin x cos x ) Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 12 of 65
  13. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 a 2 CHÚ Ý uu v uv'' Áp dụng quy tắc: ()' và sincos122xx vv2 Ví dụ 18. Đạo hàm của hàm số yx cot là: 1 1 1 sin x A. . B. . C. . D. . sincot2 xx 2sincot2 xx 2 cot x 2 cot x Đáp án B Lời giải (cotx )' 1 Cách 1: y ' 2 cotx 2sin2 x cot x Cách 2: Học sin có thể sử dụng MTCT tính đạo hàm của hàm số yx cot tại một điểm x ta 4 được kết quả 1 Với x thay vào từng đáp án ta được đáp án B 4 CHÚ Ý Ví dụ 19. Đạo hàm của hàm số yx cos23 (sin ) là biểu thức nào sau đây? A. sin(2sin32x ).sin x .cos x . B. 6sin(2sin32x ).sin x .cos x . C. 7sin(2sin32xx ).sin x .cos . D. 3sin(2sin32xx ).sin x .cos . Đáp án D Lời giải Cách 1: yu cos2 , với ux sin3 y' 3sin(2sin32 x ).sin x .cos x Cách 2: Sử dụng MTCT - Nhập biểu thức của hàm số yx cos23 (sin ) ở đơn vị radian - Thay x vào từng đáp án ta được đáp án D 4 Nhận xét: Với bài toán này việc sử dụng MTCT trở nên phức tạp hơn nhiều với việc giải tự luận thuần túy VI PHÂN. ĐẠO HÀM CẤP CAO A. LÝ THUYẾT 1. Vi phân của hàm số a) Định nghĩa Cho hàm số y f x xác định trên ab; và có đạo hàm tại x a; b . Ta gọi tích f x . x (hoặc yx . ) là vi phân của hàm số tại x ứng với số gia x . Kí hiệu: dfx hoặc dy . Vậy ta có: d.y y x hoặc d.f x f x x . b) Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng y Do fx 0 lim x 0 x Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 13 of 65
  14. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 y Với x đủ nhỏ thì f xy f x x . f x x f x f x . x . 00 x 000 CHÚ Ý Với yx ta có: d.dy x xx x . Vậy ddxf xf x . 2. Đạo hàm cấp cao a) Đạo hàm cấp hai Giả sử hàm số yfx có đạo hàm fx . Khi đó đạo hàm của hàm số nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số fx . Kí hiệu: y hay fx . Viết: f xf x . b) Đạo hàm cấp n . Cho hàm số yfx có đạo hàm cấp ). Kí hiệu fx n 1 . Nếu có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của fx . n n nn 1 Kí hiệu: fx hoặc y . Viết: fxfx . CHÚ Ý Đạo hàm cấp 3 của hàm số y f x là fx hoặc fx 3 hay y . c) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s f t với ft là hàm số có đạo hàm. Khi đó gia tốc tức thời  của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số ft là  t f t . CHÚ Ý Vận tốc tức thời tại thời điểm t là v t f t . B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO. Dạng 1. Vi phân hàm số. Phương pháp: - Tính vi phân của hàm số fx tại x0 cho trước: df x00 f x . x . - Tính vi phân của hàm số : df x f x . dx . - Dùng vi phân tính gần đúng. Ví dụ 20. Vi phân của hàm số f x 3 x2 x tại điểm x 2 ứng với x 0,1 là: A. 0,07 . B. 10. C. 1,1. D. 0,4 . Lời giải Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 14 of 65
  15. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Đáp án. C. Ta có: f x 6 x 1 fdf 2 11 f 2x 2 . 11.0,1 1,1. Ví dụ 21. Vi phân của hàm số f xx sin 2 tại điểm x ứng với x 0,01 là: 3 A. 1,1. B. 10. C. 0,1. D. 0,01. Lời giải Đáp án. D. f x 2cos21. x fdf 0,01 f x . 33 3 CHÚ Ý Việc tính vi phân của hàm số tại một điểm x0 chính là tích của đạo hàm tại một điểm x0 và số gia x tương ứng. 2 x 1 Ví dụ 22. Cho hàm số fx . Biểu thức 0,01.0,01f là số nào? x A. 9 . B. 9. C. 90 . D. 90 . Lời giải Đáp án. D. 11 f xff 0,01 9000 0,01 0,01 90 . xx x2 Ví dụ 23. Vi phân của hàm số yx x là: 3 3 5 1 A. dydx . B. dydx . C. dydx . D. dydx . 4 x 2 x 4 x 2 x Lời giải Đáp án. A. √ . √ √ √ √ √ √ √√ √√ CHÚ Ý Việc tính vi phân của hàm số fx chính là tích của đạo hàm với dx tương ứng. 1 Ví dụ 24. Vi phân của hàm số y là: 1 tan x 2 2 2 A. dy dx . B. dy dx . cos2 xx 1 tan 3 cos2 xx 1 tan 3 C. . D. . ) ) Lời giải Đáp án. B. 1 2 1 tan x 2 2 Ta có: dy cos x dx dx 1 tanx 43 cos2 x 1 tan x Ví dụ 25. Cho hàm số yx 1 cos2 2 . Chọn kết quả đúng: Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 15 of 65
  16. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 sin 4x sin 4x A. df xdx . B. df xdx . 2 1 cos2 2x 1 cos2 2x cos2x sin 2x C. df xdx . D. df xdx . 1 cos2 2x 1 cos2 2x Lời giải Đáp án. B. 2 1 cos 2x sin 4x Ta có: df xdxdx 2 1 cos22 21xx cos 2 CHÚ Ý Có thể sử dụng MTCT để tìm đạo hàm của hàm số sau đó ta cũng được kết quả của tính vi phân. x2 x khi x 0 Ví dụ 26. Cho hàm số fx . Khẳng định nào sau đây là sai: xkhi x 0 A. f 01 . B. f 01 . C. dfdx 0 . D. Hàm số không có vi phân tại x 0 . Lời giải Đáp án. D. x2 xx Ta có: ff 0 lim1; 0 lim 1 và . xx 00 xx CHÚ Ý Với hàm số có nhiều biểu thức việc tính đạo hàm của hàm ta dùng định nghĩa. Ví dụ 27. Cho hàm số y x x2 1. Mệnh đề nào sau đây đúng: A. 1 x2 .0 dy ydx . B. 1 x2 .0 dx dy . C. xdx 1 x2 . dy 0. D. 1 x2 .0 dy xy . Lời giải Đáp án. A. dy Ta có: dy y dx y mà dx √ . √ √ √ Ví dụ 28. Dùng vi phân tính gần đúng 3 26,7 có giá trị là: A. 2,999 . B. 2,98. C. 2,97 . D. 2,89. Lời giải Đáp án. A. 3 1 Xét f x x thì fx . Cho xx0 27, 0,3. 3.3 x2 Theo công thức gần đúng f x0 x f x 0 . x f x 0 1 3 27,3 3 27 0,3 2,999. 27 CHÚ Ý Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 16 of 65
  17. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Sử dụng vi phân để tính gần đúng ta xét hàm số fx và chọn xx0 , sao cho phù hợp. Ví dụ 29. Dùng vi phân tính gần đúng sin 29 có giá trị là: A. 0,4849 . B. 0,5464. C. 0,4989 . D. 0,4949 . Đáp án. A. Lời giải Xét f xx sin với 29 rad . 6 180 Có f xx cos . Chọn x0 , x sinsin cos . 0,4849 . 6 180 6 180 6 6 180 DẠNG 2. Tính đạo hàm cấp cao và ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. Phương pháp: - Tính đạo hàm cấp cao: Áp dụng trực tiếp định nghĩa: nn 1 yy , yy , , yy . - Tính đạo hàm cấp n: Trước tiên ta tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, sau đó dự đoán công thức tổng quát của fx n . - Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm: Tính đến đạo hàm cấp cao nhất có trong đẳng thức rồi thay thế vào vị trí tương ứng và biến đổi cho ta được kết quả. - Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai: Gia tốc tức thời  tại thời điểm t là đạo hàm cấp 2 của hàm số s f t . Ví dụ 30. Tính y , biết y xx 1 2 . xx 32 2 2xx 3 2 2 A. y . B. y . 22 3 11 xx 1 x2 xx 32 2 xx 1 2 C. y . D. y . 2 3 1 x2 21 x2 Đáp án A Lời giải 2 2 2 12 x2 4x 1 x x 1 2 x x 3 2 x y y y 1 x2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 CHÚ Ý d Sau khi tính được đạo hàm bậc nhất y ta có thể sử dụng MTCT với chức năng: để dx x kiểm tra và tính được kết quả. Ví dụ 31. Cho f x 23 x 5 . Tính f 3 . A. 4230 . B. 4320 . C. 4204 . D. 4132 . Đáp án. B. Lời giải Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 17 of 65
  18. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Ta có: f xx 10 2 3 4 , f xx 80 2 3 3 , f xx 480 2 3 2 . f 34320 CHÚ Ý f xf x ; f xf x f x 480(2 x 3)2 f 3 4320 dy Cách khác sử dụng chức năng nhập biểu thức đạo hàm của fx'' tại điểm x 2 dx x rồi so sánh kết quả ta được đáp án B 1 Ví dụ 3. Cho hàm số y .Tính y(4) x 4 1.2.3.4 4! 1.2.3.4 A. y(4) . B. y(4) . C. y(4) . D. y(4) . x5 x5 x5 x6 Đáp án B Lời giải: 4 1 1.234 1.2.34! 1 .4! y ,, y yy x2 xxx 344 1 x 5 CHÚ Ý ()n 1 ( 1)n .n ! Tổng quát: n 1 xx 1 Ví dụ 4. Đạo hàm cấp n của hàm số y , a 0 là: ax b n n n 2nn .an . ! 1 .ann . ! 1 .n ! 1 .ann . ! A. y()n . B. y()n . C. y()n . D. y()n . ()ax b n 1 (x 1)n 1 ()ax b n 1 ()ax b n 1 Đáp án D Lời giải a2 a23 a .2.3 y ,, y y ax b 2 ax b 3 ax b 4 ( 1)nn .an . ! Dự đoán công thức y()n ()ax b n 1 Nhận xét: Việc dự đoán công thức ta đã được ngay kết quả của bài toán. Tuy nhiên để hiểu rõ và chính xác hơn ta có thể chứng minh công thức tổng quát bằng phương phức quy nạp toán học ( bạn đọc tự làm) Ví dụ 5. Phương trình chuyển động của một chất điểm s t32 3 t 9 t 2 (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm vận tốc bằng 0. A. 10 ms / 2 . B. 12 ms / 2 . C. 8/ ms2 . D. 16 ms / 2 . Đáp án. B. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 18 of 65
  19. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Lời giải: 2 t 1 l v t s tt 0 t 3 6 9 0 t 3  (3) 12ms / 2 . k Dạng 3 :Dùng đạo hàm để giải toán tổ hợp Cn Phương pháp: n 0 1 1 2 2n 1 n 1 n n Cách 1: Từ khai triển 1 x =Cn C n x C n x C n x C n x Lấy đạo hàm cấp 1, cấp 2 ở hai vế khai triển của nhị thức -Chọn xx 0 và chọn n thích hợp. Cách 2: Sử dụng MTCT tính thay với một vài giá trị n 1, 2, và kiểm tra tính đúng sai ta đi đến việc lựa chọn đáp án Ví dụ 6. Đẳng thức nào sau đây đúng? 1 2 31 nn A. Cn 2 C n 3.2 C nn  , nC . n n N . 1 2 3 nn B. Cn 2 C n 31 C nn .2  , nC . n n N . 1 2 31 nn C. Cn 2 C n 31 C n .2  , nC n . n n N . 1 2 31 nn D. Cn 2 C n 31 C n .2  , nC n . n n N Đáp án A Lời giải: n 0 1 1n n 1 n n Cách 1: Xét fx 1 x CCxn n  Cx n CxxR n  n 1 1 2n 2 n 1 n 1 n fxnx' 1 CxCn 2 n  nxC 1 . n nxC . . n '1 1 2n 1 n n 1 f Cn 2 C n  n 1 . C n nC . n n .2 . Cách 2: Sử dụng MTCT 1 0 -Chọn với n 1: C1 21 (đúng) 12 -Chọn với n 2 :CC22 2 2.2 4 (đúng) . Từ việc thử đáp án ta được kết quả Ví dụ 7. Tính tổng với n N, n 2: 2 3nn 1 S 1.2. Cn 2.3. C n ( n 2).( n 1). C n ( n 1). nC . n A. (nn 1).( 2).2n 2 . B. nn.( 1).2n 2 . C. nn.( 1).2n 1 . D. (nn 1).( 2).2n . Đáp án B Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 19 of 65
  20. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Lời giải: nn n0 1 n 1 n 2 2 1 1 Cách 1: Xét hàm số fx( ) (1 x ) CCxCxn n nn Cx n Cx Suy ra: n 1 1 22 1 1 n n n n fxnx' 121 . CxCn . nn  . nxC n nxC f x n 1 . n . 1 x n 2 2 33 12 n nn n 1.2.Cn 2.3. xC . nnn ( n 2).( nxC 1) . ( nnxC 1). . . 2 312 nn n f 1 1.2. Cn 2.3. C nnn  nnCnnCnn 2 . 1 . 1 . . 1 2 . Cách 2: Sử dụng MTCT ta thử với một vài giá trị n 2. 21 -Với n 2 SC 1.2.2 2.1.2 2 (đúng) 23 -Với n 3 SCC 1.2.33 2.3. 3.2.2 12 (đúng) So sánh, đối chiếu các đáp án ta được kết quả. CHÚ Ý Nếu trong biểu thức thiếu 2 số hạng đầu tiên hoặc 2 số hạng cuối cùng của khai triển nhị thức đồng thời các hệ số là tích của 2 số tự nhiên lien tiếp ta dung đạo hàm cấp 2. 0 1 2 n Ví dụ 8. Tính tổng S Cn 2 C n 3 C nn ( n 1) C bằng A. n.2n 1 . B. (n 1).2n 1 . C. (n 2).2n 1 . D. (n 1).2n . Đáp án C Lời giải: n0 1 1 2 2 n 1 n 1 n n Cách 1: Ta có: (1 x ) Cn C n x C n x C n x C n x  xR nn n0 n 2 1n 3 2 1 1 Nhân 2 vế với x ta được: x(1). x xCxCxCn . n n xC n xC . n n nn 1 n 0 1 2 2 Lấy đạo hàm 2 vế ta được : (1) xnxx (1) Cn 2. xC n 3. xC n (1). nxC n 0 1 2n n n 1 n 1 Thay x 1 ta được: S Cn 2 C n 3 C n ( n 1) C n 2 n .2 ( n 2).2 . Cách 2: Sử dụng MTCT (bạn đọc tự thử lại) CHÚ Ý Nếu trong khai triển nhị thức vẫn có số hạng đầu hoặc số hạng cuối và hệ số tăng thêm 1 đơn vị thì ta nhân 2 vế với x và sau đó dùng đạo hàm cấp 1. Ví dụ 9. Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 2 3 3 4 2nn 2 1 C2n 1 2.2. C 2 n 1 3.2 . C 2 n 1 4.2 . C 2 n 1 (2 n 1).2 . C 2 n 1 2017 A. n 1005. B. n 1006 . C. n 1007 . D. n 1008. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 20 of 65
  21. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Đáp án D Lời giải: 21n 0 112233 2121nn Với  x ta có: 1. x . C2n 1 C 2 .n 1 x C 2 n 1 x . C 2 nn 1 x C 2 1 x Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được: 2n 1 2 2 32 2 1 nn 2n 112. x C 3.2n 1 x C 2 2 n 1 x C 1 2 nn 12 1 n x C 1 Thay x 2 vào 1 ta được: 1 2 2 3 42 2 1 nn 2n 1 C2n 1 2.2. C 2 n 1 3.2 . C 2 n 1 4.2. C 2 nn 12 1 2 n 1 . x . C Từ yêu cầu bài toán ta có: 2nn 1 2017 2018. n CHÚ Ý : Nhận biết được cần sử dụng đạo hàm cấp 1 và chọn giá trị xx 0 dựa vào cơ số a với chỉ số n tăng dần. 99100198199 010100 1111 Ví dụ 5: Tính tổng: S 100. CCCC 100100100100 101. 199. 200. 2222 A. 10. B. 0 . C. 1. D. 100 . Đáp án. B. Lời giải: 100 Xét f x x2100 x xx 1 100 100 0 1 2 2 100 100 x C100 C 100 x C 100 x C 100 x 0 100 1 101 2 102 100 200 C100. x C 100 . x C 100 x C 100 x 99 f' x 100 2 x 1 . x2 x 99 0 100 1 101 2 199 100 100x . C100 101 x . C 100 102 x . C 100 200 x C 100 1 Lấy x ta được: 2 99 100 199 1 0 1 1 1 100 0 100 CCCS100 101 100 200 100 0 . 2 2 2 2 100 1 STUDY TYP : Xuất phát từ nhị thức xx , sau khi dùng đạo hàm cấp 1, chọn x0 . 2 Câu 1. Vi phân của hàm số yx tan 2 là A. dyx dx2(1 tan2 2 ) . B. dyx dx2(1 tan2 2 ) . C. dyx dx(1 tan2 2 ) . D. dyx dx(1 tan2 2 ) . Câu 2. Vi phân của hàm số f x 3 x2 x tại điểm x 2 , ứng với x 0,1 là: A. 0,07 . B. 10. C. 1,1. D. 0,4 . 23x Câu 3. Vi phân của hàm số y là : 21x 8 4 A. ddyx . B. ddyx . 21x 2 21x 2 4 7 C. ddyx . D. ddyx . 21x 2 21x 2 2 Câu 4. Số gia của hàm số yx 1 tại điểm x0 2 ứng với số gia x 0,1 bằng bao nhiêu? Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 21 of 65
  22. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 A. 0,99. B. 11,1. C. 0,01. D. 0,41. 2 Câu 5. Số gia của hàm số yx 2 tại điểm x0 2 ứng với số gia x 1 bằng bao nhiêu? A. 5 . B. 2 . C. 13. D. 9 . Câu 6. (THPT QUẢNG XƯƠNG I) Cho các mệnh đề Hàm số yf x () có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại . Hàm số liên tục tại thì nó có đạo hàm tại điểm . Hàm số liên tục trên đoạn ab;  và f( a ). f ( b ) 0 thì phương trình fx( )0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (;).ab Hàm số xác định trên đoạn thì luôn tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Số mệnh đề đúng là A. 1 B. 2 C. 4 D. 3. . 1 x2 Câu 7. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là: 1 x2 4x 4 4 dx A. ddyx 2 . B. ddyx 2 . C. ddyx 2 . D. dy 2 . 1 x2 1 x2 1 x 1 x2 Câu 8. Vi phân của hàm số yxx 322 là A. dyxx (34 dx 2 ) . B. dyxx (3) dx 2 . C. dyxx (32 dx 2 ) . D. dyxx (34 dx 2 ) . Câu 9. Vi phân của hàm số yx 32 là 1 3 A. dydx . B. dydx . 32x 2 3x 2 3 1 C. dydx . D. dydx . 32x 2 3x 2 Câu 10. Cho hàm số y f x x 1 2 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho? A. dy 2 x 1 d x . B. dyx 2 1 . C. d1y d xx . D. d1y d xx 2 . 4 Câu 11. Cho hàm số f( x ) x5 6. Số nghiệm của phương trình fx ( ) 4 là bao nhiêu? 5 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Nhiều hơn 2 nghiệm. 11 Câu 12. Cho hàm số f( x )6 x 532 x x . Để f (x) 0 thì x có giá trị thuộc tập hợp nào 32 dưới đây? A. 2; 3 . B. ; 4  3; . C. ; 3  2; . D. 3; 2 . Câu 13. Cho hàm số fx x2 x . Xét hai câu sau: (1). Hàm số trên có đạo hàm tại x 0 . (2). Hàm số trên liên tục tại x 0 . Trong hai câu trên: A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 22 of 65
  23. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 y Câu 14. Tỉ số của hàm số f xx x21 theo x và x là x A. 422xx . B. 422xx 2 . C. 422xx . D. 422x xxx 2 . Câu 15. Cho hàm số f( x )23 xx42 . Với giá trị nào của x thì fx () dương? A. x 1. B. 10 x . C. x 0 . D. x 0 . Câu 16. Cho hàm số yx tan . Vi phân của hàm số là: 1 1 A. ddyx . B. ddyx . 2xx cos2 xxcos2 1 1 C. ddyx . D. ddyx . 2xx cos 2xx cos2 3 2x 1 1 Câu 17. Tìm giới hạn sau A lim x 1 12 x2 2 3 A. . B. 1. C. 2 . D. . 3 2 Câu 18. Cho hàm số yx sin(sin ) .Vi phân của hàm số là: A. dyxx cos(sin x ).cos d . B. dcos(sinyx x )d . C. dyxx cos(sin x ).sin d . D. dsin(cosyx x )d . Câu 19. Vi phân của yx cot 2017 là: 2017 A. dyx x 2017sin 2017 d B. ddyx . . sin2 2017x 2017 2017 C. ddyx . . D. dyx d cos2 2017x sin2 2017x 3 Câu 20. Số gia của hàm số f x x ứng với x0 2 và x 1 bằng bao nhiêu? A. 7 . B. 19. C. 7 . D. 19 . (x 1)2 Câu 21. Hàm số y f() x . Biểu thức 0,01.f '(0,01) là số nào? x A. 90 . B. 9. C. 90 . D. 9 . Câu 22. Giải bất phương trình fx ( ) 0 với f( x ) 2 x42 4 x 1. 10 x A. x 0 . B. . C. 10 x . D. x 1. x 1 3 26xx34 1 4 80 1 Câu 23. Tìm giới hạn sau C lim x 1 x 1 4 4 A. . B. . C. 1. D. 2 . 27 27 a x khi 0 x x Câu 24. (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Cho hàm số fx 0 . Biết 2 x 12 khi x x0 rằng ta luôn tìm được một số dương x0 và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;xxoo  ; . Tính giá trị S x0 a . Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 23 of 65
  24. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 A. S 2 3 4 2 . B. S 2 3 2 2 . C. S 2 3 2 2 . D. S 2 1 4 2 . x2 xx 1 khi 1 Câu 25. Tìm ab, để các hàm số sau có đạo hàm trên fx() 2 x ax b khi x 1 a 3 a 23 a 3 a 13 A. . B. . C. . D. . b 11 b 21 b 1 b 1 Câu 26. Giải bất phương trình fx ( )0 với f( x )4 xx 2 . A. x 0 . B. x 2 . C. 2 x . D. 22 x . Câu 27. Giải bất phương trình fx ( )0 với f( xxx ) 23132. x 0 A. x 0 . B. 01 x . C. . D. x 1. x 1 1 Câu 28. Cho hàm số f() xmxx 3 . Với giá trị nào của m thì x 1 là nghiệm của bất phương 3 trình fx ( )2 ? A. m 1. B. m 3. C. m 3 . D. m 3. Câu 29. Cho hàm số yx 32 39x 5x . Phương trình y 0 có nghiệm là: A. 1;2. B. 1;3. C. 0;4. D. 1;2. Câu 30. (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số yfx có đạo hàm liên tục trên 1;2 thỏa mãn f 14 và f x xf x 23 x32 x . Tính f 2 A. 10. B. 15. C. 5 . D. 20 . 34 2x x 2 3 4 2 x x 2 Câu 31. Tìm giới hạn sau E lim . x 0 22 xx 3 4. 2 3 4. 2 3 4 A. 1. B. . C. . D. . 3 3 3 þ Dạng 01: Tìm TXĐ của hàm phân thức, căn thức. Câu 32. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Tính đạo hàm của hàm số 5 y x32 27. x x 5 5 A. y' 3 x2 4 x . B. y' 3 x2 4 x . x x2 x4 5 C. y' 6 x3 5ln x 7 x . D. y'2 x2 x . 4 x2 Câu 33. (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân 2 - 2017 - 2018 - BTN) Tính đạo hàm của hàm sin x số sau y . sinxx cos 1 1 A. y . B. y . sinxx cos 2 sinxx cos 2 1 1 C. y . D. y . sinxx cos 2 sinxx cos 2 Dạng 02: Đạo hàm bằng định nghĩa. Câu 34. Cho hàm số f x x4 4 x 3 3 x 2 2 x 1 xác định trên . Giá trị f '1 bằng: Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 24 of 65
  25. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 A. 14. B. 15. C. 24 . D. 4 . Câu 35. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Hàm số yxx 2 1 có đạo hàm trên là A. yxx 2 . B. yx 21. C. yx 3 . D. yx 2 . Câu 36. Cho hàm số fx liên tục tại x0 . Đạo hàm của tại là: f() x h ( ) f x A. lim 00 (nếu tồn tại giới hạn). h 0 h f() x h () f x h B. lim 00 (nếu tồn tại giới hạn). h 0 h C. fx 0 . f()( x ) hf x D. 00. h Câu 37. Hàm số yx tan có đạo hàm là: 1 1 A. y ' . B. y ' . C. yx' 1 tan2 . D. yx'cot . cos2 x sin2 x Câu 38. Hàm số yx sin có đạo hàm là: 1 A. y ' . B. yx'cos . C. yx'cos . D. yx'sin . cos x Câu 39. Cho hàm số liên tục tại . Đạo hàm của tại là A. . B. . C. (nếu tồn tại giới hạn). D. (nếu tồn tại giới hạn). 21x Câu 40. Cho hàm số fx xác định \1  . Đạo hàm của hàm số fx là: x 1 2 3 1 1 A. fx' . B. fx' . C. fx' . D. fx' . x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 Câu 41. Cho hàm số y x32 9 x 12 x 5 . Vi phân của hàm số là: A. dy 3 x2 18 x 12 d x . B. dy 3 x2 18 x 12 d x . C. dy 3 x2 18 x 12 d x . D. dy 3 x2 18 x 12 d x . Câu 42. Cho hàm số y sin x 3cos x. Vi phân của hàm số là: A. dy cos x 3sin x d x . B. dy cos x 3sin x d x . C. dy cos x 3sin x d x . D. dy cos x 3sin x d x . fx f x 3 x f 8 Câu 43. Cho hàm số xác định trên bởi . Giá trị bằng : 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 12 6 6 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 25 of 65
  26. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 fx 0; 1 Câu 44. Cho hàm số xác định trên bởi fx . Đạo hàm của tại x 2 x 0 là: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 fx \1  2x f 1 Câu 45. Cho hàm số xác định trên bởi fx . Giá trị của bằng: x 1 1 1 A. . B. 2. C. Không tồn tại. D. . 2 2 x2 1 1 x 0 Câu 46. Cho hàm số fx xác định bởi fx x . Giá trị f 0 bằng: 00 x 1 A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D. . 2 sinx Câu 47. Hàm số y có đạo hàm là: x xxxsincos xxxsincos A. y ' . B. y ' . x2 x2 xxxcossin xxxcossin C. y ' . D. y ' . x2 x2 fx f x 23 x2 x fx Câu 48. Cho hàm số xác định trên bởi . Hàm số có đạo hàm bằng: A. 43x . B. 43x . C. 43x . D. 43x . Câu 49. Hàm số y xsin x cos x có vi phân là: A. dy x cos x – sin x d x . B. dcosy x d x x . C. dy cos x – sin x d x . D. dy x sin x d x . Câu 50. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra f( x ) sin2 x tại x 0 2 A. 2. B. 3 . C. 4 . D. 1. Câu 51. Tính đạo hàm của hàm số tại các điểm đã chỉ ra f( xx ) sin2 tại x 2 A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Câu 52. Cho hàm số yx cos3 .sin 2x. Tính y ' bằng: 3 1 1 A. y '1 . B. y '1 . C. y ' . D. y ' . 3 3 32 32 Câu 53. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số xx2 1, 1 y f x Mệnh đề sai là 2xx , 1. A. f 2 4 B. f 12 . Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 26 of 65
  27. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 C. f không có đạo hàm tại x0 1 D. f 02. . Câu 54. Hàm số yxx sin2 .cos có đạo hàm là: A. yx' sinx cos12 . B. yx' sinx cos12 . C. yx' sinx 3cos12 . D. yx' sinx 3cos12 . Câu 55. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra sin2 x khi x 0 fx() x tại x0 0 2 x xx khi 0 A. 5. B. 2. C. 3. D. 1. tan x Câu 56. Vi phân của hàm số y là: x sin(2x ) 2sin(2xx ) A. ddyx . B. ddyx . 4cosx xx 2 4cosx xx 2 2xx sin(2 ) 2 x C. ddyx . D. ddyx . 4x x cos2 x 4x x cos2 x 2 Câu 57. Hàm số y f x có f '3 bằng: cos x 8 43 A. . B. . C. 0 . D. 2 . 3 3 Câu 58. Hàm số yxx 2 sin 2 cos có đạo hàm là: 11 11 A. y ' . B. y ' . sinxx cos sinxx cos cosxx sin cosxx sin C. y ' . D. y ' . sinxx cos sinxx cos Câu 59. (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Cho hàm số ax2 bx 1, x 0 fx . Khi hàm số fx có đạo hàm tại x0 0 . Hãy tính T a2 b . ax b 1, x 0 A. T 6 . B. T 4. C. T 4 . D. T 0 . x Câu 60. Cho hàm số y f() x . Tính y '0 bằng: 4 x2 1 1 A. y ' 0 1. B. y ' 0 2. C. y '0 . D. y '0 . 2 3 Câu 61. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra 2x 3 khi x 1 32 tại . fx() x 2 x 7 x 4 x0 1 khi x 1 x 1 A. 4 . B. 5 . C. Đáp án khác. D. 0 . xx2 khi 1 Câu 62. Cho hàm số y f() x . Hãy chọn câu sai: 2xx 1 khi 1 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 27 of 65
  28. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 2xx khi1 A. fx () . B. f 11 . 2 khi1x C. Hàm số có đạo hàm tại x0 1. D. Hàm số liên tục tại x0 1. þ Dạng 03: Tính đạo hàm các cấp. x 2 2 Câu 63. Hàm số y có đạo hàm là: 1 x x2 2x x2 2x x2 2x A. yx 22 . B. y . C. y . D. y . 1 x 2 1 x 2 1 x 2 Câu 64. Cho hàm số y xxx32 912 5 . Vi phân của hàm số là: A. d3yxxx 182 12 d . B. d3yxxx 182 12 d . C. d3yxxx 182 12 d . D. d3yxxx 182 12 d . Câu 65. (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hàm số f xx sin 2 . Tính fx . 1 A. f x cos2 x . B. f x 2sin 2 x . 2 C. f xx cos2 . D. f xx 2cos2 . x 2 Câu 66. Cho hàm số y . Vi phân của hàm số là: x 1 3dx 3dx dx dx A. dy . B. dy . C. dy . D. dy . x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 5 f( xx ) 2sin f Câu 67. Xét hàm số 6 . Giá trị 6 bằng A. 0 . B. 2. C. 2 . D. 1. Câu 68. Cho hàm số f x x4 4 x 3 3 x 2 2 x 1 xác định trên . Giá trị f '1 bằng: A. 14. B. 15. C. 24 . D. 4 . Câu 69. Hàm số yxx 2 sin 2 cos có đạo hàm là: cosxx sin cosxx sin A. y B. y . . sinxx cos sinxx cos 11 11 C. y . . D. y . . sinxx cos sinxx cos Câu 70. Hàm số yx cot 2 có đạo hàm là: (1 cot2 2x ) (1 tan2 2x ) A. y . . B. y . . cot 2x cot 2x 1 cot2 2x 1 tan2 2x C. y . . D. y cot 2x cot 2x 5 Câu 71. Xét hàm số y f x 2sin x . Tính giá trị f ' bằng: 6 6 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 2. 11 Câu 72. Đạo hàm của hàm số y x x24 0,5 x là : 43 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 28 of 65
  29. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 1 1 A. yxx'2 2 3 . B. yx'2 x 3 . 3 3 1 1 C. yxx'2 3 . D. yxx'2 3 . 3 3 Câu 73. Đạo hàm của hàm số yxx 3 5. bằng biểu thức nào sau đây? 75 1 5 75 A. x5 . B. 3x2 . C. 3x2 . D. 5 x2 . 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x Câu 74. Đạo hàm của hàm số f( xx )2 3 2 bằng biểu thức nào sau đây? 3x 6x2 3x 1 A. . B. . C. . D. . 23 x2 2 23 x2 23 x2 2 23 x2 Câu 75. Hàm số yx tan có đạo hàm là 1 1 A. y . B. yx 1 tan2 . C. y . D. yx cot . sin2 x cos2 x Câu 76. Đạo hàm của hàm số yx sin bằng biểu thức nào sau đây? 1 cos x cos x cos x A. . B. . C. . D. . 2 sin x 2 sin x sin x 2 sin x Câu 77. Hàm số yx cos có đạo hàm là 1 A. y sin x . B. yx cos . C. y . D. yx' sin . sin x Câu 78. Đạo hàm của hàm số yx tan 2 tại x 0 là số nào sau đây? A. 0 . B. 1.1. C. 2 . D. 2 . 15 2 4 3 3 2 Câu 79. Đạo hàm của hàm số y x x x x 45 x là. 2 3 2 52 58 A. y'3 x 34 4 x 3 x 2 x . B. y'3 x 44 x 3 x 2 x . 23 23 58 18 C. y'3 x 34 4 x 3 x 2 x . D. y'3 x 34 4 x 3 x 2 x . 23 23 Câu 80. Đạo hàm của hàm số yx 3sin 2 x cos3 là: A. yx 6cos2 x 3sin3 . . B. yx 6cos2 x 3sin3 . . C. yx 3cos2 x sin3 . . D. yx 3cos2 x sin3 . . 2 Câu 81. Cho hàm số y f x sin x cos x . Giá trị f bằng 16 22 2 A. 2 . B. 0. C.  . D. . Câu 82. Cho hàm số y x3 56 x . Vi phân của hàm số là: A. dy 3 x2 5 d x . B. dy 3 x2 5 d x . C. dy 3 x2 5 d x . D. dy 3 x2 5 d x . 1 Câu 83. Cho hàm số fx . Đạo hàm của f tại x 2 là x 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 29 of 65
  30. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Câu 84. Hàm số yxx tancot có đạo hàm là: 1 4 4 1 A. y . B. y . C. y . D. y . sin2 2x cos2 2x sin2 2x cos2 2x Câu 85. Tính đạo hàm của hàm số yxx 5sin3cos A. 5cos3sinxx . B. cos3sinxx . C. cossinxx . D. 5cos3sinxx . Câu 86. Đạo hàm của yx cos là sin x sin x sin x cos x A. . B. . C. . D. . 2 cos x 2 cos x cos x 2 cos x Câu 87. Đạo hàm của hàm số yxx ()32 3 bằng biểu thức nào sau đây? A. 3()xx32 2 . B. 3()x3 (32 xxx 2 ) 2 2 . C. 3()x3 (3) xx 2 2 x 2 . D. 3()(32x3 xxx ) 22 . 8xx2 Câu 88. Cho hàm số y . Đạo hàm y của hàm số là 45x 32805xx2 3285xx2 32805xx2 161x A. . . B. . . C. . . D. . . 45x (45)x 2 (45)x 2 (45)x 2 43x Câu 89. Cho hàm số fx() . Đạo hàm fx của hàm số là x 5 17 19 23 17 A. . . B. . . C. . . D. . . (5)x 2 (5)x 2 (5)x 2 (5)x 2 Câu 90. Cho hàm số f( x ). ax b Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. f () x a . B. f () x b . C. f () xa . D. f () x b . Câu 91. Đạo hàm của hàm số yx cos tan bằng 1 1 A. sin tan x . B. sin tan x  . cos2 x cos2 x C. sin tan x . D. –sin tan x . 34x Câu 92. Đạo hàm của hàm số fx() tại điểm x 1 là 21x 11 1 11 A. . B. . C. 11. D. . 3 5 9 f xx 3 f 8 Câu 93. Cho hàm số . Giá trị bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 6 12 6 xx2 33 Câu 94. Đạo hàm của hàm số y là : x 1 xx2 2 xx2 xx2 2 x2 2 A. . B. . C. . D. . x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 1 Câu 95. (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hàm số fx . Tính 21x f 1 . 8 4 8 2 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 9 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 30 of 65
  31. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Câu 96. Cho hàm số y 3 x4 4 x 3 5 x 2 2 x 1. Hỏi đạo hàm đến cấp nào thì ta được kết quả triệt tiêu (bằng 0 )? A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 . 5 Câu 97. Tính đạo hàm của hàm số yxx cossin44 A. 10cos4 2xx .sin 2 . B. cos4 2xx .sin 2 . C. 10cos4 2xx .sin . D. 10cos4 2x . x Câu 98. Cho fx . Tính f 0 4 x2 1 A. 2 . B. 3 . C. . D. 1. 4 Câu 99. Đạo hàm của hàm số f xx sin3 là cos3x 3cos3x 3cos3x 3cos3x A. . B. . C. . D. . 2 sin 3x sin 3x 2 sin 3x 2 sin3x x2 x Câu 100. Cho hàm số y đạo hàm của hàm số tại x 1 là: x 2 A. y 13 . B. y 12 . C. y 14 . D. y 15 . Câu 101. Đạo hàm của hàm số y x.2 xx2 là 22x 34xx2 23xx2 2xx2 2 1 A. y . B. y . C. y . D. y . xx2 2 xx2 2 xx2 2 xx2 2 Câu 102. Cho hàm số yx 32 3x 9x 5. Phương trình y 0 có nghiệm là: A. 0;4. B. 1;2. C. 1;2. D. 1;3. 1 2 Câu 103. Hàm số yx 1 tan có đạo hàm là: 2 2 A. yx' 1 tan . B. yx' 1 tan . C. y' 1 tan x 1 tan2 x . D. yx' 1 tan2 . x 1 Câu 104. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức nào sau đây? x2 1 1 x 2(x 1) xx2 1 2x A. . B. . C. . D. . (1)x23 (1)x23 (1)x23 x2 1 Câu 105. Đạo hàm của y 3 x2 2 x 1 bằng: 1 31x 62x 31x2 A. . B. . C. . D. . 2 3xx2 2 1 3xx2 2 1 3xx2 2 1 3xx2 2 1 1 Câu 106. Đạo hàm của hàm số y 2 x43 x 2 x 5 là : 3 1 1 A. y'8 x32 x . B. y'8 x32 x . x x 1 1 C. y'2 x32 x . D. y'8 x32 x . x x Câu 107. Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp hai là 6x ? Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 31 of 65
  32. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 A. yx 2.3 . B. yx 3 C. yx 2 D. yx 3.2 . 3 Câu 108. Tính đạo hàm của hàm số yx 2 sin2 2 . 2 2 A. yxx sin 4 2 sin2 2 . B. yxx 6sin 4 2 sin2 2 . 3 2 C. yxx 6sin 4 2 sin2 2 . D. yxx 3sin 4 2 sin2 2 . 21x Câu 109. Đạo hàm của hàm số y là : 43x 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 43x 43x 2 43x 2 x 3 2 3 21x Câu 110. Đạo hàm của hàm số y là : x 1 21x 2 21x 2 3 21x 2 3 21x 2 A. . B. . C. . D. . x 1 4 x 1 4 x 1 4 x 1 4 1 x Câu 111. Tính đạo hàm của hàm số sau y 1 x 13 x 13 x A. y . B. y . (1) x 3 3 (1) x 3 1 1 3x 13 x C. y . D. y . 3 2 (1 x )3 2 (1 x )3 sin xx Câu 112. Tính đạo hàm của hàm số y . xxsin cosx sin x sin x x cos x xcos x sin x sin x x cos x A. . B. . xx22sin xx22sin xcos x sin x sin x cos x xcos x sin x sin x x cos x C. . D. . xx22sin xx22sin 21x Câu 113. Đạo hàm cấp n của hàm số y là xx2 56 ( 1)nn .7.nn ! ( 1) .5. ! ( 1)nn .7.nn ! ( 1) .5. ! A. y()n . B. y()n . (xx 2)nn ( 3) (xx 2)nn 11 ( 3) (2)nn .7.nn ! (1) .5. ! ( 1)nn 11 .7.nn ! ( 1) .5. ! C. y()n . D. y()n . (xx 2)nn 11 ( 3) (xx 2)nn 11 ( 3) Câu 114. Cho hàm số yx sin 2 . Tính y (), y(4) (). 3 4 A. 4 và 16. B. 5 và 17 . C. 6 và 18 . D. 7 và 19 . Câu 115. Tính đạo hàm của hàm số sau y x2 x x 1 x x A. y . B. y 21 x x . 21x 21x x x C. y 21 x x . D. y 21 x x . 21x 21x Câu 116. Cho hàm số y f x sin x . Hãy chọn câu sai: Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 32 of 65
  33. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 3 A. yx sin . B. yx sin . 2 2 C. yx sin . D. yx 4 sin 2 . Câu 117. Đạo hàm cấp 2 của hàm số yxx tan xx cot sin cos bằng: 2tanxx 2cot A. sinxx cos . B. 0 . cossin22xx 2tanxx 2cot C. tan22xxxx cot cos sin . D. sinxx cos . cossin22xx Câu 118. Cho hàm số yx sin 2 . Tính y()n . A. yx()nn 2 sin(2) . B. yx()nn 2 sin() . 2 2 C. yx()nn n2 sin(2) . D. yx()nn n2 sin(2) . 2 3 xx2 1 Câu 119. Cho hàm số fx() . Xét hai câu sau: x 1 1 xx2 2 (I ) : f ( x ) 1,  x 1. (II ) : f ( x ),  x 1. (x 1)2 (x 1)2 Hãy chọn câu đúng: A. Cả ();I ()II đều đúng. B. Chỉ ()II đúng. C. Cả (I ); ()II đều sai. D. Chỉ ()I đúng. 13 xx2 Câu 120. Cho hàm số fx() . Tập nghiệm của bất phương trình fx ( ) 0 là x 1 A. \1  . B.  . C. 1; . D. . Câu 121. Tính đạo hàm của hàm số sau y 2sin32 2 x tan 3 x x cos4 x A. y 12sin22 2 x cos2 x tan3 x 1 tan 3 x cos4 x 4 x sin 4 x . B. y 12sin22 2 x cos2 x 6tan3 x 1 tan 3 x cos4 x 4 x sin 4 x . C. y 12sin22 2 x cos2 x 6tan3 x 1 2tan 3 x cos4 x 4 x sin 4 x . D. y 12sin22 2 x cos2 x 6tan3 x 1 tan 3 x cos4 x x sin 4 x . Câu 122. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hàm số y sin3 x .cos x sin 2 x . 10 Giá trị của y gần nhất với số nào dưới đây? 3 A. 2454493. B. 454491. C. 454490 . D. 454492 . x Câu 123. Đạo hàm của hàm số y bằng biểu thức nào sau đây? 12 x 1 1 12 x 12 x A. . B. . C. . D. . 2xx (1 2 )2 4 x 2xx (1 2 )2 2xx (1 2 )2 Câu 124. Cho hàm số f( x ) 2 mx mx3 . Số x 1 là nghiệm của bất phương trình fx ( ) 1 khi và chỉ khi: A. m 1. B. m 1. C. 11 m . D. m 1. Câu 125. Tính đạo hàm hàm số y 3 x 2tan x Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 33 of 65
  34. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 5 2tan2 x 5 2tan2 x 5 2tan2 x 5 2tan2 x A. . B. . C. . D. . 2 32tanxx 2 32tanxx 2 32tanxx 2 32tanxx x2 Câu 126. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hàm số fx . Tìm fx 30 . x 1 A. f 30 x 30! 1 x 31 . B. fxx 30 30! 1 30 . C. f 30 x 30! 1 x 31 . D. f 30 x 30! 1 x 30 . Câu 127. Tính đạo hàm của hàm số yxx sin cos cos sin A. sin cos x . B. sin x . C. sincos xx . D. sincos xx . Câu 128. Cho hàm số yxx 3132. Để y 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây 9 2 A. ;0;  . B. ;0;  . 2 9 2 9 C. ;0 . D. ;0 . 9 2 Câu 129. Tính đạo hàm của hàm số yxx sincos44 A. sin 4x . B. 2sin 4 x. C. cos4sinxx 4 . D. sin 4x . (2016) Câu 130. Cho hàm số yx cos . Khi đó yx() bằng A. cos x . B. sin x . C. sin x . D. cos x . 1 Câu 131. Đạo hàm cấp n của hàm số ya ,0 là ax b (2)nn .an . ! ( 1)nn .an . ! A. y()n . B. y()n . ()ax b n 1 (x 1)n 1 ( 1)n .n ! ( 1)nn .an . ! C. y()n . D. y()n . ()ax b n 1 ()ax b n 1 cosx 4 Câu 132. Tính đạo hàm các hàm số sau yx cot 3sin3 x 3 A. yx cot4 1. B. yx cot4 . C. yx cot3 1 . D. yx 3cot4 1. x Câu 133. Nếu y sin thì y n bằng: 2 1 x 1 x x n x A. n sin n . B. n sin n . C. sin n . D. 2 sin n . 22 22 2 22 22 Câu 134. Tính đạo hàm của hàm số sau y x2 1 2 x 1 xx 2 1 xx 212 A. y . B. y . 2 (x22 1) x 1 2 x 1 2 (x22 1) x 1 2 x 1 xx 212 xx 2 1 C. y . D. y . (x22 1) x 1 2 x 1 (x22 1) x 1 2 x 1 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 34 of 65
  35. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 þ Dạng 04: Mối liên hệ giữa hàm số và đạo hàm các cấp. Câu 135. Cho hàm số f( x )4 x4 3 x 3 2 x 1 2 x . Giá trị f (1) bằng: A. 14. B. 24. C. 15. D. 4. Câu 136. Cho hàm số y f( xx )4 1 . Khi đó f 2 bằng: 1 2 1 A. . . B. 2. . C. . . D. . . 3 3 6 x2 1 Câu 137. Cho hàm số fx() . Tập nghiệm của phương trình fx ( )0 là x2 1 A. \ 0 B.  C. 0. . D. . . 2 Câu 138. Cho f xx và x0 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. fx 0 không tồn tại. B. fxx 00 2 C. fxx 00 . . D. f xx00 2 . . 1 x 1 Câu 139. Cho hàm số fx() thì f có kết quả nào sau đây? 21x 2 A. Không xác định. B. 3. . C. 3. . D. 0 Câu 140. Cho hàm số yx 325.3 Các nghiệm của phương trình y 0 là. 5 3 A. x 0 . B. x 5. C. x . D. x . 3 5 51x Câu 141. Cho hàm số fx() . Tập nghiệm của bất phương trình fx ( ) 0 là 2x A. 0;. . B.  C. \{0}. D. ;0 . . Câu 142. Tìm số f x x32 3 x 1. Đạo hàm của hàm số fx âm khi và chỉ khi. A. 02 x . B. x 1. C. x 0 hoặc x 1 D. x 0 hoặc x 2 Câu 143. Cho hàm số f( x ) x32 3 x 3 . Đạo hàm của hàm số fx dương trong trường hợp nào? A. x 1. B. xx 0; 1. C. xx 0; 2 . D. 02 x . x khix 0 Câu 144. Cho hàm số fx() x . Xét hai mệnh đề sau: 0 khix 0 (I) f 01 . (II) Hàm số không có đạo hàm tại x00 . Mệnh đề nào đúng? A. Cả hai đều đúng. B. Chỉ (I). C. Chỉ (II). D. Cả hai đều sai. Câu 145. Cho hàm số yx 412 . Để y 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? A. ;0 . . B. 0; . . C. ;0 . . D.  x3 Câu 146. Cho hàm số fx() . Tập nghiệm của phương trình fx ( ) 0 là x 1 3 2 2 3 A.  ;0 . . B. 0; . . C.  ;0 . . D. 0; . . 2 3 3 2 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 35 of 65
  36. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 3 Câu 147. Cho hàm số yx 212 . Để y 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? A.  B. ;0 . . C. 0;. . D. . . 3 Câu 148. Cho hàm số g( xxx ) 9 2 . Đạo hàm của hàm số gx dương trong trường hợp nào? 2 A. x 3. B. x 6 . C. x 3. D. x 3. x Câu 149. Cho hàm số fx() . Tập nghiệm của bất phương trình fx ( )0 là x3 1 1 1 1 1 3 3 A. ;. . B. ;. . C. ;. . D. ;. . 2 2 2 2 Câu 150. Cho hàm số yxx 23. Để y 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? 1 1 A.  B. ;. . C. ; D. ;. . 9 9 x Câu 151. Cho hàm số fx() . Tập nghiệm của bất phương trình fx ( )0 là x 1 A. 1;. . B. ;1 \ 1;0 . . C. 1;. . D. ;1 . . 4 Câu 152. Đạo hàm cấp hai của hàm số f xx x52 34 x là: 5 A. 46x3 . B. 166x3 . C. 166x2 . D. 166xx3 . Câu 153. Cho hàm số yx cos2 2 . Giá trị của biểu thức y y 16 y 16 y 8 là kết quả nào sau đây? A. 16cos4x . B. 8 . C. 8. D. 0 . Câu 154. [SDG PHU THO_2018_6ID_HDG] Cho hàm số yx e 2x .cos . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. y 4 y 5 y 0. B. y 4 y 5 y 0. C. y 4 y 5 y 0. D. y 4 y 5 y 0. Câu 155. Cho hàm số y 2 x32 3 x 5 . Các nghiệm của phương trình y 0 là 5 5 A. x 1. . B. xx 1.  . C. xx  1. . D. xx 01.  . 2 2 Câu 156. (SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ-Lần 2-2018-BTN) Cho hàm số y ex x sin .Mệnh đề nào dưới đây đúng: A. y' 2 y '' 2 y 0 . B. y'' 2 y ' 2 y 0. C. y'' 2 y ' 2 y 0 . D. y' 2 y '' 2 y 0 . x Câu 157. Cho hàm số yx=cos2 .sin2 . Xét hai kết quả sau: 2 x x 1 (I) y 2sin 2 x sin2 sin x .cos2 x (II) y 2sin 2 x sin2 sin x .cos2 x 2 22 Cách nào đúng? A. Cả hai đều đúng. B. Chỉ (I). C. Chỉ (II). D. Không cách nào. Câu 158. Cho hàm số f() x x2 . Khi đó f 0 là kết quả nào sau đây? A. 2. B. 0 C. 1. D. Không tồn tại. Câu 159. Cho hàm số y 44 x3 x . Để y 0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 36 of 65
  37. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 11 A. ; B. ;  33;. . 33 11 C. ;;.  . D. 3; 3 . . 33 1 Câu 160. (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa- Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y . x Khẳng định nào dưới đây là đúng? 2 2 A. yy 3 2 . B. yy 3 20. C. y yy 2 . D. y yy 20 . yxx 3sin2cos Ayy '' Câu 161. Cho . Tính giá trị biểu thức là: A. A 0 . B. A 2 . C. Ax 4cos D. Axx 6sin4cos . . Câu 162. Cho hàm số y f xx 2 1 . Xét hai đẳng thức: (I) y. yx '2 (II) y2. yy Đẳng thức nào đúng? A. Chỉ (II). B. Cả hai đều sai. C. Cả hai đều đúng. D. Chỉ (I). Câu 163. Cho hàm số yx 22. Biểu thức yy(1)(1) có giá trị là bao nhiêu? 9 5 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Câu 164. (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Cho hàm số yx x13 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. y.1 y y 2 . B. y 2 y.1 y . C. y 2 y.1 y . D. yy 2 y 2 . 1. Câu 165. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số yx 2 1. Nghiệm của phương trình y . y 2 x 1 là: A. x 1. B. Vô nghiệm. C. x 1. D. x 2 . Câu 166. (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG-LẦN 2-2018) ln x Cho hàm số y , mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1 1 1 A. 2y x 1 y 0. B. y x 10 y . x2 x2 1 1 C. y x 10 y . D. 2y x 10 y . x2 x2 Câu 167. (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Cho hai hàm số fx và gx đều có đạo hàm trên và thỏa mãn: f3 2 x 2 f 2 2 3 x x 2 . g x 36 x 0 , với  x . Tính A 3 f 2 4 f 2 . A. 10 . B. 13 . C. 14 . D. 11. 1 Câu 168. Cho hàm số y . Khi đó y 3 2 bằng: x2 1 80 80 40 40 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27 Câu 169. Cho hàm số y f x 1 2 x22 1 2 x . Ta xét hai mệnh đề sau: Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 37 of 65
  38. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 2xx 1 6 2 I fx II f x .2 f 12x x 4 x42 1 x 12 x2 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I . B. Cả hai đều sai. C. Cả hai đều đúng. D. Chỉ II . Câu 170. (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Xét các mệnh đề sau: (1). Nếu hàm số f xx thì f 00 . (2). Nếu hàm số f xx 2017 thì f 00 . (3). Nếu hàm số f x x2 31 x thì phương trình fx 0 có 3 nghiệm phân biệt. Những mệnh đề đúng là? A. (1); (2). B. (2); (3). C. (1); (2); (3). D. (2). Câu 171. Cho hàm số y f x sin 2 x . Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi x ? 2 A. 40yy . B. 40yy . C. yyx tan 2 . D. yy2 4. 4 Câu 172. Cho hàm số y f xx cos 2 . Phương trình fx 8 có các nghiệm thuộc 3 đoạn 0; là: 2 A. x . B. x 0 , x . C. , x . D. x 0 , x . 2 2 6 3 3 Câu 173. Cho hàm số y sin x cos x . Khi đó y bằng: 4 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 2 . fx Câu 174. (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho các hàm số fx , gx , hx . 3 gx Hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x0 2018 bằng nhau và khác 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A. f 2018 . B. f 2018 . C. f 2018 . D. g 2018 . 4 4 4 4 þ Dạng 05: Bài toán quãng đường, vận tốc, gia tốc. Câu 175. (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Bạn An tham gia một giải thi chạy, giả sử quãng đường mà bạn chạy được là một hàm số theo biến t và có phương trình s t t32 3 t 11 t m và thời gian t có đơn vị bằng giây. Hỏi trong quá trình chạy vận tốc tức thời nhỏ nhất là A. 3 m/s . B. 4 m/s . C. 8 m/s . D. 1 m/s . Câu 176. (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho chuyển động xác định bởi phương trình S t32 39 t t , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là A. 6m/s2 . B. 12m/s2 . C. 6m/s2 . D. 12m/s2 . Câu 177. [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Một vật giao động điều hòa có phương trình quãng đường phụ thuộc thời gian s Asin  t . Trong đó A ,  , là hằng số, t là thời gian. Khi đó biểu thức vận tốc của vật là? Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 38 of 65
  39. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 A. vAt cos . B. v Atcos . C. vAt cos  . D. v Atcos  . Câu 178. (THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN)Cho chuyển động được xác định bởi phương trình S ttt32 23, với t là thời gian tính bằng giây, S là quãng đường chuyển động tính bằng mét. Tính từ lúc bắt đầu chuyển động, tại thời điểm t 2 giây thì gia tốc a của chuyển động có giá trị bằng bao nhiêu? A. am 16 s / 2 . B. am 6/ s 2 . C. am 7/ s 2 . D. am 8/ s 2 . Câu 179. (THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời vt phụ thuộc vào thời gian t theo hàm số v t t42 8 t 500 m/s . Trong khoảng thời gian t 0s đến t 5s chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào? A. t 1. B. t 4. C. t 2. D. t 0. Câu 180. (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Một chất điểm chuyển động có phương trình 9 s t ttt32 6 , trong đó t được tính bằng giây, s được tính bằng mét. Gia tốc của chất điểm 2 tại thời điểm vận tốc bằng 24 m/s là A. 21 m/s2 . B. 12 m/s2 . C. 39 m/s2 . D. 20 m/s2 . Câu 181. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Một chất điểm 22 đang chuyển động với vận tốc v0 15 m/s thì tăng tốc với gia tốc a t tt 4 m/s . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc. A. 70,25 m . B. 68,25 m . C. 67,25 m . D. 69,75 m . Câu 182. (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t32 39 t t , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. A. 6m/ s. B. 0m/ s. C. 11m/ s . D. 12m/ s . Câu 183. (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Một vật chuyển động theo quy luật 1 s t32 t 9, t với t là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s là quãng đường 3 vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? 25 A. 89 m/s . B. 109 . C. 71 . D. . 3 Câu 184. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2017 - 2018 -BTN) Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t32 3 t 5 t 2 , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Xác định gia tốc của chuyển động khi t 3 . A. 12 m/s2 . B. 17 . C. 14 . D. 24 . Câu 185. (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Một chất điểm chuyển 1 động theo quy luật s t t23 t m . Tìm thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc v m/s của 6 chuyển động đạt giá trị lớn nhất. A. t 2. B. t 0.5. C. t 2.5. D. t 1. Câu 186. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t32 3 t 5 t 2 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t 3 là: Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 39 of 65
  40. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 A. 14 m/s2 . B. 12 m/s2 . C. 24 m/s2 . D. 17 m/s2 . Câu 187. (Sở GD Kiên Giang-2018-BTN) Một chất điểm chuyển động trong 20 giây đầu tiên có 1 phương trình s tt t 4 tt 3 6 2 10 , trong đó t 0 với t tính bằng giây s và st tính bằng 12 mét m . Hỏi tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng bao nhiêu? A. 13 ms / . B. 17 ms / . C. 18 ms / . D. 28 ms / . Câu 188. [CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL- 2017] Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29,4 ms/ . Gia tốc trọng trường là 9,8 ms/ 2 . Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất. A. Sm 88. . B. Sm 89. . C. Sm 88,2 D. Sm 88,5 Câu 189. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t323 t (t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Gia tốc của chuyển động khi t 4 s là a 18 m/s2 . B. Gia tốc của chuyển động khi t 4 s là a 9 m/s2 . C. Vận tốc của chuyển động khi t 3 s là v 12 m/s. D. Vận tốc của chuyển động khi t 3 s là v 24 m/s . Câu 190. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s ttt32 39 2 (t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng? A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t 0 hoặc t 2. B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm là v 18 m/s. C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t 3 là a 12 m/s2 . D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t 0. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG þ Dạng 00: Các câu hỏi chưa phân dạng. Câu 191. Cho hàm số y x32 2 x 8 x 5 có đồ thị là C. Khẳng định nào sau đây đúng nhất? A. Cả A, B, C đều sai. B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau. C. Hàm số đi qua điểm M 1;17 . D. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau. Câu 192. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y x32 32 x , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng A. 3. B. 3 . C. 4 . D. 0 . Câu 193. (Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x x32 6 x 9 x 3 C . Tồn tại hai tiếp tuyến của C phân biệt và có cùng hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA 2017. OB . Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . Câu 194. (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau fx 0 ,  x , f x e.x f2 x 1 và f 0 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x ln 2 là 2 0 A. 2xy 9 2ln 2 3 0. B. 2xy 9 2ln 2 3 0 . Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 40 of 65
  41. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 C. 2xy 9 2ln 2 3 0. D. 2xy 9 2ln 2 3 0 . xx2 33 Câu 195. Biết với một điểm M tùy ý thuộc C : y , tiếp tuyến tại M cắt C tại hai x 2 điểm A,Btạo với I2; 1 một tam giác có diện tích không đổi, diện tích tam giác đó là? A. 2 (đvdt ). B. 4 (đvdt ). C. 5 (đvdt ). D. 7 (đvdt ). þ Dạng 01: Xác định toạ độ tiếp điểm, giao điểm. Câu 196. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số y xx3 32là A. x 2 và x 1. B. x 3và x 3. C. x 1và x 0 . D. và . Câu 197. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2017 - 2018 -BTN) Cho hàm số y x32 xx 1 có đồ thị C . Tiếp tuyến tại điểm N của C cắt đồ thị C tại điểm thứ hai là M 1; 2 . Tìm tọa độ điểm N . A. N 1;0 . B. N 2;7 . C. N 1;2 . D. N 0;1 . Câu 198. (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Viết phương trình tiếp tuyến 4 của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ x 1. x 1 A. yx 3 . B. yx 3 . C. yx 3. D. yx 1. Câu 199. (sai ID) Cho hàm số y xx2 58 có đồ thị C . Khi đường thẳng yxm 3 tiếp xúc với thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là: A. M; 4 12 . B. M; 4 12 . C. M; 4 12 . D. M; 4 12 . Câu 200. Cho hàm số y x32 21 x x . Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với một tiếp tuyến khác của đồ thị. A. Đáp án khác. B. N 1;1 . C. E 0;1 . D. M 1; 5 . Câu 201. Cho hàm số y x3 32 x có đồ thị là C . Tìm toạ độ điểm M thuộc d : yx 3 2 sao cho từ M kẻ được đến ()C hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. A. M( 1;5) . B. M(0;2) . C. M(1; 1) . D. M(3; 7) . Câu 202. Cho hàm số y x42 21 x có đồ thị là C . Tìm M Oy sao cho từ M vẽ đến đúng ba tiếp tuyến. A. M(0; 5). B. M(0; 9) . C. M(0; 2) . D. M(0; 1) . Câu 203. Cho hàm số y x3 32 x có đồ thị là C . Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 28 8 28 8 A. M ;0 . B. M ;0 . C. M ;0 . D. M ;0 . 27 27 7 7 þ Dạng 02: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến. 32 Câu 204. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y 2 x 3 x 2 tại điểm có hoành độ x0 2 là: A. 6. B. 18. C. 14. D. 12. 21x Câu 205. [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Cho hàm số y có đồ thị C . 21x Hệ số góc của tiếp tuyến với C tại điểm có hoành độ bằng 0 là Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 41 of 65
  42. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 A. 4 . B. 4. C. 1. D. 0 . Câu 206. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số yxx 23532 tại điểm có hoành độ 2 là: A. – 12. B. 38. C. 36. D. 12. Câu 207. Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị hàm số yx sin1 tại điểm có hoành độ là: 3 1 3 1 3 A. k . B. k . C. k . D. k . 2 2 2 2 32 Câu 208. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y xx 1 tại điểm có hoành độ x0 1 có hệ số góc bằng: A. 5. B. 1. C. – 1. D. 7. Câu 209. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x4 xx 32 21 tại điểm có hoành độ 1 là: A. – 3. B. 11. C. 4. D. 3. Câu 210. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f( xx )2 x 3 tại điểm M( 2; 8) là: A. 12 . B. 11. . C. 6 D. 11. Câu 211. (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm hệ số k của tiếp tuyến của đồ x thị hàm số y tại điểm M; 22 . x 1 1 A. k . B. k 1. C. k 2 . D. k 1. 9 xx42 Câu 212. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 1 tại điểm có hoành độ x 1 42 0 là: A. 2 . B. – 2 . C. 0 . D. 1. Câu 213. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Cho hàm số y x32 x 25 x có đồ thị C . Trong các tiếp tuyến của C , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, thì hệ số góc của tiếp tuyến đó là 5 2 1 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 214. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị yx tan tại điểm có hoành độ x . 4 1 2 A. k 1. B. k . C. k . D. 2 . 2 2 Câu 215. (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Cho hàm số y x3 21 x có đồ thị C . Hệ số góc của tiếp tuyến với tại điểm M 1;2 bằng: A. 25 . B. 1. C. 3 . D. 5 . x 5 Câu 216. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số fx() tại điểm có hoành độ x 3 có hệ số góc bằng x 2 0 bao nhiêu? A. 3. B. 7. C. 10 . D. 3 . Câu 217. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tan x tại điểm có hoành độ x là 0 4 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 42 of 65
  43. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 2 1 A. B. 1 C. 2 D. . . 2 2 1 Câu 218. Cho hàm số yxxx 32 23 1 có đồ thị C . Trong các tiếp tuyến với , tiếp 3 tuyến có hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu? A. k 3. B. k 2. C. k 1. D. k 0 . 32x Câu 219. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số fx() tại điểm có hoành độ x 1 có hệ số góc 23x 0 bằng bao nhiêu? A. 13 . B. 1. C. 5. D. 13 . 1 x Câu 220. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong y f x sin tại điểm có hoành độ 23 x0 là: 1 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 12 Câu 221. (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hàm số y x32 32 x . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 2 là A. 6. B. 2. C. 6 . D. 0 . Câu 222. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN của đường cong C : yxx 2 1, biết hoành độ M,N theo thứ tự là 1 và 2. 7 A. 2 . B. 1. C. 3 . D. . 2 Câu 223. (THPT Kim Liên-Hà Nội -Lần 2-2018-BTN) Hình bên là đồ thị của hàm số y f x . Biết rằng tại các điểm A , B , C đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f xBAC f x f x . B. f xACB f x f x . C. f xABC f x f x . D. f xCAB f x f x . 32 Câu 224. Tiếp tuyến với đồ thị y x x tại điểm có hoành độ x0 2 có phương trình là: A. yx 20 14. B. yx 20 24 . C. yx 16 20. D. yx 16 56 . x 1 Câu 225. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại giao điểm với trục tung bằng: x 1 A. 2 B. 1 C. 1. . D. 2. . Câu 226. (THPT Lương Thế Vinh - HN - Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y x32 3 x 6 x 5 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là A. yx 39. B. yx 33. C. yx 3 12 . D. yx 36. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 43 of 65
  44. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Câu 227. Điểm M trên đồ thị hàm số y xx32– 3 –1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là A. M 1;–3 , k 3. B. M 1;–3 , k –3. C. , . D. M 1;3 , . þ Dạng 03: Tiếp tuyến tại điểm. Câu 228. (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y xx3221 có đồ thị là C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 1;4 là: A. yx 5. B. yx 31. C. yx 73. D. yx 72. Câu 229. (THPT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc - 2018 - BTN – 6ID – HDG) Phương trình tiếp tuyến x 1 của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ x 3 x 2 Lời giải A. yx 35. B. yx 35. C. yx 313 . D. yx 313 . x 8 Câu 230. Tiếp tuyến của hàm số y tại điểm có hoành độ x 3 có hệ số góc bằng x 2 0 A. 3 . B. 7. C. 10 . D. 3 . Câu 231. (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân 2 - 2017 - 2018 - BTN) Phương trình tiếp x 2 tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ bằng 1 là? x 2 A. yx 47 . B. yx 41 . C. yx 47. D. yx 41. Câu 232. (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Phương trình tiếp tuyến x 1 của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ bằng 3 là x 2 A. yx 3 13. B. yx 35. C. yx 35 . D. yx 3 13. 1 Câu 233. Cho hàm số y x32 – 3 x 7 x 2 . Phương trình tiếp tuyến tại A 0;2 là: 3 A. yx 72 . B. yx 72. C. yx 72. D. yx 72 . 1 1 Câu 234. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm A ;1 có phương trình là: 2x 2 A. 2xy 2 1. B. 2xy 23 . C. 2xy 21 . D. 2xy 2 3. Câu 235. (SGD Đồng Tháp - HKII 2017 - 2018) Cho hàm số y 2 x32 6 x 5 có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M thuộc và có hoành độ bằng 3 là A. yx 18 49. B. yx 18 49. C. yx 18 49 . D. yx 18 49 . 3 Câu 236. Phương trình tiếp tuyến của C : yx tại điểm M0 ( 1; 1) là: A. yx 33 . B. yx 32. C. yx 32. D. yx 33. Câu 237. Cho đường cong C : y x2 . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M –1;1 là A. yx –2 –1. B. yx 2 –1. C. yx –2 1. D. yx 21. 4 y Câu 238. (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x 1 tại điểm có hoành x 1 độ 0 là A. yx 3 . B. yx 1. C. yx 2. D. yx 1. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 44 of 65
  45. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 xx2 1 Câu 239. Cho đường cong ():Cy và điểm AC () có hoành độ x 3. Lập phương x 1 trình tiếp tuyến của ()C tại điểm A . 35 15 35 A. yx . B. yx . C. yx . D. yx 35. 44 44 44 Câu 240. (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y xx3232 tại điểm có hoành độ bằng –3 có phương trình là: A. yx 3025 . B. yx 925 . C. yx 3025 . D. yx 925 . Câu 241. Cho hàm số yf x (), có đồ thị C và điểm M0 x 0; f ( x 0 ) ( C ) . Phương trình tiếp tuyến của C tại M 0 là: A. y f () x00 x x . B. y y000 f () x x x . C. y y00 f () x x . D. y f () x x x00 y . x 1 Câu 242. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm A 1;0 có hệ số góc bằng x 5 1 6 1 6 A. . B. . C. . D. . 6 25 6 25 Câu 243. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y xx4221 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là: A. y 8 xyx 6,8 6. . B. y 8 xyx 6,8 6. . C. y 8 x 8, y 8 x 8. . D. yx 40 57. . 3 Câu 244. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y 3 x 4 x tại điểm có hoành độ x0 0 là: A. yx 12 . B. y 0. C. yx 32. D. yx 3 . 32 Câu 245. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x x 22 x tại điểm có hoành độ x0 2 có phương trình là: A. yx 48. B. yx 20 22 . C. yx 20 22 . D. yx 20 16. Câu 246. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x42 21 x biết tiếp điểm có hoành độ bằng 1. A. yx 86. B. yx 8 10 . C. yx 8 10 . D. yx 86 . Câu 247. (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 23 x C tại điểm M 1;2 là: A. yx 2 . B. yx 1. C. yx 31. D. yx 22. xx2 Câu 248. Cho hàm số y . Phương trình tiếp tuyến tại A 1;–2 là x 2 A. yx –4 –1 – 2 . B. yx –5 –1 2 . C. yx –5 –1 – 2 . D. yx –3 –1 – 2 . Câu 249. (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x2 x 2tại điểm có hoành độ x 1 là A. xy 30 . B. 2xy 4 0 . C. xy 10 . D. 20xy . Câu 250. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y x 3– x 2 tại điểm có hoành độ x 2 là A. yx 3 – 6 . B. yx –3 6 . C. yx 3 –8. D. yx –3 8. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 45 of 65
  46. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 32 3 Câu 251. Cho hàm số y 2x 3x 1 có đồ thị C , tiếp tuyến với nhận điểm My00 ; 2 làm tiếp điểm có phương trình là: 931x 9 927 923 A. y . B. yx . C. yx . D. yx . 24 2 24 24 Câu 252. (THPT Lê Hoàn - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số 1 y xxx32 23 1 . Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có phương trình là: 3 1 1 11 11 A. yx . B. yx . C. yx . D. y x . 3 3 3 3 Câu 253. [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 21x y tại giao điểm có tung độ y 1 là? x 1 0 A. yx 31. B. yx 31. C. yx 1. D. yx 1. Câu 254. (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Cho hàm số f x xxx32 6 9 1 có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm thuộc đồ thị C có hoành độ là nghiệm phương trình 2.6f x 0 x f x ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 255. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yxx 1– 2 2 tại điểm có hoành độ x 2 là A. yx –4 4. B. yx 9 18 . C. yx –8 4 . D. yx 9 18 . x 1 Câu 256. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ():Hy tại giao điểm của ()H và trục x 2 hoành: 1 A. yx ( 1) B. yx 3 C. yx 3 D. yx 3( 1) 3 xx2 2 Câu 257. (THPT Kim Liên-Hà Nội -Lần 2-2018-BTN) Cho hàm số y . Viết phương x 1 1 trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A 1; . 2 11 11 11 11 A. yx 1 . B. yx 1 . C. yx 1 . D. yx 1 . 42 42 22 22 Câu 258. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x32 6 x 11 x 1 tại điểm có tung độ bằng 5. A. yx 23; yx 7; yx 22. B. yx 21; yx 2; yx 22. C. yx 23; yx 7; yx 21. D. yx 21; yx 2; yx 21. 31x Câu 259. Đồ thị C của hàm số y cắt trục tung tại điểm A . Tiếp tuyến của C tại điểm x 1 A có phương trình là: A. yx 41 . B. yx 41. C. yx 51. D. yx 51 . 23 x Câu 260. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại giao điểm của đồ thị hàm số x 1 với trục hoành bằng: Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 46 of 65
  47. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 1 1 A. . . B. C. 9. . D. 9 . 9 9 Câu 261. Cho hàm số yx (2) x 22, có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của với parabol yx 2 . A. y 0; y 1; yx 2463 . B. y 9; y 1; yx 246 . C. y 0; y 5; yx 24 63 . D. y 0; y 1; yx 24 6 . 21xm Câu 262. Cho hàm số y (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x 1 x0 0 đi qua A(4;3) 16 16 6 1 A. m . B. m . C. m . D. m . 15 5 5 5 Câu 263. Cho hàm số yxx 422 có đồ thị C . Xét hai mệnh đề: (I) Đường thẳng :1y là tiếp tuyến với tại M( 1;1) và tại N(1;1) (II) Trục hoành là tiếp tuyến với tại gốc toạ độ Mệnh đề nào đúng? A. Cả hai đều đúng. B. Chỉ (II). C. Cả hai đều sai. D. Chỉ (I). Câu 264. Cho hàm số y xxx32 39 1 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. A. yx 22 . B. yx 2 . C. yx 12 7 . D. yx 12 2 . 3 Câu 265. Cho hàm số y x 1 m ( x 1) có đồ thị là ()Cm . Có bao nhiêu giá trị m để tiếp tuyến của ()Cm tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 . A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1. Câu 266. (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y x42 2 mx m, có đồ thị C với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị C có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị C tại A cắt đường tròn  :1xy2 4 2 tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất 13 13 16 16 A. . B. . C. . D. . 16 16 13 13 21x Câu 267. Cho hàm số y có đồ thị là C. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C sao x 1 cho tiếp tuyến này cắt các trục Oxy , O lần lượt tại các điểm A , B thoả mãn OA 4OB. 15 15 15 15 yx yx yx yx A. 44. B. 44. C. 44. D. 44. 1 13 1 13 1 13 1 13 yx yx yx yx 44 44 44 44 x 1 Câu 268. Cho hàm số y .Tìm giá trị nhỏ nhất của m sao cho tồn tại ít nhất một điểm M 21x C mà tiếp tuyến của C tại M tạo với hai trục toạ độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d: y 2 m 1. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 47 of 65
  48. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 2 1 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 269. (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số yfx thỏa mãn fx23 1 x 21 fx tại điểm có hoành độ x 1? 16 16 16 16 A. yx . B. yx . C. yx . D. yx . 77 77 77 77 2x Câu 270. Cho hàm số y , có đồ thị là C . Có bao nhiêu điểm M thuộc C sao cho tiếp x 1 1 tuyến tại M của C cắt Ox, Oy tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng , O là gốc 4 tọa độ. A. 4. B. 1. C. 2. D. 3 þ Dạng 04: Tiếp tuyến cho sẵn hsg k. Câu 271. Cho hàm số yxx 2 43 có đồ thị P . Nếu tiếp tuyến tại điểm M của P có hệ số góc bằng 8 thì hoành độ điểm M là: A. 1. B. 5 . C. 12. D. 6 . Câu 272. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y xx3232 có hệ số góc k 3 có phương trình là A. yx 37. B. yx 31. C. yx 31. D. yx 37. Câu 273. (sai ID) Phương trình tiếp tuyến của C : yx 3 biết nó có hệ số góc k 12 là: A. yx 12 24. B. yx 12 16. C. yx 12 4. D. yx 12 8 . Câu 274. (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số x3 yx 322 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C biết tiếp tuyến có hệ 3 số góc k 9 . A. yx 16 9 3 . B. yx 16 9 3 . C. yx 93 . D. yx 16 9 3 . Câu 275. Cho hàm số y x32– 6 x 7 x 5 C . Tìm trên những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng 2? A. 1;7 ; –3;–97 . B. 1;7 ; –1;–9 . C. –1;–9 ; 3;–1 . D. 1;7 ; 3;–1 . Câu 276. (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Đường thẳng y 9 x m là tiếp tuyến của đường cong y x32 31 x khi m bằng A. 3 hoặc 5. B. 1 hoặc 3 . C. 3 hoặc 1. D. 6 hoặc 26 . xx2 31 Câu 277. Cho hàm số y và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k 2 của đồ x 2 thị hàm số là A. y 2 x –1; y 2 x – 3. B. y 2 x – 5; y 2 x – 3. C. y 2 x –1; y 2 x – 5. D. y 2 x –1; y 2 x 5. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 48 of 65
  49. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 21x Câu 278. Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp x 1 1 tuyến có hệ số góc bằng . 4 11 15 113 15 A. : yx và yx . B. : yx và yx . 44 44 44 44 13 13 13 15 C. : yx và yx . D. : yx và yx . 44 44 42 42 1 Câu 279. (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018) Cho hàm số yxx 32 x 31 có 3 đồ thị C . Trong các tiếp tuyến với đồ thị C , hãy tìm phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất? A. yx 810 . B. yx 10 . C. yx 810 . D. yx 10 . x3 Câu 280. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx 322 có hệ số góc k 9, có phương trình là: 3 A. yx 169(3). . B. yx 169(3). . C. yx 9(3). . D. yx 169( 3). . 2x Câu 281. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết hệ số góc của tiếp tuyến x 1 bằng 2 A. yxyx 2 8,2 . B. yxyx 2 2,2 4 . C. y 2 x 9, y 2 x . D. y 2 x 1, y 2 x . Câu 282. Cho hàm số y x3 31 x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 A. yx 9 13 hay yx 9 17 . B. yx 91 hay yx 91. C. yx 9 13 hay yx 91. D. yx 91 hay yx 9 17 . ax b Câu 283. Cho hàm số y có đồ thị cắt trục tung tại A 0; –1 , tiếp tuyến tại A có hệ số góc x 1 k 3. Các giá trị của a , b là A. a 2, b 2 . B. a 1, b 1. C. a 2, . D. , b 2 . xx2 31 Câu 284. Cho hàm số y và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k 2 của đồ x 2 thị hàm số là: A. y 2 x –1; y 2 x – 5. B. y 2 x –1; y 2 x 5. C. y 2 x –1; y 2 x – 3. D. y 2 x – 5; y 2 x – 3. 22x Câu 285. Cho hàm số: y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biếp x 1 tuyến có hệ số góc bằng 1. A. yx 1, yx 4. B. yx 1, yx 7. C. yx 2, yx 7. D. yx 5, yx 6. þ Dạng 05: Tiếp tuyến song song. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 49 of 65
  50. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Câu 286. (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x xx42 210 song song với trục hoành. A. 0 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Câu 287. [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Biết trên đồ thị C : x 1 y có hai điểm mà tiếp tuyến tại các điểm đó đều song song với đường thẳng d : x 2 315xy 0 . Tìm tổng S các tung độ tiếp điểm. A. S 3. B. S 6 . C. S 4 . D. S 2 . Câu 288. Cho hàm số y xx4221 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng dx: 241 y 0 . A. :244yx. B. :2442yx. C. :2423yx. D. :442yx . Câu 289. Cho hàm số y xx421 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳnng yx 61 A. yx 68. B. yx 63. C. yx 62. D. yx 67. x3 Câu 290. (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 27 x 2 song song với trục hoành là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . 21x Câu 291. (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Cho hàm số: yC . x 1 Số tiếp tuyến của đồ thị C song song với đường thẳng :1yx là: A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 292. (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x32 3 x 20 song song với đường thẳng yx 24 5. A. yx 24 12và yx 24 60. B. yx 24 60 và yx 24 48. C. yx 24 48và yx 24 60. D. yx 24 12và yx 24 18. x 1 Câu 293. (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Trên đồ thị Cy : có bao nhiêu điểm x 2 M mà tiếp tuyến với C tại M song song với đường thẳng d:1 x y . A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 0 . Câu 294. (Sở GD Kiên Giang-2018-BTN) Cho hàm số y cos x m sin 2 x C ( m là tham số). Tìm tất cả các giá trị m để tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x , x song song hoặc 3 trùng nhau. 3 23 A. m . B. m . C. m 3 . D. m 23. 6 3 Câu 295. (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số y x42 2 x 3 x 1 có đồ thị C . Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị C song song với đường thẳng yx 3 2018 ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 50 of 65
  51. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Câu 296. Cho hàm số yxx 32 32 có đồ thị C . Số tiếp tuyến của song song với đường thẳng yx 9 là: A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1. Câu 297. (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Cho hàm số y xxx32 42 3 có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng yx 75 131 131 499 A. yx 7 . B. yx 7 . C. yx 7 . D. . 27 27 27 Câu 298. Cho hàm số y xx2 65 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là: A. x 3 B. y 4. . C. y 4 D. x 3 Câu 299. (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x xx42 210 song song với trục hoành. A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . 32 Câu 300. Cho hàm số y x 2 x ( m 1) x 2 m có đồ thị là ()Cm . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị ()Cm tại điểm có hoành độ x 1 song song với đường thẳng yx 310 . A. m 4 . B. m 0. C. Không tồn tại m. D. m 2 . 21x Câu 301. (SGD Đồng Tháp - HKII 2017 - 2018) Cho hàm số y có đồ thị C . Viết x 2 phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :32xy 0 là A. yx 3 14 . B. yx 3 14 , yx 32. C. yx 35, yx 38. D. yx 38. Câu 302. (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số y x32 2 x có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng yx . A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1. xx42 Câu 303. Cho hàm số y 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song 42 song với đường thẳng: y 2x 2. 1 3 3 A. yx 21. B. yx 2 . C. yx 2 . D. yx 2 . 4 4 4 Câu 304. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho đồ thị C x3 của hàm số y 2 x2 3 x 1. Phương trình tiếp tuyến của C song song với đường thẳng 3 yx 31 là phương trình nào sau đây? 29 29 A. yx 3 . B. yx 31. C. yx 3 . D. yx 3 . 3 3 Câu 305. Cho hàm số y x323 x có đồ thị C . Có bao nhiêu tiếp tuyến của C song song đường thẳng yx 9 10? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 51 of 65
  52. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 x 1 Câu 306. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y song song với đường thẳng x 1 : 21xy 0 là: A. 21xy 0 . B. 27xy 0 . C. 27xy 0 . D. 20xy . Câu 307. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số f xx sin , x 0; 2  song song với đường thẳng x y là: 2 A. 0 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Câu 308. Cho hàm số y xx2 23, có đồ thị C . Tiếp tuyến của song song với đường thẳng yx 2 2018 là đường thẳng có phương trình: A. yx 24. B. yx 21. C. yx 21. D. yx 24. 2x Câu 309. Cho hàm số y có đồ thị C . Trên đồ thị C tồn tại bao nhiêu điểm mà tiếp x 2 tuyến của C tại đó song song với đường thẳng yx 43. A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . x Câu 310. Cho đường cong y cos và điểm M thuộc đường cong. Điểm nào sau đây 32 1 có tiếp tuyến tại điểm đó song song với đường thẳng yx 5? 2 5 5 5 5 A. M ;1 . B. M ;1 . C. M ;0 . D. M ;1 . 3 3 3 3 3 Câu 311. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) cos x , x 0; song song với 2 4 1 đường thẳng y x 1 là: 2 x x 3 A. y . B. y . 2 6 2 6 2 x x C. y . D. y . 2 12 2 12 4 Câu 312. Phương trình tiếp tuyến của parabol y x2 x 3 song song với đường thẳng yx 3 là: A. yx 2. B. yx 1 . C. yx 2 . D. yx 3 . Câu 313. (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Gọi M , N là hai điểm di động trên đồ thị C của hàm số y x32 34 x x sao cho tiếp tuyến của C tại M và N luôn song song với nhau. Khi đó đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây? A. 1;5 . B. 1; 5 . C. 1; 5 . D. 1;5 . Câu 314. Phương trình tiếp tuyến của : yx 3 biết nó song song với đường 1 thẳng d : yx 10 là: 3 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 52 of 65
  53. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 1 11 11 12 A. yx 27 . B. yx . C. yx . D. yx . 3 33 327 327 xx2 21 Câu 315. Cho hàm số fx() có đồ thị H . Tìm tất cả tọa độ tiếp điểm của đường x 2 thẳng song song với đường thẳng dy: 2x 1 và tiếp xúc với . A. M1 3; 2 và M 2 1; 2 . B. Không tồn tại. 1 C. M 0; . D. M 2; 3 . 2 þ Dạng 06: Tiếp tuyến vuông góc. Câu 316. Cho hàm số yxx 32 33 có đồ thị C . Số tiếp tuyến của vuông góc với đường 1 thẳng yx 2017 là: 9 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . 1 Câu 317. Tìm m để đồ thị: y mx32 m 1 x 3 m 4 x 1 có điểm mà tiếp tuyến tại đó 3 vuông góc với đường thẳng xy 2013 0. 1 1 1 A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m. 2 2 2 21x Câu 318. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông x 1 1 góc với đường thẳng yx 2 3 A. yx 31 hay yx 31 . B. yx 31 hay yx 3 11. C. yx 3 11 hay yx 3 11. D. yx 3 11 hay yx 31 . Câu 319. Cho hàm số y x3 31 x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết Tiếp tuyến vuông góc với trục Oy. A. yy 2,1 . B. yy 3,1 . C. yy 3,2 . D. x 3,x 1. Câu 320. Cho hàm số y 2 x42 4 x 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. A. :3y . B. :4y . C. :3y . D. :4y . Câu 321. Cho hàm số y x32 3 x 6 x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp 1 tuyến vuông góc với đường thẳng yx 1 18 A. : yx 18 8 và yx 18 27 . B. : yx 18 8 và yx 18 2 . C. : yx 18 81 và yx 18 2 . D. : yx 18 81 và yx 18 27 . Câu 322. Biết tiếp tuyến d của hàm số y x3 22 x vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình d là: 1 18 5 3 1 18 5 3 A. yx , yx . B. y x 2, y x 4 3 9 3 9 1 18 5 3 1 18 5 3 C. yx , yx . D. yx , yx 4 . 3 9 3 9 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 53 of 65
  54. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Câu 323. [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Tiếp tuyến của parabol yx 2 vuông góc với đường thẳng yx 2 có phương trình là A. xy 10 . B. 441xy 0 . C. 441xy 0 . D. xy 10 . x3 Câu 324. Gọi (C) là đồ thị của hàm số yxx 2 21 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 3 x vuông góc với đường thẳng y 2 . 5 8 8 A. y = 5x + hoặc y = 5x – 9. B. y = 5x + hoặc y = 5x – 5. 3 3 8 2 C. y = 5x + hoặc y = 5x – 8. D. y = 5x + hoặc y = 5x – 8. 3 3 Câu 325. (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Tìm điểm M có hoành độ âm 12 trên đồ thị C : yx x 3 sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng 33 12 yx . 33   A. M 1; . B. M 2; . C. M 2;0 . D. M 2; 4 . 3 3 2x Câu 326. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết tiếp tuyến vuông góc với x 1 đường thẳng :9xy 2 1 0 2 32 2 8 2 1 2 8 A. y x , y x . B. y x , y x . 9 9 9 9 9 9 9 9 2 32 2 4 2 2 2 8 C. y x , y x . D. y x , y x . 9 9 9 9 9 9 9 9 Câu 327. Gọi C là đồ thị của hàm số y x4 x . Tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng d: x 5 y 0 có phương trình là: A. yx 23. B. yx 4 . C. yx 53. D. yx 35. 1 1 4 Câu 328. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x32 x 2 x , biết tiếp tuyến 3 2 3 vuông góc với đường thẳng xy 4 1 0 . 73 26 73 2 A. yx 4 ; yx 4 . B. yx 4 ; yx 4 . 6 3 6 3 7 26 7 2 C. yx 4 ; yx 4 . D. yx 4 ; yx 4 . 6 3 6 3 Câu 329. (Sở Quảng Bình - 2018 - BTN – 6ID – HDG)Trong mặt phẳng Oxy , có bao nhiêu điểm xx32 mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số yx 1 sao cho hai tiếp tuyến này 32 vuông góc với nhau? A. Vô số. B. 1. C. 2 . D. 0 . 32 Câu 330. Cho hàm số y x 22 x x có đồ thị (C). Gọi xx12, là hoành độ các điểm M , N trên C , mà tại đó tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng yx 2017 . Khi đó xx12 bằng: Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 54 of 65
  55. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 4 4 1 A. . B. . C. . D. 1. 3 3 3 Câu 331. Cho hàm số yxx 3252 , có đồ thị C . Tiếp tuyến của vuông góc với đường thẳng xy 41 0 là đường thẳng có phương trình: A. yx 41. B. yx 42. C. yx 44. D. yx 42. xx2 33 Câu 332. Cho hàm số y , tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường x 2 thẳng. d:3 y –6 x 0 là: A. yxy –3 x – 3;3 –11 . B. yxyx –3 – 3;–3 –11 . C. yxyx –3 – 3;–3 11 . D. yxyx –3 3;–3 –11 . Câu 333. Cho hàm số y x32 3 mx ( m 1) x m . Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với Oy . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại vuông góc với đường thẳng yx 23. 1 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 334. (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc- Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số 1 y x32 28 mx 1 m 2 x , ( m là tham số) có đồ thị là Cm . Biết rằng tập hợp các giá trị của 3 m để Cm tồn tại hai điểm phân biệt A xyaa; , B xybb; sao cho mỗi tiếp tuyến của Cm tại A , B vuông góc với đường thẳng :44xy 0 đồng thời xxab 22 là Su v ; . Tính uv . 3 5 A. . B. 5 . C. 3 . D. . 2 2 Câu 335. Cho hàm số y 2 x42 4 x 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng xy 48 1 0 . A. :yx 48 1. B. :yx 48 8 . C. :yx 48 81. D. :yx 48 81. xx2 32 Câu 336. Gọi C là đồ thị hàm số y . Tìm tọa độ các điểm trên C mà tiếp tuyến tại x 1 đó với C vuông góc với đường thẳng có phương trình yx 4 . A. 0; 0 B. 2; 0 C. (1 3;5 3 3),(1 3;5 3 3) D. 2; 12 1 Câu 337. y mx32 m 1 x 4 3 m x 1 tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương mà tiếp 3 tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng xy 2 3 0. 1 1 7 1 1 8 A. m  0; ; . B. m  0; ; . 4 2 3 2 2 3 1 1 2 1 1 2 C. m  0; ; . D. m  0; ; . 2 2 3 4 2 3 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 55 of 65
  56. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 5 x Câu 338. (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm y C . x 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng dy: x 75 0 . 15 15 yx yx 77 123 123 77 A. . B. yx . C. yx . D. . 123 77 77 123 yx yx 77 77 Câu 339. Phương trình tiếp tuyến của C : yx 3 biết nó vuông góc với đường thẳng x :8y là: 27 1 1 A. yx 3 . B. yx 2754 . C. yx 8 . D. yx 273 . 27 27 5 Câu 340. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2 m –1 x4 – m tại điểm có hoành độ 4 x –1 vuông góc với đường thẳng d: 2 x – y – 3 0 . 3 1 7 9 A. . B. . C. . D. . 4 4 16 16 4 Câu 341. Cho hàm số y 2 có đồ thị H . Đường thẳng vuông góc với đường thẳng x d: y2 x và tiếp xúc với H thì phương trình của là yx 2 yx 2 A. . B. Không tồn tại. C. yx 4 D. . yx 6 yx 4 xx2 33 Câu 342. Cho hàm số y , tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường x 2 thẳng. d:3 y – x 6 0 là A. y –3 x – 3; y 3 x –11. B. y –3 x – 3; y –3 x –11. C. y –3 x – 3; y –3 x 11. D. y –3 x 3; y –3 x –11. x2 2 mx m Câu 343. Cho hàm số y . Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và xm tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc là A. 7 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . x22 2 mx 2 m 1 Câu 344. y C cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với x 1 m Cm tại hai điểm này vuông góc với nhau. 2 2 A. m 0 . B. m 1. C. mm ,1 . D. m . 3 3 þ Dạng 07: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm. Câu 345. Cho hàm số y x32 3 x 6 x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết Tiếp tuyến đi qua điểm N(0;1) . 33 33 33 33 A. yx 1. B. yx 2. C. yx 11. D. yx 12 . 4 4 4 4 Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 56 of 65
  57. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 Câu 346. Qua điểm A 0;2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y xx4222 A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1. 3 x 2 1 Câu 347. Viết phương trình tiếp tuyến của C: y x 31 x đi qua điểm A 0; 3 3 1 2 1 1 A. yx 3 . B. yx 3 . C. yx . D. yx 3 . 3 3 3 3 22x Câu 348. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua x 1 điểm A(4;3) 11 131 11 131 yx yx yx yx 99 99 99 99 A. . B. . C. . D. . 11 131 131 11 yx yx yx yx 44 44 44 44 Câu 349. (THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội_Lần 1-2018-BTN) Cho hàm số yxx 323 có đồ thị C và điểm Mm ;4 . Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  10;10 sao cho qua điểm M có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến C . A. 15. B. 17 . C. 12. D. 20 . x 2 Câu 350. Cho hàm số y , tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm –6;5 là x 2 17 17 A. yx – –1 ; y x . B. yx –1 ; y x . 42 42 17 17 C. yx –1 ; y x . D. ; y x . 42 42 x 2 Câu 351. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : y , biết d đi qua điểm A 6; 5 . x 2 x 5 x 7 A. yx 1, y . B. yx 1, y . 42 42 x 7 x 7 C. yx 1, y . D. yx 1, y . 42 42 Câu 352. Gọi C là đồ thị của hàm số y x32 32 x . Viết phương trình tiếp tuyến của đi qua điểm A 2;7 . A. yx 92. B. yx 9 25. C. yx 9 25. D. yx 99. 34x Câu 353. Tiếp tuyến kẻ từ điểm 2;3 tới đồ thị hàm số y là x 1 A. yx 28 59 . B. yx 28 59 ; yx 24 51. C. yx 28 59 ; yx 1. D. yx –24 51; yx 1. Câu 354. Tiếp tuyến kẻ từ điểm tới đồ thị hàm số là: A. ; . B. . C. ; . D. ; . Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 57 of 65
  58. CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM – GIẢI TÍCH 11 x 2 Câu 355. Cho hàm số y , tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm –6;5 là: x 2 17 17 A. yx – –1 ; y x . B. yx –1 ; y x . 42 42 17 17 C. yx –1 ; y x . D. ; y x . 42 42 Câu 356. Cho hàm số y x32 3 x 9 x 1có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 1;6) . A. yyx 6;97 . B. yyx 6;23 . C. yyx 6;93 . D. yyx 7;93 . xx2 21 Câu 357. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y , biết tiếp tuyến đi qua x 2 điểm M(6;4) . 3 31 A. y 5 và yx 6 . B. y 4 và yx . 4 42 1 11 C. y 5 và yx . D. y 4 và yx . 2 42 xx2 1 Câu 358. Cho hàm số y có đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của C đi qua điểm x 1 A 1;0 là: 3 3 A. yx 31 . B. yx 31. C. yx . D. yx 1 . 4 4 Câu 359. Viết phương trình tiếp tuyến của C: y x32 24 x x đi qua điểm M 4; 24 . A. y 13 x 5; y 8 x 8; y 5 x 4 B. y 133 x 508; y x 8; y x 4 C. y 133 x 508; y 8 x 8; y 5 x 4 D. y 3 x 508; y x 8; y 5 x 4. . Câu 360. Cho hàm số y 2 x42 4 x 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; 3). 64 51 64 51 A. :3y hay : yx . B. :3y hay : yx . 27 2 27 81 64 1 64 1 C. :3y hay : yx . D. :3y hay : yx . 27 81 27 8 Câu 361. Cho hàm số y x32 3 x 9 x 11 có đồ thị là C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ 29 thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm I ;184 . 3 A. y 8 x 36; y 36 x 14; y 15 x 9. B. y 40 x 76; y 36 x 14; y 15 x 9 . C. y 420 x 76; y x 164; y x 39. D. y 420 x 3876; y 36 x 164; y 15 x 39 . x 2 Câu 362. (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số y C và điểm Am 0; . x 1 S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục hoành. Tập S là Nguyễn Minh Nhựt – 0983 834 123 Page 58 of 65