Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Bùi Văn Thanh

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Bùi Văn Thanh

1. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Chủ đề: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chuyên đề 1: SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K (x1, x2 K, x1 f(x2) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f (x) 0, x I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f (x) 0, x I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f (x) 0, x I (f (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f (x) 0, x I (f (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f (x) = 0, x I thì f không đổi trên I. Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Phương pháp giải: Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y . Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Chú ý: Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) ax b : b x - + a f(x) ax b trái dấu với a 0 cùng dấu với a Dấu của tam thức bậc hai f (x) ax2 bx c : - Nếu 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và x - x1 x 2 + f (x) ax2 bx c cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a Bảng biến thiên: Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y 2x32 9x 24x 7 Giải: Tập xác định: D = x1 Ta cĩ: y 6x2 18x 24 , y0 x4 Bảng biến thiên: x - -1 4 + y’ - 0 + 0 - y Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( ; 1),(4; ); đồng biến trên khoảng: ( 1;4) Ví dụ 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y x32 3x 3x 2 1
2. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Giải: Tập xác định: D= Ta cĩ: y' 3x2 6x 3, y'0 3x2 6x30 x 1 Bảng biến thiên: x - -1 + y’ + 0 + y Hàm số đồng biến trên Ví dụ 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y x42 4x 3 Giải: Tập xác định: D= x0 3 Ta cĩ: y' 4x 8x , y' 0 x2 Bảng biến thiên: x - 2 0 2 + y’ + 0 - 0 + 0 - y Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( 2;0),( 2; ) ; đồng biến trên mỗi khoảng: ( ; 2),(0; 2) 2x 1 Ví dụ 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y x1 Giải: Tập xác định: D \{1} 1 Ta cĩ: y' 0,  x D (x 1)2 Bảng biến thiên: x - 1 + y’ - - y Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( ;1),(1; ). x2 2x 1 Ví dụ 5: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: y x2 Giải: Tập xác định: D \{ 2} x2 4x 5 x5 2 Ta cĩ: y' 2 ,  x 2 ; y' 0 x 4x 5 0 x2 x1 Bảng biến thiên: x - -5 -2 1 + y’ - 0 + + 0 - y Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: ( ; 5),(1; ) ; đồng biến trên mỗi khoảng: ( 5; 2),( 2;1) 2
3. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Luyện tập (Bài tập về nhà): Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số: 42 a/ y x 4x 3. 3 2x b/ y x42 6x 8x 1. i/ y . x7 4 y x 4x 6 2 c/ . x 2x 1 32 j/ y . d/ y x 6x 9x 4 . x2 32 x2 8x 9 e/ y x 3x 3x 2 . k/ y . 2 x5 f/ y x 2x . x2 l/ y . 2x 1 2 g/ y . x x 3 x1 m/ y 4 3x 6x2 1 . 3x 1 h/ y . 2 1x n/ y x 1 2 x 3x 3 . o/ y 3 x2 2x . Giải: a/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x42 4x 3 . * Hàm số đã cho xác định trên D . * Tính y' 4x3 8x . 4x 0 x 0 x0 * Cho y' 0 4x32 8x 0 4x(x 2) 0 . 22 x 2 0 x 2 x2 * Bảng xét dấu: x – 2 0 2 + y' + 0 – 0 + 0 – 1 1 y – –3 – * Dưạ vào bảng biến thiên:  Hàm số đồng biến trên: ;2 và 0; 2 .  Hàm số nghịch biến trên: 2;0 và 2; . b/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x42 6x 8x 1 . * Hàm số đã cho xác định trên D . x2 * Tính y' 4x3 12x 8 0 4x1 2 x 2 . Cho y' 0 4 x 1 2 x 2 0 x1 * Bảng xét dấu: 3
4. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) x 2 1 y' 0 0 y 4 23 * Dưạ vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên ;2 và đồng biến trên 2;1  1; hay hàm số đồng biến trên khoảng 2; . c/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x4 4x 6 . * Tâp̣ xác điṇ h: D . * Tính: y' 4x3 4 . Cho y' 0 4x3 4 0 x 1. * Bảng biến thiên: x 1 y' 0 + y f (x) 3 * Dưạ vào bảng biến thiên:  Hàm số nghịch biến trên: ;1 .  Hàm số đồng biến trên: 1; . d/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x32 6x 9x 4 . * Hàm số đã cho xác định trên D . x1 * Tính y' 3x2 12x 9. Cho y 0 3x2 12x 9 0 . x3 * Bảng biến thiên: x 1 3 y' 0 0 4 4
5. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) y 0 * Dưạ vào bảng biến thiên:  Hàm số nghịch biến trên: ;1 và 3; .  Hàm số đồng biến trên: 1;3 . e/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x32 3x 3x 2 . * Hàm số đã cho xác định trên D . * Tìm y' 3x2 6x 3. Cho y'0 3x2 6x30 x 1. * Bảng biến thiên: x 1 y' + 0 + y f (x) 1 * Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên ; 1  1; . Hay hàm sớ đờng biến trên tâp̣ xác điṇ h D . f/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x2 2x . x0 * Hàm số đã cho xác định khi: x2 2x 0 Tâp̣ xác điṇ h: D ;0  2; . x2 x1 * Ta có: y' ,  x ;0  2; . Hàm số khơng cĩ đạo hàm tại: x 0;x 2. x2 2x x1 * Cho y' 0 0 x 1 0 x 1. x2 2x * Bảng biến thiên: x 0 1 2 y' 0 y * Dưạ vào bảng biến thiên: 5
6. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)  Hàm số nghịch biến trên: ;0 .  Hàm số đồng biến trên: 2; . 2x 1 g/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y . x1 * Hàm số đã cho xác điṇ h trên: D \{1}. 2. 1 1. 1 1 * Ta có: y' 0,  x D . (x 1)22 (x 1) * Bảng biến thiên: x 1 y' 2 y 2 * Dưạ vào bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên ;1 và 1; . 3x 1 3x 1 h/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y . 1 x x 1 * Hàm số xác định và liên tục trên D \ 1. 3.1 1 .1 4 * Tìm y' 0;  x 1. (1 x)22 (1 x) * Bảng biến thiên: x 1 y' y 3 3 * Hàm số đa ̃ cho đồng biến (tăng) trên các khoảng: ;1 và 1; . 3 2x 2x 3 i/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y . x 7 x 7 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D \ 7. 2 .7 1.3 17 * Tính y' 0,  x D \ 7. x 7 22 x 7 6
7. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) * Bảng biến thiên: x 7 y' 2 y 2 Hàm số đã cho luơn nghịch biến trên: ;7 và 7; . x2 2x 1 j/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y . x2 * Hàm số đã cho xác định trên: D : 2  2; . x2 4x 5 * Ta có: y' ,  x 2. x2 2 x2 4x 5 x5 2 * Cho y' 0 2 0 x 4x 5 0 . x2 x1 * Bảng biến thiên: x 5 2 1 y' 0 0 0 y 12 * Dưạ vào bảng biến thiên:  Hàm số nghịch biến trên: ;5 và 1; .  Hàm số đồng biến trên: 5; 2 và 2;1 . x2 8x 9 k/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y . x5 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D \ 5. x2 10x 31 * Ta có: y' 0,  x 5. x5 2 Hàm số đồng biến trên ;5 và 5; . 7
8. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) x2 l/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y . x2 x 3 * Hàm số đã cho xác định khi: x2 x 3 0đúng x TXÐ: D . 2x 1 x 2 7x 8 * Ta có: y' x2 x 3 . 2 x22 x 3 2 x x 3 7x 8 8 * Cho y' 0 0 7x 8 0 x . 2 x2 x 3 7 * Bảng biến thiên: x 8/7 y' 0 y 8 8 * Hàm số đã cho đồng biến trên ; và nghịch biến trên ; . 7 7 m/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 4 3x 6x2 1 . * Hàm số đã cho xác định trên D . 6x 4 3x 36x2 24x 24 * Ta có: y' 3 6x2 1 . 6x22 1 6x 1 17 x 2 36x 24x 24 2 3 * Cho y'0 0 36x24x240 . 6x2 1 17 x 3 * Bảng biến thiên: 17 17 3 3 x y' 0 0 y * Dưạ vào bảng biến thiên: 17 17  Hàm số đã cho đồng biến trên: ; và ; . 3 3 1 7 1 7  Hàm số nghịch biến trên: ; . 33 8
9. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) n/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x 1 2 x2 3x 3 . * Hàm số đã cho xác định trên D . 2x 3 x2 3x 3 2x 3 * Ta có: y' 1 . x22 3x 3 x 3x 3 3 x * Cho y'0x3x32x3 2 2 x1 . 2 2 x 3x 3 2x 3 * Bảng biến thiên: x 1 y' 0 y * Dưạ vào bảng biến thiên:  Hàm số đã cho đồng biến trên: ;1 .  Hàm số nghịch biến trên: 1; . 1 o/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 3 x22 2x x 2x 3 . * Hàm số đã cho xác định trên D . 2 12 3 2x 2 2x 2 * Ta có: y' 2x2x2x 2 ;x0,x2  . 3 2 2 3 x2 2x 3 3 x 2x Hàm số khơng cĩ đạo hàm tại x0 và x2 . * Cho y' 0 2x 2 0 x 1. * Bảng biến thiên: x 0 1 2 y' 0 y * Dưạ vào bảng biến thiên:  Hàm số nghịch biến trên ;1 . 9
10. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114)  Hàm số đồng biến trên 1; . Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số: Giải: 10
11. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Bài 3. Xét chiều biến thiên của các hàm số: Giải: 11
12. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Bài 4. Xét chiều biến thiên của các hàm số: Giải: 12
13. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Bài 5. Xét chiều biến thiên của các hàm số: Giải: 13
14. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Vấn đề 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) Phương pháp giải: Cho hàm số y f (x,m) , m là tham số, có tập xác định D. - Hàm số f đồng biến trên D y 0, x D. - Hàm số f nghịch biến trên D y 0, x D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. a b 0 a b 0 c0 c0 2 2) Nếu y' ax bx c thì: y' 0,  x R ; y' 0,  x R a0 a0 0 0 Ví dụ 1: Tìm m để hàm số: y= x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m đồng biến trên Giải: Tập xác định: D= Ta cĩ: y = 3x2– 6mx+ m+ 2 ; = 9m2– 3m– 6 ; Hệ số a = 3 > 0 2 Nếu 0 m1 . Khi đĩ y 0,  x Hàm số đồng biến trên 3 2 m Nếu > 0 3 . Khi đĩ phương trình y = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1< x2) m1 Bảng biến thiên: x - x1 x 2 + y’ + 0 - 0 + y Hàm số khơng đồng biến trên 2 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: m1 . 3 1 Ví dụ 2: Tìm m để hàm số: y m2 1 x 3 m 1 x 2 3x 5 đồng biến trên 3 Giải: Tập xác định: D= Ta cĩ: y' m22 1 x 2 m 1 x 3 ; = 2m2 2m 4 ; Hệ số a = m12 Nếu m2 1 0 m 1 3 Với m = 1 thì y' 4x 3; y' 0 x . Hàm số khơng đồng biến trên 4 Với m = -1 thì y' 3 0,  x . Hàm số đồng biến trên Nếu m2 1 0 m 1. m2 1 0 m 1 Để hàm số đồng biến trên y' 0,  x 2 2m 2m 4 0 m2 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: m1 hoặc m2 . 2mx 1 Ví dụ 3: Tìm m để hàm số: y nghịch biến trên từng khoảng xác định của nĩ. xm Giải: 14
15. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) 2m2 1 Tập xác định: D = \m . Ta cĩ: y' xm 2 11 Để hàm số nghịch biến trên D  y' 0, x m 2m2 1 0 m 22 11 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: m 22 1 1 Lưu ý: Khơng xảy ra trường hợp m vì khi đĩ y' 0,  x khơng đúng với điều kiện cần đủ 2 2 để hàm số đơn điệu. 2x2 m 2 x 3m 1 Ví dụ 4: Tìm m để hàm số: y nghịch biến trên từng khoảng xác định của nĩ. x1 Giải: 2x2 4x 2m 3 Tập xác định: D = \1 . Ta cĩ: y' x1 2 1 Để hàm số nghịch biến trên D  y' 0, x 1 2x2 4x 2m 3 0 4m 2 0 m 2 1 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: m . 2 1 Ví dụ 5: Tìm m để hàm số: y x32 mx 2m 1 x m 2 nghịch biến trên khoảng 2;0 . 3 Giải: Tập xác định: D = x1 Ta cĩ: y' x2 2mx 2m 1 ; y' 0 x2 2mx 2m1 0 x 2m 1 Nếu 2m 1 1 m 1 thì y' x 1 2 0,  x . Hàm số khơng nghịch biến trên khoảng 2;0 . Nếu 2m 1 1 m 1. Ta cĩ bảng biến thiên: x - 1 2m 1 + y’ + 0 - 0 + y Dựa vào BBT ta thấy hàm số khơng nghịch biến trên khoảng 2;0 . Nếu 2m 1 1 m 1. Ta cĩ bảng biến thiên: x - 2m 1 1 + y’ + 0 - 0 + y 1 Dựa vào BBT ta cĩ : Để hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 2m 1 2 m 2 1 Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài tốn là: m . 2 15
16. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Luyện tập (Bài tập về nhà): Bài 1. Cho hàm số y x32 3(m 1)x 3m(m 2)x 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. Giải: TXĐ: D = R. Ta cĩ: y' 3x2 6(m 1)x 3m(m 2) a 3 0 Hàm số đồng biến trên R khi y'  0, x (vơ lí) ' 9 0 Bài 2. Cho hàm số y x2 (m x) m . Tìm m để hàm số nghịch biến trên R. Giải: TXĐ: D = R Ta cĩ: y' 3x2 2mx a 1 0  2  Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y' 0, x 3x 2mx 0, x 2 m 0 m0 Bài 3. Cho hàm số y x32 2x (m1)x m 3. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. Giải: TXĐ: D = R. Ta cĩ: y' 3x2 4x m 1 a 3 0 7 Hàm số đồng biến trên R khi y'  0, x 3x2 4x m 1 0,  x m ' 3m 7 0 3 7 Vậy: Với m thì yêu cầu bài tốn được thỏa mãn. 3 Bài 4. Cho hàm số y x2 (m x) mx 6 . Tìm m để hàm số luơn nghịch biến trên R. Giải: TXĐ: D = R. Ta cĩ : y' 3x2 2mx m a 3 0  2  Hàm số nghịch biến trên R khi y' 0, x 3x2mxm0,x 2 0m3 m 3m 0 Vậy: Với 0 m 3 thì điều kiện bài tốn được thỏa mãn. Bài 5. Cho hàm số y x32 3mx 3(2m 1)x 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên R. Giải: TXĐ: D = R Ta cĩ: y' 3x2 6mx 3(2m 1) Hàm số đồng biến trên R khi y'  0, x a 1 0 2  3x 6mx 3(2m 1) 0, x 2 m 1 ' m 2m 1 0 Vậy: Với m = 1 thì điều kiện bài tốn được thỏa mãn. 1 Bài 6. Cho hàm số y x32 (m1)x (m 3)x 4. Tìm m để hàm số luơn nghịch biến trên R. 3 Giải: TXĐ: D = R. Ta cĩ: y' x2 2(m1)x m 3 Hàm số luơn luơn giảm khi y'  0, x a 1 0 2  x 2(m 1)x m 3 0, x 2 (vơ nghiem) ' m m 4 0 Vậy: Khơng cĩ giá trị m thỏa yêu cầu bài tốn Bài 7. Cho hàm số y mx32 (2m 1)x (m 2)x 2 . Tìm m để hàm số luơn đồng biến trên R. Giải: TXĐ: D =R 16
17. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Ta cĩ: y' 3mx2 2(2m 1)x m 2 Trường hợp 1: m 0 y' 2x 2 m = 0 khơng thỏa yêu cầu bài tốn. Trường hợp 2: m0 Hàm số đồng biến trên R khi y'  0, x a 3m 0 m 0 m0 22 (vơ nghiem) ' (2m 1) 3m(m 2) 0 m 2m 1 0 m1 Vậy: Khơng cĩ giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài tốn m1 Bài 8. Tìm m để hàm số y x32 mx (3m 2)x luơn đồng biến trên R. 3 Giải: TXĐ: D = R Ta cĩ: y' (m 1)x2 2mx 3m 2 Trường hợp 1: m 1 0 m 1 y' 2x 1 m = 1 khơng thỏa yêu cầu bài tốn Trường hợp 2: m 1 0 m 1 Hàm số luơn đồng biến khi y'  0, x m 1 0 2  (m 1)x 2mx 3m 2 0, x 2 m 2 ' 2m 5m 2 0 Vậy: Với m2 thì yêu cầu bài tốn được thỏa mãn. 1 Bài 9. Cho hàm số y mx32 mx x . Tìm m để hàm số đã cho luơn nghịch biến trên R. 3 Giải: TXĐ: D = R Ta cĩ: y' mx2 2mx 1 Trường hợp 1: m 0 y' 1 0 m = 0 thỏa yêu cầu bài tốn Trường hợp 2: m0 Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi y'  0, x a m 0 m0  2 mx 2mx 1 0, x 2 1 m 0 ' m m 0 1 m 0 Vậy: Với 1 m 0 thì yêu cầu bài tốn được thỏa mãn. 1m Bài 10. Định m để hàm số y x32 2(2 m)x 2(2 m)x 5 luơn nghịch biến trên R. 3 Giải: TXĐ: D = R Ta cĩ: y' (1 m)x2 4(2 m)x 4 2m 1 Trường hợp 1: m 1 y' 4x 2 0 x nên m = 1 khơng thỏa yêu cầu bài tốn 2 Trường hợp 2: m1 a 1 m 0 m1 Hàm số luơn giảm khi 2 2 m 3 ' 2m 10m 12 0 2 m 3 m2 Bài 11. Cho hàm số y x3 (m2)x 2 (m8)xm 2 1. Tìm m để đồ thị hàm số nghịch biến 3 trên R. Giải: TXĐ: D = R y' (m 2)x2 2(m 2)x m 8 Trường hợp 1: m 2 0 m 2 y' 10 m = -2 thỏa yêu cầu bài tốn Trường hợp 2: m2 Hàm số nghịch biến trên R khi y'  0, x a m 2 0  (m2)x2(m2)xm80,x2 m 2 ' 10m 20 0 17
18. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Vậy: Với m2 thì yêu cầu bài tốn được thỏa mãn. 1 Bài 12. Cho hàm số y (m2 1)x 3 (m 1)x 2 3x 5. Tìm m để hàm số đồng biến trên R 3 Giải: TXĐ: D = R Ta cĩ: y' (m22 1)x 2(m 1)x 3 Trường hợp 1: m2 1 0 m 1 * m 1 y' 4x 3 m = 1 khơng thỏa yêu cầu bài tốn * m 1 y' 3 0 m = - 1 thỏa yêu cầu bài tốn Trường hợp 2: m2 1 0 m 1 Hàm số đồng biến trên R khi y'  0, x m2 1 0 (m1)x2(m1)x3022  m 1m2 2 2m 2m 4 0 Vậy: Với m 1  m 2 thì bài tốn được thỏa mãn. mx 2 Bài 13. Tìm m để hàm số y luơn đồng biến trên từng khoảng xác định. x m 3 Giải: TXĐ: D R \ 3 m m2 3m 2 Ta cĩ: y' (x m 3)2 Hàm số luơn đồng biến khi y' 0,  x 3 m m2 3m 2 0 m 1  m 2 x22 m x m 2 Bài 14. Cho hàm số y . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. x1 Giải: TXĐ: D R \ 1 x22 2x m m 2 Ta cĩ: y' (x 1)2 Hàm số đồng biến trên tập xác định khi y' 0,  x 1 a 1 0 x2xmm20,x2 2  1 mm10 2 ( luơn đúng) 22 (1) 2(1) m m 2 0 x Bài 15. Cho hàm số y . Xác định m để hàm số luơn nghịch biến trên từng khoảng xác định. xm Giải: TXĐ: D R \ m m Ta cĩ: y' (x m)2 Hàm số luơn đồng biến trên từng khoảng xác định khi y' 0,  x m m 0 m 0 mx22 (m 2)x m 2m 2 Bài 16. Cho hàm số y . Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng x1 khoảng xác định. Giải: TXĐ: D R \ 1 mx22 2mx m 3m Ta cĩ: y' (x 1)2 Trường hợp 1: m 0 y' 0 chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0 khơng thỏa yêu cầu bài tốn Trường hợp 2: m0 18
19. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi y' 0,  x 1 a m 0 m0 mx2mxm3m0,x12  2 'm2m 3 2 0 m20 m0 22 m.1 2m.1 m 3m 0 m 0,m 2 (m 1)x2 2mx (m 3 m 2 2) Bài 17. Cho hàm số y . Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xm xác định. Giải: TXĐ: D R \ m (m 1)x2 2(m 2 m)x m 3 m 2 2 Ta cĩ: y' (x m)2 2 Trường hợp 1: m 1 y' 0,  x 1 m = - 1 thỏa yêu cầu bài tốn x1 2 Trường hợp 2: m1 Hàm số đồng biến trên R khi y' 0,  x m a m 1 0 (m1)x 2 2(m 2 m)xm 3 m 2  20,x m 2m20 (m 1)m2 2(m 2 m).m m 3 m 2 2 0 m1 m 1 m 1 20 Bài 18. (ĐH – A.2013): Cho hàm số y x32 3x 3mx 1. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng 0; Giải: Bài 19. Cho hàm số y x32 3x mx 4 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng ;0 . Giải: TXĐ: D = R Ta cĩ: y' 3x2 6x m Hàm số đồng biến trên ;0 khi y' 0,  x ( ,0) 3x22  6x m 0,x ( ,0) m 3x 6x g(x),x  ( ,0) m ming(x) ( ,0) Ta cĩ: g'(x) 6x 6 0 x 1 Vẽ bảng biến thiên ta cĩ m ming(x) g( 1) 3 ( ,0) Kết luận: Với m3 thì điều kiện bài tốn được thỏa mãn. 19
20. GV: BÙI VĂN THANH (SĐT: 01689341114) Bài 20. Cho hàm số y x32 3x mx 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 . Giải: TXĐ: D = R Ta cĩ: y' 3x2 6x m Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi y' 0,  x (0,2)  3x22 6x m 0, x (0,2) m 3x 6x g(x),  x (0,2) m maxg(x) (0,2) Ta cĩ: g'(x) 6x 6 0 x 1 Vẽ bảng biến thiên ta cĩ m max g(x) 0 (0,2) Vậy: m0 thì điều kiện bài tốn được thỏa mãn. 2x2 3x m 1 Bài 21. Định m để hàm số y nghịch biến trong khoảng ; . 2x 1 2 Giải: 1 TXĐ: DR\   2 4x2 4x 3 2m Ta cĩ: y' (2x 1)2 1 4x2 4x 3 2m 1 Hàm số nghịch biến trên ; khi y' 0,  x ; 2 (2x 1)2 2 31 m 2x2 2x g(x),x  ; m maxg(x) 1 22 ; 2 1 Ta cĩ: g'(x) 4x 2 0,x  ; 2 1 Vậy: m max g(x) g 1. 1 ; 2 2 2x2 mx 2 m Bài 22. Cho hàm số y (Cm). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) . x m 1 Giải: 2x22 4(m 1)x m 2 TXĐ: D R \ 1 m ; Ta cĩ: y' (x m 1)2 2x22 4(m 1)x m 2 Hàm số đồng biến trên (0; ) khi y' 0,  x (0; ) (x m 1)2 g(x) 2x22 4(m  1)x m 2 0,x (0; ) Tam thức g(x) cĩ biệt thức ' 2(m 2)2 . Ta xét các trường hợp: + Trường hợp 1: 0 m 2 y' 0,  x 1 hàm số đồng biến trên (0; ) Nên m = 2 thỏa yêu cầu bài tốn + Trường hợp 2: 0 m 2 Với điều kiện trên thì điều kiện bài tốn được thỏa khi phương trình g(x) = 0 cĩ 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 0 m 0 m 0 xx0Sxx02(1m)0m1 m 2 1 2 1 2 2 P x12 x 0 m2 m 2  m 2 0 2 Kết luận: với m 2  m 2 thì yêu cầu bài tốn được thỏa mãn. Vẫn đang tiếp tục cập nhật 20