Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 10 - Hà Minh Đăng

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán Lớp 10 - Hà Minh Đăng

1. §2: HÀM SỐ BẬC NHẤT A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b (a ¹ 0) . 2. Sự biến thiên · TXĐ: D = ¡ · Hàm số số đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a 0 ) (a < 0 ) - ¥ - ¥ Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé 3. Đồ thị. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ¹ 0) là một đường thẳng có hệ số góc bằng a , cắt trục hoành æ b ö tại Aç- ;0÷ và trục tung tại B (0;b) èç a ø÷ Chú ý: · Nếu a = 0 Þ y = b là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành. · Phương trình x = a cũng là một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a. · Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d đi qua điểm M (x0;y0 ) , khi đó phương trình của đường thẳng d là: y - y0 = a(x - x0 ) . B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ . 1. Phương pháp giải. · Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau Gọi hàm số cần tìm lày = ax + b,a ¹ 0 . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a,b , từ đó suy ra hàm số cần tìm. · Cho hai đường thẳng d1 : y = a1x + b1 và d2 : y = a2x + b2. Khi đó: ì ï a1 = a2 a) d và d trùng nhau Û íï ; 1 2 ï b = b îï 1 2 ì ï a1 = a2 b) d và d song song nhau Û íï ; 1 2 ï b ¹ b îï 1 2 ì ï y = a1x + b1 c) d và d cắt nhau Û a ¹ a . Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình íï 1 2 1 2 ï y = a x + b îï 2 2 d) d1 và d2 vuông góc nhau Û a1.a2 = - 1. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết: a) d đi qua A(1;3), B(2;- 1) 1
2. b) d đi qua C(3;- 2) và song song với D : 3x - 2y + 1 = 0 c) d đi qua M (1;2) và cắt hai tia Ox,Oy tại P,Q sao cho SDOPQ nhỏ nhất. d) d đi qua N (2;- 1) và d ^ d ' với d ' : y = 4x + 3 . Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé Lời giải Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b,a ¹ 0 a) Vì A Î d và B Î d nên ta có hệ phương trình ïì 3 = a + b ïì a = - 4 íï Û íï ï - 1 = 2a + b ï b = 7 îï îï Vậy hàm số cần tìm là y = - 4x + 7 ïì 3 ï a = 3 1 ï b) Ta có D : y = x + . Vì d / / D nên í 2 (1) 2 2 ï 1 ï b ¹ îï 2 Mặt khác C Î d Þ - 2 = 3a + b (2) ïì 3 ï a = ï Từ (1) và (2) suy ra í 2 ï 13 ï b = - îï 2 3 13 Vậy hàm số cần tìm là y = x - 2 2 æ b ö c) Đường thẳng d cắt trục Ox tại P ç- ;0÷ và cắt Oy tại Q (0;b) với a 0 èç a ø÷ 1 1 b b2 Suy ra S = OP.OQ = . - . b = - (3) DOPQ 2 2 a 2a Ta có M Î d Þ 2 = a + b Þ b = 2 - a thay vào (3) ta được 2 (2 - a) 2 a S = - = - - + 2 DOPQ 2a a 2 Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 2 a æ 2ö æ a ö - - ³ 2 ç- ÷.ç- ÷ = 2 Þ S ³ 4 a 2 èç a ø÷ èç 2ø÷ DOPQ ïì 2 a ï - = - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi í a 2 Û a = - 2 Þ b = 4 ï a < 0 îï Vậy hàm số cần tìm là y = - 2x + 4 . d) Đường thẳng d đi qua N (2;- 1) nên - 1 = 2a + b (4) 1 1 Và d ^ d ' Þ 4.a = - 1 Û a = - thay vào (4) ta được b = - . 4 2 1 1 Vậy hàm số cần tìm là y = - x - . 4 2 Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d : y = x + 2m, d ' : y = 3x + 2 (m là tham số) a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d ' cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng 2
3. b) Tìm m để ba đường thẳng d,d ' và d " : y = - mx + 2 phân biệt đồng quy. Lời giải a) Ta có ad = 1 ¹ ad ' = 3 suy ra hai đường thẳng d, d ' cắt nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d, d ' là nghiệm của hệ phương trình ïì y = x + 2m ïì x = m - 1 íï Û íï suy ra d, d ' cắt nhau tạiM (m - 1;3m - 1) ï y = 3x + 2 ï y = 3m - 1 îï îï b) Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên M Î d " ta có ém = 1 3m - 1 = - m (m - 1) + 2 Û m2 + 2m - 3 = 0 Û ê êm = - 3 ëê · Với m = 1 ta có ba đường thẳng là d : y = x + 2, d ' : y = 3x + 2, d " : y = - x + 2, phân biệt và đồng quy tại M (0;2) . · Với m = - 3 ta có d ' º d " suy ra m = - 3 không thỏa mãn Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : y = (m - 1)x + m và d ' : y = (m2 - 1)x + 6 a) Tìm m để hai đường thẳng d, d ' song song với nhau b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung tại A , d ' cắt trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân tại O Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé Lời giải a) Với m = 1 ta có d : y = 1, d ' : y = 6 do đó hai đường thẳng này song song với nhau Với m = - 1 ta có d : y = - 2x - 1, d ' : y = 6 suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại æ 7 ö M ç- ;6÷ èç 2 ø÷ Với m ¹ ± 1 khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau ïì ém = 1 ïì m - 1 = m2 - 1 ï ê ém = 1 khi và chỉ khi íï Û íï êm = 0 Û ê ï m ¹ 6 ï ëê êm = 0 îï ï m ¹ 6 ëê îï Đối chiếu với điều kiện m ¹ ± 1 suy ra m = 0 . Vậy m = 0 và m = 1 là giá trị cần tìm. ïì y = (m - 1)x + m ïì x = 0 b) Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ íï Û íï Þ A(0;m ) ï x = 0 ï y = m îï îï ïì y = (m2 - 1)x + 6 ïì (m2 - 1)x + 6 = 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ íï Û íï (*) ï y = 0 ï y = 0 îï îï Rõ ràng m = ± 1 hệ phương trình (*) vô nghiệm ïì 6 ï x = æ 6 ö Với m ¹ ± 1 ta có (*)Û í 2 Þ B ç ;0÷ 1- m ç 2 ÷ ï y = 0 è1- m ø îï 6 Do đó tam giác OAB cân tại O Û m = 1- m2 3
4. ém - m3 = 6 Û m - m3 = 6 Û ê êm - m3 = - 6 ëê ém3 - m + 6 = 0 ém = - 2 Û ê Û ê (thỏa mãn) êm3 - m - 6 = 0 êm = 2 ëê ëê Vậy m = ± 2 là giá trị cần tìm. 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.16: Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết: a) d đi qua A(1;1), B(3;- 2) b) d đi qua C(2;- 2) và song song với D : x - y + 1 = 0 c) d đi qua M (1;2) và cắt hai tia Ox,Oy tại P,Q sao cho DOPQ cân tại O. d) d đi qua N (1;- 1) và d ^ d ' với d ' : y = - x + 3 . Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = m2x + 5m + 3 phân biệt đồng quy. Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé  DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau 1 3 a) y = 3x + 6 y = - x + 2 2 y Lời giải a) TXĐ: D = ¡ , a = 3 > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ¡ Bảng biến thiên x - ¥ + ¥ + ¥ 3 y = 3x + 6 - ¥ Đồ thị hàm số y = 3x + 6 đi qua A(- 2;0), B (- 1;3) -2 -1O 1 x 1 b) TXĐ: D = ¡ , a = - < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên 2 y ¡ Bảng biến thiên x - ¥ + ¥ 3/2 1 3 + ¥ y = - x + y 2 2 O 1 x - ¥ 3 3 2 1 3 æ 3ö -3 -1 O 1 x Đồ thị hàm số y = - x + đi qua A(3;0), B ç0; ÷ 2 2 èç 2ø÷ -2 Ví dụ 2. Cho các hàm số : y = 2x - 3, y = - x - 3, y = - 2 . -3 4
5. a) Vẽ đồ thị các hàm số trên b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó Lời giải æ3 ö a) Đường thẳng y = 2x - 3 đi qua các điểm A(0;- 3),B ç ;0÷ èç2 ø÷ Đường thẳng y = - x - 3 đi qua các điểm A(0;- 3),C (- 3;0) Đường thẳng y = - 2 song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 b) Đường thẳng y = 2x - 3, y = - x - 3 cắt nhau tại A(0;- 3) , Đường thẳng y = - x - 3, y = - 2 cắt nhau tại A '(- 1;- 2) , Đường thẳng y = 2x - 3, y = - 2 cắt nhau æ1 ö tại A "ç ;- 2÷ . èç2 ø÷ Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C ) (hình vẽ) é ù a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên ë- 3;3û y b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên é ù ë- 4;2û 3 Lời giải é ù 2 a) Bảng biến thiên của hàm số trên ë- 3;3û 1 x - 3 - 2 1 3 2 2 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x y -1 -2 1 - 2 -3 b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có max = 3 khi và chỉ khix = - 4 é ù ë- 4;2û min = 0 khi và chỉ khi x = 2 é ù ë- 4;2û Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé 2. Bài tập luyện tập. 3 y Bài 2.18: Cho các hàm số : y = - 2x + 3, y = x + 2, y = . 2 3 a) Vẽ đồ thị các hàm số trên 2 b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó Bài 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình vẽ) ( ) -3 -2 -1 O 1 2 3 x é ù a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên ë- 3;3û b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên é- 2;2ù ë û -3 5
6.  DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI y = ax + b . 1. Phương pháp giải. Vẽ đồ thị (C ) của hàm số y = ax + b ta làm như sau Cách 1: Vẽ (C1 ) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ xthỏa mãn b b x ³ - , Vẽ (C ) là đường thẳng y = - ax - b lấy phần đồ thị sao cho x < - . Khi đó a 2 a (C ) là hợp của hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) . Cách 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = - ax - b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C ) . Chú ý: · Biết trước đồ thị (C ) : y = f (x ) khi đó đồ thị (C1 ) : y = f ( x ) là gồm phần : - Giữ nguyên đồ thị (C ) ở bên phải trục tung; - Lấy đối xứng đồ thị (C ) ở bên phải trục tung qua trục tung. · Biết trước đồ thị (C ) : y = f (x ) khi đó đồ thị (C2 ) : y = f (x ) là gồm phần: - Giữ nguyên đồ thị (C ) ở phía trên trục hoành - Lấy đối xứng đồ thị (C ) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành. Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau ïì 2x khi x ³ 0 a) y = íï . b)y = - 3x + 3 . ï - x khi x < 0 îï Lời giải y a) Với x ³ 0 đồ thị hàm số y = 2x là phần y đường thẳng đi qua hai điểm O (0;0), A(1;2) nằm bên phải của đường 2 thẳng x = 0 . Với x < 0 đồ thị hàm số y = - x là phần đường thẳng đi qua hai điểm B (- 1;1), C (- 2;2) nằm bên trái của đường -2 O 1 x O 1 x thẳng x = 0 . b) Vẽ hai đường thẳng y = - 3x + 3 và y = 3x - 3 và y lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau a) y = x - 2 b) y = x - 2 Lời giải ïì x - 2 khi x ³ 0 a) Cách 1: Ta có y = íï ï - x - 2 khi x < 0 îï x 6 -2 O 1 2 -2
7. Vẽ đường thẳng y = x - 2 đi qua hai điểm A (0;- 2), B (2;0) và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung Vẽ đường thẳng y = - x - 2 đi qua hai điểm A(0;- 2), C (- 2;0) và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung. Cách 2: Đường thẳng d : y = x - 2 đi qua A (0;- 2), B (2;0). y Khi đó đồ thị của hàm số y = x - 2 là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung b) Đồ thị y = x - 2 là gồm phần: 2 - Giữ nguyên đồ thị hàm số y = x - 2 ở phía trên trục hoành - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = x - 2 ở phía -2 O 1 2 x dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành. Ví dụ 3: Cho đồ thị (C) : y = 3 x - 2 - 2x - 6 a) Vẽ (C) é ù b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với x Î ë- 3;4û Lời giải ïì x khi x ³ 3 y ï a) Ta có y = íï 5x - 12 khi 2 < x < 3 ï ï - x khi x £ 2 îï 3 Vẽ đường thẳng y = x đi qua hai điểm O (0;0), A(1;1) và 2 lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng x = 3 Vẽ đường thẳng y = 5x - 12 đi qua hai điểm 1 B (3;3), C (2;- 2) và lấy phần đường thẳng nằm giữa của -3 -2 -1 O 1 2 3 x hai đường thẳng x = 2, x = 3 . -1 Vẽ đường thẳng y = - x đi qua hai điểm -2 O (0;0), D (- 1;- 1) và lấy phần đường thẳng bên trái của -3 đường thẳng x = 2 b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có max y = 4 khi và chỉ khi x = 4 é ù ë- 3;4û miny = - 2 khi và chỉ khi x = 2 é ù ë- 3;4û Ví dụ 4: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau a) y = x 2 + x 2 - 2x + 1 . b) y = x 2 + 4x + 4 - x + 1 . é ù Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên ë- 2;2û Lời giải 7
8. ïì 2x - 1 khi x ³ 1 ï a) Ta có y = x + x - 1 = íï 1 khi 0 < x < 1 ï ï 1- 2x khi x £ 0 îï Bảng biến thiên x - ¥ 0 1 + ¥ + ¥ + ¥ y 1 1 Ta có y (- 2) = 5, y (2) = 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có max y = 5 khi và chỉ khi x = - 2 é ù ë- 2;2û miny = 1 khi và chỉ khi x Î é0;1ù é ù ë û ë- 2;2û ïì 1 khi x ³ - 1 ï b) Ta có y = x + 2 - x + 1 = íï 2x + 3 khi - 2 < x < - 1 ï ï - 1 khi x £ - 2 îï Bảng biến thiên x - ¥ - 2 - 1 + ¥ 1 1 y - 1 - 1 Ta có y (- 2) = - 1, y (2) = 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có max y = 1 khi và chỉ khi x £ - 2 é ù ë- 2;2û miny = 1 khi và chỉ khi x ³ - 1 é ù ë- 2;2û Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé 3. Bài tập luyện tập Bài 2.20: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - 3. Từ đó suy ra đồ thị của: (C1 ) : y = 2 x - 3, (C2 ) : y = 2x - 3 , (C 3 ) : y = 2 x - 3 Bài 2.21: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau y = x 2 - 4x + 4 - 3 x 2 - 2x + 1 é ù Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên ë0;2û . x 2 + 4x + 4 Bài 2.22: a) Lập bảng biến thiên của hàm số y = - x - 2 x + 2 b) Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số trên với đường thẳng y = m theo m. 8
9.  DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT. 1. Phương pháp giải. Cho hàm số f x = ax + b và đoạn éa;b ùÌ ¡ . Khi đó, đồ thị của ( ) ë û y hàm số y = f(x) trên [a;b] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:  max f(x) = max{f( ); f(}, é ù f() ëa,b û  min f(x) = min{f( ); f(}, é ù ëa,b û  max f (x) = max f (a) ; f (b) . é ù { } ëa,b û f( ) Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả. O  x Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé 2. Các ví dụ minh họa. é ù Ví dụ 1: Cho hàm số f (x ) = 2x - m . Tìm m để giá trị lớn nhất của f (x ) trên ë1;2û đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải Dựa vào các nhận xét trên ta thấy max f (x) chỉ có thể đạt được tại x = 1 hoặc x = 2 . [1;2] Như vậy nếu đặt M = max f (x) thì M ³ f (1) = 2 - m và M ³ f (2) = 4 - m . [1;2] Ta có f (1) + f (2) 2 - m + 4 - m (2 - m) + (m - 4) M ³ = ³ = 1. 2 2 2 ïì 2 - m = 4 - m Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi íï Û m = 3 . ï (2 - m)(m - 4) ³ 0 îï Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3. Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x - x 2 - 3m + 4 . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất. Lời giải 2 Gọi A = max y . Ta đặt t = 2x - x 2 Þ t = 1- (x - 1) do đó 0 £ t £ 1 é ù Khi đó hàm số được viết lại là y = t - 3m + 4 với t Î ë0;1û suy ra - 3m + 4 + 5 - 3m A = max t - 3m + 4 = max { - 3m + 4 , 5 - 3m + } ³ [0,1] 2 Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có - 3m + 4 + 5 - 3m = 3m - 4 + 5 - 3m ³ 1 1 3 Do đó A ³ . Đẳng thức xảy ra m = . 2 2 3 Vậy giá trị cần tìm là m = . 2 é ù Ví dụ 3: Cho a,b,c thuộc ë0;2û . Chứng minh rằng: 2(a + b + c)- (ab + bc + ca) £ 4 Lời giải Viết bất đẳng thức lại thành (2 - b - c)a + 2(b + c)- bc - 4 £ 0 é ù Xét hàm số bậc nhất f (a) = (2 - b - c)a + 2(b + c)- bc - 4 với ẩn a Î ë0;2û 9
10. Ta có: f (0) = 2(b + c)- bc - 4 = - (2 - b)(2 - c) £ 0 f (2) = (2 - b - c)2 + 2(b + c)- bc - 4 = - bc £ 0 Suy ra f (a) £ max { f (0); f (2)} £ 0 đpcm. Ví dụ 4: Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = 3 . Chứng minh rằng x 2 + y2 + z2 + xyz ³ 4 . Lời giải Bất đẳng thức t\ưng đương với (y + z)2 - 2yz + x 2 + xyz ³ 4 Û (3 - x)2 + x 2 + yz(x - 2)- 4 ³ 0 Û yz(x - 2) + 2x 2 - 6x + 5 ³ 0 æ ö2 2 é 2 ù çy + z ÷ (3 - x) (3 - x) Đặt t = yz , do yz ³ 0 và yz ≤ ç ÷ = nên t Î ê0; ú . èç 2 ø÷ 4 ëê 4 ûú khi đó VT(2) là hàm số bậc nhất của biến t , f (t) = (x - 2)t + 2x 2 - 6x + 5 . æ 2 ö ç(3 - x ) ÷ Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta sẽ chứng minh f (0) ³ 0 và f ç ÷³ 0 . ç ÷ èç 4 ø÷ 2 æ 3ö 1 Thật vậy, ta có f (0) = 2x 2 - 6x + 5 = 2çx - ÷ + ³ 0 và èç 2ø÷ 5 æ 2 ö ç(3 - x ) ÷ 1 2 f ç ÷= (x - 1) (x + 2) ³ 0 nên bất đẳng thức được chứng minh. ç ÷ èç 4 ø÷ 4 Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1 . Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé 3. Bài tập luyện tập. ïì x, y, z ³ 0 7 Bài 2.23: Cho íï . Chứng minh 0 £ xy + yz + zx - 2xyz £ . ï x + y + z = 1 îï 27 ïì x, y, z ³ 0 Bài 2.24: Cho íï . Chứng minh x 2 + y2 + z2 + xyz ³ 4 . ï x + y + z = 3 îï ïì x, y, z ³ 0 1 Bài 2.25: Cho íï . Chứng minh x 3 + y 3 + z3 + 6xyz ³ . ï x + y + z = 1 îï 4 Bài 2.26: Cho 0 £ a, b, c £ 1 . Chứng minh a2 + b2 + c2 £ a2b + b2c + c2a + 1 . ïì x, y, z ³ 0 4 Bài 2.27: Cho íï . Chứng minh x 2y + y2z + z2x £ . ï x + y + z = 1 îï 27 Bài 2.28: Chứng minh rằng với " m £ 1 thì x 2 - 2(3m - 1)x + m + 3 ³ 0 với " x Î é1; + ¥ . ëê ) 10
11. §3: HÀM SỐ BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax 2 + bx + c(a ¹ 0) . 2. Sự biến thiên · TXĐ: D = ¡ æ b ö æ b ö · Khi a > 0 hàm số đồng biến trên ç- ;+ ¥ ÷ , nghịch biến trênç- ¥ ;- ÷ và có giá trị èç 2a ø÷ èç 2a ø÷ D b æ b ö nhỏ nhất là - khi x = - . Khi a 0 ) D - 4a x b - ¥ - + ¥ 2a y = ax 2 + bx + c D - (a 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là I ç- ;- ÷ èç 2a 4a ø÷ æ b D ö Khi a < 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là I ç- ;- ÷ èç 2a 4a ø÷ b Đồ thị nhận đường thẳng x = - làm trục đối xứng. 2a y y b b 2a 2a O 1 x O 1 x a 0 a 0 11
12. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé  DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI . 1. Phương pháp giải. Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau Gọi hàm số cần tìm lày = ax 2 + bx + c,a ¹ 0 . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a,b,c , từ đó suy ra hàm số cần tìm. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Xác định parabol (P ) : y = ax 2 + bx + c , a ¹ 0 biết: a) (P ) đi qua A(2;3) có đỉnh I (1;2) 3 b) c = 2 và (P ) đi qua B (3;- 4) và có trục đối xứng là x = - . 2 3 1 c) Hàm số y = ax 2 + bx + c có giá trị nhỏ nhất bằng khi x = và nhận giá trị 4 2 bằng 1 khix = 1 . d) (P ) đi qua M (4;3) cắt Ox tại N(3;0) và P sao cho DINP có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3 . .Lời giải a) Vì A Î (P ) nên 3 = 4a + 2b + c (1). b Mặt khác (P ) có đỉnh I (1;2) nên - = 1 Û 2a + b = 0 (2) và I Î (P ) suy ra 2a 2 = a + b + c (3) ïì 4a + 2b + c = 3 ïì a = 1 ï ï Từ (1), (2) và (3) ta có íï 2a + b = 0 Û íï b = - 2 ï ï ï a + b + c = 2 ï c = 3 îï îï Vậy (P ) cần tìm là y = x 2 - 2x + 3 . b) Ta có c = 2 và (P ) đi qua B (3;- 4) nên - 4 = 9a + 3b + 2 Û 3a + b = - 2 (4) 3 b 3 (P ) có trục đối xứng là x = - nên - = - Û b = 3a thay vào (4) ta được 2 2a 2 1 3a + 3a = - 2 Û a = - Þ b = - 1 . 3 1 Vậy (P ) cần tìm là y = - x 2 - x + 2 . 3 3 1 c) Hàm số y = ax 2 + bx + c có giá trị nhỏ nhất bằng khi x = nên ta có 4 2 2 b 1 3 æ1ö æ1ö - = Û a + b = 0 (5), = aç ÷ + bç ÷+ c Û a + 2b + 4c = 3 (6) và a > 0 2a 2 4 èç2ø÷ èç2ø÷ 12
13. Hàm số y = ax 2 + bx + c nhận giá trị bằng 1 khix = 1 nên a + b + c = 1 (7) ïì a + b = 0 ïì a = 1 ï ï Từ (5), (6) và (7) ta có íï a + 2b + 4c = 3 Û íï b = - 1 ï ï ï a + b + c = 1 ï c = 1 îï îï Vậy (P ) cần tìm là y = x 2 - x + 1 . d) Vì (P ) đi qua M (4;3) nên 3 = 16a + 4b + c (8) Mặt khác (P ) cắt Ox tại N(3;0) suy ra 0 = 9a + 3b + c (9), (P ) cắt Ox tại P nên P (t;0), t < 3 ïì b ï t + 3 = - ï Theo định lý Viét ta có í a ï c ï 3t = îï a 1 æ b D ö Ta có S = IH.NP với H là hình chiếu của I ç- ;- ÷ lên trục hoành DIBC 2 èç 2a 4a ø÷ D 1 D Do IH = - , NP = 3 - t nên S = 1 Û - .(3 - t ) = 1 4a DINP 2 4a 2 2 æb ö c 2 (t + 3) 2 3 8 Û (3 - t ) ç ÷ - = Û (3 - t ) - 3t = Û (3 - t ) = (10) èç2a ø÷ a a 4 a a 3 - 7a 1 4 - t Từ (8) và (9) ta có 7a + b = 3 Û b = 3 - 7a suy ra t + 3 = - Û = a a 3 3 8(4 - t ) Thay vào (10) ta có (3 - t ) = Û 3t 3 - 27t 2 + 73t - 49 = 0 Û t = 1 3 Suy ra a = 1 Þ b = - 4 Þ c = 3 . Vậy (P ) cần tìm là y = x 2 - 4x + 3 . Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.29: Xác định phương trình của Parabol (P): y = x 2 + bx + c trong các trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm A(1; 0) và B (- 2; - 6) b) (P) có đỉnh I (1; 4) c) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và có đỉnh S(- 2;- 1) . Bài 2.30: Tìm Parabol y = ax 2 + 3x - 2 , biết rằng Parabol đó : a) Qua điểm A(1; 5) b) Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 c) Có trục đối xứng x = - 3 æ 1 11ö d) Có đỉnh I ç- ;- ÷ èç 2 4 ø÷ 13
14. Bài 2.31: Xác định phương trình Parabol: 3 a) y = ax 2 + bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x 2 b) y = ax 2 + bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x 2 c) y = ax 2 + bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4) Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé  DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC HAI. 1. Phương pháp giải Để vẽ đường parabol y = ax 2 + bx + c ta thực hiện các bước như sau: æ b D ö – Xác định toạ độ đỉnh I ç- ;- ÷ . èç 2a 4a ø÷ b – Xác định trục đối xứng x = - và hướng bề lõm của parabol. 2a – Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng). – Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau a) y = x 2 + 3x + 2 b) y = - x 2 + 2 2x Lời giải y b 3 D 1 a) Ta có - = - , - = - 2a 2 4a 4 Bảng biến thiên x 3 - ¥ - + ¥ 2 2 y = x 2 + 3x + 2 + ¥ + ¥ 1 - -3 -2 -1 O 1 x 4 I Suy ra đồ thị hàm số y = x 2 + 3x + 2 có đỉnh là æ 3 1ö I ç- ;- ÷, đi qua các điểm A(- 2;0), B (- 1;0), C (0;2), D (- 3;2) èç 2 4÷ø 3 Nhận đường thẳng x = - làm trục đối xứng và hướng bề 2 y lõm lên trên b D b) Ta có - = 2, - = 2 2a 4a 2 O 1 x 14
15. Bảng biến thiên x - ¥ 2 + ¥ 2 y = - x 2 + 2 2x - ¥ - ¥ Suy ra đồ thị hàm số y = - x 2 + 2 2x có đỉnh là I ( 2;2) , đi qua các điểm O (0;0), B (2 2;0) Nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 2 - 6x + 8 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số trên c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương é ù d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên ë- 1;5û Lời giải b D y a) Ta có - = 3, - = - 1 2a 4a Bảng biến thiên x - ¥ 3 + ¥ + ¥ + ¥ y=m y = x 2 - 6x + 8 m - 1 Suy ra đồ thị hàm số y = x 2 + 3x + 2 có đỉnh là O 1 2 3 4 x I (3;- 1), đi qua các điểm A(2;0), B (4;0) -1 Nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên b) Đường thẳng y = m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có Với m - 1 đường thẳng y = m và parabol y = x 2 - 6x + 8 cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi x Î (- ¥ ;2) È (4;+ ¥ ) . 15
16. d) Ta có y (- 1) = 15, y (5) = 13, y (3) = - 1 , kết hợp với đồ thị hàm số suy ra max y = 15 khi và chỉ khix = - 1 é ù ë- 1;5û miny = - 1 khi và chỉ khi x = 3 é ù ë- 1;5û 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.32: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau a) y = x 2 - 3x + 2 b) y = - 2x 2 + 4x Bài 2.33: Cho hàm số y = - x 2 - 2x + 3 a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên b) Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm é ù d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên ë- 3;1û Tài liệu toán của Tiến Sĩ Hà Minh Đăng phân dạng cụ thể có giải chi tiết, đây là trích đoạn một phần tài liệu, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu nhé  DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số sau ïì x - 2 khi x ³ 2 a) y = íï b) ï - x 2 + 2x khi x < 2 îï y = x 2 - x - 2 y Lời giải ïì x - 2 khi x ³ 2 a) Đồ thị hàm số y = íï gồm : ï - x 2 + 2x khi x < 2 îï + Vẽ đường thẳng y = x - 2 đi qua A (2;0), B (0;- 2) và lấy phần nằm bên phải của đường thẳng x = 2 O 1 x + Parabol y = - x 2 + 2x có đỉnh I (1;2) , trục đối xứng x = 1 , y đi qua các điểm O (0;0), C (2;0) và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng x = 2 b) Vẽ parabol (P ) của đồ thị hàm số y = x 2 - x - 2 có đỉnh æ1 5ö 1 I ç ;- ÷, trục đối xứng x = , đi qua các điểm èç2 4ø÷ 2 A(- 1;0), B (2;0),C (0;- 2), D (1;- 2). -1 O 1 2 x Khi đó đồ thị hàm số y = x 2 - x - 2 gồm 16
17. + Phần parabol (P ) nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của (P ) nằm dưới trục hoành qua trục hoành. 17