Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Bến Tre (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Bến Tre (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DUC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BẾN TRE TRUNG HOC PHỔ THÔNG CHUYÊN BẾN TRE NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (chuyên) Thời gian: 150 phút ( không kể giao đề ) Câu 1: ( 2 điểm ) a b a b a b Cho biểu thức P với a,b là hai số thực dương. 1 ab 1 a) Rút gọn biểu thức P : . ( a b)(a b) b) Tính giá trị của biểu thức P khi a 2019 2 2018 và b 2020 2 2019 . Câu 2: ( 1,5 điểm ) a) Cho làp số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng chiap2 hết 1 cho 24. b) Cho phương trình x2 2mx m 4 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m đề phương trình đã cho có 1 hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 2 2 đạt giá trị lớn nhất. x1 x2 Câu 3: ( 1,5 điểm ) a) Giải phương trình: x3 1 x2 3x 1 . x2 4y2 2 b) Giải hệ phương trình: . (x 2y)(1 2xy) 4 Câu 4: ( 2 điểm ) a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 xy 2 x y . 4 1 b) Cho hai số thực a,b thỏa a b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T . a b Câu 5: ( 3 điểm ) Cho nửa đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d tại N. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, tia CO cắt đường thẳng d tại điểm D. a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp. NE.AD b) Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD. Chứng minh rằng ba điểm N,O,E thẳng hàng và 2R . ND c) Chứng minh rằng CA.CN CO.CD d) Xác định vị trí của điểm M để 2AM AN đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Câu 1: ( 2 điểm ) a b a b a b Cho biểu thức P với a,b là hai số thực dương. 1 ab 1 a) Rút gọn biểu thức P : . ( a b)(a b) b) Tính giá trị của biểu thức P khi a 2019 2 2018 và b 2020 2 2019 . Bài giải ab( a b) ( a b) ( a b)(1 ab) a) P a b 1 ab 1 ab 1 P : P.( a b)(a b) ( a b)( a b)(a b) (a b)(a b) a 2 b2 ( a b)(a b) b) P a b 2019 2 2018 2020 2 2019 ( 2018 1)2 ( 2019 1)2 2018 2019 Câu 2: ( 1,5 điểm ) a) Cho làp số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng chiap2 hết 1 cho 24. b) Cho phương trình x2 2mx m 4 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m đề phương trình đã cho có 1 hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 2 2 đạt giá trị lớn nhất. x1 x2 Bài giải a) Ta có nhận xét sau: Nếu làp số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 1(mod 24 (1).) Lại có: 1  23(mod 24) (2). (1) (2) p2 1  24(mod 24)  0(mod 24) . Vậy p2 1 chia hết cho 24 với làp số nguyên tố lớn hơn 3. b) Điều kiện : ' 0 m2 m 4 0 1 15 (m )2 0 ( với mọi m ). 2 4 Theo Vi-ét ta được: x1 x2 2m ; x1x2 m 4 1 1 1 1 1 4 Ta có : 2 2 2 2 x x (x x ) 2x x 4m 2m 8 1 2 31 31 31 1 2 1 2 1 2 2( 2m ) 2 2 4 4 1 4 1 Vậy Max 2 2 = m . x1 x2 31 4 Câu 3: ( 1,5 điểm ) a) Giải phương trình: x3 1 x2 3x 1 . x2 4y2 2 b) Giải hệ phương trình: . (x 2y)(1 2xy) 4 Bài giải x3 1 0 x 1 a) Điều kiện : . 2 2 x 3x 1 0 x 3x 1 0
3. x3 1 x2 3x 1 (x 1)(x2 x 1) x2 3x 1 Đặt a (x 1);b (x2 x 1) ; ( a 0,b 0 ) Phương trình tương đương : b2 2a2 ab 5 37 x 2 2 a b 0 2 2 2 2a ab b 0 2a b 2 (x 1) (x x 1) x 5x 3 0 (TM) 2a b 5 37 (a b)(2a b) 0 x 2 5 37 5 37 Vậy phương trình có 2 nghiệm : x hoặc x . 2 2 x2 4y2 2 x2 4xy 4y2 2(1 2xy) (x 2y)2 2(1 2xy) b) (x 2y)(1 2xy) 4 (x 2y)(1 2xy) 4 (x 2y)(1 2xy) 4 Đặt a x 2y;b 1 2xy . Hệ phương trình tương đương x 1 a2 2b a 2 x 2y 2 1 . ab 4 b 2 1 2xy 2 y 2 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) (1; ) . 2 Câu 4: ( 2 điểm ) a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 xy 2 x y . 4 1 b) Cho hai số thực a,b thỏa a b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T . a b Bài giải a) Biến đổi phương trình thành : (x 1)(x2 x y) 2 x 1 2 x 3 x2 x y 1 y 11 x 1 2 x 1 2 x x y 1 y 1 x 1 1 x 0 2 x x y 2 y 2 x 1 1 x 2 2 y 4 x x y 2 Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y) ( 3;11);(1;1);(0;2);( 2;4) . 4 1 4a 4b a b 4b a 4b a b)T 5 5 2 . 5 4 9 . a b a b a b a b 2 1 Vậy Min T 9 . a ;b 3 3
4. Câu 5: ( 3 điểm ) Cho nửa đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d tại N. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, tia CO cắt đường thẳng d tại điểm D. a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp. NE.AD b) Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD. Chứng minh rằng ba điểm N,O,E thẳng hàng và 2R . ND c) Chứng minh rằng CA.CN CO.CD d) Xác định vị trí của điểm M để 2AM AN đạt giá trị nhỏ nhất. Bài giải a) Bạn đọc tự chứng minh b) O là trực tâm của AND nên ba điểm N,O,E thẳng hàng. N NB.AB NB.2R Ta có: S R.NB M ANB 2 2 BD.AB BD.2R S R.BD ABD 2 2 C SAND SANB SABD R(NB BD) R.ND NE.AD R.ND O 2 A B NE.AD 2R ND c) Chứng minh CAO : CDN CA.CN CO.CD E d) Ta có ABN vuông tại B có MB là đường cao nên theo hệ thức lượng, ta được: AM.AN AB2 (2R)2 4R2 Theo BDT Cô- Si, ta có: D 2AM AN 2 2AM.AN 2 8R2 4 2R (không đổi). AN Vậy Min 2AM AN 4 2R AM M là điểm chính giữa cung »AB . 2 Chú ý : Đây là lời giải của cá nhân, nếu có gì sai sót mong các bạn thông cảm. Trần Nguyễn Đắc Lãm, lớp 9 /2 . THCS Tân Lợi Thạnh, Giồng Trôm, Bến Tre.