Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Yên Lập (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Yên Lập (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 Đề chính thức Môn: Toán Ngày thi 27/11/2018 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề). Đề thi có: 03 trang Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận) ra tờ giấy thi. I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Chọn và ghi phương án đúng vào tờ giấy thi 2 Câu 1: Cho hàm số bậc nhất: y = x 1. Tìm m để hàm số đồng biến trong R, m 1 ta có kết quả là : A. m -1. B. m -1. C. m -1. 1 Câu 2: Trục căn thức ở mẫu biểu thức ta được kết quả là: 3 2.8 3 6.2 3 32 A.1. B. 3 4 3 3. C. 3 4 3 3 . D. 2 3 3. Câu 3: Cặp giá trị xy; thỏa mãn đẳng thức x y 12 4 x 6 y 1 là: A. 0;1 . B. 4;9 . C. 4;10 . D . 4; 10 . 11 Câu 4: Biểu thức M 2 x 4 x 1 2 x 4 x 1 rút gọn với x được kết quả 42 là: A. 2 . B. 2 4x 1 . C. 2 4x 1 D. 2 Câu 5: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD song song với nhau, biết AB = 3cm; CD = 4cm, khoảng cách giữa hai dây là 3,5cm. Bán kính đường tròn (O) là: A. 2,5cm. B. 2cm. C. 1,5cm. D. 3cm. Câu 6: Cho tam giác ABC, AB = 4,8cm, BC = 3,6cm, AC = 6,4cm E thuộc AC sao cho AE = 2,4cm, D thuộc AB sao cho AD = 3,2cm. Độ dài DE là: A. 3,6cm B. 2cm. C. 1,6cm. D. 1,8cm. 2mx 3y 5 Câu 7: Điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy (m 1)x y 2 nhất (x; y) thỏa mãn x > 0 và y > 0 là: A. 5 m 3. B. m5 . C. m3 . D. hoặc m5 . 1
2. Câu 8: Một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy bằng 10 cm, chiều cao ứng với cạnh bên bằng 12 cm. Tam giác cân đó có diện tích là. A. 60 cm2. B.75 cm 2 . C. 120 cm2 . D. 57cm 2 . Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 21cm, cosC = 3 . Khi đó tanB = 5 3 4 21 35 A. . B. . C. . D. . 4 3 35 21 Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi M, N, P là đối xứng AM BN CP của H qua BC, AC, AB. ( H là trực tâm tam giác ABC). Giá trị của AA ' BB' CC' là: A. 3,5 B. 3 C. 5 D. 4 2 Câu 11: Phương trình bậc hai x 2 mx 2 m 1 0 có hai nghiệm xx12; và thỏa mãn 22 2 x1 x 2 5 x 1 x 2 27 thì m có giá trị là: 3 1 A. . B. . C. 3. D. 2. 4 2 Câu 12: Cho ba điểm A(-1 ;6), B(-4 ;4), C(1 ;1). Tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD là: A.(3;-4). B.(-4;4). C.(4;-3). D.(4;3). Câu 13: Cho a là nghiệm dương của phương trình x 4 7x 2 1 0. Giá trị biểu thức 1 P a 3 là: a 3 A.17. B. 20. C. 18. D. 16. Câu 14: Cho tam giác ABC có AB = 7,5 cm; AC = 10,5 cm; BC = 9cm, vẽ đường tròn tâm O nội tiếp ABC tiếp xúc BC tại D. Độ dài BD là: A. 3,5cm. B. 3cm. C. 4cm. D. 4,5cm . Câu 15: Cho đường tròn tâm O bán kính R = 15cm dây AB = 24 cm. Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax qua O kể đường vuông góc với AB cắt tia Ax tại C thì độ dài OC là: A. 27cm. B.30cm . C. 20cm . D. 25cm. Câu 16: Một cái cổng có hình parabol được biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy có phương trình là y = -x2. Biết khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới mỗi chân cổng là 2 5 m (bỏ qua độ dầy của cổng). Khoảng cách giữa 2 chân cổng là: A. 5m . B.3m. C. 4m . D. 4 5m . 2
3. II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1: (3,0 điểm) a. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x 2 y 2 3xy 3x 2y 2 0 b. Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương. Câu 2: (3,5 điểm) a. Giải phương trình: 3 x 20 + x 15 = 7 x( x y ) y2 4 y 1 0 b. Giải hệ phương trình: 22 y( x y ) 2 x 7 y 2 Câu 3: (4,0điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. a. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân. b. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cung BD thì I thuộc một đường cố định. Câu 4: (1,5 điểm):. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab 6 bc 2 ac 7 abc . Tìm giá trị 4ab 9 ac 4 bc nhỏ nhất của biểu thức P . a 24 b a c b c Hết Họ và tên thí sinh: SBD: Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./ 3
4. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9, NĂM HỌC 2018-2019 Môn: Toán Ngày thi 27/11/2018 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề). A. Một số chú ý khi chấm bài. Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. B. Đáp án và thang điểm. I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời đúng cho0,5 điểm Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp C B C A A D C B A D A,C D C B D C án II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1 (3 điểm): 2 2 a. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x y 3xy 3x 2y 2 0 b. Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương. Phương trình tương đương với: 2x22 3( y 1) x y 2 y 2 0 (*) 0,5 2 Ta có: x yy 27 Để phương trình (*) có nghiệm nguyên thì phải là một số chính phương 22 Đặt x y 2 y 7 k ( k N ) (y k 1)( y k 1) 8 0,5 Vì y k 1; y k 1 cùng tính chẵn, lẻ và y k 11 y k nên ta có: yk 12 yk 14 hoặc yk 14 yk 12 Giải các hệ trên ta được y = 2; y = -4 0,5 Vậy phương trình có nghiệm nguyên là ( 2;2),(2; 4) n 24 k 2 b. Ta có: 2 n 65 h 0,25 k22 24 h 65 0,25 k h k h 89 1.89 0,25 4
5. k h 89 k 45 0, 5 k h 1 h 44 Vậy: n = 452 – 24 = 2001 0,25 Câu 2 (3,5 điểm): a. Giải phương trình: 3 x 20 + x 15 = 7 2 x( x y ) y 4 y 1 0 b. Giải hệ phương trình: 22 y( x y ) 2 x 7 y 2 a. ĐK: x - 15 0,25 Đặt a = ; b = (b 0) 0,25 a b 7 Ta có: 32 0,25 a b 35 Tìm được: a = 1; b = 6 0,5 Suy ra: x = 21 Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 21 0,25 x( x y ) y2 4 y 1 0 x2 1 y ( y x ) 4 y 22 22 y( x y ) 2 x 7 y 2 y( x y ) 2( x 1) 7 y 2 y 0 x 1 b. Dễ thấy , ta có: xy 4 0,5 y . x2 1 (xy )2 2 7 y x2 1 u v 4 u 4 v v 3, u 1 u , v x y Đặt ta có hệ: 22 y v 2 u 7 v 2 v 15 0 v 5, u 9 0,5 x22 1 y x x 2 0 xy 1, 2 +) Với vu 3, 1ta có hệ: . x y 33 y x xy 2, 5 0,5 x222 1 9 y x 1 9 y x 9 x 46 0 +) Với vu 5, 9ta có hệ: VN. x y 5 y 5 x y 5 x 0,5 KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (1;2) và ( 2;5) Câu 4 (4,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. a. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân. b. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cung BD thì I thuộc một đường cố định. 5
6. E D M I H F A C O B a. Ta có M thuộc đường tròn tâm O đường kính AB (giả thiết) nên AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0 0,5 hay FMB 900 . Mặt khác FCB 900 (giả thiết).Do đó FMB FCB 180 . Suy ra BCFM là tứ giác nội tiếp CBM EFM 1 (vì cùng bù với CFM ). 0,5 Mặt khác CBM EMF 2 (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AM ). Từ (1) và (2) EFM EMF 0,5 Suy ra tam giác EMF là tam giác cân tại E. 0,5 (Có thể nhận ra ngay EMF MBA MFE nên suy ra EMF cân) DIF b. Gọị H là trung điểm của DF. Suy ra IH DF và DIH 3 . 0,5 2 Trong đường tròn I ta có: DMF và DIF lần lượt là góc nội tiếp và góc ở 1 tâm cùng chắn cung DF. Suy ra DMF DIF(4). 2 Từ (3) và (4) suy ra DMF DIH hay DMA DIH . Trong đường tròn O ta có: DMA DBA (góc nội tiếp cùng chắn DA ) 0,5 Suy ra DBA DIH . Vì IH và BC cùng vuông góc với EC nên suy ra IH // BC. Do đó DBA HIB 180o DIH HIB 180o Ba điểm D, I, B thẳng hàng. 0,5 Vì nửa đường tròn tâm O đường kính AB không đổi, C cố định D cố định, B cố định đường thẳng BD cố định, vậy tâm I của đường tròn ngoại tiếp 0,5 tam giác FDM luôn thuộc đường thẳng BD cố định khi M di chuyển trên cung BD. 6
7. Câu 4 (1,5 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab 6 bc 2 ac 7 abc . 4ab 9 ac 4 bc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . a 24 b a c b c Từ gt : và a,b,c > 0 2 6 2 Chia cả hai vế cho abc > 0 7 c a b 1 1 1 x, y , z 0 đặt x ,, y z 0,5 a b c 2z 6 x 2 y 7 4ab 9 ac 4 bc 4 9 4 Khi đó P a 24 b a c b c 24x y x z y z (2 3 2)2 7 (Cosi-svac) 0,5 6x 2 y 2 z 1 Khi x ,y z 1 thì C = 7 2 0,5 Vậy GTNN của P là 7 khi a =2; b =1; c = 1 7