Đề thi Olympic môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Kim Liên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Kim Liên (Có đáp án)

1. – 2019 Môn: TOÁN - 11 : 150 phút Câu 1(3,0 ). : 2cos5 x .sin x 2sin5 x .cos x sin2 4 x . x2 Câu 2 (2,0 ). x 2 x 6. 3 x Câu 3 (4,0 ). Cho a (0;1) và (un ) xác : u1 1 (un ): 3 3 * un 1 aun a 1 ,n . 3 a) (vn ) vn un 1 (vn ) nhân 3 3 3 b) a lim(u1u 2 un n ) 4 . Câu 4 (3.0 ). 25 ó 6 5 , Toán Anh. Câu 5 (6.0 ). Cho ABCD.A’B’C’D’ I AB, E DD’ sao cho AI D' E x,(0 x 1) . IE A'C . b) Tìm x AC ' và DI 600. M , N AB, AD' '. K B 'K (CMN) B 'C ' . B 'C ' Câu 6 (2.0 ). a,b, c a2 b2 c 2 3 b 0 . 1 4 8 1. a1 2 b22 c 3 2 c s d ng tài li i thích gì thêm. H và tên thí sinh: .SBD:
2. TRƯỜNG THPT KIM LI£N ĐÁP ÁN ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2018 – 2019 C¢U NỘI DUNG ĐIỂM 2cos5 x .sin x 2sin5 x .cos x sin2 4 x 2 2 2 2 2 2cosx .sin x (cos x sin x )(cos x sin x ) sin 4 x 1,5 1 sin 2x .cos 2 x sin22 4 x sin 4 x sin 4 x 2 1 xk (3 điểm) 4xk 4 sin 4x 0 1,5 4x k 2 x k,. k 1 sin 4x 6 24 2 2 5 5 42xk xk 6 24 2 Điều kiện xác định: xx 0; 9. 2 x22x x x 1,0 x 2 x 6 x 2(3 x ) 2. 3 x 3 x 3 x 3 x 2 (2 điểm) x 2 3 x xx 26 x 8 2 7. 1,0 x xx 3 1 3 x 3 3 3 3 a) Ta có un 11 au n a 1 un 1 a un 1 . Suy ra vnn 1 av . 1,0 Như vậy dãy số vn là cấp số nhân với công bội a nên nó là cấp số nhân lùi vô hạn. 1,0 21 an 21 an v v v u3 u 3 u3 n 3 b) Ta được 12 n 12 n 1 a 1 a (4,0 điểm) 1,0 21 an 3 3 3 lim u12 u un n 4 lim 4 1 a n 21 a 2 2 1 Vì 01 a nên lim 4 a . 1,0 1 a 1 a 1 a 2 3 T là phép thử ‘Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 25 học sinh’. Ta có :  C25. Gọi A là biến cố : 3 học sinh được chọn luôn có học sinh dự thi môn Toán và học sinh dự thi 0,5 môn Anh. Ta có các trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A : 12 Có 1 học sinh chọn môn Toán, 2 học sinh chọn môn Anh có : CC65. khả năng 21 4 Có 2 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh có : CC65. khả năng (3,0 điểm) 2,0 Có 1 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh, 1 học sinh chọn môn khác 1 1 1 (Văn, Tin, Sinh học, Lịch sử, Vật Lí, Hóa, Địa lý) có : CCC6. 5 14 khả năng.  555 111  CCCCCCC1 2 2 1 1 1 1 Vậy xác suất của biến cố A là PA() A . A 6 5 6 5 6 5 14  2300 460 0,5 1
3. Đặt A'';'';'. B a A D b A A c K D' C' a) Ta có: A'. C a b c N F Lại có: IE IA AD DE A' B' M' xa b (1 x ) c . Xét: E 5 3.0 (6,0 điểm) ACIE'. abc . xab (1 xc ) C 2 2 2 D xa b(1 x ) c x 1 (1 x ) 0. A Suy ra A'. C IE B M I DI. AC ' ( DA AI )( AD AB AA') 1 x b) Ta có: cos600 . DI.' AC DI.' AC 1 x2 . 3 1,5 1 x 1 Suy ra: x2 8 x 1 0 x 4 15. 1 x2 . 3 2 c) Gọi M’ là trung điểm cạnh A’B’. Trong (ABCD ' ' ' ') : kẻ đường thẳng đi qua N và song song với CM''cắt đường thẳng BC''tại K. Khi đó K là giao điểm của mặt phẳng ()CMN với đường thẳng BC' '. 1,5 BK'5 Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được: . BC' ' 2 1 4 8 Đặt P 2 2 2 . a 1 b 2 c 3 2 2 2 0,5 Ta thấy: a2 b 2 c 2 2 a 4 b 2 c 6 a 1 b 2 c 1 0 , theo giả thiết thì a2 b 2 c 2 3 b . Suy ra 3b 2 a 4 b 2 c 6 0 hay 2a b 2 c 10 16 . x22 y2 xy Với hai số xy,0 ta có: (x2 y 2 )( x y )2 8 x 2 y 2 . 2 (x y ) 4 xy 1 1 8 Do đó: 22 2 (1) xy xy 0,5 6 Áp dụng (1) ta có: (2 điểm) 1 4 8 1 1 8 2 2 2 ; 2 2 2 . ab 12 b bb c 3 a 2 a 25 a c 2 22 8 8 8 162 P 2 2 8. 2 2 . bb c 3 2a b 2 c 10 a 25 a c 22 0,5 Theo giả thiết và chứng minh trên thì 0 2a b 2 c 10 16, P 1. Khi a 1, b 2, c 1 thì P 1. 0,5 Học sinh làm theo cách khác, nếu đúng vẫn được đủ điểm tối đa như đáp án qui định. .HÕt 2