›
›
›

Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 10

pdf 38 trang thungat 7880
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 10", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_on_thi_mon_toan_lop_10.pdf

Nội dung text: Đề cương ôn thi môn Toán Lớp 10

  1. CHƢƠNG 1 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. HÀM SỐ 1. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Với một hàm số y = f(x), ta có: D = {x | y tồn tại}, khi đó D gọi là tập xác định của hàm số. 2. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). 1. Một hàm số y = f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a, b) nếu với x1, x2 bất kỳ thuộc khoảng đó ta có: x1 f(x2). 3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. . Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu với mọi x D ta có: xD . f()() x f x . Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu với mọi x D ta có: xD . f()() x f x AI CÓ NHU CẦU SỬ DỤNG FILE WORD TỰ LUẬN TOÁN KHỐI 10-12 LIÊN HỆ QUA ZALO 0987.974.598 NhËn xÐt: . Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. . Hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. 4. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa 1: Đường thẳng x = a là trục đối xứng của đồ thị y = f(x) với phép biến đổi toạ độ: 1
  2. X x a x X a Yy yY hàm số Y = F(X) là hàm số chẵn. 5. TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa: Điểm I(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị y = f(x) với phép biến đổi toạ độ: X x a x X a Y y b y Y b hàm số Y = F(X) b là hàm số lẻ. II. HÀM SỐ BẬC NHẤT Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số và a 0. Cho hàm số: y = ax + b, với a 0. Miền xác định D = . Sự biến thiên: là hàm số đơn điệu. Cụ thể: . Với a > 0, hàm số đồng biến. . Với a 0 Với a 0 a<0 B B y=ax a A a A C C O 1 O 1 x x Hệ số góc: hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng (d). 2
  3.  Chú ý: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2): (d1): y = a1x + b1 với a1 0, (d2): y = a2x + b2 với a2 0. . (d1) // (d2) a1 = a2 và b1 b2. . (d1) cắt (d2) a1 a2. III. HÀM SỐ BẬC HAI Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số và a 0. Nhận xét rằng: 2 2 2 2 2 2 bb b b b 4 ac ax + bx + c = a xx 2. 2 + c = x . 24aa 4a 2a 4a Từ đó, nếu đặt: b = b2 4ac, p = và q = 2a 4a thì hàm số y = ax2 + bx + c có dạng y = a(x p)2 + q. 2 2 Như vậy, nếu gọi (P0): y = ax thì để có được đồ thị của parabol y = ax + bx + c ta tịnh tiến hai lần như sau: 1. Tịnh tiến (P0) sang phải p đơn vị nếu p > 0, sang trái p đơn vị nếu p 0, xuống dưới q đơn vị nếu q 0. . Hướng bề lõm xuống dưới nếu a 0 Với a < 0 b b x - - + x - - + 2a 2a + + y y - - 4a 4a - - Vậy, ta có kết luận: Vậy, ta có kết luận: o Hàm số nghịch biến trên o Hàm số đồng biến trên b b khoảng (- ; - ). khoảng (- ;- ). 2a 2a o Hàm số đồng biến trên khoảng o Hàm số nghịch biến trên 3
  4. b b (- ; + ). khoảng (- ; + ). 2a 2a b o Khi x=- hàm số đạt cực tiểu o Khi x=- hàm số đạt cực 2a b đại ymin=f(- )=- 2a 4a b ymax=f(- )=- 2a 4a §Ó vÏ ®å thÞ hµm sè bËc hai chóng ta kh«ng thùc hiÖn c¸c phÐp tÞnh tiÕn tõ ®å thÞ hµm sè y = ax2 mµ thùc hiÖn nh• sau: . LÊy ba ®iÓm chñ ®¹o, gåm ®Ønh S vµ hai ®iÓm A, B ®èi xøng víi nhau qua S. . Nèi ASB ®Ó ®•îc mét gãc råi thùc hiÖn vÏ ®•êng cong parabol lùon theo ®•êng gãc nµy. Ta cã c¸c tr•êng hîp: . Với a > 0 thì: y y y (P) (P) (P) A B A B A B -b/2a S S O - /4a -b/a x O -b/2a -b/a x - /4a O -b/2a -b/a x S . Với a 0 Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. . = 0 Parabol tiếp xúc với trục hoành. . < 0 Parabol không cắt trục hoành. B PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN §1. HÀM SỐ D¹ng to¸n 1: Tìm tập xác định của hàm số Phương pháp thực hiện Ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau: Ph•¬ng ph¸p 1: Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức là tìm: 4
  5. D = {x | f(x) }. Ph•¬ng ph¸p 2: Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là D = \E.  Chú ý: Thông thường f(x) cho bởi biểu thức đại số thì với: fx() f12( x ), f ( x ) cã nghÜa f(x) = 1 điều kiện là . fx2 () fx2 ( ) 0 f( x ) c ã ngh Ü a 2k 1 f(x) = fx1() (k ) điều kiện là . fx1( ) 0 ThÝ dô 1. Tìm tập xác định của các hàm số: x 1 a. y = . b. y = x 1 + xx2 32. xx2 23  Giải a. Hàm số xác định khi: x 1 x2 2x 3 0 . x 3 Vậy, tập xác định của hàm số là D = \{ 3, 1}. b. Hàm số xác định khi: x 1 x 10 x 1 x 2 x 2 2 xx 3 2 0 (xx 1)( 2) 0 11 x x 1 Vậy, tập xác định của hàm số là D = [ 1; 1][2; + ). 1  Chú ý: Trong câu a), nếu các em học sinh biến đổi hàm số về dạng y = . x 3 rồi khẳng định hàm số xác định khi x + 3 0 x 3 và do đó tập D = \{ 3}. Đây là lời giải sai vì phép biến đổi hàm số không phải là phép biến đổi tương đương. ThÝ dô 2. Tìm tập xác định của các hàm số: 1 1 víi x 1 a. y = 23 x . b. y = x 3 . 12 x 21 x víi x  Giải a. Hàm số xác định khi: 5
  6. 2 3x 0 x 2 / 3 1 x < . 1 2x 0 x 1/ 2 2 1 Vậy, tập xác định của hàm số là D = ; . 2 b. Hàm số xác định khi: x 3 0 víi x 1 x 31 víi x x 1 . 2 x 0 víi x 1 x 21 víi x x 1 Vậy, ta được D = . AI CÓ NHU CẦU SỬ DỤNG FILE WORD TỰ LUẬN TOÁN KHỐI 10-12 LIÊN HỆ QUA ZALO 0987.974.598  Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên: . Ở câu a), miêu tả điều kiện có nghĩa của biểu thức trong dấu căn ở dạng đơn và ở mẫu số. . Ở câu b), chúng ta gặp dạng hàm số hợp. ThÝ dô 3. Tìm m để hàm số sau xác định trên đoạn [1; 3]: y = 1 2x2 mx m 15 .  Giải Hàm số nghĩa khi: 1 2x2 + mx + m + 15 0 2x2 + mx + m + 15 1. (1) Bài toán được chuyển về việc tìm m để (1) nghiệm đúng với x [1; 3]. Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm đúng với x [1; 3] Nghiệm đúng với x = 1, x = 2 98 m | 2m 17 | 1 1 2m 17 1 22 m = 8. | 3m 23| 1 1 3m 23 1 8 m 3 Vậy, với m = 8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với x [1; 3]. Điều kiện đủ: Với m = 8, ta có: (1) 2x2 8x + 7 1 1 2x2 8x + 7 1 2xx2 8 8 0 (x 2)2 0 1 x 3. 2 2 2xx 8 6 0 xx 4 3 0 Vậy, với m = 8 thoả mãn điều kiện đầu bài. D¹ng to¸n 2: Xét sự biến thiên của hàm số Phương pháp thực hiện 6
  7. Ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau: Ph•¬ng ph¸p 1: Sử dụng định nghĩa. Ph•¬ng ph¸p 2: Thực hiện theo các bước: B•íc 1: Lấy x1, x2 (a, b) với x1 x2 ta thiết lập tỉ số: f()() x f x A = 12. xx12 B•íc 2: Khi đó: . Nếu A > 0 với mọi x1, x2 (a, b) và x1 x2 thì hàm số đồng biến trên (a, b). . Nếu A 0 xx12 xx12 Vậy, hàm số đồng biến. b. Với x1, x2 và x1 x2 ta có: 22 f()() x12 f x (x1 x 1 1) ( x 2 x 2 1) A = = = x1 + x2 + 1. xx12 xx12 Khi đó: 1 1 . Nếu x1, x2 > thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ( ; + ). 2 2 1 1 . Nếu x1, x2 0 thì hàm số đồng biến trên . . Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên . 2. Với hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c, a 0, thì: Lấy x1, x2 và x1 x2 ta có: 7
  8. f()() x f x ()()ax22 bx c ax bx c A = 12 = 1 1 2 2 xx12 xx12 b = a(x1 + x2 + ). a Khi đó: a. Với a > 0, ta có: b . Nếu x1, x2 >   thì A > 0 nên hàm số đồng biến trên 2a b (  + ). 2a b . Nếu x1, x2   thì A 0 nên hàm số đồng biến trên 2a b ( ;   ). 2a ThÝ dô 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số: a. y = f(x) = x3 + 2x + 8. b. y = f(x) = x3 + 3x2 + 7x + 1.  Giải a. Với x1, x2 và x1 x2 ta có: f()() x f x (x33 2 x 8) ( x 2 x 8) A = 12 = 1 1 2 2 = xx12 xx12 (x33 x ) (2 x 2 x ) 1 2 1 2 xx12 22 1 2 1 22 = xx + x1x2 + 2 = (x1 + x2) + ( xx ) + 2 > 0, x. 12 2 2 12 Vậy, hàm số đồng biến trên . b. Với x1, x2 và x1 x2 ta có: 8
  9. f()() x f x (x3 3 x 2 7 x 1) ( x 3 3 x 2 7 x 1) A = 12 = 1 1 1 2 2 2 xx12 xx12 3 3 2 2 (x1 x 2 ) 3( x 1 x 2 ) 7( x 1 x 2 ) 22 = = xx12 + x1x2 + 3x1 + 3x2 + 7 xx12 1 2 1 22 = (x1 + x2) + ( xx ) + 3(x1 + x2) + 7 2 2 12 1 2 1 22 5 = [(x1 + x2) +6(x1 + x2) + 9] + ( xx ) + 2 2 12 2 1 2 1 22 5 = [(x1 + x2) + 3] + ( xx ) + > 0, x. 2 2 12 2 Vậy, hàm số đồng biến trên . ThÝ dô 3. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số: 21x xx2 1 a. y = f(x) = . b. y = f(x) = . 31x x 1  Giải a. Viết lại hàm số dưới dạng: 2 5 y = + . 3 3(3x 1) 1 Với x1, x2 \{ } và x1 + > + 3(3x1 1) 3(3x2 1) 3 3(3x1 1) 3 3(3x2 1) f(x1) > f(x2). 1 Vậy, hàm số luôn nghịch biến trên \{ }. 3 b. Viết lại hàm số dưới dạng: 1 yx . x 1 Với x1, x2 \{1} và ở về cùng một phía so với 1, ta có: 9
  10. 11 xx12 f()() x f x xx 11 A 12 12 xx12 xx12 11 xx 12 xx 11 12 xx12 xx xx 12 12 xx 11 1 12 1 > 0 xx12 xx12 11 Vậy, hàm số luôn đồng biến trên \{1}. ThÝ dô 4. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số: a. y = f(x) = x2 2 . b. y = f(x) = xx2 23.  Giải a. Với x1, x2 và x1 x2 ta có: f()() x f x xx22 22 A= 12= 12 xx12 xx12 (xx22 2) ( 2) xx = 12 = 12 . 22 22 (x1 x 2 )( x 1 2 x 2 2) xx12 22 Khi đó: . Nếu x1, x2 > 0 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (0; + ). . Nếu x1, x2 1 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ( 1; + ). . Nếu x1, x2 < 1 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên ( ; 1). ThÝ dô 5. Cho hàm số: 10
  11. ax y = f(x) = . x 2 a. Với a = 1, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số trên (2; + ). b. Tìm a để hàm số đồng biến trên (2; + ).  Giải Với x1, x2 (2; + ) và x1 x2 ta có: ax ax 12 f()() x f x xx 22 2a A = 12 = 12 = . xx12 xx12 (xx12 2)( 2) a. Với a = 1, suy ra: A 0 với mọi x1, x2 (2; + ) và x1 x2 2a > 0 a < 0. Vậy, với a < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. D¹ng to¸n 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Phương pháp thực hiện Ta thực hiện theo các bước sau: B•íc 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó: . Nếu D là tập đối xứng (tức là x D x D), ta thực hiện tiếp bước 2. . Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là x D mà x D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. B•íc 2: Xác định f( x) , khi đó: . Nếu f( x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn. . Nếu f( x) = f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ. . Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. ThÝ dô 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: x2 1 xx42 31 a. y = f(x) = . b. y = f(x) = . x 1 x2 4 x2 1 c. y = f(x) = . d. y = f(x) = |x|3(x2 1). x  Giải a. Vì tập xác định D = \{1} không phải là tập đối xứng nên hàm số không chẵn, không lẻ. 11
  12. b. Tập xác định D = \{ 2} là tập đối xứng. Xét: ( xx )42 3( ) 1 xx42 31 f(–x) = = = f(x). ( x )2 4 x2 4 Vậy, hàm số chẵn. c. Tập xác định D = \{0} là tập đối xứng. Xét: ( x )2 1 x2 1 f(–x) = = – = –f(x) x x Vậy, hàm số lẻ. d. Tập xác định D = là tập đối xứng. Xét: f(–x) = |–x|3[(–x)2 1] = |x|3(x2 1) = f(x). Vậy, hàm số chẵn. ThÝ dô 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a. y f( x ) 1 x 1 x . . b. y = f(x) = 3 23x   3 23x  Giải a. Tập xác định D = [ 1; 1] là tập đối xứng. Xét: f(–x) = 1 (x ) + 1 (x ) = 1 x + 1 x = f(x). Vậy, hàm số chẵn. b. Hàm số xác định trên D = là tập đối xứng. Ta có: f( x) = 3 2( x ) 3   3 2( x ) 3 =   3 23x + 3 23x = f(x). Vậy, hàm số là chẵn. ThÝ dô 3. Xác định m để hàm số y = f(x) = x3 + (m2 1)x2 + m 1 là hàm lẻ.  Giải Hàm số xác định trên D = là tập đối xứng. Khi đó, để hàm số là lẻ điều kiện là: m2 10 f(–x) = –f(x), m m = 1. m 10 Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đề bài. n i  Chú ý: Với hàm đa thức bậc n dạng: y = f(x) = axi thì: i 0 . Nếu các hệ số bậc lẻ bằng 0 thì hàm số là hàm chẵn. . Nếu các hệ số bậc chẵn bằng 0 thì hàm số là hàm lẻ. . Nếu tồn tại ít nhất một hệ số bậc chẵn và một hệ số bậc lẻ khác 0 thì hàm số không chẵn cũng không lẻ. 12
  13. 1 ThÝ dô 4. Cho hàm số y = f(x) = . Tuỳ theo m hãy xét tính (m 1) x2 mx 1 chẵn, lẻ của hàm số.  Giải Ta xét các trường hợp: Trường hợp 1: Với m = 0, ta được: 1 y = . x2 1 Hàm số này xác định trên D = \{ 1, 1} là tập đối xứng và có: 1 1 f( x) = = = f(x), ( x )2 1 x2 1 do đó, nó là hàm chẵn. Trường hợp 2: Với m = 1, ta được: 1 y = . x 1 Hàm số này xác định trên D = \{1} là tập không đối xứng do đó hàm số không chẵn, không lẻ. Trường hợp 3: Với m 0  m 1. Khi đó, hàm số g(x) = (m + 1)x2 + mx 1 không chẵn cũng không lẻ do đó hàm số y = f(x) cũng không chẵn, không lẻ. Kết luận: . Với m = 0, hàm số là chẵn. . Ngoài ra nó không chẵn, không lẻ. ThÝ dô 5. Cho a, b , xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho: f(a x) + f(x) = b, với x . (1)  Giải a a a Đặt t =  x suy ra x =  t và a x = + t. Khi đó: 2 2 2 a a (1) f( + t) + f(  t) = b, t 2 2 a b a b f( + t)  + f(  t)  = 0, t . (2) 2 2 2 2 a b a b Đặt g(t) = f( + t)  , suy ra g( t) = f(  t)  . Khi đó: 2 2 2 2 (2) g(t) + g( t) = 0, t R g( t) =  g(t), t g(t) là hàm lẻ trên . 13
  14. a b Vậy hàm số f(x) = g(x  ) + với g(x) là hàm lẻ tuỳ ý trên . 2 2 D¹ng to¸n 4: Sơ lƣợc về phép tịnh tiến Phương pháp thực hiện Sử dụng kết quả: Trong mặt phẳng toạ độ, cho (G) là đồ thị của hàm số y = f(x), p và q là hai số tuỳ ý. Khi đó: 1. Đồ thị hàm số y = f(x) + q có được khi tịnh tiến (G) . Lên trên q đơn vị nếu q > 0. . Xuống dưới q đơn vị nếu q 0. . Sang trái p đơn vị nếu p < 0. 2 23 x ThÝ dô 1. Cho (H): y = . Hỏi muốn có đồ thị hàm số y = thì phải tịnh x x tiến (H) như thế nào ?  Giải Ta có: 23 x 2 y = = 3. x x Vậy, muốn có đồ thị của hàm số này ta cần tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị. ThÝ dô 2. Hãy lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Oy để nhận được đồ thị x2 7 xx2 23 hàm số y = từ đồ thị (H): y = 2 x 2 x  Giải Ta có: x2 7 x2 2 x 3 2(2 x ) xx2 23 y = = =  2. 2 x 2 x 2 x Vậy, muốn có đồ thị của hàm số này ta cần tịnh tiến (H) xuống dưới 2 đơn vị.  Chú ý: Các em học sinh hẳn sẽ thắc mắc về lí do xác định được phép biểu x2 7 diễn trên cho hàm số y = , để trả lời câu hỏi này thông thường 2 x chúng ta lựa chọn cách trình bày, giả sử: x2 7 y = = f(x) + b 2 x x2 7 xx2 23 x2 ( b 2) x 3 2 b = + b = . 2 x 2 x 2 x Bằng việc đồng nhất hệ số, ta suy ra: 14
  15. 11 02 b b = 2. 7 3 2b Vậy, ta được: x2 7 y = = f(x) 2. 2 x Do đó, đồ thị của hàm số được suy ra bằng phép tịnh tiến (H) theo Oy xuống dưới 2 đơn vị. D¹ng to¸n 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số Phương pháp thực hiện 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau: B•íc 1: Với phép biến đổi toạ độ X x a x X a Yy yY hàm số có dạng: Y = f(X + a) Y = F(X) (1) B•íc 2: Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số chẵn. B•íc 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng. 2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau: B•íc 1: Với phép biến đổi toạ độ X x a x X a Yy yY hàm số có dạng: Y = f(X + a) Y = F(X) (1) B•íc 2: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng hàm số (1) là hàm số chẵn tham số . B•íc 3: Kết luận. 3. Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường thẳng y = a, ta thực hiện theo các bước sau: B•íc 1: Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường y = a. B•íc 2: Khi đó, với mỗi M(x, y) (H) M1(x1; y1) (C) sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = a  x1, y1 thoả mãn: 15
  16. y11 f() x xx1 (I) y1 y2 a B•íc 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trình của đường cong (H). ThÝ dô 1. Tìm trục đối xứng của đồ các thị hàm số: a. y = x2 + 4x + 3. b. y = x4 + 2x2 + 2.  Giải a. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a. Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: X x a x X a Yy yY hàm số: Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 là hàm số chẵn. Ta có: Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 = X2 + 2(a + 2)X + a2 + 4a + 3. (1) Hàm số (1) là hàm số chẵn a + 2 = 0 a = – 2 Vậy, đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x + 2 = 0. b. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a. Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: X x a x X a Yy yY hàm số: Y = (X + a)4 + 2(X + a)2 + 2 là hàm số chẵn Ta có: Y = (X + a)4 + 2(X + a)2 + 2 = X4 + 4aX3 + (6a2 + 2)X2 + (4a3 + 4a)X + 2a + 2 (1) Hàm số (1) là chẵn: 40a a = 0. 3 4aa 4 0 Vậy, đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục tung. ThÝ dô 2. Cho hàm số: y = x4 + 4mx3 2(m 1)x2 2mx + 1. Tìm m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy.  Giải Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x = a (a 0). 16
  17. Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: X x a x X a Yy yY hàm số: Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m–1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1 là chẵn. Ta có: Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m – 1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1 = X4 + (4a + 4m)X3 + (6a2 + 12ma – 2m + 2)X2 + + (4a3 + 12ma2 – 4ma + 4a – 2m)X + + a4 + 4ma2–2(m–1)a2–2ma + 1. (1) Hàm số (1) chẵn: 4am 4 0 am 32 32 4a 12 ma 4 ma 4 a 2 m 0 4m 2 m 3 m 0 m 0 1 13 4m2 + 2m 3 = 0 m = . 4 1 13 Vậy, với m = thoả mãn điều kiện đầu bài. 4 D¹ng to¸n 6: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số Phương pháp thực hiện 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau: B•íc 1: Với phép biến đổi toạ độ X x a x X a Y y b y Y b hàm số có dạng: Y + b = f(X + a) Y = F(X) (1) B•íc 2: Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số lẻ. B•íc 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng. 2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau: B•íc 1: Thực hiện phép biến đổi toạ độ X x a x X a Y y b y Y b hàm số có dạng: Y + b = f(X + a) Y = F(X) (1) B•íc 2: Đồ thị hàm số nhận I(a, b) làm tâm đối xứng 17
  18. hàm số (1) là hàm số lẻ tham số . B•íc 3: Kết luận. 3. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = f(x) đối xứng qua điểm I(a, b), ta thực hiện theo các bước sau: B•íc 1: Lấy hai điểm A(xA, y(xA)) và B(xB, y(xB)) thuộc đồ thị hàm số. B•íc 2: Hai điểm A và B đối xứng qua điểm I(a, b) xAB x2 a toạ độ A và B. yAB y2 b 4. Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua điểm I(x0, y0), ta thực hiện theo các bước sau: B•íc 1: Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(x0, y0). B•íc 2: Khi đó, với mỗi M(x, y) (H) M1(x1, y1) (C) sao cho M đối xứng với M1 qua I  x1, y1 thoả mãn: y11 f() x x10 x2 x (I) y10 y2 y B•íc 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trình của đường cong (H). ThÝ dô 1. Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số sau: x a. y = 2x3 6x + 3. b. y = . 21x  Giải a. Giả sử hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng. Với phép biến đổi toạ độ: X x a x X a Y y b y Y b khi đó hàm số có dạng: Y + b = 2(X + a)3 6(X + a) + 3 Y = 2X3 + 6aX2 + (6a 6)X + 2a3 6a + 3 b (1) Hàm số (1) là lẻ 60a a 0 3 . 2a 6 a b 3 0 b 3 Vậy, hàm số có tâm đối xứng I(0; 3). b. Viết lại hàm số dưới dạng: 11 y = . 2 2(2x 1) 18
  19. Giả sử hàm số nhận điểm I(a; b) làm tâm đối xứng. Với phép biến đổi toạ độ: X x a x X a Y y b y Y b khi đó hàm số có dạng: 11 11 Y + b = Y = b . (1) 2 [2(Xa ) 1] 2 2Xa 2 1 Hàm số (1) là lẻ 1 1 b b 0 2 2 . 1 2a 1 0 a 2 1 1 Vậy, hàm số có tâm đối xứng I( ; ). 2 2  Chú ý: Đồ thị hàm số: b b . y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a 0 luôn nhận điểm U( , f( )) làm 3a 3a tâm đối xứng. ax b d a . y = f(x) = , với c 0, D = ad bc 0 luôn nhận điểm I( , ) làm cx d c c tâm đối xứng. ax2 bx c e e . y = f(x) = , với a, d 0 luôn nhận điểm I( , f( )) làm dx e d d tâm đối xứng. ThÝ dô 2. Cho hàm số: (2m 1) x m 2 y = . mx 1 Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng.  Giải Điểm I(1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi toạ độ: Xx 1 xX 1 Yy 1 yY 1 hàm số sau là hàm lẻ (2m 1)( X 1) m 2 (2m 1)( X 1) m 2 Y + 1 = Y = 1. mX( 1) 1 mX m 1 19
  20. Để hàm số là hàm lẻ trước tiên nó phải có tập xác định D là tập đối xứng, tức là m = 0 hoặc m = 1. Thử lại: . Với m = 0, ta được: Y = X, là hàm số lẻ. . Với m = 1, ta được: X 2 2 Y = 1 = , là hàm số lẻ. X X Vậy, với m = 0 hoặc m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài. ThÝ dô 3. Cho hàm số: x2 45 mx m (Cm): y = . x 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.  Giải 2 2 xAA 45 mx m xBB 45 mx m Hai điểm A(xA, ) và B(xB, ) thuộc (Cm). xA 2 xB 2 Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ xxAB 0 (1) 22 xAABB 4 mx 5 m x 4 mx 5 m 0 (2) xxAB 22 Thay (1) vào (2) ta được: 2 (2m 1) xA = 5m (3) Để tồn tại hai điểm A và B thì phương trình (3) phải có nghiệm. 2 Do 0 < xA 4 nên: 14 5m m 0 < 4 23. 21m m 0 1 4 Vậy, với < m hoặc m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài. 2 3 D¹ng to¸n 7: Tìm phƣơng trình đƣờng cong đối xứng ThÝ dô 1. Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua đường thẳng y = 1, biết: x 1 a. (C): y = 2x + 3. b. (C): y = . x 1 20
  21.  Giải a. Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1. Khi đó, với mỗi M(x; y) (H) M1(x1; y1) (C) với y1 = 2x1 + 3 (1) sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1  x1, y1 thoả mãn: xx1 xx1 . (I) yy1 2 yy1 2 Thay (I) vào (1), ta được: y = – 2x – 1. Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = – 2x – 1. b. Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1. Khi đó, với mỗi M(x; y) (H) x1 1 M1(x1; y1) (C) với y1 = (1) x1 1 sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1  x1, y1 thoả mãn: xx1 xx1 . (I) yy1 2 yy1 2 Thay (I) vào (1), ta được: x 3 y = . x 1 x 3 Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = . x 1 ThÝ dô 2. Cho hàm số: (x 1)2 (C): y = . x 2 Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1).  Giải Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(1; 1). Khi đó, với mỗi M(x; y) (H) 2 (x1 1) M1(x1, y1) (C) với y1 = x1 2 (1) sao cho M đối xứng với M1 qua điểm I(1; 1)  x1, y1 thoả mãn: xx1 2 xx1 2 . (I) yy1 2 yy1 2 21
  22. Thay (I) vào (1), ta được: x2 1 y = . x x2 1 Vậy, đường cong (H) có phương trình : y = . x §2. HÀM SỐ BẬC NHẤT D¹ng to¸n 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất Phương pháp thực hiện Dựa trên lý thuyết trong phần kiến thức cần nhớ. ThÝ dô 1. Cho hàm số y = x + 3. a. Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành. Vẽ đồ thị hàm số. b. Gọi A và B theo thứ tự là hai giao điểm nói trên. Tính diện tích OAB (O là gốc toạ độ). c. Gọi là góc nhọn tạo bởi đồ thị hàm số với trục Ox. Tính tan , suy ra số đo góc . d. Bằng đồ thị tìm x để y > 0, y 0.  Giải a. Đồ thị cắt trục Oy tại A có: x = 0 y = 0 + 3 = 3 A(0, 3). y = x + 3 y Đồ thị cắt trục Ox tại B có: A y = 0 0 = x + 3 x = 3 B(3, 0). 3 b. Ta có: B 1 1 9 | S OAB = OA.OB = .3.3 = (đơn vị diện tích). O 3 x 2 2 2 c. Trong OAB, ta có ABO = , suy ra: OA 3 tan = = 1 = 450. OB 3 d. Từ đồ thị suy ra: . y > 0 x < 3, ứng với phhần đồ thị phía trên trục Ox. . y 0 x 3, ứng với phhần đồ thị phía dưới trục Ox. ThÝ dô 2. Vẽ đồ thị của các hàm số: 22
  23. 20x víi x x 11 víi x a. y = 1 . b. y = . x víi x 0 2x 4 víi x 1 2  Giải Bạn đcọ tự vẽ hình. a. Đồ thị gồm hai tia: . Tia Ot trùng với đồ thị hàm số y = 2x với x 0. 1 . Tia Ot' trùng với đồ thị hàm số y = x với x < 0. 2 b. Đồ thị gồm hai tia: . Tia A1B đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; 3). . Tia A2B đi qua hai điểm A(0; 4) và B(2; 3). ThÝ dô 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a. y = |x 1|. b. y = |2x 1| + |2x 1|.  Giải y a. Ta biến đổi: y = |x 1| 1 x 11 nÕu x x 11 nÕu x B A y = = . I (x 1) nÕu x 1 11 x nÕu x O 1 1 x Do đó, đồ thị hàm số là hai tia IA (với I(1; 0) và A(2, y = x 1 y = 1 x 1)) và IB (với B(0, 1)). Dựa vào đồ thị chúng ta nhận được bảng biến thiên của hàm số như sau: x - 1 + - + y 0 Điều đó chứng tỏ: . Hàm số nghịch biến trên ( ; 1). . Hàm số đồng biến trên (1; + ). b. Viết lại hàm số dưới dạng: y 1 4x nÕu x 2 11 A 4 B y = 2 nÕu x . 22 2 I J 1 4x nÕu x 2 1 O 1 x Do đó, đồ thị hàm số gồm: y = 4x y = 4x 1 . Tia IA với A( 1; 4) và I( ; 2). 2 23
  24. 1 . Đoạn thẳng IJ với J( ; 2). 2 . Tia JB với B(1; 4). ThÝ dô 4. Cho hàm số: (dm): y = (m 1)x + 2m 3. a. Tìm m để hàm số là đồng biến, nghịch biến, không đổi. b. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định.  Giải a. Điều kiện để hàm số đồng biến: m – 1 > 0 m > 1. Điều kiện để hàm số nghịch biến: m – 1 < 0 m < 1. Điều kiện để hàm số không đổi biến: m – 1 = 0 m = 1. b. Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(x0 ; y0), ta có: y0 = (m 1)x0 + 2m 3, m (x0 + 2)m – x0 – 3 – y0 = 0, m x0 20 x0 2 . xy00 30 y0 1 Vậy, đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định M(–2 ; –1). ThÝ dô 5. Cho họ đường thẳng (dm) có phương trình: (dm): (m 1)x + (2m 3)y m 1 = 0. 1. Xác định m để: a. (dm) đi qua A(2, 1). b. (dm) có hướng đi lên. c. (dm)//Ox. d. (dm) vuông góc với đường thẳng ( 1): 3x + 2y 100 = 0. e. (dm) song song với đường thẳng ( 2): x 2y + 12 = 0. 2. Tìm điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua.  Giải 1. Ta lần lượt có: a. (dm) đi qua điểm A(2, 1) điều kiện là: (m 1).2 + (2m 3).1 m 1 = 0 3m – 6 = 0 m = 2. b. (dm) có hướng đi lên điều kiện là: 3 ab < 0 (m 1)(2m 3) 1 < m < . 2 c. (dm) song song với Ox điều kiện là: m – 1 = 0 m = 1. 24
  25. d. (dm) vuông góc với đường thẳng ( 1) điều kiện là: 9 3(m 1) + 2(2m 3) = 0 7m = 9 m = . 7 e. (dm) song song với đường thẳng ( 2) điều kiện là: mm 1 2 3 5 4m = 5 m = . 12 4 2. Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(x0 ; y0), ta có: (m 1)x0 + (2m 3)y0 m 1 = 0, m (x0 + 2y0 – 1)m – x0 – 3y0 – 1 = 0, m xy00 2 1 0 x0 5 . xy00 3 1 0 y0 2 Vậy, đường thẳng (dm) luôn đi qua điểm cố định M(5 ; – 2). ThÝ dô 6. Cho hai hàm số f(x) = (m2 + 1)x 4 và g(x) = mx + 2, với m 0. Chứng minh rằng: a. Các hàm số f(x), f(x) + g(x), f(x) g(x) là các hàm đồng biến. b. Hàm số g(x) f(x) là hàm nghịch biến.  Giải a. Ta lần lượt xét: . Hàm số f(x) có hệ số a = m2 + 1 > 0 do đó nó là hàm đồng biến. . Hàm số: f(x) + g(x) = (m2 + 1)x 4 + mx + 2 = (m2 + m + 1)x 2. có hệ số: 2 2 1 3 a = m + m + 1 = m + > 0 2 4 do đó, nó là hàm đồng biến. . Hàm số: f(x) g(x) = (m2 + 1)x 4 (mx + 2) = (m2 m + 1)x 6. có hệ số: 2 2 1 3 a = m m + 1 = m + > 0 2 4 do đó, nó là hàm đồng biến. b. Hàm số: g(x) f(x) = mx + 2 [(m2 + 1)x 4] = (m2 m + 1)x + 6. có hệ số: 2 2 13 a = (m m + 1) = m < 0 24 25
  26. do đó, nó là hàm nghịch biến. ThÝ dô 7. Cho hàm số y = f(x) = ax + b, với a 0. a. Chứng minh rằng với một giá trị x0 tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng tìm được hai số m và n sao cho f(m) 0, khi đó hàm số đồng biến, do đó: f(x0 1) f(x0) > f(x0 + 1) từ đó, ta chọn m = x0 + 1 và n = x0 1. b. Giả sử trái lại hàm số có: . Giá trị lớn nhất f(x1) ứng với x1. . Giá trị nhỏ nhất f(x2) ứng với x2. Theo kết quả câu a), luôn tìm được hai số m và n sao cho: f(x1) f(m) f(x2) không phải là giá trị nhỏ nhất. ThÝ dô 8. Cho hàm số y = f(x) = ax, với a 0. a. Chứng minh rằng f(kx1) = kf(x1) và f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2). b. Các hệ thức trong câu a) còn đúng với hàm số: y = g(x) = ax + b, với b 0 hay không ?  Giải a. Ta có: f(kx1) = a(kx1) = akx1 = k(ax1) = kf(x1), đpcm. f(x1 + x2) = a(x1 + x2) = ax1 + ax2 = f(x1) + f(x2) , đpcm. b. Ta lần lượt xét: . Với hệ thức: g(kx1) = kg(x1) a(kx1) + b = k(ax1 + b) b 0 akx1 + b = akx1 + bk b(k 1) = 0 k = 1. Vậy, hệ thức g(kx1) = kg(x1) chỉ đúng với k = 0. 26
  27. . Với hệ thức: g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) a(x1 + x2) + b = (ax1 + b) + (ax2 + b) ax1 + ax2 + b = ax1 + ax2 + 2b b = 0, loại. Vậy, hệ thức g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) không đúng. D¹ng to¸n 2: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng Phương pháp thực hiện Thực hiện theo các bước: ThÝ dô 1. Viết phương trình y = ax + b của các đường thẳng: a. Đi qua hai điểm A(4, 3) và B(2, 1). b. Đi qua điểm A(1, 1) và song song với Ox.  Giải a. Ta có: A(4, 3) (d): y = ax + b 3 = 4a + b. (1) B(2, 1) : y = ax + b 1 = 2a + b. (2) Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a = 2 và b = 5. Vậy, phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = 2x 5. b. Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1, 1) và song song với trục hoành nên có phương trình: y = 1. ThÝ dô 2. Cho hàm số y = ax 3a. a. Xác định giá trị của a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4). Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được. b. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng tìm được trong a).  Giải a. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4) khi và chỉ khi: 4 4 = a.0 3a 3a = 4 a = . 3 4 y Vậy, hàm số có dạng y = x + 4. 3 4 B Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3; 0). H A b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng. | O 3 x Trong OAB vuông tại O, ta có: 1 1 1 OAOB. 4.3 12 2 2 2 OH = = = . OH OA OB OA22 OB 4322 5 12 Vậy, khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng bằng . 5 27
  28. §3. HÀM SỐ BẬC HAI D¹ng to¸n 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai Phương pháp thực hiện Dựa trên lý thuyết trong phần kiến thức cần nhớ. ThÝ dô 1. Cho hàm số y = f(x) = x2 4x + 2. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận được đồ thị hàm số y = x2 2. c. Giải thích tại sao với mỗi giá trị của m thì các phương trình x2 4x + 2 = m và x2 2 = m đều có cùng số nghiệm.  Giải a. Ta lần lượt tính: b = 2 và = 2. y=x2 2 y y=x2 4x+2 2a 4a Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(2, 2), nhận đường thẳng x = 2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên. 2 Bảng biến thiên: O x x 2 + 2 S + CĐ + y 2 Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A(0, 2), B(4, 2). b. Giả sử: y = x2 2 = f(x + a) x2 2 = (x + a)2 4(x + a) + 2 = x2 + (2a 4)x + a2 4a + 2. Suy ra: 11 0 2a 4 a = 2. 2 2 aa 4 2 Vậy, ta được y = x2 2 = f(x + 2). Do đó, đồ thị của hàm số được suy ra bằng phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang trái 2 đơn vị. c. Vì số nghiệm của mỗi phương trình đúng bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị của các hàm số y = x2 4x + 2 và y = x2 2, do đó chúng đều có cùng số nghiệm. 28
  29. ThÝ dô 2. Cho hai hàm số (P1) và (P2), biết: 2 1 2 (P1): y = x + 2x + 3, (P1): y = x  4x + 3. 2 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hai hàm số (P1) và (P2) trên cùng một hệ trục toạ độ. b. Tìm m để đường thẳng y = m cắt cả hai đồ thị vừa vẽ.  Giải a. Ta có bảng sau: Khảo sát (P1) Khảo sát (P2) b b = 1 và = 4. = 4 và = 5. 2a 4a 2a 4a Bảng biến thiên: Bảng biến thiên: x 1 + x 4 + y CĐ y + -5 + 4 CT Đồ thị: Hoành độ giao điểm của (P1) và (P2) là nghiệm phương trình: 2 1 2 2 x 0 x + 2x + 3 = x 4x + 3 3x 12x = 0 3x(x 4) = 0 . 2 x 4 Khi đó, toạ độ các giao điểm là: y (P1) E(0, 3) và F(4, 5). 4 S2 3 b. Từ đồ thị của (P1) và (P2), đường thẳng y = m cắt cả hai đồ thị O x 5 m 4. -5 Vậy, với 5 m 4 thoả mãn điều kiện đầu bài. S1 (P2) 2 ThÝ dô 3. Cho hàm số (Pm): y = (1 + m)x 2(m 1)x + m 3. a. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số với m = 0 (tương ứng là (P0)). Bằng đồ thị tìm x để y 0, y 0. b. Viết phương trình đường thẳng đi qua đỉnh của (P0) và giao điểm của (P0) với Oy. c. Xác định m để (Pm) là Parabol. Tìm quĩ tích đỉnh của Parabol (Pm) khi m thay đổi. d. Chứng tỏ rằng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định, tìm toạ độ điểm cố định đó. y  Giải (P0) (d) 2 a. Với m = 0 ta được (P0): y = x + 2x 3 B -1 O A -3 1 Ta lần lượt tính: x -3 C -4 S 29
  30. b = 1 và = 4. 2a 4a Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S( 1, 4), nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên. Bảng biến thiên: x - -1 + + CT + y -4 Đồ thị: ta lấy thêm vài điểm trên đồ thị A(1, 0), B(-3, 0), C(0, -3). Từ đồ thị suy ra: Cabri3D_Download_212_Win.exe . y 0 . . y 0 3 x 1. b. Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng: (d): Ax + By + C = 0, A2 + B2 > 0. (1) Vì S( 1, 4) và C(0, 3) thuộc (d), ta được: ABC 40 ABB 4 3 0 AB . (I) 30BC CB 3 CB 3 Thay (I) vào (1), ta được: (d): Bx + By + 3B = 0 (d): x y 3 = 0. c. Để (Pm) là Parabol điều kiện là: 1 + m 0 m 1, m 1 4 khi đó (Pm) có đỉnh Sm( , ). m 1 m 1 Để nhận được phương trình quĩ tích đỉnh của Parabol (Pm) khi m thay đổi, ta thực hiện việc khử m từ hệ: m 1 m 1 4 y x x 1 m 1 m 1 y x = 2x + y 2 = 0. 4 4 y 4 y y m 1 m 1 y y Vậy, quĩ tích đỉnh Sm là đường thẳng ( ): 2x + y 2 = 0. d. Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (Pm) luôn đi qua, khi đó: 2 y0 = (1 + m) x0 2(m 1)x0 + m 3, với m 2 2 ( x0 2x0 + 1)m + x0 + 2x0 3 y0 = 0, với m 2 xx00 2 1 0 x0 1 . 2 y 0 x0 2 x 0 3 y 0 0 0 30
  31. Vậy, họ (Pm) luôn đi qua điểm cố định M(1; 0). ThÝ dô 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = |x 1|(x + 3).  Giải Viết lại hàm số dưới dạng: y=x 1(x + 3) (x 1)( x 3) nÕu x 1 x2 2 x 3 nÕu x y 1 y = = . 2 (1 x )( x 3) nÕu x 1 x 2 x 3 nÕu x S 1  Bảng biến thiên: A O B    x 1 1 + x CT + y 4 0 y= x2 x + 3 Đồ thị: ta lấy các điểm A( 3; 0), S( 1; 4), B(1; 0). D¹ng to¸n 4: Hàm số dạng y = ax2 + bx + c, với a 0 Phương pháp thực hiện Thực hiện theo các bước: B•íc 1: Vẽ đồ thị hàm số (P): y = ax2 + bx + c, với a 0. B•íc 2: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c gồm hai phần: . Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị (P). . Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của (P) qua trục hoành. B•íc 3: Dựa vào đồ thị ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = ax2 + bx + c. ThÝ dô 1. Cho hàm số (P): y = x2 + 2x 3. a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Dựa vào đồ thị vừa vẽ trên, tuỳ theo giá trị của m, hãy cho biết số nghiệm của phương trình |x2 + 2x 3| = m. y  Giải y=|x2+x 3| a. Ta lần lượt tính: y = m b 4 = 1 và = 4. 1 x 2a 4a 3  Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S( 1; 4), 4 nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên. Bảng biến thiên: x 1 + + CĐ + y 4 31
  32. Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là A( 3; 0), B(1; 0). b. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x2 + 2x 3| (phần đường đậm) và đường thẳng (d): y = m, ta được: . Với m 4, phương trình có hai nghiệm phân biệt. D¹ng to¸n 5: Lập phƣơng trình Parabol Phương pháp thực hiện Thực hiện theo các bước: B•íc 1: Giả sử Parabol (P): y= ax2 + bx + c, với a 0. B•íc 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c. Trong bước này ta cần lưu ý các điều kiện thường gặp sau: . Điểm A(x0, y0) (P) ta nhận được điều kiện: 2 y0 = a x0 + bx0 + c. . (P) có đỉnh S(x0, y0) ta nhận được điều kiện: b x 0 2a . y 0 4a . (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) bằng y0 ta nhận được điều kiện: a 0 a 0 (hoặc ). y y 0 4a 0 4a . (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm có hoành độ bằng x0 ta nhận được điều kiện: a 0 a 0 b (hoặc b ). x x 0 2a 0 2a . (P) nhận đường thẳng x = x0 làm trục đối xứng ta nhận được điều kiện: b x0 = . 2a B•íc 3: Kết luận. ThÝ dô 1. Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết rằng parabol đó: a. Đi qua hai điểm M(1; 5) và N( 2; 8). 32
  33. 3 b. Đi qua điểm A(3; 4) và có trục đối xứng là x = . 2 c. Có đỉnh là I(2; 2). 1 d. Đi qua điểm B( 1; 6) và tung độ của đỉnh là . 4  Giải a. Ta có: . M(1; 5) (P) 5 = a + b + 2 (1) . N( 2; 8) (P) 8 = 4a 2b + 2 (2) Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a = 2 và b = 1. Vậy, ta được (P): y = 2x2 + x + 2. b. Ta có: . A(3; 4) (P) 4 = 9a + 3b + 2 (1) 3 b 3 . Trục đối xứng x = = b = 3a (2) 2 2a 2 1 Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a = và b = 1. 3 1 Vậy, ta được (P): y = x2 x + 2. 3 c. Ta có: b b . Đỉnh I(2; 2). Mà đỉnh S ; nên = 2 (1) 24aa 2a . I(2, 2) (P) 2 = 4a + 2b + 2 2a + b = 2 (2) Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2) ta được a = 1 và b = 4. Vậy, ta được (P): y = x2 4x + 2. d. Ta có: . B( 1; 6) (P) 4 = a b (1) 1 . Tung độ của đỉnh: = = a b2 8a = a b2 = 9a. (2) 4a 4 Từ (1) và (2) ta có: ab 4 ba 4 ba 4 ba 4 2 2 2 2 ba 9 ba 9 (aa 4) 9 aa 16 0 a 1 ba 4 2 b 3 (P ) : y x 3 x 2 a 1 2 a 16 (P ) : y 16 x 12 x 2 a 16 b 12 Vậy, có hai parabol thoả mãn đề bài. 33
  34. ThÝ dô 2. Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c. a. Đi qua ba điểm A(0; 1), B(1; 1), C( 1; 1). b. Có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm D(3; 0). c. Có giá trị cực tiểu bằng 1 và đi qua hai điểm A(2; 1), B(0; 3).  Giải a. Ta có: . A(0; 1) (P): y = ax2 + bx + c 1 = c. (1) . B(1; 1) (P): y = ax2 + bx + c 1 = a + b + c. (2) . C( 1; 1) (P): y = ax2 + bx + c 1 = a b + c. (3) Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2) và (3) ta được a = 1, b = 1 và c = 1. Vậy, phương trình (P) có dạng: y = x2 x 1. b. Ta có: . D(3; 0) (P): y = ax2 + bx + c 0 = 9a + 3b + c. (1) . I(1; 4) (P): y = ax2 + bx + c 4 = a + b + c. (2) b . I(1; 4) là đỉnh của (P) = 1 b = 2a. (3) 2a Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2) và (3) ta được a = 1, b = 2 và c = 3. Vậy, phương trình (P) có dạng: y = x2 + 2x + 3. c. Ta có: . A(2; –1) (P) –1 = a.22 + b.2 + c. (1) . B(0; 3) (P) 3 = a.0 + b.0 + c. (2) . Có giá trị cực tiểu bằng –1 = –1. (3) 4a Từ (1), (2) và (3) ta có: a = 2 ; b = 6 ; c = 3. Vậy, phương trình (P): y = 2x2 + 6x + 3. C. CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VÝ dô 1: Tìm m để hàm số: x 1 a. y = xác định trên [0; 1). x22 2( m 1) x m 2 m 1 b. y = xm 21   xác định trên (1; 3). 2xm  Giải a. Điều kiện: 34
  35. xm x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2m 0 (x – m)(x – m – 2) 0 . xm 2 Vậy, để hàm số xác định trên [0; 1) thì {m ; m + 2} [0; 1) m 20 m 2 m 1 m 1 . mm 0 1 2 10 m b. Điều kiện: xm 21 xm 2 1 0 m . (*) 20xm x 2 Để hàm số xác định trên (1; 3) thì (1; 3) là tập con của (*), tức là: m 1 < 3 2m 1 m = 2. 2 Vậy, với m = 2 thoả mãn điều kiện đầu bài. VÝ dô 2: Cho a , xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho: f(a x) = f(x), với x . (1)  Giải a a a Đặt x =  t suy ra t =  x và a x = + t. Khi đó: 2 2 2 a a (1) f( + t) = f(  t), t . (2) 2 2 a a Đặt g(t) = f( + t), suy ra g( t) = f(  t). Khi đó: 2 2 (2) g(t) = g( t), t g(t) là hàm chẵn trên . a Vậy hàm số f(x) = g(x  ) với g(x) là hàm chẵn tuỳ ý trên . 2 VÝ dô 3: Cho ba đường thẳng: (d1): y = 2x 1, (d2): y = 2 x, (d3): y = ax + 3. Xác định a để ba đường thẳng trên đồng quy, rồi vẽ đồ thị của ba đường thẳng đó trên cùng một hệ trục toạ độ.  Giải Để (d1), (d2), (d3) đồng quy thì (d3) phải đi qua giao điểm của (d1) và (d2). Hoành độ giao điểm của (d1) và (d1) được xác định bởi: 2x – 1 = 2 – x x = 1 y = 1. Do đó, giao điểm của (d1) và (d2) là điểm M(1 ; 1). 35
  36. Lại có, M (d3) suy ra: 1 = a.1 + 3 a = – 2. Vậy, với a = – 2, ba đường thẳng đã cho đồng quy tại điểm M(1; 1). Học sinh tự vẽ hình. VÝ dô 4: Xác định a, b, c cho biết parabol y = ax2 + bx + c đi qua điểm A(8, 0) và có đỉnh là I(6, 12).  Giải Ta có: . A(8, 0) (P) 0 = 64a + 8b + c (1) . Đỉnh I(6, 12) (P) 12 = 36a + 6b + c (2) b . Đỉnh có hoành độ = 6 b = 12a (3) 2a Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2) và (3) ta được a = 3, b = 36, c = 96. Vậy, ta được (P): 3x2 36x + 96. VÝ dô 5: Cho hàm số y = ax2 + bx + c, a 0. Chứng minh rằng đồ thị hàm số b nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng. 2a  Giải Với phép biến đổi toạ độ: b b Xx xX 2a 2a Yy yY hàm số có dạng: 2 2 b b b b Y = a X + b X + c = a X + b X + c 2a 2a 2a 2a 2 2 bb b = a XX 2 + b X + c aa4 2a b2 b2 = aX2 + – + c là hàm số chẵn với mọi a, b, c. 4a 2a b Vậy, hàm số nhận đường thẳng x = – làm trục đối xứng. 2a VÝ dô 6: Cho hàm số (P): y = x2 + 2x. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2 2|x| + m = 0.  Giải 36
  37. y  S a. Ta lần lượt tính: A b = 1 và = 1. O   x 2a 4a y = m Vậy, đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh S(1; 1), 2 nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng và hướng bề y= x + x lõm xuống dưới. Bảng biến thiên: x 1 + CT y 1 Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị là O(0; 0), A(2; 0). b. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 + 2x (phần đường đậm) và đường thẳng (d): y = m, ta được: . Với m > 1, phương trình vô nghiệm. . Với m = 1, phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 1. . Với 0 < m < 1, phương trình có bốn nghiệm phân biệt. . Với m = 0, phương trình có ba nghiệm phân biệt. . Với m < 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. VÝ dô 7: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 + 4x3 + mx2 có trục đối xứng song song với Oy.  Giải Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x = a (a 0). Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: X x a x X a Yy yY hàm số Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 là hàm số chẵn. Ta có: Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 = X4 + (4 + 4a)X3 + (6a2 + m + 12a)X2 + (4a3 + 12a2 + 2ma)X + a4 + ma2 + 3a3 (1) Hàm số (1) chẵn 4a32 12 a 2 ma 0 m 4 . 4 4a 0 a 1 Vậy, với m = 4 hàm số nhận đường thẳng x = –1 làm trục đối xứng. VÝ dô 8: Cho hàm số: 37
  38. 2x2 ( m 4) x 2 m 1 y = . x 2 Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng.  Giải Điểm I(2; 1) là tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi toạ độ: Xx 2 xX 2 Yy 1 yY 1 hàm số sau là hàm lẻ 2(X 2)2 ( m 4)( X 2) 2 m 1 2X2 ( m 3) X 1 Y + 1 = Y = . X X Để hàm số là hàm lẻ điều kiện là: m + 3 = 0 m = 3 Vậy, với m = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài. VÝ dô 9: Cho hàm số: 3 2 2 2 y = x  3mx + 3(m  1)x + 1 m (Cm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ. AI CÓ NHU CẦU SỬ DỤNG FILE WORD TỰ LUẬN TOÁN KHỐI 10-12 LIÊN HỆ QUA ZALO 0987.974.598  Giải Hai điểm: 3 2 2 2 A(xA, yA) với yA = xA   3m xA + 3(m  1)xA + 1 m , (1) 3 2 2 2 B(xB, yB) với yB = xB   3m xB + 3(m  1)xB + 1 m , (2) thuộc đồ thị hàm số. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ xxAB 0 (3) yyAB 0 (4) Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được: 2 2 3m xA = 1 m (5) Để tồn tại hai điểm A và B thì phương trình (5) phải có nghiệm. 2 Do 0 < xA nên: 1 m2 m 1 0 < . 3m 01 m Vậy, với m < 1 hoặc 0 < m < 1 thoả mãn điều kiện đầu bài. 38