Đề kiểm tra cuối hè năm 2019 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Kèm đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra cuối hè năm 2019 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Kèm đáp án)

1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HÈ NĂM 2019 TỔ TOÁN – TIN Môn thi: Toán 10 (Dành cho lớp Anh, Sinh, Văn) (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2 điểm) a/ Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức sau 21 7 10 5 1 A ( ) : 3 1 2 1 7 5 2(x y) x 1 4 b/ Giải hệ phương trình (x y) 3 x 1 5 2 x x 1 2 x 1 Câu 2. (2 điểm) Với x 0 , cho hai biểu thức A và B x x x x a/ Rút gọn biểu thức B. A 3 b/ Tìm x để . B 2 Câu 3. (2 điểm) Cho phương trình x2 (m 5)x 3m 6 0 (m là tham số). a/ Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m . b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5. Câu 4. (2,5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại P, Q a/ Chứng minh rằng: tứ giác APMO nội tiếp. b/ Chứng minh rằng : AP + BQ = PQ. c/ Chứng minh rằng : AP.BQ=AO2 Câu 5. (1,5 điểm) a/ Giải phương trình sau: x2 x 4 2 x 1 2x x 1 . b/ Cho x, y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (x y)2 (x y)2 S . x2 y2 xy Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
2. ĐÁP ÁN TOÁN 10 SINH, VĂN, ANH Câu 1. (2 điểm) (Mỗi ý 1 điểm) a/ Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức sau 21 7 10 5 1 A ( ) : 3 1 2 1 7 5 HD: 7( 3 1) 5( 2 1) A ( 7 5) 3 1 2 1 A ( 7 5)( 7 5) 7 5 2 Vậy A = 2 2(x y) x 1 4 b/ Giải hệ phương trình (x y) 3 x 1 5 HD: Với điều kiện x 1, ta có hệ đã cho tương đương: 6(x y) 3 x 1 12 7(x y) 7 (x y) 3 x 1 5 (x y) 3 x 1 5 x y 1 x y 1 x 3 3 x 1 6 x 1 4 y 2 Câu 2. (2 điểm) (Mỗi ý 1 điểm) 2 x x 1 2 x 1 Với x 0 , cho hai biểu thức A và B x x x x a/ Rút gọn biểu thức B. A 3 b/ Tìm x để . B 2 HD: ( x 1)(x x) (2 x 1) x x x 2x 1 x 2 a/ B 1 x(x x) x x x x 1 x 1 b/ Với x > 0 ta có: A 3 2 x 2 x 3 x 1 3 : B 2 x x 1 2 x 2 2 x 2 3 x x 2 0 x 4(Do x>0) Câu 3. (2 điểm) (Mỗi ý 1 điểm) Cho phương trình x2 (m 5)x 3m 6 0 (m là tham số). a/ Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m . b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5. HD: a/ (m 5)2 4(3m 6) m2 2m 1 (m 1)2 0m Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi m. x1 x2 m 5 b/ Ta có x1x2 3m 6 Để x1>0;x2>0 điều kiện là m>-5 và m> -2 m>-2(Điều kiện để S>0;P>0)
3. Yêu cầu bài toán tương đương : 2 2 2 x1 x2 25 (x1 x2 ) 2x1x2 25 (m 5)2 2(3m 6) 25 m2 4m 12 0 m 2 m 2(do m 2) m 6 Câu 4. (2,5 điểm) (ý a,b mỗi ý 1 điểm; ý c 0,5 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn. M là một điểm trên đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại P, Q a/ Chứng minh rằng: tứ giác APMO nội tiếp b/ Chứng minh rằng : AP + BQ = PQ c/ Chứng minh rằng : AP.BQ=AO2 HD: a/ Xét tứ giác APMQ, ta có: O· AP O· MP 90o (vì PA, PM là tiếp tuyến của (O)) Vậy tứ giác APMO nội tiếp. b/ Ta có AP = MP (AP, MP là tiếp tuyến của (O)) BQ = MQ (BQ, MQ là tiếp tuyến của (O)) AP+BQ=MP+MQ=PQ c/ Ta có OP là phân giác góc AOM (AP, MP là tiếp tuyến của (O)) OQ là phân giác góc BOM (BQ, MQ là tiếp tuyến của (O)) Mà ·AOM B· OM 1800 (hai góc kề bù) P· OQ 90o Xét POQ, ta có: P· OQ 90o (cmt), OM  PQ (PQ là tiếp tuyến của (O) tại M) MP.MQ=OM2 (hệ thức lượng) Lại có MP=AP;MQ=BQ (cmt), OM=AO (bán kính) Do đó AP.BQ=AO2 Câu 5. (1,5 điểm) (Ý a 1 điểm, ý b 0,5 điểm) a/ Giải phương trình sau: x2 x 4 2 x 1 2x x 1 . HD: Điều kiện: x 1(*) Ta có: x2 x 4 2 x 1 2x x 1 x2 2x x 1 x 1 2(x x 1) 3 0 Đặt x x 1 y(y 1)( ) , phương trình trở thành y2 2y 3 0 2 y 1 y 2y 3 0 (y 1)(y 3) 0 y 3
4. +Với y 1 không thỏa mãn điều kiện ( ). + Với y 3 ta có phương trình: x 3 x 3 x 3 x x 1 3 x 1 3 x x 2 2 2 x 2 x 1 9 6x x x 7x 10 0 x 5 thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm x 2. b/ Cho x, y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (x y)2 (x y)2 S . x2 y2 xy HD: (x y)2 (x y)2 2xy x2 y2 2xy x2 y2 x2 y2 S 1 2 3 ( ) x2 y2 xy x2 y2 xy x2 y2 2xy 2xy Do x, y là các số dương nên ta có: 2xy x2 y2 2xy x2 y2 2 . 2 x2 y2 2xy x2 y2 2xy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2xy x2 y2 (x2 y2 )2 4x2 y2 (x2 y2 )2 0 x2 y2 2xy x2 y2 x y(x; y 0) x2 y2 x2 y2 2xy 1 x y 2xy Cộng các bất đẳng thức ta được S 6. Vậy Min S = 6 khi và chỉ khi x = y.