Đề thi khảo sát hè môn Toán Khối 11 - Trường THPT chuyên Bắc Ninh

Nội dung text: Đề thi khảo sát hè môn Toán Khối 11 - Trường THPT chuyên Bắc Ninh

1. TRƯỜNG THPT CHUYấN BẮC NINH ĐỀ THI KHẢO SÁT Hẩ 2018 TỔ TOÁN TIN MễN TOÁN – KHỐI 11 Thời gian: 150 phỳt ùỡ u = 1 ù 1 ù 2 Cõu 1 (4,0 điểm): Cho dóy số (un ) xỏc định như sau: ớ u . ù n * ù un+ = + un (n ẻ Ơ ) ợù 1 2017 ổu u u ữử Tỡm giới hạn limỗ 1 + 2 + + n ữ . ỗ ữ ốỗu2 u3 un+ 1 ứ Cõu 2 (4,0 điểm): Tỡm tất cả hàm f : ℤ →ℤ thỏa điều kiện sau: f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1, ∀ x,y∈ ℤ. Cõu 3 (4,0 điểm): Cho ba số dương a,b,c . Chứng minh rằng: (a2 + bc)(b + c) (b2 + ca)(c + a) (c2 + ab)(a + b) + + ³ 3 2 . a(b2 + c2 ) b(c2 + a2 ) c(a2 + bc) Cõu 4 (4,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy,cho tam giỏc ABC ngoại tiếp đường trũn tõm J(2;1). Biết đường cao xuất phỏt từ đỉnh A cựa tam giỏc ABC cú phương trỡnh là 2x+y-10=0 và D(2;-4) là giao điểm thứ hai của AJ với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC.Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC biết đỉnh B cú hoành độ õm và thuộc đường thẳng: x+y+7=0. Cõu 5 Giải phương trỡnh sin2x + sin23x - 2cos22x = 0. .HẾT
2. ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Cõu Nội dung Điểm Cõu 1 Từ giả thiết ta cú 2đ (4đ) 2 ổ ử u * u 1 1 ữ * u - u = n n ẻ Ơ ị n = 2017ỗ - ữ n ẻ Ơ n+ 1 n ( ) ỗ ữ ( ) 2017 un+ 1 ốỗun un+ 1 ứ u u u ổ 1 ữử ị 1 + 2 + + n = 2017ỗ1- ữ . ỗ ữ u2 u3 un+ 1 ốỗ un+ 1 ứ Từ giả thiết về dóy (un ) , hiển nhiờn thấy (un ) tăng. 1đ + Nếu dóy (un ) bị chặn trờn thỡ tồn tại a = lim un . Chuyển đẳng thức u2 u = n + u qua giới hạn ta được n+ 1 2017 n a2 a = + a ị a = 0 (vụ lớ vỡ u = 1 và (u ) tăng). 2017 1 n 1đ + Nếu dóy (un ) khụng bị chặn trờn thỡ do (un ) tăng nờn lim un = + Ơ . Khi đú ổu u u ữử ổ 1 ữử limỗ 1 + 2 + + n ữ= lim 2017ỗ1- ữ= 2017. ỗ ữ ỗ ữ ốỗu2 u3 un+ 1 ứ ốỗ un+ 1 ứ Cõu 2 Xột mệnh đề p(x,y) là f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1, ∀ x,y∈ ℤ 1đ (4đ) Giả sử f(0)=a. p(0,a) được f(-f(a))=-1, đặt f(b)=-1. p(x,b) được f(x+1)=f(f(x)) suy ra f(f(f(x)))=f(f(x+1))=f(x+2). 1đ p(f(x)-1,x) được f(-1)=f(f(f(x)-1))-f(x)-1=f(f(x))-f(x)-1=f(x+1)-f(x)- 1đ 1
3. như vậy f(x+1)-f(x)=f(-1)+1=const. Suy ra f(n)=c.n+d (với c, d là cỏc hằng số). Thử lại ta được f(n)=-1, hoặc f(n)=n+1 với mọi n∈ ℤ 1đ Cõu 3 Đặt x = a(b2 + c2 ),y = b(c2 + a2 ),z = c(a2 + b2 ) . Ta cú x,y,z > 0 . 1đ (4đ) Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: y + z z + x x + y + + ³ 3 2 x y z Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta cú: 1đ y + z z + x x + y + + x y z y + z z + x x + y (x + y)(y + z)(z + x) ³ 3 3 . . = 3 6 (1) x y z xyz Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta cú: 1đ (x + y)(y + z)(z + x) 2 xy.2 yz.2 zx ³ = 8 (2) xyz xyz Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Dẫu đẳng thức xảy ra 1đ Û a = b = c .
4. Cõu 4 A (4đ) E J C B H D AJ qua J(2;1) và D(2;-4) nờn cú phương trỡnh: x-2=0 4đ AJ  AH A ( H là chõn đường cao xuất phỏt từ A) Tọa độ A là nghiệm của hệ: x 2 0 x 2 A(2;6) 2x y 10 0 y 6 Gọi E là giao điểm thứ hai của BJ với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC Ta cú: DằB DằC DB DC và EằC EằA 1 1 Dã BJ sd EằC sd DằC sd EằA sd DằB DJB 2 2 DJB cõn tại D suy ra DC=DB=DJ Hay D là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc JBC Suy ra B và C nằm trờn đường trũn tõm D(2;-4) bỏn kớnh JD= 02 52 5 cú phương trỡnh: x 2 2 (y 4)2 25 Vậy B là nghiệm của hệ: 2 x 2 (y 4)2 25 B( 3; 4) x y 7 0 B(2; 9) Do B cú hoành độ õm nờn B(-3;-4) Suy ra BC qua B và vuụng gúc với AH cú phương trỡnh: x-2y-5=0 Tọa độ của C là nghiệm của hệ:
5. 2 x 2 (y 4)2 25 C( 3; 4) x 2y 5 0 C(5;0) C(5;0) Vậy A(2;6) , B(-3;-4), C(5;0) Cõu 5 Hạ bậc 4đ (4đ) k Kq: x k , x 2 8 2