Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán học Lớp 10 - Năm học 2020-2021 - SỞ GD&ĐT Bắc Ninh

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán học Lớp 10 - Năm học 2020-2021 - SỞ GD&ĐT Bắc Ninh

1. SỞ GD & ĐT BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2020-2021 ——————– MÔN THI : Toán 10 (Đề thi gồm 1 trang) Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (4.0 điểm) Giải hệ phương trình: ( √ (x + 1)py2 + y + 2 + (y − 1) x2 + x + 1 = x + y (x2 + x)px − y + 3 = 2x2 + x + y + 1 Bài 2 (4 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + b(a2 + 2) c(b2 + 2) a(c2 + 2) Bài 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác.Chứng minh rằng AIOd ≤ 90◦ khi và chỉ khi AB + AC ≥ 2BC Bài 4 (4 điểm) a.Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 19.8n + 17 là số nguyên tố. b.Cho 2020 số nguyên dương a1, a2, a3, , a2020 và số nguyên a > 1 sao cho a chia hết cho a1, a2, a3, , a2020. 2021 Chứng minh rằng a +a−1 không chia hết cho (a+a1 −1)(a+a2 −1) (a+a2020 −1). Bài 5 (4 điểm) Cho các số nguyên dương được viết vào 441 ô của bảng vuông 21x21.Mỗi hàng và mỗi cột có nhiều nhất 6 giá trị khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên có mặt ở ít nhất 3 cột và ít nhất 3 hàng. —————HẾT—————