Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

1. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 – 2019 Mụn thi: Toỏn – Lớp 11 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Đề thi cú 01 trang) Cõu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = (m - 1)x - 2m - 3 cú đồ thị là đường thẳng d . Tỡm m để đường thẳng d cắt trục Ox,Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giỏc OAB cõn. Cõu 2. (4,5 điểm) ổ ử 2 x 2 ỗ 3pữ 4sin - 3 cos2x - 1- 2cos ỗx - ữ 2 ốỗ 4 ứữ 1) Giải phương trỡnh = 0 . 2cos3x + 1 ỡ 3 2 3 ù x + xy + x = 2y + y 2) Giải hệ phương trỡnh .ớù ù x 3 + 3y + 5 2x 2 + 5x = 3y 3 + 5x 2 + 2y + 5 ợù ( ) Cõu 3. (4,0 điểm) ùỡ 3x + 1 - x + 3 ù khi x > 1 ù 2 1) Tỡm a để hàm số f (x) = ớù x - 1 liờn tục tại điểm x = 1 . ù (a + 2)x ù khi x Ê 1 ợù 4 2u + u 2) Cho dóy số (u ) xỏc định bởi u = 2019;u = 2020;u = n n- 1 ,n ³ 2,n ẻ Ơ . Tớnh limu . n 1 2 n+ 1 3 n Cõu 4. (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm I . Trung điểm cạnh AB là M (0;3) , trung điểm đoạn CI là J(1;0) . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh vuụng, biết đỉnh D thuộc đường thẳng D : x - y + 1 = 0 . Cõu 5. (4,0 điểm) 1) Cho hỡnh chúp S.ABCD , cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB = a 3, BC = a và SA = SB = SC = SD = 2a . Gọi K là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn AC và H là hỡnh chiếu vuụng gúc của K trờn SA. a) Tớnh độ dài đoạn HK theo a. b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HK ,SO . Mặt phẳng (a) di động, luụn đi qua I và cắt cỏc đoạn thẳng SA,SB,SC,SD lần lượt tại AÂ,BÂ,C Â,DÂ . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P = SAÂ.SBÂ.SC Â.SDÂ . 2) Cho tứ diện đều ABCD cú đường caoAH . Mặt phẳng (P )chứa AH cắt ba cạnh BC,CD , BD lần lượt tại M ,N,P; gọi a;b;g là gúc hợp bởi AM ;AN;AP với mặt phẳng (BCD. )Chứng minh rằng tan2 a + tan2 b + tan2 g = 12 . Cõu 6. (3,0 điểm) 1) Cho tam thức f (x) = x 2 + bx + c . Chứng minh rằng nếu phương trỡnh f (x) = x cú hai nghiệm phõn biệt và b2 - 2b - 3 > 4c thỡ phương trỡnh f ộf x ự= x cú bốn nghiệm phõn biệt. ởờ ( )ỷỳ 2) Cho a,b,c là cỏc số thực dương thay đổi thỏa món (a + b - c)2 = ab . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 2 ab c2 ổ c ử biểu thức P = + + ỗ ữ . 2 2 ỗ ữ a + b a + b ốỗa + b - cứữ 3) Lớp 11 Toỏn cú 34 học sinh tham gia kiểm tra mụn Toỏn để chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Đề kiểm tra gồm 5 bài toỏn. Biết rằng mỗi bài toỏn thỡ cú ớt nhất 19 học sinh giải quyết được. Chứng minh rằng cú 2 học sinh sao cho mỗi bài toỏn đều được một trong hai học sinh này giải quyết được. Hết Họ và tờn thớ sinh : Số bỏo danh