Đề thi chọn lớp chất lượng cao năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 11 - Trường THPT Yên Phong số 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn lớp chất lượng cao năm học 2022-2023 môn Toán Lớp 11 - Trường THPT Yên Phong số 2 (Có đáp án)

1. SỞ GD-ĐT BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 NĂM HỌC 2022-2023 ————————————– Môn: Toán 11 (Đề thi gồm 02 trang) Ngày thi: 24/05/2022 - Thời gian làm bài: 90 phút ————————————– I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Câu 1. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π A. T = π. B. T = 2π. C. T = 2. D. T = . 2 Câu 2. Phương trình nào sau đây vô nghiệm? 1 1 A. sin x = . B. cos x = −5. C. tan x = 5. D. cot x = − . 5 5 Câu 3. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 1 và công sai d = −3. Tìm số hạng u2. A. u2 = 4. B. u2 = −4. C. u2 = −2. D. u2 = −3. 1 Câu 4. Cho cấp số nhân (u ) có u = và u = −2. Tìm công bội q . n 1 2 2 1 A. q = −1. B. q = 1. C. q = − . D. q = −4. 4 Câu 5. Trong khai triển (2x − 3)5 thành đa thức, hệ số của x4 bằng A. −240. B. 240. C. 80. D. −30. Câu 6. Hàm số nào sau đây không liên tục tại điểm x = 2? 2x + 1 √ 1 A. y = . B. y = x2 + 1. C. y = x4 − 2x2. D. y = . x − 2 2 3n − 4 Câu 7. Giới hạn lim bằng 2n + 1 3 1 A. . B. − . C. −4. D. +∞. 2 2 Câu 8. Hàm số nào sau đây có đạo hàm là y′ = sin x? A. y = cos x. B. y = − cos x. C. y = sin x. D. y = − sin x. 1 Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 − 1 tại điểm có hoành độ bằng 1 có 4 hệ số góc bằng
2. 5 A. 4. B. 1. C. 5. D. . 4 Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC). Góc giữa SB và (ABC) bằng góc nào sau đây? A. SCA[ . B. BSC\. C. ABC\. D. SBA\. Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AC, B′D′ bằng a √ A. . B. a 2. C. a. D. 2a. 2 Câu 12. Trong mặt phẳng Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ ⃗v biến điểm M(2; 4) thành điểm M ′(3; −1). Khẳng định nào sau đây đúng? A. ⃗v = (5; 3). B. ⃗v = (−1; 5). C. ⃗v = (1; −5). D. ⃗v = (6; −4). II. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm)  π Câu 13. (1 điểm) Giải phương trình lượng giác sin 2x + = cos x. 3 Câu 14. (1 điểm) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một phân biệt?  1 1  Câu 15. (1 điểm) Tính giới hạn lim + . x→1 x2 − 1 x2 − 4x + 3 √ Câu 16. (1 điểm) Tính đạo hàm của hàm số y = (3x + 1). 4 − 6x − x2. Câu 17. (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD), SA = a, AB = 2a, AD = 3a. a) Chứng minh (SCD)⊥(SAD). b) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). c) Tính góc giữa hai đường thẳng SB, AC. 3 Câu 18. (0,5 điểm) Cho hàm số y = f(x) = 24x + 5x + 2022 có đồ thị (C). Gọi M1 1 là điểm thuộc (C) và có hoành độ bằng − . Tiếp tuyến d với (C) tại M cắt trở lại (C) 16 1 1 tại M2 khác M1. Tiếp tuyến d2 với (C) tại M2 cắt trở lại (C) tại M3 khác M2 Tiếp tuyến dn với (C) tại Mn cắt trở lại (C) tại Mn+1 khác Mn, với n = 1, 2, 3, Hỏi trong các đường thẳng d1, d2, , dn, có bao nhiêu đường thẳng có hệ số góc nhỏ hơn 2005? HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. ĐÁP ÁN I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đáp án B B C D A A A B C D D C II. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm) Câu Nội dung Điểm 13  π   π  π  sin 2x + = cos x ⇔ sin 2x + = sin − x 0,25 (1,0) 3 3 2 π π π π ⇔ 2x + = − x + k2π hoặc 2x + = + x + k2π 0,25 3π 2 π 3 2 ⇔ 3x = + k2π hoặc x = + k2π 0,25 6 6 π 2π π ⇔ x = + k hoặc x = + k2π (k ∈ ) . 0,25 18 3 6 Z 14 Gọi số cần lập có dạng abc, trong đó a ∈ {1; 2; 3; 4; 5} , b ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} , 0,25 (1,0) c ∈ {0; 2; 4} , và a, b, c đôi một phân biệt. Với c = 0 thì có 5 cách chọn a và 4 cách chọn b. Trường hợp này có 0,25 1.5.4 = 20 số. Với c = 2 hoặc c = 4 thì có 4 cách chọn a và 4 cách chọn b. Trường hợp 0,25 này có 2.4.4 = 32 số. Từ đó suy ra có tất cả 20 + 32 = 52 số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi 0,25 một phân biệt lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. 15  1 1   1 1  lim + = lim + 0,25 (1,0) x→1 x2 − 1 x2 − 4x + 3 x→1 (x − 1) (x + 1) (x − 1) (x − 3) 1 (x + 1) − (x − 1) (x − 1) − (x − 3) = .lim + 0,25 2 x→1 (x − 1) (x + 1) (x − 1) (x − 3) 1  1 1 1 1  = .lim − + − 0,25 2 x→1 x − 1 x + 1 x − 3 x − 1 1  1 1  1 = .lim − = − . 0,25 2 x→1 x − 3 x + 1 2 16 √ √ ′ y′ = (3x + 1)′ . 4 − 6x − x2 + (3x + 1) . 4 − 6x − x2
   0,25 (1,0) ′ √ 4 − 6x − x2
   y′ = 3. 4 − 6x − x2 + (3x + 1) . √ 0,25 2 4 − 6x − x2 √ x + 3 y′ = 3. 4 − 6x − x2 − (3x + 1) .√ 0,25 4 − 6x − x2 9 − 28x − 6x2 y′ = √ . 0,25 4 − 6x − x2 17.a Vì SA⊥(ABCD) nên SA⊥CD (1). 0,25 (1,0)
4. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD⊥CD (2). 0,25 Từ (1) và (2) suy ra CD⊥(SAD). 0,25 0,25 Ta lại có CD ⊂ (SCD) nên (SCD)⊥(SAD). Gọi O = AC ∩ BD thì O là trung điểm của AC. Đường thẳng AC cắt mặt 17.b phẳng (SBD) tại O. Do đó 0,5 (1,0) d(C,(SBD)) = d(A,(SBD)) = h. 1 1 1 1 Vì SA, AB, AD đôi một vuông góc với nhau nên = + + , h2 SA2 AB2 AD2 0,5 1 1 1 1 49 6a 6a hay = + + = ⇒ h = . Vậy d(C,(SBD)) = h = . h2 a2 4a2 9a2 36a2 7 7 Gọi M là trung điểm của SD thì MO là một đường trung bình của tam giác SBD. Vì MO song song với SB nên góc giữa hai đường thẳng SB, AC 17.c bằng góc giữa hai đường thẳng MO, AC. Ta tính được√ 1 1√ 1√ 13 0,25 (0,5) OA = AC = AB2 + BC2 = 4a2 + 9a2 = a, 2 2 2 √ 2 1 1√ 1√ 5 OM = SB = SA2 + AB2 = a2 + 4a2 = a, 2 2 2 √2 1 1√ 1√ 10 AM = SD = SA2 + AD2 = a2 + 9a2 = a. 2 2 2 2 Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng SB, AC thì OA2 + OM 2 − AM 2 4 0,25 cos φ = cos AOM\ = = √ . 2.OA.OM 65 4 Vậy góc giữa hai đường thẳng SB, AC là φ = arccos √ . 65
5. Xét hàm số đa thức bậc ba y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị (C), ở đó a, b, c, d là các hệ số, a ̸= 0. Tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ 2
   3 2 xn là đường thẳng dn : y = 3axn + 2bxn + c (x − xn) + axn + bxn + cxn + d, ∗ với n ∈ N . Phương trình hoành độ điểm chung của (C) và dn là 3 2 2
   3 2 ax + bx + cx + d = 3axn + 2bxn + c (x − xn) + axn + bxn + cxn + d. 2 Phương trình này tương đương với (x − xn) (ax + 2axn + b) = 0, có hai b nghiệm x = x , x = −2x − . Chứng tỏ d tiếp xúc với (C) tại điểm có 18 n n a n b 0,25 (0,5) hoành độ x = x , và cắt (C) tại điểm có hoành độ x = −2x − . Do đó n n a b x = −2x − . n+1 n a 1 Trở lại bài toán, với a = 24, b = 0, c = 5, d = 2022 và x = − , nên 1 16 ta có xn+1 = −2xn. Dãy số (xn) là cấp số nhân có số hạng tổng quát n−1 ∗ xn = (−2) .x1, với mọi n ∈ N . Hệ số góc của tiếp tuyến dn là ′ 2 n−1 2 n−4 ∗ kn = f (xn) = 72xn + 5 = 72.4 .x1 + 5 = 18.4 + 5, n ∈ N . 3 Với n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì kn ≤ k7 = 18.4 + 5 = 1157 2005. n 8 0,25 Vậy trong số các đường thẳng d1, d2, , dn, có 7 đường thẳng có hệ số góc nhỏ hơn 2005 (là các đường thẳng d1, d2, , d7). HẾT