Đề kiểm tra giữa học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Đề 1 - Trường THPT Yên Phong 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra giữa học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Đề 1 - Trường THPT Yên Phong 2 (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT YấN PHONG SỐ 2 ĐỀ THI KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 MễN TOÁN 11 THỜI GIAN 90 PHÚT ĐỀ SỐ 1 Cõu 1 (1.5 điểm): Cho dóy số (un) biết: u1 = -1 , un + 1 = un + 3 với n ≥ 1. a. Viết năm số hạng đầu của dóy số. b. Chứng minh bằng phương phỏp quy nạp un = 3n – 4. n2 1 Cõu 2 (1 điểm): Tớnh giới hạn của dóy số sau: lim . n 1 Cõu 3 (2 điểm): Tớnh giới hạn của cỏc hàm số: 3x2 3 1 a. lim . b. lim x.sin . x 1 x 1 x 0 x Cõu 4 (2 điểm): a. Xột tớnh liờn tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 2, biết: x3 8 nếu x 2 f(x) = x 2 . 5 nếu x 2 b. Trong biểu thức xỏc định hàm f(x) ở trờn, cần thay số 5 bởi số bao nhiờu thỡ hàm số đú sẽ liờn tục tại điểm x0 = 2? Cõu 5 (3 điểm): Cho tứ diện OABC cú OA,OB,OC đụi một vuụng gúc với nhau. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của O trờn mặt phẳng ABC . Chứng minh: a) BC  OAH b) H là trực tõm của ΔABC 1 1 1 1 c) . OH2 OA2 OB2 OC2 Cõu 6 (0.5 điểm): Chứng minh rằng phương trỡnh: x3 + ax2 + bx + c = 0 với a,b,c R luụn cú ớt nhất một nghiệm. Hết (Đề thi gồm cú 01 trang)
2. ĐÁP ÁN TOÁN 11 - ĐỀ SỐ 1 Cõu 1 (1.5 điểm): a/ Ta lần lượt có: u1 = 1, u2 = 2, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 11. b/ Ta lần lượt thực hiện: . Với n = 1, ta thấy (*) do kết quả từ câu a). . Giả sử (*) đúng với n = k, tức là uk = 3k 4. . Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy: uk + 1 = uk + 3 = 3k 4 + 3 = 3(k + 1) 4, đpcm. Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n. Cõu 2 (1 điểm): Chia cả tử và mẫu cho n, ta được: 1 1 n2 1 2 lim =lim n = 1. 1 n 1 1 n Cõu 3 (2 điểm): a/ 3x2 3 3(x 1)(x 1) lim lim lim 3 x 1(x 1) 0 = . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 b/ Đặt f(x) = x.sin1 . x Nhận xét rằng: 1 f(x) = x.sin x và lim x = 0 khi x 0 nên lim f(x) = 0 khi x->0 x Do đó: 1 lim f(x) = lim x.sin = 0. x 0 x 0 x Cõu 4 (2 điểm): a. Ta có: x3 8 f(2) = 5,limf(x) = lim = lim (x2 + 2x + 4) = 12, x 2 x 2 x 2 x 2 suy ra: limf(x) f(2). x 2 Vậy, hàm số gián đoạn tại điểm x0 = 2. Cõu 5 (3 điểm): OA  OB a)Ta cú OA  OBC OA  BC 1 OA  OC
3. A OH  ABC Lại cú OH  BC 2 BC  ABC Từ 1 và 2 suy ra BC  OAH . H b) Do OH  ABC OH  AC 3 O C OB  OA OB  OAC OB  AC 4 I OB  OC B Từ 3 và 4 suy ra AC  OBH AC  BH 5 Lại cú BC  OAH AH  BC 6 . Từ 5 , 6 suy ra H là trực tõm của tam giỏc ABC . OI  OAH c) Gọi I AH  BC , do BC  OI BC  OAH 1 1 1 Ta giỏc OAI vuụng tại O cú đường cao OH nờn ta cú * . OH2 OA2 OI2 1 1 1 Tương tự cho tam giỏc OBC ta cú thay vào (*) ta được OI2 OB2 OC2 1 1 1 1 . OH2 OA2 OB2 OC2 Cõu 6 (0.5 điểm): Xét hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c liên tục trên R . Nhận xét rằng: lim f(x) = - , vậy tồn tại x1 để f(x1) 0, x suy ra f(x1) f(x2) < 0. Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm.