Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Khối 11 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Minh Châu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Khối 11 - Năm học 2017-2018 - Trường THPT Minh Châu (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT HƯNG YấN ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 TRƯỜNG THPT MINH CHÂU MễN: TOÁN – NĂM HỌC 2017-2018 Thời gian làm bài: 120 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề Đề thi gồm: 01 trang 3 Cõu 1 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh cos2 2xx cos 2 0 4 sinx 1 Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh 2(1 cosxx )(1 cot2 ) . sinx cos x Cõu 3 (1,0 điểm). Cho hàm số yx=-3231 x + cú đồ thị ().C Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (),C biết tiếp tuyến vuụng gúc với đường thẳng D+:90.xy = xxxx532 5264 Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh giới hạn: I lim x 1 xxx32 1 n 13 8 Cõu 5 (1,0 điểm). Cho n là số nguyờn dương thỏa món 5CCnn . Tỡm hệ số của số hạng chứa x n nx2 1 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ,0x . 14 x 2 41xxy 3520 y Cõu 6 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh 22 42347xy x Cõu 7 (1,0 điểm). Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tõm ABM ; điểm D(7; -2) nằm trờn đoạn MC sao cho GA = GD. Viết phương trỡnh đường thẳng AB, biết hoành độ của A nhỏ hơn 4 và AG cú phương trỡnh 3130x y . Cõu 8 (2,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang cõn (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0). Mặt bờn SBC là tam giỏc đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuụng gúc với AC. a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vuụng gúc mặt phẳng (ABCD). Tớnh độ dài đoạn thẳng SD. b) Mặt phẳng đi qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khỏc O và D) và song song với đường thẳng SD và AC. Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng biết MD = x. Tỡm x để diện tớch thiết diện lớn nhất. Cõu 9 (1,0 điểm). Cho dóy số ()un xỏc định bởi: 21 nu n 1 2 n * u1 1; unn 2 ,.  Tỡm cụng thức số hạng tổng quỏt un theo n. n nn2 11 HẾT Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: . .; Số bỏo danh SỞ GD&ĐT HƯNG YấN ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT MINH CHÂU KHỐI 11 MễN: TOÁN – NĂM HỌC 2017-2018
2. Đỏp ỏn gồm: 06 trang I. LƯU í CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh làm theo cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. - Với bài hỡnh học nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh phần nào thỡ khụng cho điểm tương ứng với phần đú. II. ĐÁP ÁN: Cõu Nội dung trỡnh bày Điểm 1 (1,0 điểm) 1 cos 2x 2 PT 0,5 3 cos 2x L 2 22xkxkk , 0,5 36 2 (1,0 điểm) xk sinx 0 ĐK: ,.k sinxx cos 0 xk 4 0,25 1sin1x Pt 2(1 cos x ). sin2 x sinxx cos 2sin1x sinxxxx cos sin .cos 1 0 1 cosxxx sin cos 0,25 Đặt txx sin cos 2 sin( x ), 2 t 2, Phương trỡnh trở thành: 4 0,25 t 2 1 tt 10 1. 2 xk 2 1 44 x ktm2( ) Với t 1, ta cú sin(x ) 2 . 4 2 5 xk 2 xkl 2() 0,25 44 Vậy phương trỡnh cú họ nghiệm xk 2. 2 3 (1,0 điểm) Đạo hàm yxx'3=-2 6. Gọi M (;aa32-+ẻ 3 a 1)( C ). Phương trỡnh tiếp tuyến của ()C tại M là 0,25 yfaxaa=-+-+'( )( )32 3 a 1. Tiếp tuyến vuụng gúc với đường xy+=90 nờn 0,25
3. ổử1 ộa =-1 ỗ-=- -= ữ 2 ờ fa'( ).ỗ ữ 1 3 a 6 a 9 . ốứ9 ởờa = 3 Với a =-1, phương trỡnh tiếp tuyến là yx=+96. 0,25 Với a = 3, phương trỡnh tiếp tuyến là yx=-9 26. 0,25 Ta cú : xxxx532 5264 x 12 x 2 x 2 2. 0.5 32 2 xxx 111 x x . 4. 2 xxxx532 5264 xx 22 3 I lim lim . xx 1132 xxx 1 x 12 0.5 3 Vậy I . 2 (1,0 điểm) nnn 21 n 7 n 13 2 Ta cú 55CCnn n nn 3280 . 0,25 6 nktm 4 5. 77 227 7 k 71xx 1kkk 1 k 14 2 Xột khai triển Cxx7 1 14xx 2k 0 2 0,5 7 7 k kk 1 k 14 3 8 Cx7 1 . Ứng với x suy ra 14 3kk 8 2 . k 0 2 5 8 2 121 Vậy hệ số của x trong khai triển là: C7 0,25 232 2 41x xy 35201 y b)Giải hệ phương trỡnh 22 423472x y x 5 y ax 2 ax Cõu 6 Điều kiện: Sau đú đặt 5 b2 3 by 52 y x 2 (1,0 4 điểm) 0,25 Phương trỡnh (1) trở thành 82aabb33 02 abaabb 42 2 2 10 2ab 22 42aabb 10 l
4. x 0 Với 2252ab x y 54 x2 y 2 0,25 Thay vào (2) ta cú pt 16xx42 24 3 8 3 4 x 0 44xx22 154183410 x 2 x 32 16 2184xxxx 105 0 34 x 1 0,25 210x 16 84105x32 xx 0 * 34 x 1 16 Ta cú *xxxxxx 243343222 5 0 34 x 1 3 16 Với 0 x cú 2433432xx22 xx xx 5 0 4 34 x 1 0,25 3 Vậy (*) khụng cú nghiệm thỏa món 0 x 4 1 Kết luận hệ cú nghiệm là x;y ;2 2 Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tõm ABM ; điểm D(7; -2) nằm trờn đoạn MC sao cho GA = GD. Viết phương 1.0 trỡnh đường thẳng AB, biết hoành độ của A nhỏ hơn 4 và AG cú phương trỡnh 3130x y . Gọi I là trung điểm AB, dễ thấy GA GB GD Glà tõm đường trũn ngoại tiếp   ABD AGD290 ABD0 AG DG 7 C 0.25 D M G A I B
5. DG d A;1025 AG AD Giả sử Aa ;3 a 13 , AD=2 5 a 722 3 a 11 20 a 3(do a 0). Mặt bờn SBC là tam giỏc đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuụng gúc với AC.
6. S Q P E I B C O N M A G D 1 8a) 0,25 Gọi I là trung điểm của BC nờn tứ giỏc ADCI là hỡnh thoi cạnh a nờn IA = IB = IC = a thỡ tam giỏc ABC vuụng tại A, suy ra AC vuụng gúc DI 0,25 ACIDIDABACSDACSID || , ACSI 0,25 Do ACSIBCSISIABCDABCDSBC  ,()  0,25 Ta cú : SD SI22 ID2 a 1 8b) 0,5 Từ M kẻ hai đường thẳng lần lượt song song với SD, AC chỳng cắt theo thứ tự SB tại Q và AB tại G, AC tại N. Từ G kẻ đường thẳng song song SD, cắt SA tại E,từ N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC tại P. Ta được thiết diện là ngũ giỏc GNPQE. 0,25 x Ta cú BDa 3 nờn tớnh được EG NP23,2 a x QM a , GN 3 x 3 Tứ giỏc EGMQ và MNPQ là hai hỡnh thang vuụng đường cao lần lượt là GM và NM nờn
7. SxaxMNPQE 43 23 0,25 33 a 3 Max Sa 2 tại x MNPQE 2 4 9 Cho dóy số ()un xỏc định bởi: (1 điểm) 21 nu n 1 2 n * u1 1; unn 2 ,.  Tỡm cụng thức số hạng tổng n nn2 11 quỏt un theo n. 0,25 2 21 nu n 1 22 nnn* * unnununn 2 ,21,.  nn 1 2  n nn2 11 nn2 11 (1)12(1)nn 22 nu21 n u ,  n * nn 1 nn22 1[( 1) 1] 0,25 11 1 (nu 1) [ nu ] (1) nn 1 (1)1nn 222 1 0,25 1 1 11 Đặt vnu . Khi đú (1) vv(vv nnn2 1 nn 1 2 1 2 n 2n 0,25 11 1 Vậy u () n n n2 12n