Đề khảo sát chất lượng môn Toán học Khối 11 - Năm học 2017-2018

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng môn Toán học Khối 11 - Năm học 2017-2018

1. ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG KHỐI 11 MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2017 - 2018 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau a. 2sin x 1 0 b. sin x 3cosx 2 Câu 2. (1 điểm) 3 3 Cho và cos . Tính giá trị của biểu thức A sin 2 5 3 Câu 3. (2 điểm) a. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3sin x 4cos x m b. Tìm m để phương trình sin2 x 2sin x 3 m có đúng 1 nghiệm x ; 6 Câu 4. (1,5 điểm) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập ra bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho a. Là một số chẵn có các chữ số khác nhau b. Số 1 có mặt đúng một lần, số 2 có mặt đúng hai lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Câu 5. (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng 2 2 d : x y 2 0 , điểm Q 4;2 và đường tròn C : x 1 y 2 16 a. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O b. Viết phương trình của đường tròn (C’) ảnh của đường tròn (C) qua phép vị 1 tự tâm O tỉ số k 2 0 c. Viết phương trình d1 là ảnh của d qua phép quay tâm Q góc quay -45 . d. Nêu cách tìm tọa độ của M thuộc đường thẳng d sao tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) và đường tròn (T) tạo thành góc nhận d là đường phân giác. Câu 6. (1 điểm) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc 0; 9 2 4x sinx m x Hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11 Câu Nội dung Điềm Giải phương trình 2sin x 1 0 1a 5 (0,5đ) Ta có 2sin x 1 0 sin x sin x k2 hoặc x k2 0,5 6 6 6 Giải phương trình sin x 3cos 2 1 3 1b Ta có sin x 3cos 2 sinx cosx 1 sin x 1 0,5 3 (1,0đ) 2 2 5 x k2 x k2 0,5 3 2 6 3 3 Cho và cos . Tính giá trị của biểu thức A sin 2 5 3 3 Ta có sin 1 cos2 . Vì nên suys in ra 0 2 2 sin 1 cos2 0,5 (1,0) 3 4 thay ctao sđược sin 5 5 1 3 1 4 3 3 4 3 3 Khi đó A sin sin cos 0,5 3 2 2 2 5 2 5 10 Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3sin x 4cos x m 3a Phương trình 3sin x 4cos x m có nghiệm 32 42 m2 0,5 (1,0đ) 5 m 5 0,5 Tìm m để phương trình sin2 x 2sin x 3 m có đúng 1 nghiệm x ; 6 Đặt t sin x , với xthì Ta; có phươngt 0 trình;1 t 2 2t 3 m, t 0;1 0,25 6 3b Nhận xét: Trên x ; phương trình t sin x cho nghiệm duy nhất thì suy ra t 1 6 (1,0đ) 0,25 1 hoặc 0 t . 2 TH1: Phương trình t 2 2t 3 m có nghiệm t = 1 suy ra m = 0. Thử lại m = 0 thì ta chỉ 0,25 tìm được t = 1 và tìm được 1 nghiệm xnên m = 0 ;là 1 giá trị thỏa mãn 2 6
3. 2 1 2 TH2: Phương trình t có 2 nghiệmt 3 m t thuộc . Vì hàm0 số; y t 2t 3 2 2 1 đồng biến trên 0;1 nên phương trình t có 2nghiệmt 3 m thuộc khi và chỉ0; 2 1 7 khi y 0 m y hay 3 m . Khi đó phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm 0,25 2 4 x ; 6 7 Tóm lại m = 0 hoặc 3 m 4 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập ra bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ 4a số khác nhau (1,0đ) Số cần tìm có dạng a1a2a3a4a5a6 a6 là số chẵn nên có 4 cách chọn từ 2, 4, 6, 8 0,5 5 5 a1a2a3a4a5 có A7 cách chọn. Vậy có 4.A7 10.080 số thỏa mãn ycbt 0,5 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập ra bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số 4b sao cho chữ số 1 có mặt đúng một lần, chữ số 2 có mặt đúng hai lần và các chữ số (0,5đ) còn lại có mặt không quá một lần 2 Cách 1: Xét 6 ô trống trên hàng ngang. Chữ số 1 có 6 cách xếp, chữ số 2 có C5 cách 3 2 3 xếp. Ba ô còn lại có A6 cách xếp. Vậy có 6.C5 .A6 = 7200 số thỏa mãn ycbt. 3 0,5 Cách 2: lấy C6 chữ số từ 3, 4, 5, 6, 7, 8 3 chữ số vừa lấy cùng với cột chữ số 1 và hai C3.6! chữ số 2 hoán vị cho nhau ta có 6! cách. Khi đó số các số cần tìm là 6 =7200 số 2! Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x y 2 0 , điểm 5 2 2 Q 4;2 và đường tròn C : x 1 y 2 16 Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O 5a Vì d’//d nên phương trình của d’ có dạng x – y + m = 0. Lấy M(2; 0) thuộc d thì phép (1,0đ) đối xứng tâm O biến M thành M’(-2; 0 ), Vì M’ thuộc d’ nên m = 2. 1,0 Vậy d’: x – y + 2 = 0 Viết pt của đường tròn (C’) ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số 1 k 2 5b Đường tròn (C) có tâm I(1; - 2) và bán kính R=4 (1,0đ)  1  Gọi I’ và R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C’). Ta có OI ' OI nên 2 0,5
4. 1 I ' ;1 2 1 và R ' R 2 . 2 0,5 2 1 2 Vậy phương trình đường tròn C ' : x y 1 4 2 0 Viết phương trình d1 là ảnh của d qua phép quay tâm Q góc quay -45 . 5c Vì tâm Q 4;2 thuộc d và d tạo với trục hoành 1 góc 450 nên phép quay tâm Q 4;2 , (0,5đ) 0,5 0 góc quay -45 biến d thành d2 đi qua Q và có phương thẳng đứng. Do đó d2: x 4 0 Nêu cách tìm tọa độ của M thuộc đường thẳng d sao tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) và (T) tạo thành góc nhận d là đường phân giác. Giả sử đã dựng được điểm M. Từ giả thiết suy ra các tiếp tuyến MA và MB kẻ từ M lần lượt tới (C) và (T) tạo thành góc nhận d là đường phân giác sẽ đối xứng với nhau qua đường thẳng d. Gọi (C ) là đường tròn đối xứng với (C) qua đường thẳng d thì MB là 5d 1 tiếp tuyến chung của (T) và (C ). Từ đó ta có cách tìm tọa độ điểm M như sau: 0,5 (0,5đ) 1 - Viết phương trình đường tròn (C1) đối xứng với (C) qua d. - Viết phương trình tiếp tuyến chung của (T) và (C1). - Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến chung nói trên với d (nếu có) thì M là điểm cần tìm. 6 9 2 Tìm m để BPT 4x sinx m nghiệm đúng với mọi x thuộc 0; (1,0đ) x 9 2 Đặt f x 4x sinx x 0; x 0,25 YCBT tìm m để Min f x m 0; 9 2 9 2 Áp dụng BĐT Côsi cho cho 2 số dương ta có 4x 2 4x. 12 x x 0,25 Mặt khác hiển nhiên sinx -1 . Suy ra f x 12 1 9 2 9 2 x2 4x 4 3 Dấu “=” xảy ra x x suy ra 2 sinx 1 x k2 0,5 2 Min f x 12 1. Vậy m 12 1 0;